Bac M2 2024, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2024 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2-5i+i(5-3i)=5$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(2)=15$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{2x+1}=7^x\cdot 7^2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu $1$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,5)$ și $B(4,2)$. Determinați distanța dintre punctul $A$ și mijlocul segmentului $OB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=5$ și $BC=5\sqrt{5}$. Arătați că $\sin C=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x& x-3\\ 3-x& x-4\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=1$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $B(4)\cdot B(4)+I_2=aB(4)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x+y)(4-x-y)$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\ast 3=3$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast 1=0$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care numărul $N=(n+5)\ast (n-5)$ este natural.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x-2\ln (x+1)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2+x-3}{x+1}$, $x\in (-1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $x^2-x\ge 2\ln \frac{x+1}{2}$, pentru orice $x\in (-1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+3x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3(f(x)-3x)dx=12$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{1}{{\left(f(x)-x^2\right)}^2}dx=\frac{1}{4}$.

c) (5 puncte) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)-x^2-1}{e^x}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ este egală cu $3\left(1-\frac{2}{e}\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se desface paranteza: $$2-5i+i(5-3i)=2-5i+5i-3i^2=\text{(3 p)}$$ $$=2+3=5\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $-5i+5i=0$ și $-3i^2=-3\cdot (-1)=3$. Unde se greșește de obicei: se ia $i^2=1$ și iese $2-3=-1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

$$f(2)=12+m,\text{ deci }12+m=15\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{m}=3\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(x)=6x+3$ și $f(2)=15$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(2)=6+2m$, punând $2$ în locul lui $m$, nu al lui $x$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună: $$7^{2x+1}=7^{x+2},\text{ de unde obținem }2x+1=x+2\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Control: $7^3=7\cdot 7^2$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc exponenții, $7^x\cdot 7^2=7^{2x}$, și ecuația $2x+1=2x$ nu mai are soluții.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

$$\text{Mulțimea numerelor naturale de doua˘ cifre are }90\text{ de elemente, deci sunt }90\text{ de cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ $$\text{Iˆn mulțimea numerelor naturale de doua˘ cifre sunt }18\text{ numere care au cel puțin una dintre cifre egala˘ cu }1,\text{ deci sunt }18\text{ cazuri favorabile, de unde obținem }p=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: cu cifra zecilor $1$ sunt $10,11,\dots ,19$ — zece numere; cu cifra unităților $1$ sunt $11,21,\dots ,91$ — nouă numere; $11$ apare în ambele liste, deci $10+9-1=18$. Unde se greșește de obicei: se adună $10+9=19$, numărând $11$ de două ori; sau se numără doar numerele cu exact o cifră egală cu $1$, adică $17$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Mijlocul segmentului $OB$ are coordonatele $\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+2}{2}\right)$: $$M(2,1)\text{ este mijlocul segmentului }OB\text{(3 p)}.$$ $$AM=4\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $AM=\sqrt{(2-2{)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{16}=4$. Unde se greșește de obicei: se ia mijlocul segmentului $AB$ în loc de $OB$, sau se calculează distanța $AB=\sqrt{13}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

În triunghiul dreptunghic în $A$, cateta opusă unghiului $C$ este $AB$: $$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: raționalizarea, $\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. Control: $AC=\sqrt{125-25}=10$, iar ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin C=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ — acesta este $\cos C$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Se calculează determinantul: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right|=2\cdot 0-(-1)\cdot 1=\text{(3 p)}$$ $$=0+1=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $2\cdot 0-1\cdot 1=-1$, pierzând minusul lui $-1$.)

b) (5 p) Se calculează $B(4)$ și pătratul ei: $$B(4)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& 0\end{array}\right),B(4)\cdot B(4)=\left(\begin{array}{cc}15& 4\\ -4& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$B(4)\cdot B(4)+I_2=\left(\begin{array}{cc}16& 4\\ -4& 0\end{array}\right)=4B(4),\text{ deci }4B(4)=aB(4),\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=4\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: pe linia $1$, $4\cdot 4+1\cdot (-1)=15$ și $4\cdot 1+1\cdot 0=4$; pe linia $2$, $(-1)\cdot 4+0\cdot (-1)=-4$ și $(-1)\cdot 1+0\cdot 0=-1$. Egalitatea $4B(4)=aB(4)$ dă $a=4$, pentru că $B(4)$ are elemente nenule. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fiecare element, $\left(\begin{array}{cc}16& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ — produsul matricelor se face linie cu coloană.)

c) (5 p) Se calculează cele două produse: $$A\cdot B(x)=\left(\begin{array}{cc}3x-3& x-2\\ x& x-3\end{array}\right),B(x)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3x-3& -x\\ -x+2& x-3\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ $$\text{Cum }\left(\begin{array}{cc}3x-3& x-2\\ x& x-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3x-3& -x\\ -x+2& x-3\end{array}\right),\text{ obținem }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: se egalează elementele: $x-2=-x$ și $x=-x+2$ dau amândouă $x=1$; celelalte elemente coincid pentru orice $x$. Control: pentru $x=2$, $A\cdot B(2)\ne B(2)\cdot A$ — matricele nu comută în general. Unde se greșește de obicei: în $B(x)\cdot A$, pe linia $2$, coloana $1$, se scrie $2(3-x)+(x-4)\cdot 1=x+2$, cu semnul lui $x$ greșit; corect, $6-2x+x-4=-x+2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=0$ și $y=3$: $$0\ast 3=(0+3)(4-0-3)=\text{(3 p)}$$ $$=3\cdot 1=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: în prima paranteză se înmulțesc operanzii, $0\cdot 3=0$, în loc să se adune, și iese $0$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $y=1$: $$x\ast 1=(x+1)(3-x),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ $$(x+1)(3-x)=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=-1\text{ sau }\mathbf{x}=3\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $4-x-1=3-x$. Control: $(-1)\ast 1=0\cdot 4=0$ și $3\ast 1=4\cdot 0=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie a doua paranteză $4-x$, uitând de $-1$, și iese $x=4$ — dar $4\ast 1=5\cdot (-1)=-5$.)

c) (5 p) Suma celor doi termeni este $(n+5)+(n-5)=2n$: $$(n+5)\ast (n-5)=4n(2-n),\text{ pentru orice numa˘r natural }n\text{(2 p)}.$$ $$\text{Cum }n\text{ și }N=4n(2-n)\text{ sunt numere naturale, obținem }\mathbf{n}=0,\mathbf{n}=1\text{ și }\mathbf{n}=2\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $2n(4-2n)=4n(2-n)$. $N$ este un număr întreg pentru orice $n$ natural; el este natural exact când $N\ge 0$, adică $n(2-n)\ge 0$, deci $0\le n\le 2$. Valorile: $N=0$ pentru $n=0$, $N=4$ pentru $n=1$, $N=0$ pentru $n=2$; pentru $n=3$, $N=-12$. Unde se greșește de obicei: se uită $n=0$ (sau se exclude $N=0$), deși $0$ este număr natural.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=2x-1-\frac{2}{x+1}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{2x^2+2x-x-1-2}{x+1}=\frac{2x^2+x-3}{x+1},x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $(2x-1)(x+1)=2x^2+2x-x-1$. Unde se greșește de obicei: se derivează $2\ln (x+1)$ ca $\frac{2}{x}$, fără argumentul $x+1$.)

b) (5 p) Se calculează valoarea și derivata în $0$: $$f(0)=0,f^{\prime }(0)=-3\text{(2 p)}.$$ $$\text{Ecuația tangentei este }y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=-3x\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f(0)=0-0-2\ln 1=0$, $f^{\prime }(0)=\frac{-3}{1}=-3$. Unde se greșește de obicei: se ia $\ln 1=1$ și iese $f(0)=-2$.)

c) (5 p) Se folosește semnul derivatei: $$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=1;\text{ pentru orice }x\in (-1,1],f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(-1,1]\text{ și, pentru orice }x\in [1,+\infty ),f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ $$\text{Pentru orice }x\in (-1,+\infty ),f(x)\ge f(1)\text{ și, cum }f(1)=-2\ln 2,\text{ obținem }{x}^2-x\ge 2\ln \frac{x+1}{2},\text{ pentru orice }x\in (-1,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)$, iar rădăcina $-\frac{3}{2}$ nu este în domeniu; pe $(-1,+\infty )$, $2x+3>0$ și $x+1>0$, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x-1$. Baremul sare ultima transformare: $x^2-x-2\ln (x+1)\ge -2\ln 2$ înseamnă $x^2-x\ge 2\ln (x+1)-2\ln 2=2\ln \frac{x+1}{2}$. Control numeric: $f(1)=-2\ln 2\approx -1,3863$. Unde se greșește de obicei: se ia $f(0)=0$ drept valoare minimă — dar $f(1)<0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) $f(x)-3x=x^2+1$: $${\int }_0^3(f(x)-3x)dx={\int }_0^3\left(x^2+1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^3=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{27}{3}+3=12\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se păstrează $3x$ în integrand și iese ${\int }_0^3\left(x^2+3x+1\right)dx=\frac{51}{2}$.)

b) (5 p) $f(x)-x^2=3x+1$, iar integrandul are forma $\frac{u^{\prime }}{u^2}$, până la factorul $3$: $${\int }_0^1\frac{1}{{\left(f(x)-x^2\right)}^2}dx={\int }_0^1\frac{1}{(3x+1{)}^2}dx=\frac{1}{3}{\int }_0^1\frac{(3x+1{)}^{\prime }}{(3x+1{)}^2}dx=-\frac{1}{3(3x+1)}{|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$

(Control prin derivare: ${\left(-\frac{1}{3(3x+1)}\right)}^{\prime }=\frac{3}{3(3x+1{)}^2}=\frac{1}{(3x+1{)}^2}$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{3}$ și iese $\frac{3}{4}$; sau se integrează ca la $\frac{u^{\prime }}{u}$ și apare $\ln$.)

c) (5 p) $f(x)-x^2-1=3x$, deci $g(x)=3x{e}^{-x}$: $$g(x)=3x{e}^{-x},x\in \mathbb{R},\text{ deci }\mathcal{S}={\int }_0^1|g(x)|dx={\int }_0^{1}3x{\left(-e^{-x}\right)}^{\prime }dx=\text{(2 p)}$$ $$=-3e^{-x}(x+1){|}_0^1=3\left(1-\frac{2}{e}\right)\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: pe $[0,1]$, $g(x)=3x{e}^{-x}\ge 0$, deci $|g|=g$. Prin părți: ${\int }_0^{1}3x{\left(-e^{-x}\right)}^{\prime }dx=-3x{e}^{-x}{|}_0^1+{\int }_0^{1}3e^{-x}dx=-3x{e}^{-x}-3e^{-x}{|}_0^1$, adică $-\frac{6}{e}+3$. Control numeric: $3\left(1-\frac{2}{e}\right)\approx 0,7927$. Baremul notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{1}{e^x}=e^x$ și se integrează $3x{e}^x$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2024 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din sesiunea august-septembrie 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: calcul cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valoarea funcției într-un punct, un parametru — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: produsul puterilor cu aceeași bază, apoi egalarea exponenților — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea numerelor de două cifre care au cel puțin o cifră egală cu $1$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: sinusul unui unghi ascuțit în triunghiul dreptunghic — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: un determinant, pătratul unei matrice, matrice care comută — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul cu legea, o ecuație, o condiție de număr natural — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata cu logaritm, ecuația tangentei, inegalitatea obținută din valoarea minimă — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o integrală polinomială, o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{u^2}$, aria cu integrare prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2024. Subiectul I este format din șase cerințe directe; la cerința 4, numărul $11$ are ambele cifre egale cu $1$ și trebuie numărat o singură dată ($10+9-1=18$). La Subiectul al II-lea, matricele $A$ și $B(x)$ nu comută în general — subpunctul c) cere tocmai valoarea lui $x$ pentru care comută; legea de compoziție este comutativă și are forma produsului $(x+y)(4-x-y)$, iar la subpunctul c) numărul $N=4n(2-n)$ trebuie să fie natural, deci nenegativ: rămân $n=0$, $n=1$ și $n=2$. La Subiectul al III-lea, inegalitatea de la subpunctul c) este $f(x)\ge f(1)$ rescrisă cu proprietățile logaritmului; problema 2 se încheie cu o arie calculată prin părți.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $5$, $m=3$, $x=1$, $\frac{1}{5}$, $4$, $\frac{\sqrt{5}}{5}$, $1$, $a=4$, $x=1$, $3$, $\{-1,3\}$, $\{0,1,2\}$, $y=-3x$, $12$, $\frac{1}{4}$ și $3\left(1-\frac{2}{e}\right)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, numărul $11$ numărat de două ori; la cerința 8, subpunctul c), valoarea $n=0$ uitată, deși $0$ este număr natural; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea scrisă fără monotonia lui $f$ pe $(-1,1]$ și pe $[1,+\infty )$; la cerința 10, subpunctul c), aria scrisă fără modul, fără să se spună că $g(x)\ge 0$ pe $[0,1]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Puteri: $a^u\cdot a^v=a^{u+v}$; $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Mijlocul segmentului $OB$: $x_M=\frac{x_O+x_B}{2}$, $y_M=\frac{y_O+y_B}{2}$. Distanța: $AM=\sqrt{(x_M-x_A{)}^2+(y_M-y_A{)}^2}$. Triunghi dreptunghic în $A$: $\sin C=\frac{AB}{BC}$ (cateta opusă supra ipotenuză).
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; produsul se face linie cu coloană și, în general, $A\cdot B\ne B\cdot A$.
• Derivate: $(\ln (x+1){)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$. Logaritmi: $\ln u-\ln v=\ln \frac{u}{v}$.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u^2}dx=-\frac{1}{u}+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; aria de sub graficul unei funcții continue $g$ pe $[a,b]$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|g(x)|dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=6x+m$ la cerința $2$, $f(x)=x^2-x-2\ln (x+1)$ la cerința $9$ și $f(x)=x^2+3x+1$ la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $A$ este un punct din reper la cerința $5$, vârful unghiului drept la cerința $6$ și matricea $A$ la cerința $7$; litera $B$ este punct la cerința $5$, vârf al triunghiului la cerința $6$ și matricea $B(x)$ la cerința $7$; litera $M$ este, la noi, mijlocul segmentului $OB$ de la cerința $5$.
• Semnul $\ast$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită prin $x\ast y=(x+y)(4-x-y)$, nu înmulțirea obișnuită. Baremul oficial notează aria de la cerința $10$ cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".