Bac M2 2024, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2024 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, în care $a_2=8$ și $a_3=12$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m)=m$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_6\left(9-x^2\right)={\log }_{6}5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{0,1,2,\dots ,9\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$, numărul $\sqrt{2n+1}$ să aparțină mulțimii $A$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,0)$, $B(4,4)$ și $C(5,2)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)=2\sin x\cdot \cos \frac{x}{2}+{\left(\sin \frac{3x}{4}\right)}^2$. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{3}\right)=2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$ și $B(a)=\left(\begin{array}{cc}a& a+1\\ a-3& 4a-1\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (B(1))=7$.

b) (5 puncte) Arătați că $B(2)-B(0)\cdot B(1)=4A$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care matricea $C(a)=B(a)-aA$ nu este inversabilă.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-2x-3y+6$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast 2=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast 6=x$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x\ast (2\ast x)\ge 2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x}{x^2+x+4}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2\left(4-x^2\right)}{{\left(x^2+x+4\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $f(x)-f(4-x)\le 1$, pentru orice $x\in [4,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+3}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2(x+1)f(x)dx=8$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=1+2\ln 2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_1^2\left(x^2-1\right)e^{x}f(x)dx=e(e+a)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Rația este diferența a doi termeni consecutivi: $$r=a_3-a_2=12-8=4\text{(3 p)}.$$ $$a_1=a_2-r=8-4=4\text{(2 p)}.$$

(Control: $4,8,12$ are diferența constantă $4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $a_1=a_2+r=12$, mergând în sensul greșit; sau se ia rația $\frac{12}{8}$, ca la progresia geometrică.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se scrie valoarea funcției în $m$: $$f(m)=3m-2,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(2 p)}.$$ $$3m-2=m,\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=1\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $f(1)=3-2=1$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă $f(m)=0$ și iese $m=\frac{2}{3}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția ${\log }_6$ este injectivă, deci argumentele sunt egale: $$9-x^2=5,\text{ de unde obținem }{x}^2-4=0\text{(2 p)}.$$ $$\mathbf{x}=-2\text{ sau }\mathbf{x}=2,\text{ care convin}\text{(3 p)}.$$

(Condiția de existență este $9-x^2>0$; pentru $x=\pm 2$, $9-4=5>0$, deci ambele valori convin. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $x=2$, uitând că și $(-2{)}^2=4$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $A$ are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2 p).

Numărul $\sqrt{2n+1}$ aparține lui $A$ exact când $2n+1$ este pătratul unui element din $A$. Pentru $n\in A$ avem $2n+1\in \{1,3,5,\dots ,19\}$, iar dintre acestea pătrate perfecte sunt doar $1=1^2$ și $9=3^2$. Numerele $n$ din mulțimea $A$ pentru care $\sqrt{2n+1}$ aparține mulțimii $A$ sunt $0$ și $4$, deci sunt $2$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $\sqrt{1}=1\in A$ și $\sqrt{9}=3\in A$. Unde se greșește de obicei: se citește cerința fără radical — „$2n+1$ aparține lui $A$" — și iese $n\in \{0,1,2,3,4\}$, adică $\frac{1}{2}$; sau se uită $n=0$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, triunghi dreptunghic.

Panta dreptei $AC$: $$m_{AC}=\frac{2-0}{5-1}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Panta dreptei $BC$ este $m_{BC}=\frac{2-4}{5-4}=-2$, deci $$m_{AC}\cdot m_{BC}=\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1,\text{ deci triunghiul }ABC\text{ este dreptunghic ıˆn }C\text{(3 p)}.$$

(Control, cu Pitagora: $A{C}^2=16+4=20$, $B{C}^2=1+4=5$, $A{B}^2=9+16=25=20+5$. Unde se greșește de obicei: se verifică perpendicularitatea în alt vârf, de exemplu cu $m_{AB}=\frac{4}{3}$, care nu dă produsul $-1$ cu nicio altă pantă.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, unghiuri remarcabile.

Pentru $x=\frac{\pi }{3}$ avem $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}$ și $\frac{3x}{4}=\frac{\pi }{4}$: $$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(3 p)}.$$ $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se uită pătratul și se adună $\frac{\sqrt{2}}{2}$; sau se ia $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$, și iese $\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=1$: $$B(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 3\end{array}\right)⟹\det (B(1))=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 3\end{array}\right|=1\cdot 3-2\cdot (-2)=\text{(3 p)}$$ $$=3+4=7\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se pierde minusul lui $-2$ și iese $3-4=-1$.)

b) (5 p) Pentru $a=0$ și înmulțind linie cu coloană: $$B(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& -1\end{array}\right),B(0)\cdot B(1)=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& -9\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cu $B(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 7\end{array}\right)$, $$B(2)-B(0)\cdot B(1)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 16\end{array}\right)=4A\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: pe poziția $(2,2)$, $(-3)\cdot 2+(-1)\cdot 3=-9$. Unde se greșește de obicei: se calculează $B(1)\cdot B(0)$ — produsul de matrice nu este comutativ, iar aici $B(1)\cdot B(0)=\left(\begin{array}{cc}-6& -1\\ -9& -5\end{array}\right)$, cu totul altă matrice.)

c) (5 p) Se scade $aA=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 4a\end{array}\right)$: $$C(a)=\left(\begin{array}{cc}0& a+1\\ a-3& -1\end{array}\right)⟹\det (C(a))=-(a-3)(a+1),\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Matricea nu este inversabilă exact când determinantul ei este $0$: $$\det (C(a))=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=-1\text{ sau }\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\det (C(a))=0\cdot (-1)-(a+1)(a-3)$. Unde se greșește de obicei: se scade $a$ din toate elementele lui $B(a)$, ca și cum $aA$ ar avea $a$ pe fiecare poziție; atunci $C(a)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& 3a-1\end{array}\right)$, cu determinantul $3$, și s-ar părea că $C(a)$ este inversabilă pentru orice $a$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=2$ și $y=2$ în definiția legii: $$2\ast 2=2\cdot 2-2\cdot 2-3\cdot 2+6=\text{(3 p)}$$ $$=4-4-6+6=0\text{(2 p)}.$$

(Control, cu scrierea $x\ast y=(x-3)(y-2)$: $(2-3)(2-2)=0$.)

b) (5 p) Pentru $y=6$: $$x\ast 6=6x-2x-18+6=4x-12,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ $$4x-12=x,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=4\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $4\ast 6=24-8-18+6=4$. Unde se greșește de obicei: se calculează $6\ast x=6x-12-3x+6=3x-6$, cu rolurile inversate — legea nu este comutativă — și iese $x=3$.)

c) (5 p) Întâi se calculează $2\ast x$, apoi se compune la stânga cu $x$: $$2\ast x=2-x,x\ast (2\ast x)=-x^2+3x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ $$-x^2+3x\ge 2⟺-x^2+3x-2\ge 0,\text{ de unde obținem }x\in [1,2]\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $2\ast x=2x-4-3x+6=2-x$, iar $x\ast (2-x)=x(2-x)-2x-3(2-x)+6=-x^2+3x$. Inecuația este $x^2-3x+2\le 0$, adică $(x-1)(x-2)\le 0$: trinomul este negativ între rădăcini. Unde se greșește de obicei: se ia intervalul „în afara rădăcinilor", $(-\infty ,1]\cup [2,+\infty )$, uitând că la înmulțirea cu $-1$ se schimbă sensul inegalității.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală, inegalitate din monotonie.

a) (5 p) Se derivează câtul: $$f^{\prime }(x)=\frac{2\left(x^2+x+4\right)-2x(2x+1)}{{\left(x^2+x+4\right)}^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{8-2x^2}{{\left(x^2+x+4\right)}^2}=\frac{2\left(4-x^2\right)}{{\left(x^2+x+4\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Numitorul nu se anulează: $x^2+x+4$ are discriminantul $1-16=-15<0$. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea în numărător, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și iese $f^{\prime }(x)$ cu semn schimbat.)

b) (5 p) Se dă factor comun $x^2$ la numitor: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{x^2+x+4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}=0\text{(3 p)}.$$ $$\text{Dreapta de ecuație }\mathbf{y}=0\text{ este asimptota orizontala˘ spre }+\infty \text{ la graficul funcției }f\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se împart coeficienții dominanți, $\frac{2}{1}=2$, ca și cum numărătorul ar avea același grad cu numitorul; aici gradul numărătorului este mai mic, deci limita este $0$.)

c) (5 p) Se citește semnul derivatei: $f^{\prime }(x)=0⟹x=-2$ sau $x=2$; pentru orice $x\in (-\infty ,-2]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(-\infty ,-2]$; pentru orice $x\in [-2,2]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[-2,2]$; pentru orice $x\in [2,+\infty )$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[2,+\infty )$ (2 p).

Dacă $x\in [4,+\infty )$, atunci $4-x\in (-\infty ,0]$, deci $f(x)\le f(4)$ și $f(4-x)\ge f(-2)$ și, cum $f(-2)=-\frac{2}{3}$ și $f(4)=\frac{1}{3}$, obținem $$f(x)-f(4-x)\le \frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=1,\text{ pentru orice }x\in [4,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $4-x^2$. Pe $[4,+\infty )\subset [2,+\infty )$ funcția descrește, deci cea mai mare valoare este $f(4)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$; pe $(-\infty ,0]$ funcția descrește până la $-2$ și apoi crește, deci cea mai mică valoare este $f(-2)=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$. Control numeric: pe o grilă din $[4,204]$ diferența $f(x)-f(4-x)$ rămâne sub $1$; de exemplu, în $x=6$ ea este aproximativ $0,93$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(4-x)\ge f(0)=0$, ca și cum $f$ ar fi monotonă pe tot $(-\infty ,0]$ — pe $[-2,0]$ ea crește, deci minimul nu este în $0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Factorul $x+1$ se simplifică ($x+1>0$ pe $[0,2]$): $${\int }_0^2(x+1)f(x)dx={\int }_0^2(x+3)dx=\left(\frac{x^2}{2}+3x\right){|}_0^2=\text{(3 p)}$$ $$=2+6=8\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x+3$ se scrie $x^2+3x$, fără împărțirea la $2$, și iese $10$.)

b) (5 p) Se scrie $x+3=(x+1)+2$: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1\frac{x+3}{x+1}dx={\int }_0^1\left(1+\frac{2}{x+1}\right)dx=x{|}_0^1+2\ln (x+1){|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=1+2\ln 2-2\ln 1=1+2\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $2,386294$, iar $1+2\ln 2\approx 2,386294$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{x+3}{x+1}=1+\frac{3}{x+1}$ și iese $1+3\ln 2$.)

c) (5 p) Pentru $x\in [1,2]$, $\left(x^2-1\right)f(x)=(x-1)(x+1)\cdot \frac{x+3}{x+1}=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$, iar o primitivă a lui $\left(x^2+2x-3\right)e^x$ este $\left(x^2-3\right)e^x$: $${\int }_1^2\left(x^2-1\right)e^{x}f(x)dx={\int }_1^2\left(x^2+2x-3\right)e^{x}dx=\left(x^2-3\right)e^x{|}_1^2=e^2+2e\text{(3 p)}.$$ $$e(e+a)=e^2+2e,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Verificarea primitivei, prin derivare: ${\left(\left(x^2-3\right)e^x\right)}^{\prime }=2x{e}^x+\left(x^2-3\right)e^x=\left(x^2+2x-3\right)e^x$. Aceeași primitivă se obține prin integrare prin părți de două ori. Capetele: în $2$, $(4-3)e^2=e^2$; în $1$, $(1-3)e=-2e$. Unde se greșește de obicei: se scade greșit valoarea din capătul de jos, $e^2-2e$, și iese $a=-2$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2024 a examenului național de bacalaureat — Varianta 10, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația din doi termeni consecutivi și primul termen — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: ecuația $f(m)=m$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu aceeași bază în ambii membri: egalarea argumentelor și verificarea condiției de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea valorilor lui $n$ pentru care un radical este număr natural din mulțime — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: triunghi dreptunghic, prin produsul pantelor egal cu $-1$ — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valori ale lui $\sin$ și $\cos$ în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul, produsul a două matrice, o matrice neinversabilă — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, o ecuație și o inecuație de gradul al doilea obținute din lege — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, asimptota orizontală, monotonia folosită pentru o inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: simplificarea integrandului, rescrierea $\frac{x+3}{x+1}=1+\frac{2}{x+1}$, o primitivă de tipul $P(x)e^x$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2024. Subiectul I este format din șase cerințe directe, cu o singură capcană de citire: la cerința 4 se cere ca $\sqrt{2n+1}$ — nu $2n+1$ — să aparțină mulțimii $A$, deci $2n+1$ trebuie să fie pătrat perfect ($1$ sau $9$). Cerința 5 se rezolvă cu pante (produsul lor este $-1$), iar cerința 6 cere trei valori remarcabile și atenție la pătratul din expresie. La Subiectul al II-lea, matricea $C(a)=B(a)-aA$ are un zero pe diagonală, iar determinantul ei se descompune imediat în factori; legea $x\ast y=xy-2x-3y+6$ nu este comutativă, deci la subpunctul c) ordinea în $x\ast (2\ast x)$ contează, iar totul se reduce la o inecuație de gradul al doilea. La Subiectul al III-lea, problema 1 cere derivata unui cât și asimptota orizontală, iar la subpunctul c) inegalitatea se obține fără calcul direct, doar din tabelul de monotonie: $f(x)\le f(4)=\frac{1}{3}$ și $f(4-x)\ge f(-2)=-\frac{2}{3}$. La problema 2, integranzii se simplifică de fiecare dată prin $x+1$, iar la subpunctul c) primitiva lui $\left(x^2+2x-3\right)e^x$ este $\left(x^2-3\right)e^x$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $a_1=4$, $m=1$, $x=\pm 2$, $\frac{1}{5}$, $7$, $a\in \{-1,3\}$, $0$, $x=4$, $[1,2]$, $y=0$, $8$, $1+2\ln 2$ și $a=2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile date fără verificarea condiției de existență („care convin"); la cerința 4, radicalul ignorat; la cerința 8, subpunctul c), calculul lui $(2\ast x)\ast x$ în loc de $x\ast (2\ast x)$; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea „dedusă" fără tabelul de monotonie.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresie aritmetică: $r=a_{n+1}-a_n$, $a_n=a_{n+1}-r$. Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u>0$. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Drepte perpendiculare: $m_1\cdot m_2=-1$, unde $m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}$. Unghiuri remarcabile: $\sin \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; o matrice pătratică nu este inversabilă exact când determinantul ei este $0$. Legi de compoziție: $x\ast y=xy-2x-3y+6=(x-3)(y-2)$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$; pe un interval pe care $f^{\prime }\le 0$, funcția $f$ este descrescătoare.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \frac{1}{x+1}dx=\ln (x+1)+\mathcal{C}$ pe $(-1,+\infty )$; ${\left(P(x)e^x\right)}^{\prime }=\left(P(x)+P^{\prime }(x)\right)e^x$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=3x-2$ la cerința $2$, $f(x)=\frac{2x}{x^2+x+4}$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{x+3}{x+1}$ la cerința $10$.
• Litera $A$ este o mulțime la cerința $4$, un punct la cerința $5$ și o matrice la cerința $7$; litera $B$ este punctul $B(4,4)$ la cerința $5$ și matricea $B(a)$ la cerința $7$; litera $C$ este un punct la cerința $5$ și matricea $C(a)$ la cerința $7$, subpunctul c).
• Litera $a$ apare ca termen al progresiei ($a_1$, $a_2$, $a_3$, cu indice) la cerința $1$, ca parametru real al matricei $B(a)$ la cerința $7$ și ca număr real necunoscut la cerința $10$, subpunctul c). Litera $e$ este, peste tot în probă, baza logaritmului natural.
• La cerința $8$, semnul $\ast$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea obișnuită; legea nu este comutativă ($2\ast x=2-x$, dar $x\ast 2=0$), așa că se respectă ordinea din enunț.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".