Bac M2 2024, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2024 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $0,5+10\cdot \left(1-0,75\right)=3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+1$. Arătați că $f(m)+g(-m)=m$, pentru orice număr real $m$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+6}=\sqrt{5x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie divizor al lui $30$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(2,2)$ și $C(4,0)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră $E(x)=3{\cos }^{2}x-\cos \frac{x}{2}\cdot \sin x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{3}\right)=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& -2x\\ 1& x-6\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(6))=12$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $A(4)\cdot A(4)=aA(4)$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale nenule, cu $m<n$, pentru care $\det (A(m)+A(n))=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy(x+y-xy)$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 3=3$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast 2=-x^2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul întreg nenul $m$ pentru care $\frac{1}{2m}\ast m=m$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-2}{x}-3\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{x^2+x-2}{x}\le 3\ln x$, pentru orice $x\in (0,2]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\left(f(x)-x^3\right)dx=4$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{x^2}{f(x)-x}dx=\frac{\ln 2}{3}$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in (-\infty ,0)$, știind că ${\int }_a^0{e}^{-x}(f^{\prime }(x)-f(x))dx=1-a^3{e}^{-a}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul pentru 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul numeric cu fracții zecimale.

Întâi paranteza, apoi înmulțirea, abia la urmă adunarea: $$0,5+10\cdot \left(1-0,75\right)=0,5+10\cdot 0,25\text{(2 p)}.$$ $$0,5+10\cdot 0,25=0,5+2,5=3\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună înaintea înmulțirii, $(0,5+10)\cdot 0,25=2,625$; sau se scrie $1-0,75=0,35$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Înlocuim $x$ cu $m$ în $f$: $$f(m)=2m-1,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(2 p)}.$$ Înlocuim $x$ cu $-m$ în $g$: $$g(-m)=-m+1\Rightarrow f(m)+g(-m)=2m-1-m+1=\mathbf{m},\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $g(m)=m+1$ în loc de $g(-m)$, și suma iese $3m$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ridicăm la pătrat ambii membri: $$x^2+6=5x,\text{ deci }{x}^2-5x+6=0\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile sunt $\mathbf{x}=2$ sau $\mathbf{x}=3$; verificare: pentru $x=2$, $\sqrt{10}=\sqrt{10}$; pentru $x=3$, $\sqrt{15}=\sqrt{15}$ — care convin (3 p).

(Pentru ca $\sqrt{5x}$ să existe e nevoie de $x\ge 0$; ambele soluții sunt pozitive. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2+6=25x$, ridicând la pătrat și coeficientul $5$ fără să fie nevoie — sub radical el este deja la puterea întâi.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci sunt $9$ cazuri posibile (2 p).

Divizorii lui $30$ din $A$ sunt $1$, $2$, $3$, $5$ și $6$, deci sunt $5$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{5}{9}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită divizorul $1$, sau se adaugă $10$, $15$, $30$, care nu sunt în $A$; ori se ia $4$ sau $9$ drept divizori.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, drepte perpendiculare.

Panta dreptei $AB$: $$m_{AB}=\frac{2-1}{2-1}=1\text{(2 p)}.$$ Panta dreptei $BC$ este $m_{BC}=\frac{0-2}{4-2}=-1\Rightarrow m_{AB}\cdot m_{BC}=-1$, deci dreptele $AB$ și $BC$ sunt perpendiculare și triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ (3 p).

(Control, pe alt drum: $A{B}^2=2$, $B{C}^2=8$, $A{C}^2=9+1=10=A{B}^2+B{C}^2$ — reciproca teoremei lui Pitagora. Unde se greșește de obicei: se verifică perpendicularitatea în alt vârf — de exemplu cu $m_{AC}=\frac{0-1}{4-1}=-\frac{1}{3}$, iar $m_{AB}\cdot m_{AC}=-\frac{1}{3}\ne -1$ —, deși unghiul drept se cere în $B$, unde se întâlnesc laturile $AB$ și $BC$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, valori remarcabile.

Pentru $x=\frac{\pi }{3}$ avem $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}$, deci ne trebuie: $$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=3\cdot \frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\cos \frac{x}{2}$ ca $\frac{\cos x}{2}=\frac{1}{4}$ și iese $\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{8}$; sau se uită pătratul din ${\cos }^{2}x$ și iese $\frac{3}{2}-\frac{3}{4}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=6$: $$A(6)=\left(\begin{array}{cc}6& -12\\ 1& 0\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(6))=\left|\begin{array}{cc}6& -12\\ 1& 0\end{array}\right|=6\cdot 0-(-12)\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(6))=0+12=12\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: $-(-12)\cdot 1=+12$; dacă se pierde un minus, iese $-12$.)

b) (5 p) Pentru $x=4$: $$A(4)=\left(\begin{array}{cc}4& -8\\ 1& -2\end{array}\right),A(4)\cdot A(4)=\left(\begin{array}{cc}8& -16\\ 2& -4\end{array}\right)=2A(4)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $aA(4)=2A(4)$, de unde obținem $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(Detaliul produsului: primul element este $4\cdot 4+(-8)\cdot 1=8$, iar al doilea $4\cdot (-8)+(-8)\cdot (-2)=-16$. Cum $A(4)$ nu este matricea nulă, din $aA(4)=2A(4)$ rezultă $a=2$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fiecare element și iese $\left(\begin{array}{cc}16& 64\\ 1& 4\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Adunăm cele două matrice și calculăm determinantul: $$A(m)+A(n)=\left(\begin{array}{cc}m+n& -2m-2n\\ 2& m+n-12\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(m)+A(n))=(m+n)(m+n-8),\text{ pentru orice numere naturale nenule }m\text{ și }n\text{(2 p)}.$$ $(m+n)(m+n-8)=0$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule, $m+n>0$, deci $m+n=8$; cu $m<n$ obținem perechile $(1,7)$, $(2,6)$ și $(3,5)$ (3 p).

(Detaliul determinantului: $(m+n)(m+n-12)-2\cdot (-2)(m+n)=(m+n)(m+n-12+4)=(m+n)(m+n-8)$. Perechea $(4,4)$ nu convine, pentru că $m<n$. Control: căutarea tuturor perechilor cu $1\le m<n\le 59$, făcută de noi cu programul, dă exact aceste trei perechi. Unde se greșește de obicei: se adună $1+1=1$ în colțul din stânga jos, în loc de $2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Înlocuim $x=1$ și $y=3$: $$1\ast 3=1\cdot 3\left(1+3-1\cdot 3\right)\text{(3 p)}.$$ $$1\ast 3=3\cdot 1=3\text{(2 p)}.$$

b) (5 p) Pentru $y=2$: $$x\ast 2=2x(x+2-2x)=2x(2-x),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $2x(2-x)=-x^2$, adică $4x-2x^2+x^2=0$, $x(4-x)=0$, de unde obținem $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=4$ (3 p).

(Control: $4\ast 2=8\cdot (6-8)=-16=-4^2$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația prin $x$ și se pierde soluția $x=0$.)

c) (5 p) Înlocuim $x=\frac{1}{2m}$ și $y=m$; cum $\frac{1}{2m}\cdot m=\frac{1}{2}$, $$\frac{1}{2m}\ast m=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2m}+m-\frac{1}{2}\right)=\frac{2m^2-m+1}{4m},\text{ pentru orice numa˘r real nenul }m\text{(2 p)}.$$ $$\frac{2m^2-m+1}{4m}=m,\text{ deci }2m^2+m-1=0\text{ și, cum }m\text{ este numa˘r ıˆntreg nenul, obținem }\mathbf{m}=-1\text{(3 p)}.$$

(Ecuația $2m^2+m-1=0$ are rădăcinile $-1$ și $\frac{1}{2}$; a doua nu este număr întreg, deci se elimină. Control: $\left(-\frac{1}{2}\right)\ast (-1)=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)=-1$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $m=\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită și o inegalitate din monotonie.

a) (5 p) Derivăm câtul și logaritmul: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot x-\left(x^2-2\right)}{x^2}-\frac{3}{x}\text{(3 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2}{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{x^2-3x+2}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Alt drum, mai scurt: $\frac{x^2-2}{x}=x-\frac{2}{x}$, cu derivata $1+\frac{2}{x^2}$. Unde se greșește de obicei: ${\left(-\frac{2}{x}\right)}^{\prime }=+\frac{2}{x^2}$; cu semnul pierdut iese $x^2-3x-2$ la numărător.)

b) (5 p) Termenii cu logaritm se reduc: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2}{x^2+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}\text{(3 p)}.$$ $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul primei egalități: $f(x)+3\ln x=\frac{x^2-2}{x}$, iar împărțirea la $x+1$ dă $\frac{x^2-2}{x(x+1)}=\frac{x^2-2}{x^2+x}$. Unde se greșește de obicei: se uită numitorul $x$ din $f(x)+3\ln x=\frac{x^2-2}{x}$ și se calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2}{x+1}=+\infty$ în loc de $1$.)

c) (5 p) $f^{\prime }(x)=0\iff x^2-3x+2=0\iff x=1$ sau $x=2$; pentru orice $x\in (0,1]$, $f^{\prime }(x)\ge 0\Rightarrow f$ este crescătoare pe $(0,1]$, și pentru orice $x\in [1,2]$, $f^{\prime }(x)\le 0\Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[1,2]$, de unde obținem $f(x)\le f(1)$, pentru orice $x\in (0,2]$ (3 p).

$f(1)=-1$, deci $\frac{x^2-2}{x}-3\ln x\le -1$; trecând $-1$ în stânga, $\frac{x^2-2}{x}+1=\frac{x^2+x-2}{x}$, de unde obținem $\frac{x^2+x-2}{x}\le 3\ln x$, pentru orice $x\in (0,2]$ (2 p).

(Semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $(x-1)(x-2)$: pozitiv pe $(0,1)$, negativ pe $(1,2)$. Punctul $x=1$ este deci punct de maxim pe $(0,2]$, iar egalitatea are loc doar pentru $x=1$: $\frac{0}{1}=0=3\ln 1$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(1)=\frac{1-2}{1}=1$, pierzând semnul; sau se compară cu $f(2)$ în loc de $f(1)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Termenul $x^3$ se reduce: $${\int }_0^2\left(f(x)-x^3\right)dx={\int }_0^2(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^2\left(f(x)-x^3\right)dx=\frac{2^2}{2}+2=4\text{(2 p)}.$$

b) (5 p) Cum $f(x)-x=x^3+1$, iar ${\left(x^3+1\right)}^{\prime }=3x^2$, integrandul este $\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{\prime }}{u}$: $${\int }_0^1\frac{x^2}{f(x)-x}dx={\int }_0^1\frac{x^2}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}{\int }_0^1\frac{{\left(x^3+1\right)}^{\prime }}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}\ln \left(x^3+1\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^1\frac{x^2}{f(x)-x}dx=\frac{\ln 2}{3}-\frac{\ln 1}{3}=\frac{\ln 2}{3}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,231049$, iar $\frac{\ln 2}{3}\approx 0,231049$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{3}$ și iese $\ln 2$.)

c) (5 p) Integrandul este derivata unui produs, ${\left(e^{-x}f(x)\right)}^{\prime }=-e^{-x}f(x)+e^{-x}{f}^{\prime }(x)=e^{-x}(f^{\prime }(x)-f(x))$, deci $${\int }_a^0{e}^{-x}(f^{\prime }(x)-f(x))dx={\int }_a^0{\left(e^{-x}f(x)\right)}^{\prime }dx=e^{-x}f(x){|}_a^0=1-e^{-a}\left(a^3+a+1\right),\text{ unde }a\in (-\infty ,0)\text{(3 p)}.$$ $$1-e^{-a}\left(a^3+a+1\right)=1-a^3{e}^{-a},\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=-1,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: egalitatea devine $e^{-a}\left(a^3+a+1\right)=a^3{e}^{-a}$; împărțind prin $e^{-a}>0$, rămâne $a+1=0$. Valoarea $a=-1$ aparține intervalului $(-\infty ,0)$, deci convine. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=e^{-x}$, fără minus — atunci nu se mai recunoaște derivata produsului.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2024 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Calcul numeric cu fracții zecimale: ordinea operațiilor — gimnaziu, recapitulat în clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale funcției în puncte care depind de un parametru — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu radicali în ambii membri: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: divizorii lui $30$ dintr-o mulțime dată — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: pantele a două drepte perpendiculare — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valori ale funcțiilor trigonometrice în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, pătratul unei matrice, un determinant cu doi parametri naturali — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Lege de compoziție: calcul direct, o ecuație și o ecuație cu soluție întreagă — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, o limită spre $+\infty$, monotonia și punctul de maxim folosite pentru o inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită: formula Leibniz–Newton, primitiva de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ și derivata unui produs recunoscută sub integrală — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2024. Subiectul I rămâne format din șase cerințe directe, fiecare cu o singură idee: ordinea operațiilor, un calcul cu parametru, o ecuație irațională cu radicali în ambii membri, numărarea divizorilor, pantele dreptelor perpendiculare și valorile remarcabile ale lui $\sin$ și $\cos$. Subiectul al II-lea pune în primul slot o matrice $A(x)$ la care subpunctul c) cere o scurtă discuție în numere naturale — descompunerea determinantului în factori și căutarea perechilor cu $m<n$ —, iar în al doilea o lege de compoziție la care toate subpunctele sunt calcul direct, ultimul cu o ecuație de gradul al doilea din care se păstrează doar soluția întreagă. Subiectul al III-lea cere la problema 1 o inegalitate care se obține din punctul de maxim al funcției, iar la problema 2, la subpunctul c), recunoașterea derivatei unui produs, ${\left(e^{-x}f(x)\right)}^{\prime }=e^{-x}(f^{\prime }(x)-f(x))$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple și $\frac{\ln 2}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației iraționale date fără verificare; perechile de la problema 7 date fără să se arate că sunt toate; soluția $m=\frac{1}{2}$ păstrată la problema 8, deși enunțul cere un număr întreg; inegalitatea de la problema 9 „demonstrată" pe câteva valori, fără monotonie.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Ecuații iraționale: $\sqrt{E}=\sqrt{F}\Rightarrow E=F$ — soluțiile se verifică în ecuația inițială. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Panta dreptei $AB$: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; două drepte sunt perpendiculare exact când produsul pantelor este $-1$. Valori remarcabile: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Matrice: $\left|\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right|=ps-qr$; $A\cdot A$ se calculează „linie cu coloană".
• Legi de compoziție: $x\ast y$ se obține înlocuind în formula legii; o ecuație de tipul $x\ast c=d$ devine o ecuație obișnuită în $x$.
• Derivate și limite: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; la limita unui raport de polinoame spre $+\infty$ se dă factor comun puterea cea mai mare; o funcție crescătoare până la $a$ și descrescătoare după are în $a$ un punct de maxim, $f(x)\le f(a)$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; ${\left(u\cdot v\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, deci ${\left(e^{-x}f(x)\right)}^{\prime }=e^{-x}(f^{\prime }(x)-f(x))$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că modelul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=2x-1$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=\frac{x^2-2}{x}-3\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x^3+x+1$ de la cerința $10$. Așa este scris modelul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $m$ este un număr real oarecare la cerința $2$, un număr natural nenul (cu $m<n$) la cerința $7$ și un număr întreg nenul la cerința $8$; litera $a$ este numărul real căutat la cerința $7$, subpunctul b), și capătul de integrare, $a\in (-\infty ,0)$, la cerința $10$.
• Litera $A$ este o mulțime la cerința $4$, un punct la cerința $5$ și o matrice, $A(x)$, la cerința $7$; la cerința $6$, în $E(x)=3{\cos }^{2}x-\cos \frac{x}{2}\cdot \sin x$, ${\cos }^{2}x$ înseamnă ${\left(\cos x\right)}^2$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".