Bac M2 2024, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2024 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=3-i$ și $z_2=1+i$. Arătați că $z_1+i{z}_2=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5-x$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a+1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3\left(4x-x^2\right)=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$, $B(2,0)$ și $C$. Știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $OC$, determinați distanța dintre punctele $A$ și $C$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $B=\frac{\pi }{6}$ și mediana $AM=4$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 3x-3\\ 1-x& 3x-2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=3$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $A(2)\cdot A(0)+A(5)=m{I}_2$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A(x)-A(0)\cdot A(1-x))=3$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=(0,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\circ y=x+y+1-\sqrt{xy+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 8=7$.

b) (5 puncte) Determinați $x\in M$ pentru care $x\circ \frac{3}{x}=x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $(n\circ (n+2))\circ (n+4)>\frac{n^2}{2}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^3+2x^2\right)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=x\left(x^2+5x+4\right)e^x$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $-\frac{32}{e^{x+4}}\le x^2(x+2)\le \frac{1}{e^{x+1}}$, pentru orice $x\in [-4,0]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-\frac{2}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)+\frac{2}{x+1}\right)dx=7$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^5\left(3x^2-f(x)\right)dx=2\ln 3$.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=f\left(\sqrt{x}-1\right)$. Arătați că ${\int }_1^4(a+bg(x))g^{\prime }(x)dx=4a$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării din 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se înlocuiesc $z_1$ și $z_2$ și se desface paranteza: $$z_1+i{z}_2=3-i+i(1+i)=3-i+i+i^2=\text{(3 p)}$$ $$=3+(-1)=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $i^2=1$ și iese $4$; sau se calculează $z_1+z_2$, fără factorul $i$, și iese $4$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se calculează cele două valori: $$f(a)=5-a,g(a+1)=a+3\text{(2 p)}.$$ $$5-a=a+3,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=1\text{(3 p)}.$$

(Control: $f(1)=4$ și $g(2)=4$. Observație: aici $g(a)+1=a+3$ dă, întâmplător, aceeași expresie, pentru că $g$ are panta $1$; în general $g(a+1)\ne g(a)+1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $g(a+1)=a+1$, uitând termenul $+2$, și iese $a=2$; sau se scrie $f(a)=a-5$, și din $a-5=a+3$ nu mai iese nicio soluție.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Din definiția logaritmului, argumentul este $3^1$: $$4x-x^2=3,\text{ de unde obținem }{x}^2-4x+3=0\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=3,\text{ care convin}\text{(2 p)}.$$

(De ce convin: pentru ambele valori, $4x-x^2=3>0$, deci logaritmul există. Detaliul: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$. Unde se greșește de obicei: se egalează argumentul cu $1$ în loc de $3^1=3$, și iese $x^2-4x+1=0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Numărul este impar, deci cifra unităților este una dintre $1$, $3$, $5$, $7$: $$\text{cifra unita˘ților se poate alege ıˆn }4\text{ moduri}\text{(2 p)}.$$ Cifra zecilor este pară, deci una dintre $2$, $4$, $6$: $$\text{pentru fiecare alegere a cifrei unita˘ților, cifra zecilor se poate alege ıˆn caˆte }3\text{ moduri, deci se pot forma }4\cdot 3=12\text{ numere}\text{(3 p)}.$$

(Enunțul nu cere cifre distincte, dar aici ele sunt oricum diferite: una e pară, cealaltă impară. Unde se greșește de obicei: se numără și cifra zecilor printre toate cele $7$ cifre, $4\cdot 7=28$; sau se adună alegerile în loc să se înmulțească, $4+3=7$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Din $x_B=\frac{0+x_C}{2}=2$ și $y_B=\frac{0+y_C}{2}=0$: $$C(4,0)\text{(2 p)}.$$ $$AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $AC=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{25}$. Unde se greșește de obicei: se ia $C$ drept mijlocul lui $OB$, $C(1,0)$, și iese $AC=\sqrt{10}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană.

Mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză, deci $BC=2AM=8$; cateta $AC$ se opune unghiului $B$, de $30^{\circ }$, deci este jumătate din ipotenuză: $$AC=4\text{(2 p)}.$$ Din teorema lui Pitagora, $AB=\sqrt{64-16}$: $$AB=4\sqrt{3},\text{ deci }{\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{4\sqrt{3}\cdot 4}{2}=8\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$

(Baremul oficial trece direct la $AC=4$ și $AB=4\sqrt{3}$; relația $BC=2AM=8$ o scriem noi, fără punctaj. Baremul notează aria cu ${\mathcal{A}}_{\Delta ABC}$; la noi, $\mathcal{S}$. Control pe altă cale: $AC=BC\sin \frac{\pi }{6}=4$ și $AB=BC\cos \frac{\pi }{6}=4\sqrt{3}$. Unde se greșește de obicei: se ia $BC=AM=4$, uitând că mediana este jumătate din ipotenuză, și aria iese de patru ori mai mică, $2\sqrt{3}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=0$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 1& -2\end{array}\right)⟹\det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}0& -3\\ 1& -2\end{array}\right|=0\cdot (-2)-(-3)\cdot 1=\text{(3 p)}$$ $$=0+3=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $A(0)$ cu $3x-3=3$ și $3x-2=2$, pierzând semnele.)

b) (5 p) Se calculează matricele și produsul: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 4\end{array}\right),A(5)=\left(\begin{array}{cc}5& 12\\ -4& 13\end{array}\right),A(2)\cdot A(0)+A(5)=\left(\begin{array}{cc}3& -12\\ 4& -5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}5& 12\\ -4& 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& 8\end{array}\right)=8I_2\text{(3 p)}.$$ $$8I_2=m{I}_2,\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=8\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: pe linia $1$, $2\cdot 0+3\cdot 1=3$ și $2\cdot (-3)+3\cdot (-2)=-12$; pe linia $2$, $-1\cdot 0+4\cdot 1=4$ și $-1\cdot (-3)+4\cdot (-2)=-5$. Observație: matricele $A(x)$ comută între ele, deci $A(0)\cdot A(2)$ dă același produs. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element.)

c) (5 p) Se calculează $A(1-x)$ și diferența: $$A(1-x)=\left(\begin{array}{cc}1-x& -3x\\ x& 1-3x\end{array}\right),A(x)-A(0)\cdot A(1-x)=\left(\begin{array}{cc}4x& -6x\\ 2x& 0\end{array}\right),\text{ de unde obținem }\det (A(x)-A(0)\cdot A(1-x))=12x^2,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ $$12x^2=3,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=-\frac{1}{2}\text{ sau }\mathbf{x}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $A(0)\cdot A(1-x)=\left(\begin{array}{cc}-3x& 9x-3\\ 1-3x& 3x-2\end{array}\right)$, iar determinantul diferenței este $4x\cdot 0-(-6x)\cdot 2x=12x^2$. Unde se greșește de obicei: în $A(1-x)$ se scrie $3(1-x)-3=-3x+6$, cu $+3$ în loc de $-3$ la final; atunci determinantul iese $12x^2-24x$, iar ecuația $12x^2-24x=3$ nu mai are soluțiile $\pm \frac{1}{2}$. Corect, $3-3x-3=-3x$. Sau se păstrează doar $x=\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$ și $y=8$: $$1\circ 8=1+8+1-\sqrt{1\cdot 8+1}=\text{(3 p)}$$ $$=10-3=7\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: $\sqrt{8+1}$ se scrie $\sqrt{8}+1$.)

b) (5 p) Produsul $x\cdot \frac{3}{x}=3$, deci sub radical este $4$: $$x\circ \frac{3}{x}=x+\frac{3}{x}+1-\sqrt{4}=x+\frac{3}{x}-1,\text{ pentru orice }x\in M\text{(3 p)}.$$ $$x+\frac{3}{x}-1=x,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=3,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{3}{x}=1$, deci $x=3\in (0,+\infty )$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{x\cdot \frac{3}{x}+1}=\sqrt{3}+1$, desfăcând radicalul termen cu termen.)

c) (5 p) Sub radical apar pătrate perfecte: $n(n+2)+1=(n+1{)}^2$ și $(n+2)(n+4)+1=(n+3{)}^2$: $$n\circ (n+2)=n+2,(n\circ (n+2))\circ (n+4)=n+4,\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(3 p)}.$$ $$n+4>\frac{n^2}{2}\text{ și, cum }n\text{ este numa˘r natural nenul, obținem }\mathbf{n}=1\text{ sau }\mathbf{n}=2\text{ sau }\mathbf{n}=3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $n\circ (n+2)=2n+3-\sqrt{(n+1{)}^2}=2n+3-(n+1)=n+2$; baremul folosește tacit $\sqrt{(n+1{)}^2}=n+1$, adevărat pentru că $n+1>0$. Apoi $(n+2)\circ (n+4)=2n+7-(n+3)=n+4$. Inecuația devine $n^2-2n-8<0$, adică $(n-4)(n+2)<0$, cu soluțiile reale $n\in (-2,4)$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $n=4$ — dar pentru $n=4$, $8>8$ este fals.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează produsul: $$f^{\prime }(x)=\left(3x^2+4x\right)e^x+\left(x^3+2x^2\right)e^x=\text{(3 p)}$$ $$=\left(x^3+5x^2+4x\right)e^x=x\left(x^2+5x+4\right)e^x,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează doar paranteza și iese $\left(3x^2+4x\right)e^x$, fără regula produsului.)

b) (5 p) Se calculează valoarea și derivata în $0$: $$f(0)=0,f^{\prime }(0)=0\text{(2 p)}.$$ $$\text{Ecuația tangentei este }y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=0\text{(3 p)}.$$

(Tangenta în origine este chiar axa $Ox$. Unde se greșește de obicei: din $f^{\prime }(0)=0$ se trage concluzia că tangenta nu există.)

c) (5 p) Semnul lui $f^{\prime }$: $f^{\prime }(x)=x(x+1)(x+4)e^x$. $$f^{\prime }(x)=0⟺x=-4\text{ sau }x=-1\text{ sau }x=0;x\in [-4,-1]\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[-4,-1],\text{ și }x\in [-1,0]\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }[-1,0]\text{(2 p)}.$$ $$f(-4)=-\frac{32}{e^4},f(-1)=\frac{1}{e}\text{ și }f(0)=0,\text{ deci }-\frac{32}{e^4}\le f(x)\le \frac{1}{e},\text{ de unde obținem }-\frac{32}{e^{x+4}}\le x^2(x+2)\le \frac{1}{e^{x+1}},\text{ pentru orice }x\in [-4,0]\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $x^2+5x+4=(x+1)(x+4)$. Pe $[-4,0]$, valoarea cea mai mare este $f(-1)=\frac{1}{e}$, iar cea mai mică este $\min \left(f(-4),f(0)\right)=-\frac{32}{e^4}$, pentru că $-\frac{32}{e^4}<0$. Baremul sare ultimul pas: $f(x)=x^2(x+2)e^x$, iar prin împărțire la $e^x>0$, $\frac{1}{e\cdot e^x}=\frac{1}{e^{x+1}}$ și $\frac{32}{e^4\cdot e^x}=\frac{32}{e^{x+4}}$. Control numeric: $-\frac{32}{e^4}\approx -0,58610044$ și $\frac{1}{e}\approx 0,36787944$. Unde se greșește de obicei: se ia $f(0)=0$ drept valoare minimă, uitând să se compare cu $f(-4)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Termenii în $\frac{2}{x+1}$ se reduc: $${\int }_1^2\left(f(x)+\frac{2}{x+1}\right)dx={\int }_1^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=8-1=7\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $3x^2$ se scrie $x^3+3x$, sau limitele se evaluează invers și iese $-7$.)

b) (5 p) Diferența $3x^2-f(x)$ este $\frac{2}{x+1}$, o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$: $${\int }_1^5\left(3x^2-f(x)\right)dx={\int }_1^5\frac{2}{x+1}dx=2{\int }_1^5\frac{(x+1{)}^{\prime }}{x+1}dx=2\ln (x+1){|}_1^5=\text{(3 p)}$$ $$=2\ln 6-2\ln 2=2\ln 3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\ln 6-\ln 2=\ln \frac{6}{2}=\ln 3$. Control numeric: $2\ln 3\approx 2,1972246$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2\ln 6-2\ln 2=2\ln 4$, scăzând argumentele.)

c) (5 p) Integrala se desparte în două, cu primitivele $ag(x)$ și $\frac{b{g}^2(x)}{2}$: $${\int }_1^4(a+bg(x))g^{\prime }(x)dx={\int }_1^{4}a{g}^{\prime }(x)dx+{\int }_1^{4}bg(x)g^{\prime }(x)dx=ag(x){|}_1^4+\frac{b{g}^2(x)}{2}{|}_1^4=a(g(4)-g(1))+\frac{b}{2}\left(g^2(4)-g^2(1)\right),\text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(3 p)}.$$ $$g(1)=f(0)=-2,g(4)=f(1)=2,\text{ deci }{\int }_1^4(a+bg(x))g^{\prime }(x)dx=4a,\text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\sqrt{1}-1=0$ și $\sqrt{4}-1=1$; $f(0)=0-2=-2$, $f(1)=3-1=2$. Atunci $a(2+2)=4a$, iar $g^2(4)-g^2(1)=4-4=0$, așa că termenul cu $b$ dispare. Unde se greșește de obicei: se calculează $g(1)=f(1)$ și $g(4)=f(4)$, fără să se aplice $\sqrt{x}-1$ argumentului.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la simularea națională a examenului de bacalaureat din 2024, proba E. c), Matematică M_șt-nat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul simulării din 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: calcul cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale a două funcții liniare în puncte legate — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: definiția logaritmului, apoi o ecuație de gradul al doilea — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: regula produsului pentru numere de două cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: simetricul unui punct față de altul și distanța dintre două puncte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: mediana din unghiul drept și cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul, un produs de matrice, determinantul unei diferențe de matrice cu parametru — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu o lege care conține un radical, o ecuație, o inecuație în numere naturale — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, ecuația tangentei, inegalitatea obținută din tabelul de variație — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o integrală polinomială, o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, o integrală cu o funcție compusă — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2024. Subiectul I este format din șase cerințe directe; cerința 6 folosește două proprietăți ale triunghiului dreptunghic: mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză, iar cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este tot jumătate din ipotenuză. La Subiectul al II-lea, matricele $A(x)$ comută între ele, așa că ordinea factorilor nu schimbă nimic; subpunctul c) duce la $12x^2=3$. Legea de compoziție are un radical care, în toate cele trei subpuncte, „se deschide" pentru că sub el stă un pătrat perfect: $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{(n+1{)}^2}=n+1$. La Subiectul al III-lea, dubla inegalitate de la subpunctul c) arată complicat, dar este doar $-\frac{32}{e^4}\le f(x)\le \frac{1}{e}$ împărțită la $e^x$; problema 2 se încheie cu o integrală care nu depinde de $b$, pentru că $g(1)$ și $g(4)$ sunt opuse.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $2$, $a=1$, $\{1,3\}$, $12$, $5$, $8\sqrt{3}$, $3$, $m=8$, $x=\pm \frac{1}{2}$, $7$, $x=3$, $n\in \{1,2,3\}$, $y=0$, $7$, $2\ln 3$ și $4a$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile păstrate fără verificarea condiției $4x-x^2>0$; la cerința 8, subpunctul c), inecuația $n^2-2n-8<0$ rezolvată în numere reale, fără să se păstreze doar numerele naturale nenule; la cerința 9, subpunctul c), marginile $f(-4)$ și $f(-1)$ scrise fără monotonia lui $f$ pe $[-4,-1]$ și pe $[-1,0]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_{a}u=b⟺u=a^b$, cu $u>0$. Mijlocul segmentului $OC$: $x_B=\frac{x_O+x_C}{2}$, $y_B=\frac{y_O+y_C}{2}$. Distanța: $AC=\sqrt{(x_C-x_A{)}^2+(y_C-y_A{)}^2}$. Triunghi dreptunghic: mediana din unghiul drept este $\frac{BC}{2}$; cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este $\frac{BC}{2}$; aria este $\frac{AB\cdot AC}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; produsul se face linie cu coloană. Radical dintr-un pătrat: $\sqrt{u^2}=|u|$, deci $\sqrt{(n+1{)}^2}=n+1$ pentru $n$ natural.
• Derivate: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, $(e^x{)}^{\prime }=e^x$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; $\int g(x)g^{\prime }(x)dx=\frac{g^2(x)}{2}+\mathcal{C}$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ denumește patru obiecte diferite: mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ la cerința $4$, punctul $A(0,3)$ la cerința $5$, vârful triunghiului $ABC$ la cerința $6$ și matricea $A(x)$ la cerința $7$. Tot așa, $B$ și $C$ sunt puncte în reper la cerința $5$ și vârfuri de triunghi la cerința $6$; la cerința $6$, scrierea $B=\frac{\pi }{6}$ (fără semnul de unghi, așa cum e tipărită) înseamnă că măsura unghiului $B$ este $\frac{\pi }{6}$, adică $30^{\circ }$.
• Litera $M$ este, la cerința $6$, mijlocul ipotenuzei $BC$ (capătul medianei $AM$), iar la cerința $8$, mulțimea $M=(0,+\infty )$ pe care este definită legea.
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=5-x$ la cerința $2$, $f(x)=\left(x^3+2x^2\right)e^x$ la cerința $9$ și $f(x)=3x^2-\frac{2}{x+1}$ la cerința $10$; la fel, $g$ este o funcție de gradul întâi la cerința $2$ și funcția compusă $g(x)=f\left(\sqrt{x}-1\right)$ la cerința $10$. La cerința $10$, subpunctul c), $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$.
• La cerința $8$, semnul $\circ$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor. Baremul oficial notează aria de la cerința $6$ cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".