Bac M2 2024, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2024 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $6-2\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot \left(2-\sqrt{5}\right)=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)+f(1)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $10^{x-1}=10^{-2x}\cdot 10^2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6\}$, au ambele cifre pare.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,6)$ și $B(6,0)$. Determinați distanța dintre punctele $B$ și $M$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $OA$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=6$ și aria egală cu $24$. Arătați că $AB=8$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x+1& x+4\\ 2x& 4x-3\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=1$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $\det (B(x)-xA)=x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $B(x)+B(x+2)=2A\cdot A\cdot A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+m{X}^2-2X-4$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=6$, arătați că $f(1)=1$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care ${\left(x_1{x}_2{x}_3\right)}^2=x_1+x_2+x_3+x_1{x}_2{x}_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați rădăcinile polinomului $f$, știind că restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X-2$ este egal cu $8$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3-x}{x^2}+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+x-6}{x^3}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-\ln x)=0$.

c) (5 puncte) Arătați că $4f(x)-1\ge \ln 16$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+\frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^4\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx=18$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^6(f(x)-3x)dx=2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_{-2}^1\frac{1}{x+3}\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx=9(a-2\ln 2)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali.

Se desface paranteza, cu $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$: $$6-2\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot \left(2-\sqrt{5}\right)=6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=\text{(2 p)}$$ $$=6-5=1\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=25$, sau se înmulțește doar primul termen din paranteză și rămâne $6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-\sqrt{5}=6-\sqrt{5}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se calculează cele două valori: $$f(a)=2a-3,f(1)=-1\text{(3 p)}.$$ $$2a-3-1=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(2)=1$ și $f(2)+f(1)=1-1=0$. Unde se greșește de obicei: se ia $f(1)=2-3=1$, cu semnul greșit, și iese $a=1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Membrul drept se scrie ca o singură putere a lui $10$, $10^{-2x}\cdot 10^2=10^{-2x+2}$: $$10^{x-1}=10^{-2x+2},\text{ de unde obținem }x-1=-2x+2\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali. Control: $10^0=10^{-2}\cdot 10^2=1$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc exponenții, $10^{-2x}\cdot 10^2=10^{-4x}$, și iese $x=\frac{1}{5}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Cifrele pare din $A$ sunt $2$, $4$ și $6$: $$\text{cifra zecilor se poate alege ıˆn }3\text{ moduri}\text{(3 p)}.$$ $$\text{Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unita˘ților se poate alege ıˆn caˆte }2\text{ moduri, deci sunt }3\cdot 2=6\text{ numere}\text{(2 p)}.$$

(Numerele sunt $24$, $26$, $42$, $46$, $62$, $64$. Cifrele sunt distincte, deci cifra unităților se alege dintre cele două cifre pare rămase. Unde se greșește de obicei: se permit cifre egale și iese $3\cdot 3=9$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Mijlocul segmentului $OA$, cu $O(0,0)$ și $A(4,6)$: $$M(2,3)\text{(2 p)}.$$ $$BM=5\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $BM=\sqrt{(2-6{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. Unde se greșește de obicei: se ia $M$ mijlocul lui $AB$, $M(5,3)$, și iese $BM=\sqrt{10}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană.

Triunghiul este dreptunghic în $A$, deci catetele sunt $AB$ și $AC$: $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2},\text{ deci }24=\frac{AB\cdot 6}{2}\text{(3 p)}.$$ $$AB=\frac{24\cdot 2}{6}=8\text{(2 p)}.$$

(Baremul notează aria cu ${\mathcal{A}}_{ABC}$; la noi, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $2$ din formula ariei și iese $AB=4$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Se calculează determinantul: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\cdot 2-1\cdot 1=\text{(3 p)}$$ $$=2-1=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună produsele, $2+1=3$.)

b) (5 p) Se scade $xA=\left(\begin{array}{cc}x& x\\ x& 2x\end{array}\right)$ din $B(x)$: $$B(x)-xA=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ x& 2x-3\end{array}\right),\text{ de unde obținem }\det (B(x)-xA)=-2x-3,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ $$-2x-3=x,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $1\cdot (2x-3)-4\cdot x=-2x-3$. Unde se greșește de obicei: se scade $x$ doar de pe diagonală, ca și cum $xA$ ar fi $x{I}_2$.)

c) (5 p) Se calculează întâi $A\cdot A$, apoi $2A\cdot A\cdot A$: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 5\end{array}\right),2A\cdot A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}10& 16\\ 16& 26\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$B(x)+B(x+2)=\left(\begin{array}{cc}2x+4& 2x+10\\ 4x+4& 8x+2\end{array}\right),\text{ deci }\left(\begin{array}{cc}2x+4& 2x+10\\ 4x+4& 8x+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 16\\ 16& 26\end{array}\right)\text{ și obținem }\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $A\cdot A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 8& 13\end{array}\right)$. Toate cele patru ecuații, $2x+4=10$, $2x+10=16$, $4x+4=16$, $8x+2=26$, dau aceeași valoare, $x=3$ — de aceea soluția există. Unde se greșește de obicei: se calculează $2A\cdot A\cdot A$ ca $(2A)\cdot (2A)\cdot (2A)=8A^3$ și iese $\left(\begin{array}{cc}40& 64\\ 64& 104\end{array}\right)$, pentru care ecuațiile nu mai au o soluție comună.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinoame.

a) (5 p) Pentru $m=6$: $$f=X^3+6X^2-2X-4⟹f(1)=1^3+6\cdot 1^2-2\cdot 1-4=\text{(3 p)}$$ $$=1+6-2-4=1\text{(2 p)}.$$

b) (5 p) Din relațiile lui Viète: $$x_1+x_2+x_3=-m,x_1{x}_2{x}_3=4\text{(2 p)}.$$ $$16=-m+4,\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=-12\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: produsul rădăcinilor unui polinom de gradul al treilea cu coeficientul dominant $1$ este minus termenul liber, $-(-4)=4$; membrul stâng este $4^2=16$. Control numeric: pentru $m=-12$, produsul rădăcinilor calculate numeric este $4$, iar egalitatea din enunț se verifică. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=-4$; atunci membrul stâng este tot $16$, dar membrul drept devine $-m-4$, și iese $m=-20$.)

c) (5 p) După teorema restului, restul împărțirii lui $f$ la $X-2$ este $f(2)$: $$f(2)=8⟹4m=8,\text{ de unde obținem }m=2\text{(2 p)}.$$ $$f=X^3+2X^2-2X-4=(X+2)\left(X-\sqrt{2}\right)\left(X+\sqrt{2}\right),\text{ deci ra˘da˘cinile polinomului }f\text{ sunt }-2,-\sqrt{2}\text{ și }\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f(2)=8+4m-4-4=4m$. Descompunerea se face grupând: $X^2(X+2)-2(X+2)=(X+2)\left(X^2-2\right)$. Unde se greșește de obicei: se ia restul egal cu $f(-2)$; atunci $f(-2)=-8+4m+4-4=4m-8=8$ dă $m=4$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează câtul și logaritmul: $$f^{\prime }(x)=\frac{-x^2-2x(3-x)}{x^4}+\frac{1}{x}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{x-6}{x^3}+\frac{1}{x}=\frac{x^2+x-6}{x^3},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $-x^2-6x+2x^2=x^2-6x=x(x-6)$, iar după simplificarea cu $x$ rămâne $\frac{x-6}{x^3}$; apoi $\frac{1}{x}=\frac{x^2}{x^3}$. Unde se greșește de obicei: la derivata câtului se scrie $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ în loc de $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$.)

b) (5 p) Termenul $\ln x$ se reduce: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-\ln x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-x}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{3}{x^2}-\frac{x}{x^2}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}\right)=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: numărătorul $3-x$ tinde la $-\infty$, și se conchide că limita este $-\infty$ — dar numitorul crește mai repede.)

c) (5 p) Semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, pentru că $x^3>0$: $$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=2;\text{ pentru orice }x\in (0,2],f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,2],\text{ și, pentru orice }x\in [2,+\infty ),f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ $$f(x)\ge f(2),\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{ și, cum }f(2)=\frac{1}{4}+\ln 2,\text{ obținem }4f(x)-1\ge \ln 16,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: rădăcina $x=-3$ a lui $x^2+x-6$ nu este în domeniul $(0,+\infty )$. Apoi $4f(x)-1\ge 4\left(\frac{1}{4}+\ln 2\right)-1=4\ln 2=\ln 2^4=\ln 16$. Control numeric: $f(2)=\frac{1}{4}+\ln 2\approx 0,94314718$ și $\ln 16\approx 2,7725887$. Unde se greșește de obicei: la $f(2)$ se uită pătratul numitorului, $f(2)=\frac{3-2}{2}+\ln 2=\frac{1}{2}+\ln 2$, și iese $4f(2)-1=1+\ln 16$, nu $\ln 16$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Termenii cu radical se reduc: $${\int }_2^4\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx={\int }_2^{4}3xdx=\frac{3x^2}{2}{|}_2^4=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{48}{2}-\frac{12}{2}=18\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $3x$ se scrie $3x^2$, fără $\frac{1}{2}$, și iese $36$.)

b) (5 p) Diferența $f(x)-3x$ este $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$, o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: $${\int }_1^6(f(x)-3x)dx={\int }_1^6\frac{1}{\sqrt{x+3}}dx=2{\int }_1^6\frac{(x+3{)}^{\prime }}{2\sqrt{x+3}}dx=2\sqrt{x+3}{|}_1^6=\text{(3 p)}$$ $$=6-4=2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $2\sqrt{9}-2\sqrt{4}=6-4$. Unde se greșește de obicei: primitiva lui $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ se scrie $\sqrt{x+3}$, fără factorul $2$, și iese $1$.)

c) (5 p) Integrandul este $\frac{3x}{x+3}=3-\frac{9}{x+3}$: $${\int }_{-2}^1\frac{1}{x+3}\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx={\int }_{-2}^1\left(3-\frac{9}{x+3}\right)dx=3x{|}_{-2}^1-9\ln (x+3){|}_{-2}^1=9(1-\ln 4)\text{(3 p)}.$$ $$9(1-2\ln 2)=9(a-2\ln 2),\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{3x}{x+3}=\frac{3(x+3)-9}{x+3}=3-\frac{9}{x+3}$ — este scoaterea părții întregi, nu o descompunere în fracții simple, iar $\frac{1}{x+3}$ are primitivă din tabel. Apoi $3x{|}_{-2}^1=3-(-6)=9$ și $9\ln (x+3){|}_{-2}^1=9(\ln 4-\ln 1)=9\ln 4$. Control numeric: $9(1-2\ln 2)\approx -3,4766493$. Unde se greșește de obicei: se scrie $3x{|}_{-2}^1=3-6=-3$, pierzând semnul minus al limitei de jos.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2024 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii speciale din 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: calcul cu $\sqrt{5}$, cu produsul $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale funcției și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aceeași bază, $10$, în ambii membri — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere de două cifre distincte, ambele pare, prin regula produsului — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: aria triunghiului dreptunghic ca semiprodus al catetelor — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul, determinantul unei diferențe cu parametru, o egalitate de matrice cu $A\cdot A\cdot A$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, relațiile lui Viète, teorema restului și rădăcinile — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, o limită la $+\infty$, inegalitatea din tabelul de variație — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o integrală polinomială, o integrală cu radical de tipul $\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, o integrală după scoaterea părții întregi — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2024. Subiectul I este format din șase cerințe directe: termenii în $\sqrt{5}$ se reduc la cerința 1, iar la cerința 3 membrul drept se scrie ca o singură putere a lui $10$. La Subiectul al II-lea, din $B(x)-xA$ dispare parametrul de pe prima linie, iar subpunctul c) cere întâi $A\cdot A$, apoi încă o înmulțire cu $A$; egalitatea de matrice are loc pentru o singură valoare, $x=3$. Polinomul $X^3+m{X}^2-2X-4$ se tratează cu relațiile lui Viète la subpunctul b) și cu teorema restului la subpunctul c), unde, pentru $m=2$, se descompune ca $(X+2)\left(X^2-2\right)$. La Subiectul al III-lea, minimul funcției este în $x=2$, iar $4f(2)-1=4\ln 2=\ln 16$; la integrale, subpunctul c) se rezolvă scriind $\frac{3x}{x+3}=3-\frac{9}{x+3}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $1$, $a=2$, $x=1$, $6$, $5$, $8$, $x=-1$, $x=3$, $m=-12$, rădăcinile $-2$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $18$, $2$ și $a=1$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 7, subpunctul c), egalitatea de matrice verificată pe un singur element în loc de toate patru; la cerința 8, subpunctul c), $m$ găsit, dar rădăcinile nescrise; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea afirmată fără semnul lui $f^{\prime }$ de o parte și de alta a lui $2$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Puteri: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; $10^u=10^v⟺u=v$. Mijlocul segmentului $OA$: $\left(\frac{x_O+x_A}{2},\frac{y_O+y_A}{2}\right)$. Distanța: $BM=\sqrt{(x_M-x_B{)}^2+(y_M-y_B{)}^2}$. Aria triunghiului dreptunghic: $\frac{AB\cdot AC}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; două matrice sunt egale când au toate elementele egale. Polinoame: pentru $X^3+m{X}^2+nX+p$, $x_1+x_2+x_3=-m$ și $x_1{x}_2{x}_3=-p$; restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; dacă $f^{\prime }\le 0$ la stânga lui $c$ și $f^{\prime }\ge 0$ la dreapta, $f(c)$ este valoarea minimă.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}dx=\sqrt{u}+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{x+3}dx=\ln (x+3)+\mathcal{C}$ pe $(-3,+\infty )$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ denumește patru obiecte diferite: mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ la cerința $4$, punctul $A(4,6)$ la cerința $5$, vârful triunghiului $ABC$ la cerința $6$ și matricea $A$ la cerința $7$. La fel, $B$ este punctul $B(6,0)$ la cerința $5$, un vârf al triunghiului la cerința $6$ și matricea $B(x)$ la cerința $7$.
• Litera $f$ denumește patru obiecte: funcția $f(x)=2x-3$ la cerința $2$, polinomul $f=X^3+m{X}^2-2X-4$ la cerința $8$ (cu nedeterminata $X$) și funcțiile de la cerințele $9$ și $10$. Litera $a$ este necunoscuta de la cerința $2$ și numărul căutat la cerința $10$, subpunctul c).
• La cerința $7$, $xA$ este produsul dintre numărul real $x$ și matricea $A$, iar $2A\cdot A\cdot A$ înseamnă $2\cdot A^3$. Litera $M$ de la cerința $5$ este mijlocul segmentului $OA$.
• Baremul oficial notează aria de la cerința $6$ cu ${\mathcal{A}}_{ABC}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".