Bac M2 2025, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2025 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_2$ al progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, în care $a_1=5$ și $a_3=35$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m)=f(0)\cdot f(1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^2-4}=\sqrt[3]{3x-6}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $3n^2<100$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$, $B(2,5)$ și $C$, astfel încât $B$ este mijlocul segmentului $AC$. Determinați coordonatele punctului $C$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=AC$ și aria egală cu $18$. Arătați că $BC=6\sqrt{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1-x& 3x\\ -x& 1+4x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=3$.

b) (5 puncte) Arătați că $xA(y)-A(xy)=(x-1)I_2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(1)\cdot A(x-1)=xA(x)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=\frac{1}{4}(x+1)(y+1)-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 5=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale, cu $m\le n$, pentru care $m\circ n=3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x-1+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)+3x}{\ln x}=3$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)+f(y)\le -\frac{21}{4}$, pentru orice $x\in (0,1]$ și orice $y\in [1,2]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^{4}f(x)\sqrt{x}dx=4$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{4}f(x)dx=\frac{8}{3}$.

c) (5 puncte) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g:[2,3]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{\sqrt{2}}{f(x)}$, în jurul axei $Ox$ este egal cu $\pi \ln (4e)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (în afară de primul) este media aritmetică a vecinilor săi: $$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{5+35}{2}\text{(3 p)}.$$ $$a_2=\frac{40}{2}=20\text{(2 p)}.$$

(Control: rația este $20-5=15$, iar $20+15=35=a_3$. Unde se greșește de obicei: se ia rația $a_3-a_1=30$ și iese $a_2=5+30=35$ — dar între $a_1$ și $a_3$ sunt DOI pași, deci rația este $\frac{30}{2}=15$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se calculează valorile funcției: $$f(0)=3,f(1)=5,f(m)=2m+3,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $$2m+3=3\cdot 5,\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=6\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(6)=15=3\cdot 5$. Unde se greșește de obicei: se adună valorile, $f(0)+f(1)=8$, și iese $m=\frac{5}{2}$; sau se scrie $f(0)=0$, uitând termenul liber.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radicali de ordinul al treilea.

Funcția radical de ordinul al treilea este injectivă pe $\mathbb{R}$, deci radicanzii sunt egali: $$x^2-4=3x-6,\text{ de unde obținem }{x}^2-3x+2=0\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Radicalul de ordinul al treilea există pentru orice număr real, deci nu sunt condiții de existență: pentru $x=1$ ambii radicanzi sunt $-3$, pentru $x=2$ sunt $0$. Unde se greșește de obicei: se pun condițiile $x^2-4\ge 0$ și $3x-6\ge 0$, ca la radicalul de ordinul al doilea, și se elimină pe nedrept soluția $x=1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele naturale de o cifră sunt $0,1,2,\dots ,9$: mulțimea numerelor naturale de o cifră are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2 p).

Inegalitatea $3n^2<100$ este verificată de $n\in \{0,1,2,3,4,5\}$ (pentru $n=5$, $75<100$; pentru $n=6$, $108>100$). În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt $6$ numere $n$ pentru care $3n^2<100$, deci sunt $6$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită $0$, care este număr natural de o cifră, și iese $\frac{5}{9}$ — cu $9$ cazuri posibile și $5$ favorabile; sau se rezolvă $3n<100$, fără pătrat, și toate cele zece numere par favorabile.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mijlocul unui segment.

$B$ este mijlocul segmentului $AC$, deci coordonatele lui $B$ sunt mediile coordonatelor lui $A$ și $C$: $$2=\frac{0+x_C}{2}\text{ și }5=\frac{2+y_C}{2}\text{(3 p)}.$$ De aici $x_C=4$ și $y_C=10-2=8$, deci $\mathbf{C}(4,8)$ (2 p).

(Control: mijlocul lui $A(0,2)$ și $C(4,8)$ este $\left(\frac{0+4}{2},\frac{2+8}{2}\right)=(2,5)=B$. Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul lui $AB$, $\left(1;3,5\right)$, ca și cum $C$ ar fi mijlocul; sau se scade în loc să se adune, $y_C=5-2=3$.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană, triunghiul dreptunghic isoscel.

Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor, iar $AB=AC$: $$18=\frac{AB\cdot AC}{2},\text{ deci }AB=AC=6\text{(3 p)}.$$ Cu teorema lui Pitagora, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=36+36$: $$B{C}^2=72,\text{ de unde obținem }BC=6\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$

(Din $\frac{A{B}^2}{2}=18$ rezultă $A{B}^2=36$, deci $AB=6$. Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $2$ din formula ariei, $A{B}^2=18$, și iese $AB=3\sqrt{2}$, $BC=6$; sau se scrie $BC=AB+AC=12$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=2$: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}-1& 6\\ -2& 9\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(2))=\left|\begin{array}{cc}-1& 6\\ -2& 9\end{array}\right|=(-1)\cdot 9-6\cdot (-2)\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=-9+12=3\text{(2 p)}.$$

(În baremul oficial, pe acest rând, determinantul este notat $\det (A(1))$ — o scăpare de literă: matricea scrisă și calculul sunt ale lui $A(2)$. Unde se greșește de obicei: $6\cdot (-2)=-12$, iar scăderea lui $-12$ înseamnă $+12$; dacă se pierde un minus, iese $-9-12=-21$.)

b) (5 p) Se calculează fiecare termen: $$xA(y)-A(xy)=\left(\begin{array}{cc}x-xy& 3xy\\ -xy& x+4xy\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1-xy& 3xy\\ -xy& 1+4xy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x-1& 0\\ 0& x-1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$xA(y)-A(xy)=(x-1)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=(x-1)I_2,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(În $xA(y)$ se înmulțește cu $x$ FIECARE element al lui $A(y)$, inclusiv $1$-urile: $x(1-y)=x-xy$ și $x(1+4y)=x+4xy$. Unde se greșește de obicei: se scrie $xA(y)=A(xy)$, ca și cum factorul ar intra în parametru — atunci diferența ar fi matricea nulă.)

c) (5 p) Cu $A(1)=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -1& 5\end{array}\right)$ și $A(x-1)=\left(\begin{array}{cc}2-x& 3x-3\\ -x+1& 4x-3\end{array}\right)$: $$A(1)\cdot A(x-1)=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -1& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2-x& 3x-3\\ -x+1& 4x-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3-3x& 12x-9\\ 3-4x& 17x-12\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț, element cu element: $$\left(\begin{array}{cc}3-3x& 12x-9\\ 3-4x& 17x-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x-x^2& 3x^2\\ -x^2& 4x^2+x\end{array}\right),\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$

(Toate cele patru egalități se reduc la aceeași ecuație: $3-3x=x-x^2$, $12x-9=3x^2$, $3-4x=-x^2$ și $17x-12=4x^2+x$ dau, după simplificare, $x^2-4x+3=0$, cu rădăcinile $1$ și $3$. Control: pentru $x=3$, ambii membri sunt $\left(\begin{array}{cc}-6& 27\\ -9& 39\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element, iar sistemul iese fără soluții reale; sau se ia $A(x-1)$ drept $A(x)-I_2$, și iese $x\in \{0,4\}$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se aplică definiția: $$1\circ 5=\frac{1}{4}(1+1)(5+1)-1\text{(3 p)}.$$ $$1\circ 5=3-1=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită $-1$ de la final și iese $3$; sau se înmulțește cu $4$ în loc să se împartă, și iese $47$.)

b) (5 p) Se verifică ambele egalități: $$x\circ 3=\frac{1}{4}(x+1)(3+1)-1=x+1-1=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ $$3\circ x=\frac{1}{4}(3+1)(x+1)-1=x+1-1=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x,$$ deci $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$" (3 p).

(Legea este comutativă, așa că a doua egalitate rezultă și din prima, dar baremul o cere scrisă. Unde se greșește de obicei: se verifică doar pe un exemplu, $5\circ 3=5$ — un exemplu nu dovedește egalitatea pentru orice $x$.)

c) (5 p) Ecuația se aduce la o formă cu produs: $$\frac{1}{4}(m+1)(n+1)-1=3\iff (m+1)(n+1)=16\text{(2 p)}.$$ Factorii $m+1$ și $n+1$ sunt numere naturale nenule, cu $m+1\le n+1$, iar $16=1\cdot 16=2\cdot 8=4\cdot 4$. Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, cu $m\le n$, obținem perechile $(0,15)$, $(1,7)$ și $(3,3)$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se uită perechea $(0,15)$, pentru că $0$ pare „neinteresant" — dar $0$ este număr natural; sau se scriu și perechile cu $m>n$, $(7,1)$ și $(15,0)$, pe care enunțul le exclude.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită cu regula lui l'Hôpital și o inegalitate.

a) (5 p) Derivăm termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=2x-3+\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Aducem la același numitor și descompunem trinomul $2x^2-3x+1$ (rădăcinile $\frac{1}{2}$ și $1$): $$f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x}=\frac{(2x-1)(x-1)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează $-1$ ca $-1$ în loc de $0$, și iese $2x-4+\frac{1}{x}$; sau se scrie $(\ln x{)}^{\prime }=\ln x$.)

b) (5 p) Cum $f(x)+3x=x^2-1+\ln x$, iar în $x=1$ numărătorul și numitorul sunt $0$, avem nedeterminarea $\frac{0}{0}$ și aplicăm regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)+3x}{\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1+\ln x}{\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{{\left(x^2-1+\ln x\right)}^{\prime }}{(\ln x{)}^{\prime }}\text{(3 p)}.$$ $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x+\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\frac{2+1}{1}=3\text{(2 p)}.$$

(Un drum fără l'Hôpital: $\frac{x^2-1+\ln x}{\ln x}=\frac{x^2-1}{\ln x}+1$, iar $\frac{x^2-1}{\ln x}=(x+1)\cdot \frac{x-1}{\ln x}\to 2\cdot 1=2$, deci limita este $3$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește direct $x=1$ și se scrie „$\frac{0}{0}=0$"; sau se derivează numai numărătorul și rămâne $\frac{3}{\ln 1}$, cu numitorul $0$.)

c) (5 p) Studiem monotonia lui $f$ pe $(0,2]$, după semnul lui $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x}$: $f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{1}{2}$ sau $x=1$; pentru orice $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $\left(0,\frac{1}{2}\right]$, pentru orice $x\in \left[\frac{1}{2},1\right]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $\left[\frac{1}{2},1\right]$ și, pentru orice $x\in [1,2]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[1,2]$ (3 p).

Pentru orice $x\in (0,1]$ și orice $y\in [1,2]$, rezultă $f(x)\le f\left(\frac{1}{2}\right)$ și $f(y)\le f(2)$ și, cum $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{9}{4}-\ln 2$ și $f(2)=-3+\ln 2$, obținem $f(x)+f(y)\le -\frac{21}{4}$ (2 p).

(Pe $(0,1]$ funcția urcă până în $\frac{1}{2}$ și coboară după, deci maximul ei acolo este $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}-1-\ln 2$; pe $[1,2]$ crește, deci maximul este $f(2)=4-6-1+\ln 2$. Termenii $-\ln 2$ și $+\ln 2$ se reduc: $-\frac{9}{4}-3=-\frac{21}{4}$. Unde se greșește de obicei: se ia maximul pe $(0,1]$ în capătul $1$, $f(1)=-3$, ca și cum $f$ ar fi crescătoare acolo; atunci suma ar ieși $-6+\ln 2\approx -5,31$, iar inegalitatea n-ar mai fi demonstrată, pentru că $f\left(\frac{1}{2}\right)>f(1)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și volumul unui corp de rotație.

a) (5 p) Radicalul se simplifică: $f(x)\sqrt{x}=x-1$, deci $${\int }_2^{4}f(x)\sqrt{x}dx={\int }_2^4(x-1)dx=\frac{x^2}{2}{|}_2^4-x{|}_2^4\text{(3 p)}.$$ $${\int }_2^{4}f(x)\sqrt{x}dx=6-2=4\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{16}{2}-\frac{4}{2}=6$ și $4-2=2$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $x-1$ ca $\frac{x^2}{2}-1$ și iese $6$.)

b) (5 p) Despărțim fracția în puteri ale lui $x$: $\frac{x-1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$: $${\int }_1^{4}f(x)dx={\int }_1^4\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}{|}_1^4-2\sqrt{x}{|}_1^4\text{(3 p)}.$$ $${\int }_1^{4}f(x)dx=\frac{14}{3}-2=\frac{8}{3}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{2\cdot 4\cdot 2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$ și $2\cdot 2-2\cdot 1=2$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ca $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — aceea este derivata lui $\sqrt{x}$, nu primitiva lui $\frac{1}{\sqrt{x}}$.)

c) (5 p) Pentru $x\in [2,3]$, $g(x)=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{x}}{x-1}=\frac{\sqrt{2x}}{x-1}$, deci $g^2(x)=\frac{2x}{(x-1{)}^2}$ și $$g(x)=\frac{\sqrt{2x}}{x-1},x\in [2,3],\text{ deci }\mathcal{V}=\pi {\int }_2^3(g(x){)}^{2}dx=2\pi {\int }_2^3\frac{x}{(x-1{)}^2}dx\text{(2 p)}.$$ Rescriem numărătorul ca $x=(x-1)+1$: $$\mathcal{V}=2\pi {\int }_2^3\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1{)}^2}\right)dx=2\pi \left(\ln (x-1){|}_2^3-\frac{1}{x-1}{|}_2^3\right)=\pi \ln (4e)\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\ln (x-1){|}_2^3=\ln 2$ și $-\frac{1}{x-1}{|}_2^3=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$, deci $\mathcal{V}=2\pi \left(\ln 2+\frac{1}{2}\right)=\pi (2\ln 2+1)=\pi \left(\ln 4+\ln e\right)=\pi \ln (4e)\approx 7,4967648$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi se notează $\mathcal{V}$. Unde se greșește de obicei: se uită pătratul din formula volumului și se integrează $g(x)$ în loc de $g^2(x)$; sau se scrie primitiva lui $\frac{1}{(x-1{)}^2}$ ca $+\frac{1}{x-1}$, cu semnul greșit, și iese $\pi (\ln 4-1)$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2025 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august-septembrie 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: termenul din mijloc ca medie aritmetică a vecinilor — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale funcției și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu radicali de ordinul al treilea: egalarea radicanzilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de o cifră care verifică o inegalitate — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: un capăt al segmentului, din mijloc și celălalt capăt — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: triunghiul dreptunghic isoscel, aria și teorema lui Pitagora — clasa a IX-a (recapitulare din gimnaziu). (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, operații cu matrice cu parametru și o ecuație matriceală — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, elementul neutru, o ecuație în numere naturale — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, o limită cu regula lui l'Hôpital, monotonia și o inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite și volume: formula Leibniz–Newton, primitive de puteri ale lui $x$ și volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2025. Subiectul I este format din șase cerințe directe: termenul din mijloc al unei progresii aritmetice, o ecuație cu valori ale unei funcții de gradul întâi, o ecuație cu radicali de ordinul al treilea — unde, spre deosebire de radicalul de ordinul al doilea, nu sunt condiții de existență —, o probabilitate în care $0$ este și el număr natural de o cifră, un punct dat prin mijlocul unui segment și un triunghi dreptunghic isoscel. La Subiectul al II-lea, matricele $A(x)$ verifică identitatea $xA(y)-A(xy)=(x-1)I_2$, iar ecuația de la subpunctul c) se reduce, element cu element, la aceeași ecuație de gradul al doilea, $x^2-4x+3=0$. Legea $x\circ y=\frac{1}{4}(x+1)(y+1)-1$ are elementul neutru $3$, iar subpunctul c) cere descompunerea lui $16$ în produs de doi factori naturali. La Subiectul al III-lea, limita de la subpunctul b) este o nedeterminare $\frac{0}{0}$ rezolvată cu regula lui l'Hôpital, iar inegalitatea de la subpunctul c) vine din valorile maxime ale lui $f$ pe cele două intervale. La integrale, $\sqrt{x}$ se simplifică la subpunctul a), se despart puterile lui $x$ la subpunctul b), iar volumul de la subpunctul c) se obține după ce $\frac{x}{(x-1{)}^2}$ se rescrie ca $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1{)}^2}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $20$, $m=6$, $\{1,2\}$, $\frac{3}{5}$, $C(4,8)$, $6\sqrt{2}$, $3$, $x\in \{1,3\}$, $2$, perechile $(0,15)$, $(1,7)$, $(3,3)$, $3$, $-\frac{21}{4}$, $4$, $\frac{8}{3}$ și $\pi \ln (4e)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, numărul $0$ uitat printre numerele naturale de o cifră; la cerința 8, subpunctul b), verificată doar una dintre egalitățile $x\circ 3=x$ și $3\circ x=x$; la cerința 8, subpunctul c), perechile date fără să se arate că sunt toate; la cerința 9, subpunctul b), regula lui l'Hôpital aplicată fără să se constate nedeterminarea $\frac{0}{0}$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: într-o progresie aritmetică, $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$. Radicali de ordinul al treilea: $\sqrt[3]{u}=\sqrt[3]{v}⟺u=v$, pentru orice $u$, $v$ reali. Mijlocul segmentului $[AC]$: $x_B=\frac{x_A+x_C}{2}$, $y_B=\frac{y_A+y_C}{2}$. Triunghiul dreptunghic în $A$: aria $\frac{AB\cdot AC}{2}$ și $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$.
• Matrice: două matrice sunt egale când au elementele corespunzătoare egale; înmulțirea se face linie cu coloană.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\circ e=e\circ x=x$, pentru orice $x$.
• Derivate și limite: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; regula lui l'Hôpital pentru $\frac{0}{0}$; pe un interval pe care $f$ crește, valoarea maximă este în capătul din dreapta, iar pe unul pe care $f$ crește și apoi descrește, în punctul în care se schimbă monotonia.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \sqrt{x}dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+\mathcal{C}$, $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+\mathcal{C}$; volumul corpului de rotație, $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=2x+3$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=x^2-3x-1+\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}$ de la cerința $10$. Tot așa, $A$ este un punct la cerințele $5$ și $6$ și o matrice, $A(x)$, la cerința $7$, iar $B$ și $C$ sunt puncte din reper la cerința $5$ și vârfuri ale triunghiului la cerința $6$. Litera $m$ este un număr real la cerința $2$ și un număr natural la cerința $8$; $n$ este indicele progresiei, în ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, la cerința $1$, cifra aleasă la cerința $4$ și al doilea număr natural al perechii $(m,n)$ la cerința $8$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $x$ este la cerința $7$ parametrul real al matricei $A(x)$ — la subpunctul b) apare și ca factor în fața matricei, în $xA(y)$ —, iar la cerința $9$, subpunctul c), $x$ și $y$ sunt două numere din intervale diferite, $x\in (0,1]$ și $y\in [1,2]$. Litera $e$ este la cerința $8$ elementul neutru, $e=3$, iar la cerința $10$ baza logaritmului natural, în $\pi \ln (4e)$.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor; subiectul oficial îl tipărește așa și l-am păstrat. $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".