Bac M2 2025, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2025 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, în care $a_1=4$ și $a_2=15$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)+f(2)=2a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2\left(x^2-3x+2\right)={\log }_2(2+x)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,5,7,8\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$, $B(8,4)$ și $C$, mijlocul segmentului $OB$. Arătați că $AO=AC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și $\cos B=\frac{2}{3}$. Arătați că $BC=6$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 8\\ -1& 3\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=2$.

b) (5 puncte) Arătați că matricea $B=\frac{1}{2}\left(I_2-A\right)$ este inversa matricei $A$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\left(A-I_2\right)\cdot X=2A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=[0,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-\sqrt{xy}$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 4=3$.

b) (5 puncte) Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast (9x)=x^2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x\ast 2^{x+2}=6^x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-3x^2-x+2}{{\left(x^2+x+2\right)}^2\sqrt{x}}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in (0,+\infty )$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x+3$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2(f(x)-3x-3)dx=4$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{1}{{\left(f(x)-x^3\right)}^2}dx=\frac{1}{18}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care ${\int }_1^e\frac{f(x)-3}{x^2}\cdot \ln xdx=\frac{e^2+m}{4}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Rația este diferența dintre doi termeni consecutivi: $$r=a_2-a_1=11,\text{ unde }r\text{ este rația progresiei}\text{(3 p)}.$$ $$a_3=a_2+r=15+11=26\text{(2 p)}.$$

(Control: $4$, $15$, $26$ cresc de fiecare dată cu $11$. Unde se greșește de obicei: se ia rația $a_1-a_2=-11$ și iese $a_3=4$; sau se adună primii doi termeni, $a_3=a_1+a_2=19$, ca la un șir de alt tip.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se calculează fiecare valoare a funcției: $$f(2)=4,f(a)=3a-2,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $$3a-2+4=2a,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=-2\text{(3 p)}.$$

(Control: $f(-2)+f(2)=-8+4=-4=2\cdot (-2)$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(2)=3\cdot 2+2=8$, cu semnul greșit, și iese $a=-6$; sau se trece $2a$ în stânga fără schimbarea semnului.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii au aceeași bază, $2$, deci argumentele trebuie să fie egale: $$x^2-3x+2=2+x,\text{ de unde obținem }{x}^2-4x=0\text{(2 p)}.$$ Din $x(x-4)=0$ rezultă $x=0$ sau $x=4$. Pentru $x=0$ argumentele sunt $2$ și $2$, pentru $x=4$ sunt $6$ și $6$ — toate pozitive, deci $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=4$, care convin (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația $x^2-4x=0$ prin $x$ și se pierde soluția $x=0$; sau se greșește semnul la trecerea termenilor și iese $x^2-2x=0$, cu soluțiile $0$ și $2$ — iar $x=2$ nici nu verifică, pentru că $x^2-3x+2=0$ acolo și logaritmul nu există.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, regula produsului.

Un număr este par exact când cifra unităților este pară; în mulțimea $A$ cifrele pare sunt $2$ și $8$, deci cifra unităților se poate alege în $2$ moduri (2 p).

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte $5$ moduri (oricare dintre celelalte cinci cifre, ca să fie distincte), deci se pot forma $2\cdot 5=10$ numere (3 p).

(Control prin enumerare: $12,32,52,72,82$ și $18,28,38,58,78$ — zece numere. Unde se greșește de obicei: se alege întâi cifra zecilor, în $6$ moduri, și apoi se socotesc tot $2$ cifre pare, rezultând $12$ — dar când zecile sunt $2$ sau $8$ rămâne o singură cifră pară; sau se uită condiția „cifre distincte" și iese $6\cdot 2=12$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mijlocul unui segment și distanțe.

Mijlocul segmentului $OB$, cu $O(0,0)$ și $B(8,4)$, are coordonatele $\left(\frac{0+8}{2},\frac{0+4}{2}\right)$, deci $$C(4,2)\text{(2 p)}.$$ Distanțele sunt $AO=\sqrt{0^2+5^2}=5$ și $AC=\sqrt{(4-0{)}^2+(2-5{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$, deci $$AO=5,AC=5,\text{ deci }AO=AC\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia mijlocul segmentului $AB$ în loc de $OB$, adică $(4;4,5)$, și distanța nu mai iese $5$; sau se uită că $O$ este originea, $O(0,0)$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

În triunghiul dreptunghic în $A$, cosinusul unghiului $B$ este cateta alăturată supra ipotenuză: $$\cos B=\frac{AB}{BC},\text{ deci }\frac{2}{3}=\frac{4}{BC}\text{(3 p)}.$$ $$BC=\frac{3\cdot 4}{2}=6\text{(2 p)}.$$

(Control: cu $BC=6$, $\frac{AB}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$; cealaltă catetă este $AC=\sqrt{36-16}=2\sqrt{5}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\cos B=\frac{AC}{BC}$, cu cateta opusă, sau $\cos B=\frac{BC}{AB}$, cu raportul inversat, și iese $BC=\frac{8}{3}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea, inversa și o ecuație matriceală.

a) (5 p) Determinantul de ordinul al doilea: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}-2& 8\\ -1& 3\end{array}\right|=(-2)\cdot 3-8\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det A=-6+8=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: $8\cdot (-1)=-8$, iar scăderea lui $-8$ înseamnă $+8$; dacă se pierde un minus, iese $-6-8=-14$.)

b) (5 p) Se calculează matricea $B$: $$I_2-A=\left(\begin{array}{cc}3& -8\\ 1& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -4\\ \frac{1}{2}& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Produsele în ambele ordini: $$A\cdot B=B\cdot A=I_2,\text{ deci matricea }B\text{ este inversa matricei }A\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}-3+4& 8-8\\ -\frac{3}{2}+\frac{3}{2}& 4-3\end{array}\right)=I_2$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-3+4& 12-12\\ -1+1& 4-3\end{array}\right)=I_2$. Unde se greșește de obicei: se scade $1$ din toate elementele lui $A$ la calculul lui $I_2-A$ — $I_2$ are zerouri în afara diagonalei.)

c) (5 p) Din b), $B=A^{-1}$, adică $I_2-A=2A^{-1}$; înmulțind cu $-1$: $$\text{Cum }A-I_2=-2A^{-1},\text{ obținem }-2A^{-1}\cdot X=2A,\text{ deci }X=-A\cdot A\text{(3 p)}.$$ (ultima egalitate se obține înmulțind la stânga cu $A$ și împărțind la $-2$). Cum $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-4& 8\\ -1& 1\end{array}\right)$, $$X=\left(\begin{array}{cc}4& -8\\ 1& -1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Control direct: $\left(A-I_2\right)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}-3& 8\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -8\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& 16\\ -2& 6\end{array}\right)=2A$. Unde se greșește de obicei: se „împarte" ecuația la $A-I_2$ ca la numere, $X=\frac{2A}{A-I_2}$ — împărțirea matricelor nu există; sau se scrie $X=-A\cdot A$ dar se calculează $A\cdot A$ element cu element, $\left(\begin{array}{cc}4& 64\\ 1& 9\end{array}\right)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție cu radical pe $[0,+\infty )$.

a) (5 p) Se aplică definiția: $$1\ast 4=1+4-\sqrt{1\cdot 4}\text{(3 p)}.$$ $$1\ast 4=5-2=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{1+4}$ în loc de $\sqrt{1\cdot 4}$ și iese $5-\sqrt{5}$.)

b) (5 p) Pentru $x\in M$ avem $x\ge 0$, deci $\sqrt{9x^2}=3x$: $$x\ast (9x)=x+9x-\sqrt{9x^2}=7x,\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $$7x=x^2,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=7,\text{ care convin}\text{(3 p)}.$$

(Ambele valori aparțin lui $M=[0,+\infty )$. Control: $7\ast 63=70-\sqrt{441}=70-21=49=7^2$. Unde se greșește de obicei: se împarte prin $x$ și se pierde $x=0$; sau se scrie $\sqrt{9x^2}=9x$ și iese $x\ast (9x)=x$, adică $x=x^2$, cu soluțiile $0$ și $1$.)

c) (5 p) Cum $2^{x+2}=4\cdot 2^x$, radicalul este $\sqrt{2^x\cdot 2^{x+2}}=\sqrt{2^{2x+2}}=2^{x+1}$, deci $$2^x\ast 2^{x+2}=2^x+2^{x+2}-2^{x+1}=2^x\cdot 3,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Ecuația devine $$2^x\cdot 3=6^x,\text{ deci }{3}^x=3,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $2^x+4\cdot 2^x-2\cdot 2^x=3\cdot 2^x$; împărțind $3\cdot 2^x=6^x=2^x\cdot 3^x$ prin $2^x>0$ rămâne $3^x=3$. Numerele $2^x$ și $2^{x+2}$ sunt pozitive, deci aparțin lui $M$ pentru orice $x$ real. Control: pentru $x=1$, $2\ast 8=10-4=6=6^1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{2^{2x+2}}=2^{2x+1}$, uitând că radicalul înjumătățește exponentul.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, asimptota orizontală și tangenta paralelă cu $Ox$.

a) (5 p) Se derivează câtul, cu ${\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}$ și ${\left(x^2+x+2\right)}^{\prime }=2x+1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^2+x+2\right)-2\sqrt{x}(2x+1)}{{\left(x^2+x+2\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Amplificăm numărătorul și numitorul cu $\sqrt{x}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2+x+2-4x^2-2x}{{\left(x^2+x+2\right)}^2\sqrt{x}}=\frac{-3x^2-x+2}{{\left(x^2+x+2\right)}^2\sqrt{x}},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(La amplificare, $2\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=2x$, deci termenul al doilea devine $2x(2x+1)=4x^2+2x$. Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{-2}{16}=-\frac{1}{8}$, iar raportul incremental în jurul lui $1$ dă tot $-0,125$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{2}{\sqrt{x}}$ — factorul $\frac{1}{2}$ din derivata radicalului se simplifică cu $2$, rămâne $\frac{1}{\sqrt{x}}$.)

b) (5 p) Împărțim numărătorul și numitorul prin $\sqrt{x}$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}}=0\text{(3 p)}.$$ Dreapta de ecuație $\mathbf{y}=0$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Numitorul crește ca $x^2$, numărătorul doar ca $\sqrt{x}$, deci raportul tinde la $0$. Unde se greșește de obicei: se scrie asimptota ca $x=0$ — aceea ar fi o dreaptă verticală; sau se compară coeficienții „dominanți" ca la fracțiile cu grade egale și iese $y=2$.)

c) (5 p) Tangenta este paralelă cu $Ox$ exact când panta ei este $0$: $$\text{Tangenta la graficul funcției }f\text{ ıˆn punctul }A(a,f(a))\text{ este paralela˘ cu axa }Ox\iff f^{\prime }(a)=0,a\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Numitorul este pozitiv, deci se anulează numărătorul, $-3a^2-a+2=-(3a-2)(a+1)$: $$\frac{-3a^2-a+2}{{\left(a^2+a+2\right)}^2\sqrt{a}}=0,\text{ de unde obținem }a=-1,\text{ care nu convine, sau }\mathbf{a}=\frac{2}{3},\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se păstrează și $a=-1$, deși $-1\notin (0,+\infty )$ — funcția nici nu este definită acolo; sau se pune condiția $f(a)=0$, punctul pe axa $Ox$, care nu are soluții pe $(0,+\infty )$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Se simplifică integrandul, $f(x)-3x-3=x^3$: $${\int }_0^2(f(x)-3x-3)dx={\int }_0^2{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^2(f(x)-3x-3)dx=4-0=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $x^3$ ca $3x^2$ — aceea este derivata; sau $\frac{x^4}{3}$, și iese $\frac{16}{3}$.)

b) (5 p) Cum $f(x)-x^3=3x+3$, iar $(3x+3{)}^{\prime }=3$, integrandul este de forma $\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{\prime }}{u^2}$: $${\int }_0^1\frac{1}{{\left(f(x)-x^3\right)}^2}dx=\frac{1}{3}{\int }_0^1\frac{(3x+3{)}^{\prime }}{(3x+3{)}^2}dx=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3x+3}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^1\frac{1}{{\left(f(x)-x^3\right)}^2}dx=-\frac{1}{18}+\frac{1}{9}=\frac{1}{18}\text{(2 p)}.$$

(În $x=1$: $-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=-\frac{1}{18}$; în $x=0$: $-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{9}$, care se scade. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{3}$ și iese $\frac{1}{6}$; sau se integrează $\frac{1}{u^2}$ ca $\ln u^2$.)

c) (5 p) Integrandul se desparte: $\frac{f(x)-3}{x^2}=\frac{x^3+3x}{x^2}=x+\frac{3}{x}$, iar $x={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }$. Primul termen se integrează prin părți, al doilea este de forma $u\cdot u^{\prime }$: $${\int }_1^e\frac{f(x)-3}{x^2}\cdot \ln xdx={\int }_1^e{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }\cdot \ln xdx+{\int }_1^e\frac{3\ln x}{x}dx=\left(\frac{x^2}{2}\cdot \ln x-\frac{x^2}{4}\right){|}_1^e+\frac{3{\ln }^{2}x}{2}{|}_1^e=\frac{e^2+7}{4}\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $$\frac{e^2+m}{4}=\frac{e^2+7}{4},\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=7\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: prin părți, $\int {\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}$; pe $[1,e]$ dă $\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$, iar $\frac{3{\ln }^{2}x}{2}{|}_1^e=\frac{3}{2}=\frac{6}{4}$. Suma: $\frac{e^2+7}{4}\approx 3,5972640$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $+\frac{1}{4}$ din capătul $x=1$ (acolo $\ln 1=0$, dar $-\frac{x^2}{4}$ nu se anulează) și iese $m=6$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2025 a examenului național de bacalaureat — Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația din primii doi termeni și al treilea termen — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale funcției și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu aceeași bază în ambii membri: egalarea argumentelor și verificarea condițiilor de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere pare cu două cifre distincte, prin regula produsului — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: cosinusul unui unghi ascuțit — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, inversa unei matrice și o ecuație matriceală — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu o lege care conține un radical, o ecuație de gradul al doilea și o ecuație exponențială — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât cu radical, asimptota orizontală, tangenta paralelă cu axa $Ox$ — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: formula Leibniz–Newton, o primitivă de tipul $\frac{u^{\prime }}{u^2}$ și integrarea prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2025. Subiectul I este format din șase cerințe directe: al treilea termen al unei progresii aritmetice, o ecuație de gradul întâi scrisă cu valori ale unei funcții, o ecuație logaritmică la care ambele soluții convin, o numărare cu regula produsului (întâi cifra unităților, pentru că ea decide paritatea), o verificare de distanțe și o latură din cosinusul unui unghi. La Subiectul al II-lea, matricea $B=\frac{1}{2}\left(I_2-A\right)$ se dovedește chiar inversa lui $A$, iar observația $A-I_2=-2A^{-1}$ transformă ecuația de la subpunctul c) într-un singur produs, $X=-A\cdot A$. Legea $x\ast y=x+y-\sqrt{xy}$ are radicalul care „se deschide" frumos pe perechile alese: $\sqrt{9x^2}=3x$ pentru $x\ge 0$ și $\sqrt{2^{2x+2}}=2^{x+1}$. La Subiectul al III-lea, derivata unui cât cu $\sqrt{x}$ la numărător cere atenție la aducerea la același numitor, iar la integrale funcția $f(x)=x^3+3x+3$ se simplifică de fiecare dată: rămân $x^3$, $\frac{1}{(3x+3{)}^2}$ și $\left(x+\frac{3}{x}\right)\ln x$, ultima rezolvată prin părți.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $26$, $a=-2$, $\{0,4\}$, $10$, $6$, $X=\left(\begin{array}{cc}4& -8\\ 1& -1\end{array}\right)$, $\{0,7\}$, $x=1$, $y=0$, $a=\frac{2}{3}$, $4$, $\frac{1}{18}$ și $m=7$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației logaritmice date fără verificarea condițiilor de existență; la cerința 7, subpunctul b), verificat doar unul dintre produsele $A\cdot B$ și $B\cdot A$; la cerința 8, subpunctul b), $\sqrt{9x^2}$ scris $3x$ fără să se spună că $x\ge 0$; la cerința 9, subpunctul c), soluția $a=-1$ păstrată, deși nu aparține intervalului $(0,+\infty )$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: $a_{n+1}=a_n+r$. Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u>0$ și $v>0$. Regula produsului: dacă o alegere se face în $p$ moduri și, pentru fiecare, a doua în $q$ moduri, perechea se face în $p\cdot q$ moduri. Geometrie analitică: mijlocul segmentului $[OB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_O+x_B}{2},\frac{y_O+y_B}{2}\right)$; $AC=\sqrt{(x_C-x_A{)}^2+(y_C-y_A{)}^2}$. Triunghiul dreptunghic în $A$: $\cos B=\frac{AB}{BC}$.
• Matrice: $B$ este inversa lui $A$ exact când $A\cdot B=B\cdot A=I_2$; ecuația $M\cdot X=N$, cu $M$ inversabilă, are soluția $X=M^{-1}\cdot N$.
• Radicali și puteri: $\sqrt{u^2}=|u|$, deci $\sqrt{9x^2}=3x$ pentru $x\ge 0$; $2^{x+2}=4\cdot 2^x$, $\sqrt{2^x\cdot 2^{x+2}}=2^{x+1}$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$; tangenta în $A(a,f(a))$ este paralelă cu $Ox$ exact când $f^{\prime }(a)=0$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \frac{u^{\prime }}{u^2}dx=-\frac{1}{u}+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f\cdot g^{\prime }dx=f\cdot g{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }\cdot gdx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=3x-2$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=\frac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x^3+3x+3$ de la cerința $10$. Tot așa, $A$ este o mulțime de cifre la cerința $4$, un punct la cerințele $5$, $6$ și $9$ și o matrice la cerința $7$. La fel, $B$ este punctul $B(8,4)$ la cerința $5$, vârful triunghiului la cerința $6$ și matricea $B=\frac{1}{2}\left(I_2-A\right)$ la cerința $7$, iar $C$ este mijlocul lui $OB$ la cerința $5$ și al treilea vârf al triunghiului la cerința $6$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este necunoscuta de la cerința $2$ și abscisa punctului de tangență la cerința $9$, subpunctul c); $a_1$, $a_2$, $a_3$ de la cerința $1$ sunt termenii progresiei. Litera $M$ este mulțimea $[0,+\infty )$ de la cerința $8$.
• Semnul $\ast$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea obișnuită: $2^x\ast 2^{x+2}$ înseamnă legea aplicată numerelor $2^x$ și $2^{x+2}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".