Bac M2 2025, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2025 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $a_3=19$ și $a_4=25$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că $f(2)=8$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{2-x}-\frac{1}{625}\cdot 25^x=0$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,2)$, $B(2,0)$ și $C(8,2)$. Determinați lungimea segmentului $DE$, unde punctele $D$ și $E$ sunt mijloacele segmentelor $OA$, respectiv $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ și $B=\frac{\pi }{6}$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $2\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 4\end{array}\right)$ și $M(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 2-2a& 2-a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=2$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $M(2)\cdot A=xM(1)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $(M(a)-2I_2)\cdot M(a)=(a+2)I_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=(x-6)(y-6)+6$.

a) (5 puncte) Arătați că $9\circ 8=12$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=7$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

c) (5 puncte) Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $x\circ \frac{6}{x}=6x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-5\right)\sqrt{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x\sqrt{x}}=\frac{5}{2}$.

c) (5 puncte) Arătați că $f(x+2)-f(x)\le 26$, pentru orice $x\in (0,2]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-4\ln x)dx=\frac{7}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)-x^2}{x}dx=2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care ${\int }_1^2\left(f(x)f^{\prime \prime }(x)+(f^{\prime }(x){)}^2\right)dx=m(f(2)-f(1))$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul pentru 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresii aritmetice.

$$\text{Rația progresiei este }r=a_4-a_3=6\text{(3 p)}.$$ $$a_1=a_3-2r=7\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $a_3=a_1+2r$, deci $a_1=19-12=7$. Control: $7,13,19,25$. Unde se greșește de obicei: se scrie $a_1=a_3-3r=1$, cu un pas în plus.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

$$f(2)=4+a\text{(2 p)}.$$ $$4+a=8,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=4\text{(3 p)}.$$

(Control: $f(x)=2x+4$, $f(2)=8$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(2)=2+2a$, punând $2$ în locul lui $a$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se aduc toate puterile la baza $5$: $\frac{1}{625}=5^{-4}$ și $25^x=5^{2x}$. $$5^{2-x}-5^{-4}\cdot 5^{2x}=0,\text{ deci }{5}^{2-x}=5^{2x-4},\text{ de unde obținem }2-x=2x-4\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $5^0=1$ și $\frac{25^2}{625}=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $25^x=5^x$, și iese $2-x=x-4$, adică $x=3$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi cu șase elemente este $C_6^2$: $$C_6^2=\frac{6!}{2!4!}=\text{(3 p)}$$ $$=15\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{6\cdot 5}{2}=15$. Ordinea elementelor nu contează într-o mulțime, deci nu se folosesc aranjamentele. Unde se greșește de obicei: se calculează $A_6^2=30$, numărând perechile ordonate.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Mijloacele: $D\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2}\right)$ și $E\left(\frac{2+8}{2},\frac{0+2}{2}\right)$. $$D(1,1)\text{ și }E(5,1)\text{(2 p)}.$$ $$DE=4\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $D$ și $E$ au aceeași ordonată, deci $DE=5-1=4$. Unde se greșește de obicei: se ia $E$ drept mijlocul lui $OC$, $E(4,1)$, și iese $DE=3$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

În triunghiul dreptunghic în $A$, cateta alăturată unghiului $B$ este $AB$: $$\cos B=\frac{AB}{BC},\text{ deci }\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{BC},\text{ de unde obținem }BC=4\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ $$R=\frac{BC}{2},\text{ unde }R\text{ este raza cercului circumscris triunghiului }ABC,\text{ deci }R=2\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $BC=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$. Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei. Control pe altă cale, cu teorema sinusurilor: $2R=\frac{BC}{\sin A}=4\sqrt{3}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin B=\frac{AB}{BC}$ și iese $BC=12$, $R=6$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Se calculează determinantul: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 4\end{array}\right|=0\cdot 4-(-1)\cdot 2=\text{(3 p)}$$ $$=0+2=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $0\cdot 4-1\cdot 2=-2$, pierzând minusul lui $-1$.)

b) (5 p) Se calculează $M(2)$ și produsul, în ordinea din enunț: $$M(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -2& 0\end{array}\right),M(2)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=2M(1)\text{(3 p)}.$$ $$2M(1)=xM(1),\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: pe linia $1$, $2\cdot 0+1\cdot 2=2$ și $2\cdot (-1)+1\cdot 4=2$; pe linia $2$, $-2\cdot 0+0\cdot 2=0$ și $-2\cdot (-1)+0\cdot 4=2$. $M(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ are elemente nenule, deci $x=2$ este unic. Unde se greșește de obicei: se calculează $A\cdot M(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -4& 2\end{array}\right)$, care nu este multiplu al lui $M(1)$.)

c) (5 p) Se calculează diferența și produsul: $$M(a)-2I_2=\left(\begin{array}{cc}a-2& 1\\ 2-2a& -a\end{array}\right),(M(a)-2I_2)\cdot M(a)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-4a+2& 0\\ 0& a^2-4a+2\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ $$\left(\begin{array}{cc}{a}^2-4a+2& 0\\ 0& a^2-4a+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+2& 0\\ 0& a+2\end{array}\right),\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=0\text{ sau }\mathbf{a}=5\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: primul element, $(a-2)a+1\cdot (2-2a)=a^2-4a+2$; al doilea, $(a-2)\cdot 1+1\cdot (2-a)=0$. Egalitatea dă $a^2-5a=0$, adică $a(a-5)=0$. Aici $M(a)$ comută cu $M(a)-2I_2$, deci ordinea factorilor nu schimbă rezultatul. Unde se greșește de obicei: se scrie $M(a)-2I_2$ scăzând $2$ din toate elementele, nu doar de pe diagonală.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=9$ și $y=8$: $$9\circ 8=(9-6)(8-6)+6=\text{(3 p)}$$ $$=6+6=12\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită termenul $+6$ și iese $6$.)

b) (5 p) Se verifică ambele ordini: $$x\circ 7=(x-6)(7-6)+6=x-6+6=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ $$7\circ x=(7-6)(x-6)+6=x-6+6=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci }e=7\text{ este elementul neutru al legii de compoziție }\circ \text{(3 p)}.$$

(Legea este comutativă, deci a doua egalitate rezultă și din prima. Unde se greșește de obicei: se alege $e=6$ — dar $x\circ 6=6$ pentru orice $x$: $6$ „înghite" orice element, nu îl lasă neschimbat.)

c) (5 p) Se înlocuiește $y=\frac{6}{x}$: $$x\circ \frac{6}{x}=\frac{6(x-6)(1-x)}{x}+6,\text{ pentru orice numa˘r real nenul }x\text{(2 p)}.$$ $$\frac{6(x-6)(1-x)}{x}+6=6x⟺x^2-4x+3=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=3,\text{ care convin}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{6}{x}-6=\frac{6-6x}{x}=\frac{6(1-x)}{x}$. Înmulțind cu $x\ne 0$: $6(x-6)(1-x)+6x=6x^2$, adică $-12x^2+48x-36=0$, sau $x^2-4x+3=0$. Soluțiile $1$ și $3$ sunt nenule, deci convin. Control: $1\circ 6=6=6\cdot 1$ și $3\circ 2=18=6\cdot 3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{6}{x}-6=\frac{6-6}{x}=0$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează produsul: $$f^{\prime }(x)=2x\sqrt{x}+\left(x^2-5\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{5x^2-5}{2\sqrt{x}}=\frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $2x\sqrt{x}=\frac{2x\cdot 2x}{2\sqrt{x}}=\frac{4x^2}{2\sqrt{x}}$, iar $4x^2+x^2-5=5x^2-5$. Unde se greșește de obicei: se derivează doar paranteza, $2x\sqrt{x}$, fără regula produsului.)

b) (5 p) Se împarte și se scoate factorul dominant: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5(x-1)(x+1)}{2x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2x^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2}=\frac{5}{2}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $2\sqrt{x}\cdot x\sqrt{x}=2x^2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x^2$, și limita iese $0$.)

c) (5 p) Monotonia lui $f$: $$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=1;\text{ pentru orice }x\in (0,1],f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,1]\text{ și, pentru orice }x\in [1,+\infty ),f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ $$x\in (0,2]\Rightarrow x+2\in (2,4],\text{ deci }f(x)\ge f(1)\text{ și }f(x+2)\le f(4)\text{ și, cum }f(1)=-4\text{ și }f(4)=22,\text{ obținem }f(x+2)-f(x)\le 26,\text{ pentru orice }x\in (0,2]\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f(1)$ este valoarea minimă a lui $f$ pe $(0,+\infty )$; pe $(2,4]\subset [1,+\infty )$, $f$ este crescătoare, deci $f(x+2)\le f(4)$. $f(1)=(1-5)\cdot 1=-4$ și $f(4)=11\cdot 2=22$. Cele două margini nu sunt atinse în același punct: de exemplu, $f(4)-f(2)=22+\sqrt{2}\approx 23,41$. Minimul lui $f$ pe $(0,2]$ este $f(1)=-4$, nu $f(2)=-\sqrt{2}$. Unde se greșește de obicei: în $f(4)=(16-5)\sqrt{4}$ se înmulțește cu $4$ în loc de $\sqrt{4}=2$; iese $f(4)=44$, iar marginea $44+4=48$ nu mai demonstrează inegalitatea cerută.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) $f(x)-4\ln x=x^2$: $${\int }_1^2(f(x)-4\ln x)dx={\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x^2$ se scrie $2x$, derivând în loc să se integreze.)

b) (5 p) $f(x)-x^2=4\ln x$, iar $\frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot (\ln x{)}^{\prime }$: $${\int }_1^e\frac{f(x)-x^2}{x}dx={\int }_1^e\frac{4\ln x}{x}dx=4{\int }_1^e\ln x(\ln x{)}^{\prime }dx=2{\ln }^{2}x{|}_1^e=\text{(3 p)}$$ $$=2{\ln }^{2}e-2{\ln }^{2}1=2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\ln e=1$ și $\ln 1=0$. Control prin derivare: ${\left(2{\ln }^{2}x\right)}^{\prime }=\frac{4\ln x}{x}$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ din primitiva lui $u\cdot u^{\prime }$ și iese $4$.)

c) (5 p) Integrandul este derivata produsului $f\cdot f^{\prime }$: $${\int }_1^2\left(f(x)f^{\prime \prime }(x)+(f^{\prime }(x){)}^2\right)dx={\int }_1^2(f(x)f^{\prime }(x){)}^{\prime }dx=f(x)f^{\prime }(x){|}_1^2=f(2)f^{\prime }(2)-f(1)f^{\prime }(1)\text{(3 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=2x+\frac{4}{x},x\in (0,+\infty );f^{\prime }(1)=f^{\prime }(2)=6,\text{ deci }6(f(2)-f(1))=m(f(2)-f(1))\text{ și, cum }f(1)\ne f(2),\text{ obținem }\mathbf{m}=6\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $f^{\prime }(1)=2+4=6$, $f^{\prime }(2)=4+2=6$; $f(1)=1$, $f(2)=4+4\ln 2\ne 1$. Control numeric: integrala este $6(3+4\ln 2)\approx 34,6355$. Unde se greșește de obicei: în $f^{\prime }(2)$ se uită împărțirea la $x$ și se scrie $f^{\prime }(2)=4+4=8$; atunci $8f(2)-6f(1)$ nu mai este un multiplu fix al lui $f(2)-f(1)$, iar raportul iese $\frac{26+32\ln 2}{3+4\ln 2}\approx 8,35$, nu $6$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2025 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația și primul termen din doi termeni consecutivi — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valoarea funcției într-un punct, un parametru — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la baza $5$, apoi egalarea exponenților — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu două elemente, $C_6^2$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijloacele a două segmente și distanța dintre ele — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: ipotenuza din cosinusul unui unghi, raza cercului circumscris triunghiului dreptunghic — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: un determinant, un produs de matrice, o ecuație matriceală cu parametru — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul cu legea, elementul neutru, o ecuație — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs cu $\sqrt{x}$, o limită la $+\infty$, o inegalitate din monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o integrală polinomială, o integrală de tipul $u\cdot u^{\prime }$, o integrală recunoscută ca derivata unui produs — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2025. Subiectul I rămâne format din șase cerințe directe; la cerința 3, cheia este scrierea $\frac{1}{625}\cdot 25^x=5^{2x-4}$, iar la cerința 6 raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză. La Subiectul al II-lea, produsul de la subpunctul b) se face în ordinea din enunț, $M(2)\cdot A$ (în ordine inversă nu mai dă un multiplu al lui $M(1)$), iar la subpunctul c) produsul $(M(a)-2I_2)\cdot M(a)$ iese o matrice scalară, $\left(a^2-4a+2\right)I_2$. Legea de compoziție are forma $(x-6)(y-6)+6$, cu elementul neutru $7$; la subpunctul c), $x\circ \frac{6}{x}=6x$ duce la $x^2-4x+3=0$. La Subiectul al III-lea, subpunctul c) cere două margini luate separat: $f(x)\ge f(1)=-4$ și $f(x+2)\le f(4)=22$; ultima cerință recunoaște în integrand derivata produsului $f\cdot f^{\prime }$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $a_1=7$, $a=4$, $x=2$, $15$, $4$, $2\sqrt{3}$, $2$, $x=2$, $\{0,5\}$, $12$, $e=7$, $\{1,3\}$, $\frac{5}{2}$, $26$, $\frac{7}{3}$, $2$ și $m=6$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 8, subpunctul b), verificarea doar a egalității $x\circ 7=x$, fără $7\circ x=x$ sau fără comutativitate; la cerința 8, subpunctul c), soluțiile păstrate fără să se spună că sunt nenule; la cerința 9, subpunctul c), marginea $f(x+2)\le f(4)$ scrisă fără să se arate că $x+2\in (2,4]$, unde $f$ este crescătoare; la cerința 10, subpunctul c), concluzia $m=6$ fără observația $f(1)\ne f(2)$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresia aritmetică: $a_n=a_1+(n-1)r$, $r=a_{n+1}-a_n$. Puteri: $25^x=5^{2x}$, $\frac{1}{625}=5^{-4}$. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Mijlocul unui segment și distanța în reper. Triunghi dreptunghic: $\cos B=\frac{AB}{BC}$; centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci $R=\frac{BC}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; produsul se face linie cu coloană și, în general, depinde de ordinea factorilor.
• Lege de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$.
• Derivate: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Integrale: $\int u{u}^{\prime }dx=\frac{u^2}{2}+\mathcal{C}$; $(f\cdot f^{\prime }{)}^{\prime }=f^{\prime 2}+f\cdot f^{\prime \prime }$, deci ${\int }_a^b\left(f{f}^{\prime \prime }+(f^{\prime }{)}^2\right)dx=f(x)f^{\prime }(x){|}_a^b$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=2x+a$ la cerința $2$, $f(x)=\left(x^2-5\right)\sqrt{x}$ la cerința $9$ și $f(x)=x^2+4\ln x$ la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este parametrul funcției de la cerința $2$ și parametrul matricei $M(a)$ la cerința $7$; $a_1,a_3,a_4$ sunt termeni ai progresiei la cerința $1$. Litera $A$ este mulțimea $\{1,2,3,4,5,6\}$ la cerința $4$, un punct la cerința $5$, vârful unghiului drept la cerința $6$ și o matrice la cerința $7$. Literele $B$ și $C$ sunt puncte ale reperului la cerința $5$ și vârfuri ale triunghiului de la cerința $6$. La cerința $6$, „$B=\frac{\pi }{6}$” înseamnă, ca în documentul oficial, că unghiul $B$ are măsura $\frac{\pi }{6}$. Litera $x$ este, la cerința $7$, subpunctul b), un număr real necunoscut, nu variabila unei funcții.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită prin $x\circ y=(x-6)(y-6)+6$, nu compunerea funcțiilor; $e=7$ este elementul ei neutru, nu numărul lui Euler de la cerința $10$ (unde apare $\ln$ și capătul $e$ al integralei).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".