Bac M2 2025, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2025 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2i(6-i)+3(1-4i)=5$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+5$. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f\circ f)(a)=2a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+4x-4}=x\sqrt{2}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul $2^n$ să fie divizibil cu $16$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(2,4)$. Arătați că triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $A$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)=\sin x+2\cos 2x+2{\sin }^2\frac{x}{2}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{cc}x+1& -x\\ -2x& 2x+1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=4$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale, cu $m<n$, pentru care $A(-1)\cdot (A(m)+A(n))=2A(-4)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x\cdot 3^y+y\cdot 3^x$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 2=15$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

c) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $x$ pentru care $x\circ (3x)=(2x)\circ (2x)$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{e^x\left(x^2+x\right)}{{\left(x^2+3x+3\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)-f(y)\le \frac{3-e}{3e}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, cu $x\le 0\le y$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+1+3x\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-3x\ln x)dx=7$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)-4x-1}{x}dx=3$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_2^4\frac{f(x)-1}{x^2\ln x}dx=a\ln 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se desfac parantezele: $$2i(6-i)+3(1-4i)=12i-2i^2+3-12i\text{(3 p)}.$$ Termenii $12i$ și $-12i$ se reduc, iar $i^2=-1$: $$12i-2i^2+3-12i=-2\cdot (-1)+3=5\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $i^2=1$ și iese $-2+3=1$; sau se scrie $2i\cdot (-i)=-2i$, pierzând un factor $i$.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se compune $f$ cu ea însăși: $$f(a)=a+5,(f\circ f)(a)=f(a+5)=a+10,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Ecuația devine $$a+10=2a,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=10\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $f(10)=15$, $f(15)=20=2\cdot 10$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(f\circ f)(a)=f(a)\cdot f(a)=(a+5{)}^2$, confundând compunerea cu produsul; sau $(f\circ f)(a)=2a+5$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se ridică ambii membri la pătrat: $$x^2+4x-4=2x^2,\text{ de unde obținem }{x}^2-4x+4=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația este $(x-2{)}^2=0$, deci $\mathbf{x}=2$, care convine (2 p).

(Verificarea cerută de „care convine": pentru $x=2$, membrul stâng este $\sqrt{4+8-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, iar membrul drept este $2\sqrt{2}$. Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă — ea poate aduce soluții străine, când membrul drept este negativ —, de aceea soluția se verifică. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat doar $x$, uitând de $\sqrt{2}$, și se obține $x^2+4x-4=x^2$, adică $x=1$, care nu verifică ecuația: $\sqrt{1}=1\ne \sqrt{2}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

În mulțimea numerelor naturale de o cifră, $\{0,1,2,\dots ,9\}$, sunt $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2 p).

Cum $16=2^4$, numărul $2^n$ este divizibil cu $16$ dacă și numai dacă $n\ge 4$, deci $n\in \{4,5,6,7,8,9\}$: sunt $6$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită $0$ printre numerele de o cifră și iese $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$; sau se pune condiția $n>4$ și iese $\frac{5}{10}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, drepte perpendiculare.

Panta dreptei $OA$, cu $O(0,0)$ și $A(3,1)$: $$m_{OA}=\frac{1-0}{3-0}=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ Panta dreptei $AB$ este $m_{AB}=\frac{4-1}{2-3}=-3$, deci $m_{OA}\cdot m_{AB}=\frac{1}{3}\cdot (-3)=-1$: dreptele $OA$ și $AB$ sunt perpendiculare, de unde obținem că triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $A$ (3 p).

(Control prin Pitagora: $O{A}^2=10$, $A{B}^2=1+9=10$, $O{B}^2=4+16=20=O{A}^2+A{B}^2$ — triunghiul este chiar dreptunghic isoscel. Unde se greșește de obicei: se verifică perpendicularitatea lui $OA$ cu $OB$, adică unghiul din $O$, nu din $A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Pentru $x=\frac{\pi }{2}$ avem $2x=\pi$ și $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{4}$, iar valorile necesare sunt $$\sin \frac{\pi }{2}=1,\cos \pi =-1,\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind, $$E\left(\frac{\pi }{2}\right)=1+2\cdot (-1)+2\cdot {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=1-2+2\cdot \frac{2}{4}=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $\cos 2x$ ca $2\cos x=0$ în loc de $\cos \pi =-1$; sau ${\sin }^2\frac{\pi }{4}$ se ia $\frac{\sqrt{2}}{2}$, fără pătrat.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 3\end{array}\right)⟹\det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 3\end{array}\right|=2\cdot 3-(-1)\cdot (-2)\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(1))=6-2=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: produsul $(-1)\cdot (-2)=2$ se adună în loc să se scadă, și iese $8$.)

b) (5 p) Pentru $x=-1$ matricea este $A(-1)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$, iar produsul, linie cu coloană: $$A(-1)\cdot A(x)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x+1& -x\\ -2x& 2x+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2x& 2x+1\\ 4x+2& -4x-1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scriind elementele cu ajutorul lui $-2x-1$: $$\left(\begin{array}{cc}(-2x-1)+1& -(-2x-1)\\ -2(-2x-1)& 2(-2x-1)+1\end{array}\right)=A(-2x-1),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: prima linie, $(0,1)$, înmulțită cu coloanele dă $-2x$ și $2x+1$; a doua linie, $(2,-1)$, dă $2(x+1)+2x=4x+2$ și $-2x-(2x+1)=-4x-1$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element, $\left(\begin{array}{cc}0& -x\\ -4x& -2x-1\end{array}\right)$, care nu este produsul matriceal.)

c) (5 p) Cu b), $A(-1)\cdot A(m)=A(-2m-1)$ și $A(-1)\cdot A(n)=A(-2n-1)$; cum elementele lui $A(x)$ sunt de gradul întâi în $x$, suma a două astfel de matrice este dublul matricei din „mijloc": $$A(-1)\cdot (A(m)+A(n))=A(-2m-1)+A(-2n-1)=2A(-m-n-1),\text{ pentru orice numere reale }m\text{ și }n\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $2A(-m-n-1)=2A(-4)$ dă, comparând elementele de pe prima linie și prima coloană, $-m-n-1=-4$, de unde obținem $m+n=3$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, cu $m<n$, perechile sunt $(0,3)$ și $(1,2)$ (2 p).

(Justificarea sumei: $A(p)+A(q)=\left(\begin{array}{cc}p+q+2& -(p+q)\\ -2(p+q)& 2(p+q)+2\end{array}\right)=2A\left(\frac{p+q}{2}\right)$, iar $\frac{(-2m-1)+(-2n-1)}{2}=-m-n-1$. Egalitatea $A(u)=A(v)$ implică $u=v$, pentru că elementul din colțul stânga-sus este $u+1$. Control: pentru $(m,n)=(0,3)$, $A(-1)\cdot (A(0)+A(3))=\left(\begin{array}{cc}-6& 8\\ 16& -14\end{array}\right)=2A(-4)$. Unde se greșește de obicei: se uită perechea $(0,3)$ — $0$ este număr natural; sau se scrie și perechea $(3,0)$, deși condiția este $m<n$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=2$ în formula legii: $$1\circ 2=1\cdot 3^2+2\cdot 3^1\text{(3 p)}.$$ $$1\circ 2=1\cdot 9+2\cdot 3=15\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se inversează exponenții, $1\cdot 3^1+2\cdot 3^2=21$ — în primul termen exponentul este al DOILEA operand.)

b) (5 p) Se verifică ambele egalități din definiția elementului neutru. Mai întâi, $$x\circ 0=x\cdot 3^0+0\cdot 3^x=x\cdot 1=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Apoi $0\circ x=0\cdot 3^x+x\cdot 3^0=x\cdot 1=x$, pentru orice număr real $x$, deci $\mathbf{e}=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$" (3 p).

(Legea este comutativă, $x\circ y=y\circ x$, așa că a doua egalitate se putea obține și din prima; baremul o scrie explicit. Unde se greșește de obicei: se ia $3^0=0$ și iese $x\circ 0=0$.)

c) (5 p) Se calculează fiecare membru: $$x\circ (3x)=x\cdot 3^{3x}+3x\cdot 3^x=x\cdot 3^x\left(3^{2x}+3\right),(2x)\circ (2x)=2\cdot 2x\cdot 3^{2x}=4x\cdot 3^{2x},\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $$x\cdot 3^x\left(3^{2x}+3\right)=4x\cdot 3^{2x},\text{ deci }x\cdot 3^x\left(3^x-3\right)\left(3^x-1\right)=0$$ și, cum $x$ este număr real nenul, obținem $\mathbf{x}=1$ (3 p).

(Detaliul: împărțind la $x\cdot 3^x\ne 0$, rămâne $3^{2x}-4\cdot 3^x+3=0$, adică, cu $t=3^x>0$, $t^2-4t+3=(t-3)(t-1)=0$. Din $3^x=3$ iese $x=1$, iar din $3^x=1$ iese $x=0$, exclus de condiția „nenul". Control: $1\circ 3=27+9=36$ și $2\circ 2=2\cdot 9+2\cdot 9=36$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $x=0$, deși enunțul cere un număr nenul; sau se scrie $3^{3x}$ ca $3^{x+3}$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită și inegalitate din monotonie.

a) (5 p) Se derivează câtul: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x\left(x^2+3x+3\right)-e^x(2x+3)}{{\left(x^2+3x+3\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Dând factor comun pe $e^x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x\left(x^2+3x+3-2x-3\right)}{{\left(x^2+3x+3\right)}^2}=\frac{e^x\left(x^2+x\right)}{{\left(x^2+3x+3\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Numitorul nu se anulează: $x^2+3x+3$ are discriminantul $9-12=-3<0$. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea de la numărător, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și derivata iese cu semnul schimbat.)

b) (5 p) Limita este de tipul $\frac{\infty }{\infty }$; se aplică regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2+3x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(e^x\right)}^{\prime }}{{\left(x^2+3x+3\right)}^{\prime }}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{2x+3}\text{(3 p)}.$$ Limita obținută este tot de tipul $\frac{\infty }{\infty }$, deci se aplică încă o dată regula: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(e^x\right)}^{\prime }}{(2x+3{)}^{\prime }}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{2}=+\infty \text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se consideră că numitorul „crește mai repede" și se scrie limita $0$; exponențiala crește mai repede decât orice polinom. Control numeric: $f(20)=\frac{e^{20}}{463}\approx 1,05\cdot 10^6$.)

c) (5 p) Din a), $f^{\prime }(x)=0⟺x^2+x=0⟺x=-1$ sau $x=0$; semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x(x+1)$. Pentru orice $x\in (-\infty ,-1]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty ,-1]$; pentru orice $x\in [-1,0]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-1,0]$ și, pentru orice $x\in [0,+\infty )$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[0,+\infty )$ (2 p).

Din monotonie, $x\in (-\infty ,0]$ implică $f(x)\le f(-1)$, iar $y\in [0,+\infty )$ implică $f(y)\ge f(0)$; cum $f(-1)=\frac{e^{-1}}{1-3+3}=\frac{1}{e}$ și $f(0)=\frac{1}{3}$, obținem $$f(x)-f(y)\le \frac{1}{e}-\frac{1}{3},\text{ deci }f(x)-f(y)\le \frac{3-e}{3e},$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$, cu $x\le 0\le y$ (3 p).

(De ce $f(x)\le f(-1)$ pe tot intervalul $(-\infty ,0]$: pe $(-\infty ,-1]$ funcția crește până la $f(-1)$, iar pe $[-1,0]$ descrește de la $f(-1)$; deci $f(-1)$ este cea mai mare valoare pe $(-\infty ,0]$. La fel, $f(0)$ este cea mai mică valoare pe $[0,+\infty )$. Aici $e$ este numărul lui Euler, iar $\frac{1}{e}-\frac{1}{3}=\frac{3-e}{3e}\approx 0,034546$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(-1)=e$ în loc de $\frac{1}{e}$, iar marginea iese $e-\frac{1}{3}\approx 2,385$, mult prea mare ca să dea inegalitatea cerută; sau se folosește doar $f(y)\ge 0$, iar marginea iese $\frac{1}{e}\approx 0,368$, tot mai mare decât $\frac{3-e}{3e}$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Termenul $3x\ln x$ se reduce: $f(x)-3x\ln x=4x+1$, deci $${\int }_1^2(f(x)-3x\ln x)dx={\int }_1^2(4x+1)dx=\left(2x^2+x\right){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$\left(2x^2+x\right){|}_1^2=8+2-(2+1)=7\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $4x$ se scrie $4x^2$, și iese $16+2-5=13$.)

b) (5 p) Numărătorul se reduce la $3x\ln x$, deci integrandul este $3\ln x$; se integrează prin părți, cu $3=(3x{)}^{\prime }$: $${\int }_1^e\frac{f(x)-4x-1}{x}dx={\int }_1^{e}3\ln xdx={\int }_1^e(3x{)}^{\prime }\ln xdx=3x\ln x{|}_1^e-3x{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, cu $\ln e=1$ și $\ln 1=0$: $$3e-3e+3=3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul integrării prin părți: ${\int }_1^e(3x{)}^{\prime }\ln xdx=3x\ln x{|}_1^e-{\int }_1^{e}3x\cdot \frac{1}{x}dx$, iar ${\int }_1^{e}3dx=3x{|}_1^e=3e-3$. Deci $3e-0-(3e-3)=3$. Unde se greșește de obicei: se uită al doilea termen al formulei prin părți și iese $3e$.)

c) (5 p) Numărătorul este $f(x)-1=4x+3x\ln x$; împărțind la $x^2\ln x$, integrandul se desparte în doi termeni: $${\int }_2^4\frac{f(x)-1}{x^2\ln x}dx={\int }_2^4\frac{4x+3x\ln x}{x^2\ln x}dx={\int }_2^4\frac{4}{\ln x}\cdot (\ln x{)}^{\prime }dx+3{\int }_2^4\frac{1}{x}dx=4\ln (\ln x){|}_2^4+3\ln x{|}_2^4\text{(3 p)}.$$ Cum $\ln 4=2\ln 2$, avem $\ln (\ln 4)-\ln (\ln 2)=\ln \frac{2\ln 2}{\ln 2}=\ln 2$ și $\ln 4-\ln 2=\ln 2$, deci integrala este $4\ln 2+3\ln 2=7\ln 2$; egalitatea $a\ln 2=7\ln 2$ dă $\mathbf{a}=7$ (2 p).

(Pe $[2,4]$ avem $\ln x>0$, deci $\ln (\ln x)$ este definit. Primul termen este de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=\ln x$: $\frac{4}{x\ln x}=4\cdot \frac{(\ln x{)}^{\prime }}{\ln x}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[2,4]$ dă $4,852030$, iar $7\ln 2\approx 4,852030$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\ln (\ln 4)-\ln (\ln 2)=\ln (\ln 4-\ln 2)=\ln (\ln 2)$, scăzând argumentele, și iese $4\ln (\ln 2)+3\ln 2\approx 0,613$ în loc de $7\ln 2$; sau se uită al doilea termen, $3{\int }_2^4\frac{1}{x}dx$, și iese $a=4$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la simularea națională a examenului de bacalaureat din 2025, proba E. c), Matematică M_șt-nat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul simulării din 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțire și adunare cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $f\circ f$ pentru o funcție de gradul întâi, apoi o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluției — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: puterile lui $2$ divizibile cu $16$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: pantele a două drepte perpendiculare — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinant, un produs de matrice cu parametru, o ecuație matriceală cu necunoscute naturale — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, elementul neutru, o ecuație exponențială — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, o limită cu regula lui l'Hôpital, o inegalitate din tabelul de variație — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o integrală polinomială, integrarea prin părți și o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2025. Subiectul I este format din șase calcule directe; singurele locuri cu capcană sunt verificarea soluției la ecuația irațională (cerința 3) și faptul că printre numerele naturale de o cifră se numără și $0$ (cerința 4: zece cazuri posibile, nu nouă). La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ depinde de gradul întâi de $x$, așa că produsul $A(-1)\cdot A(x)$ este tot o matrice de forma $A(\dots )$, iar suma $A(p)+A(q)$ este $2A\left(\frac{p+q}{2}\right)$: subpunctul c) se reduce la $m+n=3$. Legea de compoziție are forma $x\cdot 3^y+y\cdot 3^x$; ecuația de la subpunctul c) devine, după împărțirea la $x\cdot 3^x$, o ecuație de gradul al doilea în $3^x$. La Subiectul al III-lea, inegalitatea de la subpunctul c) spune doar că orice valoare a funcției pe $(-\infty ,0]$ este cel mult maximul local $f(-1)=\frac{1}{e}$, iar orice valoare pe $[0,+\infty )$ este cel puțin minimul local $f(0)=\frac{1}{3}$; problema 2 se încheie cu o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=\ln x$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $5$, $a=10$, $x=2$, $\frac{3}{5}$, $0$, $4$, perechile $(0,3)$ și $(1,2)$, $15$, $x=1$, $7$, $3$ și $a=7$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția păstrată fără verificare; la cerința 7, subpunctul c), perechea $(0,3)$ uitată (și $0$ este număr natural); la cerința 8, subpunctul b), elementul neutru verificat doar într-o parte, $x\circ 0=x$, fără $0\circ x=x$; la cerința 9, subpunctul c), valorile $f(-1)$ și $f(0)$ folosite fără monotonia funcției pe intervalele respective.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$. Compunere: $(f\circ f)(a)=f(f(a))$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v$ se ridică la pătrat, iar soluțiile se verifică în ecuația inițială. Drepte perpendiculare: produsul pantelor este $-1$; panta dreptei $PQ$ este $\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$. Unghiuri remarcabile: $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\cos \pi =-1$, $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; produsul se face linie cu coloană.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru când $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$. Puteri: $3^0=1$, $3^x\cdot 3^y=3^{x+y}$.
• Derivate și limite: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; regula lui l'Hôpital pentru $\frac{\infty }{\infty }$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{f}^{\prime }gdx=fg{|}_a^b-{\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere și semne în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ este compunerea funcțiilor la cerința $2$ și legea de compoziție definită în enunț la cerința $8$.
• Litera $e$ este, la cerința $8$, subpunctul b), elementul neutru al legii ($e=0$), iar la cerințele $9$ și $10$ este numărul lui Euler, $e\approx 2,718$ (baza logaritmului natural).
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x+5$ la cerința $2$, $f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+3}$ la cerința $9$ și $f(x)=4x+1+3x\ln x$ la cerința $10$. Litera $a$ este necunoscuta de la cerința $2$ și numărul real căutat la cerința $10$, subpunctul c).
• Litera $A$ este punctul $A(3,1)$ la cerința $5$ și matricea $A(x)$ la cerința $7$, unde $x$ este un parametru real; la cerința $7$, subpunctul c), necunoscutele sunt numerele naturale $m$ și $n$. Litera $n$ mai denumește, la cerința $4$, numărul ales din mulțimea numerelor de o cifră, iar $m$ apare la cerința $5$ doar ca indice pentru pante ($m_{OA}$, $m_{AB}$).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".