Bac M2 2025, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2025 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\cdot (1,1+0,3)-1,8=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+4$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=a\cdot f(0)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2-x}=\sqrt{x^2+x-1}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $n^3>10$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4)$, $B(2,0)$ și $C(8,2)$. Determinați distanța dintre punctul $A$ și mijlocul segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=10$ și $\sin B=\frac{2}{5}$. Arătați că $AC=4$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(x)=\left(\begin{array}{cc}2+2x& x\\ -x& 2-2x\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(2)\cdot A(1)+3A(-2)=16I_2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul întreg nenul $m$ pentru care matricea $B(m)=\frac{1}{m}A(-m)$ este inversa matricei $A(m)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2-3X+a$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $a=1$, arătați că $f(-1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $3x_1+3x_2+3x_3-x_1{x}_2{x}_3=3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Pentru $a=9$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-8}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x+2)(4-x)}{e^x}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-4e^2\le f(x)\le e^3$, pentru orice $x\in [-3,4]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x+\frac{2\ln x}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^3\left(f(x)-\frac{2\ln x}{x}\right)dx=15$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e(f(x)-6x)dx=1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_1^{e^2}\left(\frac{f(x)}{x}+f^{\prime }(x)\ln x\right)dx=af\left(e^2\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul numeric cu fracții zecimale.

Întâi paranteza, apoi înmulțirea: $$2\cdot (1,1+0,3)-1,8=2\cdot 1,4-1,8\text{(2 p)}.$$ $$2\cdot 1,4-1,8=2,8-1,8=1\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește doar primul termen din paranteză, $2\cdot 1,1+0,3=2,5$, și iese $0,7$; sau se scade înaintea înmulțirii, $2\cdot (1,4-1,8)$, și iese $-0,8$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se calculează valorile funcției: $$f(0)=4,f(a)=2a+4,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $2a+4=4a$, de unde obținem $\mathbf{a}=2$ (3 p).

(Verificare: $f(2)=8$ și $2\cdot f(0)=8$. Unde se greșește de obicei: se citește $a\cdot f(0)$ ca $f(a\cdot 0)=f(0)$ și se rezolvă $2a+4=4$, adică $a=0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se ridică ambii membri la pătrat: $$2-x=x^2+x-1,\text{ de unde obținem }{x}^2+2x-3=0\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile sunt $\mathbf{x}=-3$ sau $\mathbf{x}=1$, care convin (3 p).

(Verificarea: pentru $x=-3$, $2-x=5$ și $x^2+x-1=9-3-1=5$, deci ambii radicali sunt $\sqrt{5}$; pentru $x=1$, ambii sunt $\sqrt{1}=1$. Ajunge să verificăm $2-x\ge 0$: atunci și $x^2+x-1$, egal cu el, este nenegativ. Unde se greșește de obicei: se aruncă $x=-3$ „pentru că este negativ" — dar sub radical nu apare $x$, ci $2-x=5$; sau se greșește semnul la trecere și iese $x^2+2x+1=0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea numerelor naturale de o cifră, $\{0,1,\dots ,9\}$, are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2 p).

Cum $0^3=0$, $1^3=1$ și $2^3=8$ sunt cel mult $10$, iar $3^3=27>10$, în mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt $7$ numere $n$ care verifică inegalitatea $n^3>10$ (de la $3$ la $9$), deci sunt $7$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{7}{10}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită $0$ și iese $\frac{7}{9}$; sau se numără și $2$, pentru că „$2^3=8$ e aproape de $10$", și iese $\frac{8}{10}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Mijlocul segmentului $BC$ are coordonatele $\left(\frac{2+8}{2},\frac{0+2}{2}\right)$, deci este $M(5,1)$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ (3 p).

Distanța de la $A(1,4)$ la $M(5,1)$: $$AM=\sqrt{(5-1{)}^2+(1-4{)}^2}=\sqrt{16+9}=5\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul ca semidiferență, $(3,1)$, și iese $AM=\sqrt{13}$; sau se adună diferențele fără pătrate, $4+3=7$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

În triunghiul dreptunghic în $A$, sinusul unghiului $B$ este cateta opusă supra ipotenuză: $$\sin B=\frac{AC}{BC},\text{ deci }\frac{2}{5}=\frac{AC}{10}\text{(3 p)}.$$ $$AC=\frac{2\cdot 10}{5}=4\text{(2 p)}.$$

(Control: $AB=\sqrt{100-16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$, iar $\sin B=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. Unde se greșește de obicei: se inversează fracția, $\sin B=\frac{BC}{AC}$, adică $\frac{2}{5}=\frac{10}{AC}$, și iese $AC=25$ — imposibil, o catetă nu poate fi mai lungă decât ipotenuza $BC=10$. O observație separată: cine ia $\sin B=\frac{AB}{BC}$ (cateta alăturată) obține tot numărul $4$, dar pentru $AB$, nu pentru $AC$ — egalitatea cerută „iese" pe un drum greșit.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& 0\end{array}\right)⟹\det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=4\cdot 0-1\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(1))=0+1=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se pierde un minus și se scrie $4\cdot 0+1\cdot (-1)=-1$; produsul de pe diagonala secundară se SCADE: $0-(-1)=1$.)

b) (5 p) Se calculează matricele și produsul: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ -2& -2\end{array}\right),A(2)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}22& 6\\ -6& -2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $A(-2)=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 2& 6\end{array}\right)$, obținem $$A(2)\cdot A(1)+3A(-2)=\left(\begin{array}{cc}22-6& 6-6\\ -6+6& -2+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}16& 0\\ 0& 16\end{array}\right)=16I_2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: prima linie, $(6,2)$, înmulțită cu coloanele lui $A(1)$ dă $24-2=22$ și $6+0=6$; a doua linie, $(-2,-2)$, dă $-8+2=-6$ și $-2+0=-2$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element, $\left(\begin{array}{cc}24& 2\\ 2& 0\end{array}\right)$.)

c) (5 p) $B(m)$ este inversa matricei $A(m)$ dacă și numai dacă $A(m)\cdot B(m)=B(m)\cdot A(m)=I_2$; cum $A(m)\cdot A(-m)=A(-m)\cdot A(m)=\left(4-3m^2\right)I_2$, condiția devine $$\frac{4-3m^2}{m}{I}_2=I_2\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\frac{4-3m^2}{m}=1$, adică $3m^2+m-4=0$, de unde obținem $m=-\frac{4}{3}$, care nu convine, sau $\mathbf{m}=1$, care convine (2 p).

(Detaliul produsului: $A(m)\cdot A(-m)=\left(\begin{array}{cc}2+2m& m\\ -m& 2-2m\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2-2m& -m\\ m& 2+2m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-3m^2& 0\\ 0& 4-3m^2\end{array}\right)$. Valoarea $-\frac{4}{3}$ nu convine pentru că enunțul cere un număr întreg. Control: pentru $m=1$, $B(1)=A(-1)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 4\end{array}\right)$ și $A(1)\cdot B(1)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 4\end{array}\right)=I_2$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{m}$ și se pune condiția $4-3m^2=1$, adică $m=\pm 1$ — aici $m=-1$ ar da $B(-1)=-A(1)$, care nu e inversa.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=1$, $f=X^3-3X^2-3X+1$, deci $$f(-1)=(-1{)}^3-3\cdot (-1{)}^2-3\cdot (-1)+1\text{(3 p)}.$$ $$f(-1)=-1-3+3+1=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $-3\cdot (-1{)}^2=3$, uitând că pătratul se face înaintea înmulțirii cu $-3$.)

b) (5 p) Relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=3,x_1{x}_2{x}_3=-a\Rightarrow 3x_1+3x_2+3x_3-x_1{x}_2{x}_3=9+a,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția $9+a=3$ dă $\mathbf{a}=-6$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=a$, cu semnul greșit, și iese $9-a=3$, adică $a=6$.)

c) (5 p) Pentru $a=9$ se grupează termenii: $$f=X^3-3X^2-3X+9=X^2(X-3)-3(X-3)=(X-3)\left(X^2-3\right)\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile polinomului sunt ${\mathbf{x}}_1=3$, ${\mathbf{x}}_2=-\sqrt{3}$ și ${\mathbf{x}}_3=\sqrt{3}$ (3 p).

(Control: $3-\sqrt{3}+\sqrt{3}=3$ (suma, cum cere Viète) și $3\cdot (-\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}=-9=-a$. Unde se greșește de obicei: din $X^2-3=0$ se păstrează doar $\sqrt{3}$; sau se scrie $X^2-3=(X-3)(X+3)$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și dublă inegalitate.

a) (5 p) Se derivează câtul: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x{e}^x-\left(x^2-8\right)e^x}{{\left(e^x\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Simplificând cu $e^x$ și descompunând numărătorul: $$f^{\prime }(x)=\frac{-x^2+2x+8}{e^x}=\frac{(x+2)(4-x)}{e^x},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Control: $(x+2)(4-x)=4x-x^2+8-2x=-x^2+2x+8$. Unde se greșește de obicei: se scrie numitorul $e^x$ în loc de ${\left(e^x\right)}^2$ și nu se mai simplifică; sau se inversează ordinea din numărător.)

b) (5 p) Valorile în $0$: $$f(0)=\frac{-8}{1}=-8,f^{\prime }(0)=\frac{2\cdot 4}{1}=8\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $\mathbf{y}=8x-8$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie $y+8=8x$ corect, dar se trece $8$ cu semnul greșit, $y=8x+8$.)

c) (5 p) Din a), $f^{\prime }(x)=0⟺x=-2$ sau $x=4$; pentru orice $x\in [-3,-2]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-3,-2]$ și, pentru orice $x\in [-2,4]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[-2,4]$ (3 p).

Valorile de comparat sunt $f(-3)=\frac{1}{e^{-3}}=e^3$, $f(-2)=\frac{-4}{e^{-2}}=-4e^2$ și $f(4)=\frac{8}{e^4}<e^3$, de unde obținem $-4{\mathbf{e}}^2\le \mathbf{f}(\mathbf{x})\le {\mathbf{e}}^3$, pentru orice $x\in [-3,4]$ (2 p).

(De ce: pe $[-3,-2]$ funcția coboară de la $f(-3)=e^3$ la $f(-2)=-4e^2$, iar pe $[-2,4]$ urcă de la $-4e^2$ la $f(4)=\frac{8}{e^4}$. Deci cea mai mică valoare pe $[-3,4]$ este $f(-2)=-4e^2$, iar cea mai mare este $\max \left\{e^3,\frac{8}{e^4}\right\}=e^3$. Pe $[-3,4]$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x+2$, pentru că $4-x\ge 0$ și $e^x>0$. Control numeric: $e^3\approx 20,085537$, $-4e^2\approx -29,556224$, $\frac{8}{e^4}\approx 0,146525$. Unde se greșește de obicei: se ia ca maxim $f(4)$, capătul din dreapta, fără să se compare cu $f(-3)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Termenul cu logaritm se reduce: $f(x)-\frac{2\ln x}{x}=6x$, deci $${\int }_2^3\left(f(x)-\frac{2\ln x}{x}\right)dx={\int }_2^{3}6xdx=3x^2{|}_2^3\text{(3 p)}.$$ $$3x^2{|}_2^3=27-12=15\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $6x$ se scrie $6x^2$, și iese $30$.)

b) (5 p) Rămâne $\frac{2\ln x}{x}=2\ln x\cdot (\ln x{)}^{\prime }$, care este derivata lui ${\ln }^{2}x$: $${\int }_1^e(f(x)-6x)dx={\int }_1^e\frac{2\ln x}{x}dx={\int }_1^{e}2\ln x(\ln x{)}^{\prime }dx={\ln }^{2}x{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ $${\ln }^{2}x{|}_1^e={\ln }^{2}e-{\ln }^{2}1=1-0=1\text{(2 p)}.$$

(Aici ${\ln }^{2}x=(\ln x{)}^2$, iar ${\left({\ln }^{2}x\right)}^{\prime }=2\ln x\cdot \frac{1}{x}$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{2\ln x}{x}$ ca $2\ln (\ln x)$, adică de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ — dar aici logaritmul este la numărător.)

c) (5 p) Integrandul este derivata unui produs: $(f(x)\ln x{)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\ln x+f(x)\cdot \frac{1}{x}$. Deci $${\int }_1^{e^2}\left(\frac{f(x)}{x}+f^{\prime }(x)\ln x\right)dx={\int }_1^{e^2}(f(x)\ln x{)}^{\prime }dx=f(x)\ln x{|}_1^{e^2}=f\left(e^2\right)\ln e^2=2f\left(e^2\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $2f\left(e^2\right)=af\left(e^2\right)$ și, cum $f\left(e^2\right)\ne 0$, obținem $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(În capătul de jos, $f(1)\ln 1=0$. De ce $f\left(e^2\right)\ne 0$: $f\left(e^2\right)=6e^2+\frac{4}{e^2}>0$. Nu e nevoie să calculăm $f^{\prime }(x)$ și nici să integrăm separat cei doi termeni. Unde se greșește de obicei: se scrie $\ln e^2=e$ sau $\ln e^2=1$ și iese $a=e$, respectiv $a=1$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2025 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii speciale din 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Calcul numeric cu fracții zecimale: o paranteză, o înmulțire și o scădere — gimnaziu, recapitulat în clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale funcției și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu câte un radical în fiecare membru: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de o cifră cu cubul mai mare decât $10$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul unui unghi ascuțit — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinant, produse și sume de matrice cu parametru, condiția ca o matrice să fie inversa alteia — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, relațiile lui Viète, descompunerea în factori — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, ecuația tangentei, extremele pe un interval închis — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o integrală polinomială, o integrală de tipul $u^2\cdot u^{\prime }$ și o integrală a unei derivate de produs — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2025. Subiectul I este format din șase cerințe directe; la ecuația irațională ambele rădăcini ale ecuației de gradul al doilea convin, lucru care trebuie verificat, nu presupus, iar la probabilitate printre numerele de o cifră se numără și $0$. La Subiectul al II-lea, produsul $A(m)\cdot A(-m)$ iese un multiplu al matricei unitate, $\left(4-3m^2\right)I_2$, de unde condiția ca $\frac{1}{m}A(-m)$ să fie inversa lui $A(m)$ devine o ecuație de gradul al doilea în $m$; polinomul se descompune prin grupare, $(X-3)\left(X^2-3\right)$. La Subiectul al III-lea, dubla inegalitate de la problema 1 cere valorile funcției în capetele intervalului $[-3,4]$ și în punctul de minim $x=-2$; problema 2 se încheie cu o integrală în care integrandul este chiar derivata produsului $f(x)\ln x$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $1$, $a=2$, $x=-3$ și $x=1$, $\frac{7}{10}$, $5$, $4$, $m=1$, $a=-6$, rădăcinile $3$, $-\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$, $y=8x-8$, $15$, $1$ și $a=2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile păstrate fără verificare; la cerința 7, subpunctul c), valoarea $m=-\frac{4}{3}$ păstrată, deși enunțul cere un număr întreg; la cerința 9, subpunctul c), marginile scrise fără monotonia funcției pe $[-3,-2]$ și pe $[-2,4]$; la cerința 10, subpunctul c), concluzia $a=2$ scrisă fără să se arate că $f\left(e^2\right)\ne 0$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=\sqrt{v}$ se ridică la pătrat, $u=v$, iar soluțiile se verifică: $u\ge 0$ (și atunci $v=u\ge 0$). Mijlocul segmentului $[BC]$: $\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$; distanța: $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$. Triunghi dreptunghic în $A$: $\sin B=\frac{AC}{BC}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; $B$ este inversa lui $A$ când $A\cdot B=B\cdot A=I_2$.
• Polinoame: pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, Viète: $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$; gruparea termenilor: $X^3-3X^2-3X+9=X^2(X-3)-3(X-3)$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$.
• Integrale: $\int 2\ln x\cdot (\ln x{)}^{\prime }dx={\ln }^{2}x+\mathcal{C}$; $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, deci ${\int }_a^b(u\cdot v{)}^{\prime }dx=(u\cdot v){|}_a^b$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: funcția $f(x)=2x+4$ la cerința $2$, polinomul $f=X^3-3X^2-3X+a$ la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{x^2-8}{e^x}$ la cerința $9$ și funcția $f(x)=6x+\frac{2\ln x}{x}$ la cerința $10$. Tot așa, litera $a$ este necunoscuta de la cerința $2$, parametrul real al polinomului de la cerința $8$ și numărul real căutat la cerința $10$, subpunctul c).
• Litera $A$ este punctul $A(1,4)$ la cerința $5$, vârful triunghiului $ABC$ la cerința $6$ și matricea $A(x)$ la cerința $7$, unde $x$ este un parametru real; la cerința $7$, subpunctul c), $m$ este un număr întreg nenul, iar $B(m)$ este o matrice (nu punctul $B(2,0)$ de la cerința $5$ și nici vârful $B$ al triunghiului de la cerința $6$). Tot așa, litera $C$ este punctul $C(8,2)$ la cerința $5$ și vârful $C$ al triunghiului la cerința $6$.
• La cerința $10$, ${\ln }^{2}x$ înseamnă $(\ln x{)}^2$, iar $e$ este numărul lui Euler, $e\approx 2,718$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".