Bac M2 2026, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2026 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=2-3i$ și $z_2=1-2i$. Arătați că $i{z}_1+z_2=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a+2)=a+f(a)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x}=\sqrt{x^2-x+2}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $3n^2>100$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,0)$, $B(8,2)$ și $C(1,9)$. Determinați distanța dintre punctul $C$ și mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AC=9$ și $B=\frac{\pi }{3}$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $3\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x+y& xy\\ 4& x+y\end{array}\right)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1,2))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că matricea $A(x,y)$ este inversabilă, pentru orice numere reale distincte $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(x,2)\cdot A(x,2)=4A(y,0)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=5-\frac{x+y}{2}+xy$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 3=6$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast 5=2x$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $(m-n)\ast (m+n)=m^2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+8x-2}{x^2+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{8(x+1)(2-x)}{{\left(x^2+2\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-2\le f(x)-f(y)\le 2$, pentru orice $x,y\in [-4,0]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x^2-3+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-\ln x)dx=\frac{26}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{1}{x}\cdot \left(f(x)-5x^2+3\right)dx=\frac{1}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)+3}{\sqrt{x}}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=4$ este egală cu $58+m\ln 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Înmulțim $z_1$ cu $i$ și adunăm $z_2$: $$i{z}_1+z_2=i(2-3i)+1-2i=2i-3i^2+1-2i\text{(2 p)}.$$ Termenii $2i$ și $-2i$ se reduc, iar $-3i^2=3$: $$i{z}_1+z_2=3+1=4\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $i^2=1$ și iese $-3+1=-2$; sau se înmulțește cu $i$ doar primul termen, $2i-3i$, și partea imaginară nu se mai reduce.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Calculăm cele două valori ale funcției: $$f(a+2)=a+5,f(a)=a+3,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $a+5=a+a+3$, de unde obținem $\mathbf{a}=2$ (3 p).

(Control: $f(4)=7$, iar $2+f(2)=2+5=7$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(a+2)=a+2$, uitând termenul $+3$, și iese $a+2=2a+3$, adică $a=-1$; sau se reduce $a$ din ambii membri de două ori și se ajunge la $5=3$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ridicăm la pătrat ambii membri: $$2x=x^2-x+2,\text{ de unde obținem }{x}^2-3x+2=0\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile sunt $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=2$, care convin (3 p).

(Justificarea pe care baremul o rezumă în „care convin": ambele valori sunt pozitive, deci $2x\ge 0$, iar radicanzii sunt egali; verificare — pentru $x=1$, $\sqrt{2}=\sqrt{1-1+2}$; pentru $x=2$, $\sqrt{4}=\sqrt{4-2+2}$. Unde se greșește de obicei: se trece $2x$ în membrul drept cu semnul greșit și iese $x^2+x+2=0$, fără soluții reale.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea numerelor naturale de o cifră, $\{0,1,2,\dots ,9\}$, are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2 p).

În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt $4$ numere $n$ care verifică inegalitatea $3n^2>100$, și anume $6$, $7$, $8$ și $9$, deci sunt $4$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\text{(3 p)}.$$

(Pentru $n=5$, $3\cdot 25=75<100$, iar pentru $n=6$, $3\cdot 36=108>100$. Unde se greșește de obicei: se uită $0$, care este număr natural de o cifră, și se numără $9$ cazuri posibile, adică $\frac{4}{9}$; sau se rezolvă $3n>100$, uitând pătratul.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, distanța la mijlocul unui segment.

Mijlocul segmentului $AB$ are coordonatele $\left(\frac{6+8}{2},\frac{0+2}{2}\right)$, deci mijlocul segmentului $AB$ este $M(7,1)$ (3 p).

$$CM=\sqrt{(7-1{)}^2+(1-9{)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul ca semidiferență, $(1,1)$, și distanța iese $8$; sau se uită radicalul și se scrie $CM=100$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, teorema sinusurilor.

Latura $AC$ se opune unghiului $B$, deci $$2R=\frac{AC}{\sin B}=\frac{9}{\sin B},\text{ unde }R\text{ este raza cercului circumscris triunghiului }ABC\text{(3 p)}.$$ Cum $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, obținem $2R=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}$, deci $\mathbf{R}=3\sqrt{3}$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie $R=\frac{AC}{\sin B}$, uitând factorul $2$, și iese $6\sqrt{3}$; sau se ia $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ și iese $R=9$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu doi parametri.

a) (5 p) Pentru $x=1$ și $y=2$: $$A(1,2)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(1,2))=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=3\cdot 3-2\cdot 4\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(1,2))=9-8=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia în dreapta sus $x+y=3$ în loc de $xy=2$, și determinantul iese $9-12=-3$.)

b) (5 p) Calculăm determinantul pentru $x$ și $y$ oarecare: $$\det (A(x,y))=\left|\begin{array}{cc}x+y& xy\\ 4& x+y\end{array}\right|=(x+y{)}^2-4xy=(x-y{)}^2,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ Cum $x\ne y$, obținem $\det (A(x,y))\ne 0$, deci matricea $A(x,y)$ este inversabilă, pentru orice numere reale distincte $x$ și $y$ (2 p).

(Detaliul: $(x+y{)}^2-4xy=x^2+2xy+y^2-4xy=x^2-2xy+y^2$. Pentru $x=y$ determinantul este $0$, deci condiția „distincte" este necesară. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x+y{)}^2-4xy=(x+y{)}^2$, uitând termenul $4xy$ — atunci concluzia ar fi alta.)

c) (5 p) Calculăm cei doi membri, pentru orice numere reale $x$ și $y$: $$A(x,2)=\left(\begin{array}{cc}x+2& 2x\\ 4& x+2\end{array}\right),A(x,2)\cdot A(x,2)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2+12x+4& 4x^2+8x\\ 8x+16& x^2+12x+4\end{array}\right),4A(y,0)=\left(\begin{array}{cc}4y& 0\\ 16& 4y\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalând elementele corespunzătoare obținem $\mathbf{x}=0$ și $\mathbf{y}=1$ (2 p).

(Sistemul pe care baremul îl rezolvă pe scurt: din elementul din stânga jos, $8x+16=16$, deci $x=0$; atunci în dreapta sus $4x^2+8x=0$ este verificată, iar de pe diagonală $x^2+12x+4=4y$ dă $4=4y$, adică $y=1$. Elementul din dreapta sus singur ar permite și $x=-2$, dar pentru $x=-2$ elementul din stânga jos devine $0\ne 16$. Detaliul produsului: $(x+2{)}^2+2x\cdot 4=x^2+12x+4$. Atenție: ridicarea la pătrat a fiecărui element, $\left(\begin{array}{cc}(x+2{)}^2& 4x^2\\ 16& (x+2{)}^2\end{array}\right)$, nu este produsul matricelor — aici ar duce, întâmplător, tot la $x=0$ și $y=1$, dar metoda este greșită. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $4$ doar diagonala lui $A(y,0)$, scriind $4A(y,0)=\left(\begin{array}{cc}4y& 0\\ 4& 4y\end{array}\right)$; atunci din stânga jos $8x+16=4$, adică $x=-\frac{3}{2}$, pentru care elementul din dreapta sus este $4x^2+8x=-3\ne 0$ și se ajunge, greșit, la concluzia că nu există soluții.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Înlocuim $x=1$ și $y=3$: $$1\ast 3=5-\frac{1+3}{2}+1\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$1\ast 3=5-2+3=6\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se împarte la $2$ doar $y$, $5-1-\frac{3}{2}+3$, și iese $\frac{11}{2}$.)

b) (5 p) Înlocuim $y=5$ și aducem la același numitor: $$x\ast 5=5-\frac{x+5}{2}+5x=\frac{9x+5}{2},\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ $$\frac{9x+5}{2}=2x,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{10-x-5+10x}{2}=\frac{9x+5}{2}$; din $9x+5=4x$ rezultă $5x=-5$. Control: $(-1)\ast 5=5-2-5=-2=2\cdot (-1)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $2$ doar un membru, $9x+5=2x$, și iese $x=-\frac{5}{7}$.)

c) (5 p) Cum $(m-n)+(m+n)=2m$ și $(m-n)(m+n)=m^2-n^2$: $$(m-n)\ast (m+n)=5-m+m^2-n^2,\text{ deci }m+n^2=5\text{(2 p)}.$$ Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, obținem perechile $(1,2)$, $(4,1)$ și $(5,0)$ (3 p).

(Din $m=5-n^2\ge 0$ rezultă $n^2\le 5$, deci $n\in \{0,1,2\}$, cu $m=5$, $4$, respectiv $1$. Control: pentru $(1,2)$, $(-1)\ast 3=5-1-3=1=1^2$. Unde se greșește de obicei: se uită că $0$ este număr natural și se pierde perechea $(5,0)$; sau se scrie $(m-n)(m+n)=m^2+n^2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă și o dublă inegalitate.

a) (5 p) Se derivează câtul, cu ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+8)\left(x^2+2\right)-\left(x^2+8x-2\right)\cdot 2x}{{\left(x^2+2\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{-8x^2+8x+16}{{\left(x^2+2\right)}^2}=\frac{8(x+1)(2-x)}{{\left(x^2+2\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul numărătorului: $2x^3+8x^2+4x+16-2x^3-16x^2+4x=-8x^2+8x+16=-8\left(x^2-x-2\right)=8(x+1)(2-x)$. Unde se greșește de obicei: se scrie numărătorul în ordine inversă, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și iese $f^{\prime }$ cu semnul schimbat.)

b) (5 p) Scoatem factor comun $x^2$ la numărător și la numitor: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+8x-2}{x^2+2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{8}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x^2}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{8}{x}-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}}=1\text{(3 p)}.$$ Dreapta de ecuație $\mathbf{y}=1$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Numărătorul și numitorul au același grad, deci limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{1}{1}$. Unde se greșește de obicei: se scrie asimptota $x=1$, care ar fi o dreaptă verticală; sau se ia raportul termenilor liberi, $\frac{-2}{2}=-1$.)

c) (5 p) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ sau $x=2$; pentru orice $x\in [-4,-1]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-4,-1]$ și, pentru orice $x\in [-1,0]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[-1,0]$ (2 p).

$x,y\in [-4,0]$ și, cum $f(-4)=-1$, $f(-1)=-3$, $f(0)=-1$, obținem $-3\le f(x)\le -1$ și $-3\le f(y)\le -1$, deci $-2\le f(x)-f(y)\le 2$, pentru orice $x,y\in [-4,0]$ (3 p).

(Semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $(x+1)(2-x)$: pe $[-4,-1]$ primul factor este $\le 0$ și al doilea pozitiv. Valorile: $f(-4)=\frac{16-32-2}{18}=-1$, $f(-1)=\frac{1-8-2}{3}=-3$, $f(0)=\frac{-2}{2}=-1$. Cea mai mare diferență se obține cu $f(x)$ maxim și $f(y)$ minim: $f(x)-f(y)\le -1-(-3)=2$; cea mai mică, invers: $f(x)-f(y)\ge -3-(-1)=-2$. Atenție: inegalitățile de același sens nu se scad membru cu membru — așa ar ieși $-3-(-3)\le f(x)-f(y)\le -1-(-1)$, adică $0\le f(x)-f(y)\le 0$, fals pentru $x=-1$, $y=0$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(-4)=1$, cu semnul pierdut, și marginile devin $-3\le f(x)\le 1$, de unde doar $-4\le f(x)-f(y)\le 4$, prea slab pentru inegalitatea cerută; sau se ia în calcul și $x=2$, din afara intervalului, cu $f(2)=3$, și iese $-6\le f(x)-f(y)\le 6$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și aria unei suprafețe plane.

a) (5 p) Termenul $\ln x$ se reduce: $${\int }_1^2(f(x)-\ln x)dx={\int }_1^2\left(5x^2-3\right)dx=\frac{5x^3}{3}{|}_1^2-3x{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $${\int }_1^2(f(x)-\ln x)dx=\frac{35}{3}-3=\frac{26}{3}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{5\cdot 8}{3}-\frac{5}{3}=\frac{35}{3}$ și $3\cdot 2-3\cdot 1=3$. Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $3$ și se scrie primitiva $5x^3$, de unde iese $35-3=32$.)

b) (5 p) Rămâne doar logaritmul, $f(x)-5x^2+3=\ln x$, iar $\frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot (\ln x{)}^{\prime }$: $${\int }_1^e\frac{1}{x}\cdot \left(f(x)-5x^2+3\right)dx={\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx={\int }_1^e\ln x\cdot (\ln x{)}^{\prime }dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ $$\frac{{\ln }^{2}e}{2}-\frac{{\ln }^{2}1}{2}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia primitiva lui $\frac{\ln x}{x}$ ca $\ln (\ln x)$, adică se tratează ca $\frac{u^{\prime }}{u}$; sau se scrie $\ln e=e$.)

c) (5 p) Pentru $x>0$, $f(x)+3=5x^2+\ln x$, deci $g(x)=\frac{5x^2+\ln x}{\sqrt{x}}=5x\sqrt{x}+\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$, iar $\frac{1}{\sqrt{x}}={\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }$: $$g(x)=\frac{5x^2+\ln x}{\sqrt{x}},x\in (0,+\infty ),\text{ deci }\mathcal{S}={\int }_1^4|g(x)|dx={\int }_1^4\left(5x\sqrt{x}+{\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }\cdot \ln x\right)dx\text{(2 p)}.$$ Primul termen se integrează direct, iar al doilea prin părți: $$\mathcal{S}=2x^2\sqrt{x}{|}_1^4+2\sqrt{x}\ln x{|}_1^4-4\sqrt{x}{|}_1^4=58+8\ln 2,\text{ deci }58+m\ln 2=58+8\ln 2,\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=8\text{(3 p)}.$$

(Justificările pe care baremul le lasă nescrise: pe $[1,4]$ avem $5x^2>0$ și $\ln x\ge 0$, deci $g(x)>0$ și modulul dispare; $\int 5x^{\frac{3}{2}}dx=5\cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}=2x^2\sqrt{x}$; la integrarea prin părți, ${\int }_1^{4}2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}dx={\int }_1^4\frac{2}{\sqrt{x}}dx=4\sqrt{x}{|}_1^4$. Valorile: $2\cdot 16\cdot 2-2=62$, $2\cdot 2\cdot \ln 4-0=8\ln 2$ și $4\cdot 2-4=4$, deci $62+8\ln 2-4=58+8\ln 2$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[1,4]$ dă $63,545177$, iar $58+8\ln 2\approx 63,545177$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $-4\sqrt{x}$ din integrarea prin părți și iese $62+8\ln 2$ — atunci egalitatea cu $58+m\ln 2$ ar da $m=8+\frac{4}{\ln 2}$, un rezultat nenatural pentru o probă fără calculator.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2026 a examenului național de bacalaureat — Varianta 4, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțirea cu $i$ și $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale funcției în puncte legate între ele și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu câte un radical în fiecare membru: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de o cifră care verifică o inegalitate — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinant, inversabilitate pentru orice parametri distincți, pătratul unei matrice și o egalitate de matrice — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, o ecuație de gradul întâi și o ecuație în numere naturale — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, asimptota orizontală, monotonia și extremele pe un interval închis — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite și arii: formula Leibniz–Newton, o primitivă de tipul $\frac{u^2}{2}$ și integrarea prin părți pentru arie — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2026. Subiectul I este format din șase cerințe directe: un calcul cu $i^2=-1$, o ecuație de gradul întâi din valori ale funcției, o ecuație irațională în care ambele rădăcini convin, o probabilitate pe cele zece numere de o cifră (inclusiv $0$), o distanță de la un punct la mijlocul unui segment și raza cercului circumscris din teorema sinusurilor. La Subiectul al II-lea, determinantul lui $A(x,y)$ este pătratul perfect $(x-y{)}^2$ — de aici inversabilitatea pentru $x\ne y$ —, iar la subpunctul c) egalitatea a două matrice dă un sistem din care $x=0$ și $y=1$; legea de compoziție transformă ecuația de la subpunctul c) în $m+n^2=5$, cu trei perechi de numere naturale. La Subiectul al III-lea, dubla inegalitate de la problema 1 se sprijină pe valorile funcției în capetele intervalului $[-4,0]$ și în punctul de minim $x=-1$, iar aria de la problema 2 cere integrarea prin părți pentru termenul $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $4$, $a=2$, $x\in \{1,2\}$, $\frac{2}{5}$, $10$, $3\sqrt{3}$, $1$, $x=0$ și $y=1$, $6$, $x=-1$, perechile $(1,2)$, $(4,1)$, $(5,0)$, $y=1$, $\frac{26}{3}$, $\frac{1}{2}$ și $m=8$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile date fără verificare; la cerința 7, subpunctul b), concluzia „inversabilă" fără să se arate că determinantul este nenul; la cerința 9, subpunctul c), dubla inegalitate afirmată fără valorile funcției în $-4$, $-1$ și $0$; la cerința 10, subpunctul c), aria scrisă fără să se arate că funcția $g$ este pozitivă pe $[1,4]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=\sqrt{v}\Rightarrow u=v$, cu verificarea $u\ge 0$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Geometrie analitică: mijlocul segmentului $[AB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$, iar $CM=\sqrt{(x_M-x_C{)}^2+(y_M-y_C{)}^2}$. Teorema sinusurilor: $\frac{AC}{\sin B}=2R$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; $(x+y{)}^2-4xy=(x-y{)}^2$.
• Legi de compoziție: $x\ast y$ se calculează înlocuind în formulă; legea din această probă este comutativă.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, finită; pe un interval închis, o funcție continuă își atinge minimul și maximul în capete sau în punctele în care se anulează derivata.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int u\cdot u^{\prime }dx=\frac{u^2}{2}+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f\cdot g^{\prime }dx=f\cdot g{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }\cdot gdx$; ${\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}$; aria suprafeței delimitate de graficul lui $g\ge 0$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^{b}g(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x+3$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=\frac{x^2+8x-2}{x^2+2}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=5x^2-3+\ln x$ de la cerința $10$. Tot așa, $A$ este un punct la cerința $5$, un vârf al triunghiului la cerința $6$ și o matrice, $A(x,y)$, la cerința $7$; $B$ și $C$ sunt puncte ale reperului la cerința $5$ și vârfuri ale triunghiului la cerința $6$; $m$ este un număr natural la cerința $8$ și necunoscuta reală la cerința $10$; $n$ este numărul ales la cerința $4$ și al doilea număr natural din perechea $(m,n)$ la cerința $8$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $6$, scrierea $B=\frac{\pi }{3}$ înseamnă că unghiul $B$ al triunghiului are măsura $\frac{\pi }{3}$; documentul oficial o tipărește așa, fără semnul de unghi, și am păstrat-o. Semnul $\ast$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea obișnuită. Litera $i$ de la cerința $1$ este unitatea imaginară, iar $e$ de la cerința $10$ este baza logaritmului natural.
• Literele $x$ și $y$ sunt, la cerința $7$, parametrii matricei $A(x,y)$, iar la cerința $9$, subpunctul c), două numere oarecare din intervalul $[-4,0]$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".