Bac M2 2026, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2026 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(4,9-3,4\right):3+2,5=3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-21$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(-3a,a)$ aparține graficului funcției $f$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_7\left(1+2x-x^2\right)={\log }_7(3-x)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de $11$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$, $B(2,0)$ și $C(4,2)$. Arătați că triunghiul $ADC$ este isoscel, unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $\mathrm{tg}B=\frac{1}{3}$ și aria egală cu $24$. Arătați că $AC=4$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(a)=\left(\begin{array}{cc}2a+2& -a\\ a-3& 1\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=2$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(0)\cdot (6I_2-A(2)-A(-2))=x{I}_2$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(1)\cdot X\cdot A(1)=4I_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-aX+2+a$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=3$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g=X+2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x\left(2x^2-3x\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x(2x+3)(x-1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=2$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=a$, situat pe graficul funcției $f$, are panta egală cu $0$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(2x^2+4x\right)\sqrt{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx=36$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_3^8\frac{x^2+2x}{f(x)}dx=1$.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{4\sqrt{x+1}}{f(x)}$. Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=4$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul numeric cu fracții zecimale.

Întâi paranteza, apoi împărțirea, abia la urmă adunarea: $$\left(4,9-3,4\right):3+2,5=1,5:3+2,5\text{(2 p)}.$$ Cum $1,5:3=0,5$, rezultă $$1,5:3+2,5=0,5+2,5=3\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună înaintea împărțirii, $1,5:(3+2,5)$, și iese un număr urât, cam $0,27$; sau se împarte greșit $1,5:3=5$, ca și cum virgula n-ar exista. Control: $0,5\cdot 3=1,5$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, punct pe grafic.

Punctul $A(-3a,a)$ aparține graficului exact când valoarea funcției în abscisa lui este egală cu ordonata lui: $$f(-3a)=a\text{(2 p)}.$$ Cum $f(-3a)=2\cdot (-3a)-21=-6a-21$, egalitatea devine $-6a-21=a$, de unde $7a=-21$, adică $\mathbf{a}=-3$ (3 p).

(Verificare: pentru $a=-3$ punctul este $A(9,-3)$, iar $f(9)=18-21=-3$ — chiar ordonata. Unde se greșește de obicei: se inversează rolurile coordonatelor și se scrie $f(a)=-3a$; sau se uită minusul din $-3a$ și iese $6a-21=a$, adică $a=\frac{21}{5}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii au aceeași bază, $7$, iar funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele trebuie să fie egale: $$1+2x-x^2=3-x,\text{ de unde obținem }{x}^2-3x+2=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are rădăcinile $x=1$ și $x=2$. Condițiile de existență sunt $3-x>0$ și $1+2x-x^2>0$; pentru $x=1$ argumentele sunt $2$ și $2$, pentru $x=2$ sunt $1$ și $1$ — toate pozitive, deci $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=2$, care convin (3 p).

(Unde se greșește de obicei: semnul la trecerea termenilor — dacă $-x$ din membrul drept trece în stânga tot cu minus, iese $1+2x-x^2-3-x=0$, adică $x^2-x+2=0$, care nu are rădăcini reale, și se ajunge greșit la concluzia că ecuația nu are soluții. Corect: $1+2x-x^2-3+x=0$, adică $x^2-3x+2=0$. La redactare, verificarea condițiilor de existență nu se sare: aici nu elimină nicio rădăcină, dar baremul cere cuvântul „convin", adică proba efectivă.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, adică $99-10+1=90$ de numere; mulțimea are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Multiplii lui $11$ de două cifre sunt $11,22,33,\dots ,99$; dintre ei, impari sunt $11$, $33$, $55$, $77$ și $99$, deci sunt $5$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără $99$ sau $100$ de cazuri posibile, uitând că numerele de o cifră nu intră; sau se iau toți cei nouă multipli ai lui $11$, și iese $\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$. Un multiplu $11k$ este impar exact când $k$ este impar: $k\in \{1,3,5,7,9\}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mijlocul unui segment și distanțe.

Mijlocul segmentului $BC$ are coordonatele $\left(\frac{2+4}{2},\frac{0+2}{2}\right)$, deci $D(3,1)$, iar $$AD=\sqrt{(3-0{)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{9+16}=5\text{(3 p)}.$$ La fel, $AC=\sqrt{(4-0{)}^2+(2-5{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$, deci $AD=AC$ și triunghiul $ADC$ este isoscel (2 p).

(Control: a treia latură este $DC=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, diferită de celelalte două — triunghiul este isoscel cu baza $DC$, nu echilateral. Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul ca diferență a coordonatelor, $\left(\frac{4-2}{2},\frac{2-0}{2}\right)=(1,1)$, și toate distanțele ies greșit.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

În triunghiul dreptunghic în $A$, tangenta unghiului $B$ este cateta opusă supra cateta alăturată: $$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3},\text{ deci }AB=3AC\text{(2 p)}.$$ Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: $$\frac{AB\cdot AC}{2}=24,\text{ deci }\frac{3A{C}^2}{2}=24,A{C}^2=16,\text{ de unde obținem }\mathbf{AC}=4\text{(3 p)}.$$

(Control: atunci $AB=12$ și $\frac{12\cdot 4}{2}=24$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\mathrm{tg}B=\frac{AB}{AC}$, adică cateta alăturată supra cea opusă, și iese $AC=12$; sau se uită împărțirea la $2$ din formula ariei și iese $AC=2\sqrt{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=1$ matricea și determinantul ei sunt $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 1\end{array}\right|=4\cdot 1-(-1)\cdot (-2)\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(1))=4-2=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: produsul de pe diagonala secundară este $(-1)\cdot (-2)=+2$, care se SCADE; dacă se pierde un minus, iese $4+2=6$.)

b) (5 p) Se calculează fiecare matrice, înlocuind parametrul: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -3& 1\end{array}\right),6I_2-A(2)-A(-2)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 6& 4\end{array}\right),A(0)\cdot (6I_2-A(2)-A(-2))=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)=4I_2\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $4I_2=x{I}_2$, de unde obținem $\mathbf{x}=4$ (2 p).

(Detaliul calculului: $A(2)=\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ -1& 1\end{array}\right)$ și $A(-2)=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ -5& 1\end{array}\right)$, deci $A(2)+A(-2)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -6& 2\end{array}\right)$, iar $6I_2-\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -6& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 6& 4\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se scade $6$ din toate elementele, nu doar de pe diagonală — $6I_2$ are zerouri în afara diagonalei.)

c) (5 p) Cum $\det (A(1))=2\ne 0$, matricea $A(1)$ este inversabilă; înmulțind egalitatea la stânga și la dreapta cu $(A(1){)}^{-1}$, $$X=4(A(1){)}^{-1}\cdot (A(1){)}^{-1}\text{(2 p)}.$$ Inversa se obține schimbând între ele elementele de pe diagonala principală, schimbând semnul celor de pe diagonala secundară și împărțind la determinant: $$(A(1){)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 1& 2\end{array}\right),\text{ de unde obținem }X=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 10& 18\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Detaliul ultimului calcul: $(A(1){)}^{-1}\cdot (A(1){)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{5}{4}\\ \frac{5}{2}& \frac{9}{2}\end{array}\right)$, iar înmulțit cu $4$ dă $\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 10& 18\end{array}\right)$. Control direct: $A(1)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 8\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 8\end{array}\right)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $X=4I_2\cdot (A(1){)}^{-2}$ corect, dar se calculează $(A(1){)}^{-1}$ fără împărțirea la determinant, și rezultatul iese de patru ori prea mare; sau se crede că $X=4(A(1){)}^{-2}$ se poate înlocui cu $\frac{4}{{\det }^2}$ înmulțit cu $I_2$ — înmulțirea matricelor nu se „simplifică" așa.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$: $$f(1)=1^3-a\cdot 1+2+a\text{(3 p)}.$$ Termenii cu $a$ se reduc, deci $$f(1)=1+2=3,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $-a\cdot 1+a=-2a$, pierzând semnul; atunci rezultatul ar depinde de $a$, ceea ce contrazice chiar enunțul „pentru orice număr real $a$".)

b) (5 p) După teorema lui Bézout, $f$ este divizibil cu $X+2=X-(-2)$ exact când $f(-2)=0$. Calculăm: $$f(-2)=-8+2a+2+a=3a-6,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția $3a-6=0$ dă $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(Control: pentru $a=2$ polinomul este $X^3-2X+4=(X+2)\left(X^2-2X+2\right)$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(2)$ în loc de $f(-2)$ — rădăcina lui $X+2$ este $-2$.)

c) (5 p) Polinomul nu are termen în $X^2$, deci relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=0,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-a,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ Fiecare rădăcină verifică ecuația $f(x_k)=0$, adică $x_k^3=a{x}_k-2-a$, pentru $k\in \{1,2,3\}$. Adunând cele trei egalități, $f(x_1)=0$, $f(x_2)=0$, $f(x_3)=0$, de unde rezultă $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=a(x_1+x_2+x_3)-3(2+a)=-3a-6,$$ deci condiția din enunț devine $-3a-6=-a$, de unde obținem $\mathbf{a}=-3$ (3 p).

(Același rezultat se obține cu identitatea $x_1^3+x_2^3+x_3^3=s_1^3-3s_1{s}_2+3s_3$, unde $s_1=0$, $s_2=-a$ și $s_3=x_1{x}_2{x}_3=-(2+a)$. Control numeric: pentru $a=0$ rădăcinile lui $X^3+2$ au suma cuburilor $-6$, adică exact $-3\cdot 0-6$. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=2+a$, cu semnul greșit, și iese $x_1^3+x_2^3+x_3^3=3a+6$, deci $a=-\frac{3}{2}$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită și tangentă.

a) (5 p) Se derivează produsul, cu $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)=e^x\left(2x^2-3x\right)+e^x(4x-3)\text{(3 p)}.$$ Dând factor comun pe $e^x$ și descompunând trinomul (rădăcinile lui $2x^2+x-3$ sunt $1$ și $-\frac{3}{2}$): $$f^{\prime }(x)=e^x\left(2x^2+x-3\right)=e^x(2x+3)(x-1),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: în $x=0$ formula dă $f^{\prime }(0)=1\cdot 3\cdot (-1)=-3$, iar raportul incremental $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă tot aproximativ $-3$. Unde se greșește de obicei: se derivează doar paranteza, uitând termenul $e^x\left(2x^2-3x\right)$ care vine din derivata lui $e^x$.)

b) (5 p) Pentru $x\to 0$ avem $f(x)\to f(0)=0$, deci numărătorul și numitorul tind amândoi la $0$: nedeterminare $\frac{0}{0}$, și se aplică regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(f(x)-x{)}^{\prime }}{(f(x)+x{)}^{\prime }}\text{(2 p)}.$$ Cu derivata de la subpunctul a), $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x(2x+3)(x-1)-1}{e^x(2x+3)(x-1)+1}=\frac{-3-1}{-3+1}=2\text{(3 p)}.$$

(Un drum fără l'Hôpital: împărțind cu $x$, $\frac{f(x)}{x}=e^x(2x-3)\to -3$, iar limita devine $\frac{-3-1}{-3+1}=2$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește direct $x=0$ și se scrie „$\frac{0}{0}=0$"; sau se derivează doar $f$, uitând derivata lui $x$, și iese $\frac{-3}{-3}=1$.)

c) (5 p) Panta tangentei la grafic în punctul de abscisă $a$ este $f^{\prime }(a)$, deci condiția este $$f^{\prime }(a)=0,\text{ deci }{e}^a(2a+3)(a-1)=0\text{(3 p)}.$$ Cum $e^a>0$ pentru orice $a$ real, rămâne $(2a+3)(a-1)=0$, adică $$\mathbf{a}=-\frac{3}{2}\text{ sau }\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se pune condiția $f(a)=0$ — punctul pe axa $Ox$ — în loc de $f^{\prime }(a)=0$ — tangenta paralelă cu $Ox$; ar ieși $a=0$ sau $a=\frac{3}{2}$. Sau se pierde una dintre soluții, împărțind prin $2a+3$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și aria unei suprafețe plane.

a) (5 p) Radicalul se reduce: pentru $x\in [0,3]$ avem $\sqrt{x+1}\ne 0$, deci $\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}=2x^2+4x$ și $${\int }_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx={\int }_0^3\left(2x^2+4x\right)dx=\frac{2x^3}{3}{|}_0^3+2x^2{|}_0^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx=18+18=36\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $2x^2$ se scrie $2x^3$ sau $\frac{x^3}{3}$, uitând coeficientul sau împărțirea la exponent. Control: $\frac{2\cdot 27}{3}=18$ și $2\cdot 9=18$.)

b) (5 p) Pentru $x\in [3,8]$ avem $x^2+2x\ne 0$, deci $\frac{x^2+2x}{f(x)}=\frac{x^2+2x}{2\left(x^2+2x\right)\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$, care este chiar derivata lui $\sqrt{x+1}$: $${\int }_3^8\frac{x^2+2x}{f(x)}dx={\int }_3^8\frac{1}{2\sqrt{x+1}}dx={\int }_3^8\frac{(x+1{)}^{\prime }}{2\sqrt{x+1}}dx=\sqrt{x+1}{|}_3^8\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, $\sqrt{9}=3$ și $\sqrt{4}=2$: $${\int }_3^8\frac{x^2+2x}{f(x)}dx=3-2=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scoate factorul $2$ greșit, $2x^2+4x=2\left(x^2+4x\right)$, și simplificarea nu mai merge; sau primitiva lui $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ se scrie $2\sqrt{x+1}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[3,8]$ dă $1,000000$.)

c) (5 p) Pentru $x>0$ se simplifică radicalul și factorul $2$: $$g(x)=\frac{4\sqrt{x+1}}{\left(2x^2+4x\right)\sqrt{x+1}}=\frac{2}{x^2+2x},x\in (0,+\infty ),\text{ deci}$$ $$\mathcal{S}={\int }_1^4|g(x)|dx={\int }_1^4\frac{2}{x(x+2)}dx={\int }_1^4\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\right)dx\text{(3 p)}.$$ Pe $[1,4]$ funcția $g$ este pozitivă, deci modulul dispare, iar descompunerea $\frac{2}{x(x+2)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$ se verifică aducând la același numitor. Cu formula Leibniz–Newton, $$\mathcal{S}=\ln x{|}_1^4-\ln (x+2){|}_1^4=\ln 4-(\ln 6-\ln 3)=\ln 4-\ln 2=\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{2}{x^2+2x}$ ca $2\ln \left(x^2+2x\right)$, adică se tratează ca $\frac{u^{\prime }}{u}$, deși numărătorul nu este derivata numitorului; sau se scrie descompunerea $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}$, cu plus. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[1,4]$ dă $0,693147$, iar $\ln 2\approx 0,693147$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2026 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Calcul numeric cu fracții zecimale: ordinea operațiilor, cu o paranteză și o împărțire — gimnaziu, recapitulat în clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: condiția ca un punct să aparțină graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu aceeași bază în ambii membri: egalarea argumentelor și verificarea condițiilor de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea numerelor de două cifre și a multiplilor impari ai lui $11$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: tangenta unui unghi ascuțit și aria triunghiului — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, operații cu matrice, inversa unei matrice și o ecuație matriceală — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, teorema lui Bézout și relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, o limită de tip $\frac{0}{0}$ și panta tangentei — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: formula Leibniz–Newton, primitiva de tipul $\sqrt{u}$ și descompunerea în fracții simple — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2026. Subiectul I este în întregime „de calcul", fără capcane de raționament, dar cu trei locuri în care se greșește din grabă: ordinea operațiilor la cerința 1 (împărțirea înaintea adunării), condițiile de existență ale logaritmilor la cerința 3 și numărarea cazurilor posibile la cerința 4 ($90$ de numere de două cifre, nu $99$). Subiectul al II-lea pune în primul slot o matrice de ordinul al doilea a cărei inversă se calculează o singură dată și se folosește de două ori, iar în al doilea un polinom de gradul al treilea la care toată problema se reduce la relațiile lui Viète. Subiectul al III-lea cere la problema 1 lanțul derivată → limită → tangentă, iar la problema 2 trei integrale în care toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: radicalul $\sqrt{x+1}$ se reduce de fiecare dată, iar la aria de la subpunctul c) rămâne o fracție rațională care se descompune în fracții simple.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ". Tot așa, descompunerea în fracții simple de la problema a doua a Subiectului al III-lea, subpunctul c), stă în unitatea „Supliment Bac M2 2027–2029: integrale de funcții raționale".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, o matrice cu elemente întregi și $\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației logaritmice date fără verificarea condițiilor de existență; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; ecuația matriceală rezolvată fără să se arate că matricea este inversabilă; limita de tip $\frac{0}{0}$ calculată fără să se spună că este nedeterminare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Funcții: punctul $A(x_0,y_0)$ aparține graficului funcției $f$ exact când $f(x_0)=y_0$. Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu condițiile $u>0$ și $v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Geometrie analitică: mijlocul segmentului $[BC]$ are coordonatele $\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$, iar $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Triunghiul dreptunghic în $A$: $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}$ și aria $\frac{AB\cdot AC}{2}$.
• Matrice: pentru $M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ cu $\det M=ps-qr\ne 0$, inversa este $M^{-1}=\frac{1}{\det M}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$; ecuația $MXM=N$ se rezolvă înmulțind cu $M^{-1}$ la stânga și la dreapta.
• Polinoame: teorema lui Bézout — $f$ este divizibil cu $X-x_0$ exact când $f(x_0)=0$; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, relațiile lui Viète dau $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$.
• Derivate și limite: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; regula lui l'Hôpital pentru $\frac{0}{0}$; panta tangentei la grafic în punctul de abscisă $a$ este $f^{\prime }(a)$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; ${\left(\sqrt{x+1}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$; aria suprafeței plane delimitate de graficul unei funcții continue și pozitive $g$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^{b}g(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=2x-21$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3-aX+2+a$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=e^x\left(2x^2-3x\right)$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\left(2x^2+4x\right)\sqrt{x+1}$ de la cerința $10$. Tot așa, $g$ este un polinom la cerința $8$ și o funcție la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $A$ este punct la cerințele $2$ și $5$, vârf al triunghiului la cerința $6$ și matricea $A(a)$ la cerința $7$; $B$ și $C$ sunt puncte la cerința $5$ și vârfuri ale triunghiului la cerința $6$ — triunghiuri diferite. Litera $a$ este necunoscută la cerința $2$, parametru real la cerințele $7$ și $8$ și abscisa punctului de tangență la cerința $9$, subpunctul c).
• Litera $x$ este, la cerința $7$, subpunctul b), numărul real căutat din egalitatea $\dots =x{I}_2$, nu o variabilă; tot la cerința $7$, subpunctul c), necunoscuta este matricea $X$, scrisă cu majusculă, iar la cerința $8$ aceeași majusculă $X$ este nedeterminata polinomului $f$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".