Bac M2 2026, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2026 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=4-3i$ și $z_2=1-2i$. Arătați că $z_1+3i{z}_2=10$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3-x$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x+1$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=3a+g(3)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_4\left(x^2+4\right)={\log }_{4}x+{\log }_{4}5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $4$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,8)$, $B(0,4)$ și $C(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că segmentele $OA$ și $BC$ au același mijloc.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $C=\frac{\pi }{6}$. Raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $4$. Arătați că $AB=4$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(x)=\left(\begin{array}{cc}x-1& 1\\ 1-x& x-5\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(6))=10$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $A(3)\cdot A(3)=a{I}_2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că numărul $N=\det (A(m)\cdot A(2)-A(m-1))$ este natural, pentru orice număr întreg $m$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+a{X}^2-2X+2$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=2$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1{x}_2{x}_3\left(1+x_1+x_2+x_3\right)=4$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Știind că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$, determinați restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X^2-2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x\left(x^2+x-1\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+3x\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x+f(x)}{f^{\prime }(x)}=\frac{1}{3}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $e^{x+3}\left(x^2+x-1\right)\le 5$, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_3^5\left(f(x)-\sqrt{2x^2+1}\right)dx=8$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{x}{(f(x)-x{)}^2}dx=\frac{\ln 3}{4}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g:[0,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$ în jurul axei $Ox$ este egal cu $\frac{a\pi }{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul pentru 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Desfacem paranteza, cu $i\cdot i=i^2$: $$z_1+3i{z}_2=4-3i+3i(1-2i)=4-3i+3i-6i^2=\text{(2 p)}$$ $$=4+6=10\text{(3 p)}.$$

(Termenii în $i$ se reduc, iar $-6i^2=-6\cdot (-1)=6$. Unde se greșește de obicei: se ia $i^2=1$ și iese $4-6=-2$; sau se scrie $3i\cdot (-2i)=-6i$, pierzând al doilea $i$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Calculăm cele două valori: $$g(3)=2\cdot 3+1=7,f(a)=3-a,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $3-a=3a+7$, de unde $-4a=4$, adică $\mathbf{a}=-1$ (3 p).

(Verificare: $f(-1)=4$ și $3\cdot (-1)+7=4$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $+1$ din $g$ și se ia $g(3)=6$, de unde $a=-\frac{3}{4}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Suma logaritmilor cu aceeași bază este logaritmul produsului, iar funcția logaritmică este injectivă: $${\log }_4\left(x^2+4\right)={\log }_4(5x),\text{ de unde obținem }{x}^2-5x+4=0\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile sunt $x=1$ și $x=4$; amândouă sunt pozitive, deci ${\log }_{4}x$ există, iar $x^2+4>0$ oricum. Așadar $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=4$, care convin (2 p).

(Verificare: pentru $x=1$, ${\log }_{4}5={\log }_{4}1+{\log }_{4}5$; pentru $x=4$, ${\log }_{4}20={\log }_{4}4+{\log }_{4}5$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_{4}x+{\log }_{4}5={\log }_4(x+5)$ și se ajunge la $x^2-x-1=0$, cu rădăcini iraționale; sau se greșește semnul la trecerea lui $5x$ și iese $x^2+5x+4=0$, cu rădăcinile $-1$ și $-4$, care nu convin.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre, $\{10,11,\dots ,99\}$, are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Produsul cifrelor este $4$ exact când cifrele sunt $1$ și $4$ sau $2$ și $2$: în mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $3$ numere care au produsul cifrelor egal cu $4$ — $14$, $22$ și $41$ —, deci sunt $3$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită numărul $22$ și se numără doar $14$ și $41$, de unde $\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$; sau se numără $99$ de cazuri posibile.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mijlocul unui segment.

Mijlocul segmentului $OA$, cu $O(0,0)$ și $A(2,8)$, are coordonatele $\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+8}{2}\right)$: punctul $M(1,4)$ este mijlocul segmentului $OA$ (2 p).

Cum $M$ este și mijlocul segmentului $BC$, $\frac{0+a}{2}=1$ și $\frac{4+b}{2}=4$, deci obținem $\mathbf{a}=2$ și $\mathbf{b}=4$ (3 p).

(Control: $C(2,4)$, iar mijlocul lui $BC$ este $\left(\frac{0+2}{2},\frac{4+4}{2}\right)=(1,4)$. Patrulaterul $OBAC$ are diagonalele cu același mijloc, deci este paralelogram. Unde se greșește de obicei: se ia chiar punctul $A(2,8)$ drept mijloc și iese $a=4$, $b=12$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghiul dreptunghic și cercul circumscris.

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris: $$BC=2R=8,\text{ unde }R\text{ este raza cercului circumscris triunghiului }ABC\text{(2 p)}.$$ Cateta $AB$ se opune unghiului $C=\frac{\pi }{6}$, deci este jumătate din ipotenuză: $$AB=\frac{BC}{2}=4\text{(3 p)}.$$

(Același rezultat, cu sinusul: $AB=BC\cdot \sin C=8\cdot \frac{1}{2}=4$. Unde se greșește de obicei: se ia ipotenuza egală cu raza, $BC=4$, și iese $AB=2$; sau se folosește cosinusul, $BC\cdot \cos C=4\sqrt{3}$, care dă cateta alăturată, $AC$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Pentru $x=6$, $$A(6)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ -5& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(6))=\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ -5& 1\end{array}\right|=5\cdot 1-(-5)\cdot 1=\text{(3 p)}$$ $$=5+5=10\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scade $5$ în loc de $-5$ și iese $0$; sau se scrie $1-x=5$ pentru $x=6$, pierzând semnul.)

b) (5 p) Pentru $x=3$, $$A(3)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -2& -2\end{array}\right)\Rightarrow A(3)\cdot A(3)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I_2\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $2I_2=a{I}_2$ dă $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(Detaliul produsului: $2\cdot 2+1\cdot (-2)=2$, $2\cdot 1+1\cdot (-2)=0$, $-2\cdot 2+(-2)(-2)=0$, $-2\cdot 1+(-2)(-2)=2$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fiecare element, $\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 4& 4\end{array}\right)$ — produsul matricelor se face „linie cu coloană".)

c) (5 p) Calculăm matricea, cu $A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -3\end{array}\right)$ și $A(m-1)=\left(\begin{array}{cc}m-2& 1\\ 2-m& m-6\end{array}\right)$: $$A(m)\cdot A(2)-A(m-1)=\left(\begin{array}{cc}m-1& 1\\ 1-m& m-5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}m-2& 1\\ 2-m& m-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& m-5\\ 4-m& 22-5m\end{array}\right),$$ de unde obținem $N=0\cdot (22-5m)-(m-5)(4-m)=(m-4)(m-5)$, pentru orice număr întreg $m$ (3 p).

Cum $m-4$ și $m-5$ sunt numere întregi și $(m-4)(m-5)\ge 0$, obținem că numărul $N$ este natural, pentru orice număr întreg $m$ (2 p).

(De ce produsul nu e negativ: $(m-4)(m-5)<0$ doar pentru $4<m<5$, iar între $4$ și $5$ nu există niciun număr întreg. Pentru $m=\frac{9}{2}$ produsul ar fi $-\frac{1}{4}$ — de aceea enunțul cere $m$ întreg. Detaliul produsului: prima linie dă $(m-1)-1=m-2$ și $(m-1)-3=m-4$, a doua $(1-m)-(m-5)=6-2m$ și $(1-m)-3(m-5)=16-4m$; scăzând $A(m-1)$ rămân $0$, $m-5$, $4-m$ și $22-5m$. Unde se greșește de obicei: în determinant se adună produsul de pe diagonala secundară, $N=0\cdot (22-5m)+(m-5)(4-m)=-(m-4)(m-5)$, care pentru $m=0$ ar fi $-20$ — și concluzia nu mai iese. Greșeală de redactare: se arată doar că $N$ este întreg și se uită partea „$\ge 0$".)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea.

a) (5 p) Înlocuim $X$ cu $0$: $$f(0)=0^3+a\cdot 0^2-2\cdot 0+2=\text{(3 p)}$$ $$=0+0-0+2=2,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$

(Valoarea unui polinom în $0$ este chiar termenul liber.)

b) (5 p) Din relațiile lui Viète, pentru $f=X^3+a{X}^2-2X+2$, $$x_1{x}_2{x}_3=-2,x_1+x_2+x_3=-a,x_1{x}_2{x}_3\left(1+x_1+x_2+x_3\right)=-2(1-a),\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția devine $-2(1-a)=4$, adică $1-a=-2$, de unde obținem $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Control numeric: pentru $a=3$ rădăcinile lui $X^3+3X^2-2X+2$, calculate aproximativ, dau produsul $-2$, suma $-3$ și $x_1{x}_2{x}_3(1+x_1+x_2+x_3)=4$. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=+2$ (semnul lui $-d$ se pierde) și iese $a=-1$; sau $x_1+x_2+x_3=+a$ și iese $a=-3$.)

c) (5 p) După teorema lui Bézout, $X+1$ divide $f$ exact când $f(-1)=0$; cum $f(-1)=-1+a+2+2=a+3$, obținem $$f(-1)=0,\text{ de unde obținem }a=-3\text{(2 p)}.$$ Pentru $a=-3$, împărțim la $X^2-2$: $$f=X^3-3X^2-2X+2=\left(X^2-2\right)(X-3)-4,\text{ deci restul ıˆmpa˘rțirii lui }f\text{ la }{X}^2-2\text{ este }-4\text{(3 p)}.$$

(Control: $\left(X^2-2\right)(X-3)=X^3-3X^2-2X+6$, iar $6-4=2$. Restul are gradul mai mic decât $2$, aici chiar o constantă. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(-1)$ cu semne greșite și iese alt $a$; sau se împarte polinomul cu $a=3$ și restul iese $8$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită și o inegalitate.

a) (5 p) Derivăm produsul: $$f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+x-1\right)+e^x(2x+1)=\text{(3 p)}$$ $$=e^x\left(x^2+x-1+2x+1\right)=e^x\left(x^2+3x\right),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează doar paranteza și iese $e^x(2x+1)$, fără termenul care vine din ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$.)

b) (5 p) Numărătorul se simplifică: $e^x+f(x)=e^x\left(1+x^2+x-1\right)=e^x\left(x^2+x\right)$. Atunci $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x+f(x)}{f^{\prime }(x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x\left(x^2+x\right)}{e^x\left(x^2+3x\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x(x+1)}{x(x+3)}=\text{(3 p)}$$ $$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+1}{x+3}=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$

(Pentru $x\to 0$, $x\ne 0$, deci simplificarea cu $x$ este permisă. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește direct $x=0$ și se ajunge la $\frac{0}{0}$, fără simplificare.)

c) (5 p) Studiem monotonia lui $f$ pe $(-\infty ,0]$. Cum $e^x>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x(x+3)$: $f^{\prime }(x)=0⟺x=-3$ sau $x=0$; pentru orice $x\in (-\infty ,-3]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty ,-3]$ și, pentru orice $x\in [-3,0]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-3,0]$ (3 p).

Rezultă $f(x)\le f(-3)$, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$ și, cum $f(-3)=\frac{5}{e^3}$, obținem $e^{x+3}\left(x^2+x-1\right)\le 5$, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$ (2 p).

(Legătura dintre cele două inegalități: $e^{x+3}\left(x^2+x-1\right)=e^3\cdot f(x)$, iar înmulțind $f(x)\le \frac{5}{e^3}$ cu $e^3>0$ se obține exact inegalitatea din enunț, cu egalitate în $x=-3$. Unde se greșește de obicei: se ia maximul în $x=0$, dar $f(0)=-1<f(-3)$; sau se calculează $f(-3)=e^{-3}(9+3-1)=\frac{11}{e^3}$, cu semnul greșit la $-3$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și volumul unui corp de rotație.

a) (5 p) Radicalul se reduce: $f(x)-\sqrt{2x^2+1}=x$, deci $${\int }_3^5\left(f(x)-\sqrt{2x^2+1}\right)dx={\int }_3^{5}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_3^5=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{25}{2}-\frac{9}{2}=8\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x$ se scrie $x^2$ și iese $25-9=16$.)

b) (5 p) Cum $f(x)-x=\sqrt{2x^2+1}$, avem $(f(x)-x{)}^2=2x^2+1$, iar numărătorul este, până la un factor, derivata numitorului, ${\left(2x^2+1\right)}^{\prime }=4x$: $${\int }_1^2\frac{x}{(f(x)-x{)}^2}dx={\int }_1^2\frac{x}{2x^2+1}dx=\frac{1}{4}{\int }_1^2\frac{{\left(2x^2+1\right)}^{\prime }}{2x^2+1}dx=\frac{1}{4}\ln \left(2x^2+1\right){|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{\ln 9}{4}-\frac{\ln 3}{4}=\frac{\ln 3}{4}\text{(2 p)}.$$

(Ultimul pas: $\ln 9=2\ln 3$. Unde se greșește de obicei: se scrie factorul $\frac{1}{2}$ în loc de $\frac{1}{4}$ — derivata lui $2x^2+1$ este $4x$, nu $2x$ — și iese $\frac{\ln 3}{2}$.)

c) (5 p) Volumul este $\pi {\int }_0^2{g}^2(x)dx$, iar $g^2(x)=x^2+2x\sqrt{2x^2+1}+2x^2+1=3x^2+1+2x\sqrt{2x^2+1}$; termenul cu radical se scrie $\frac{1}{2}\sqrt{2x^2+1}\cdot {\left(2x^2+1\right)}^{\prime }$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^2\left(3x^2+1+2x\sqrt{2x^2+1}\right)dx=\pi \left(x^3{|}_0^2+x{|}_0^2+\frac{1}{2}{\int }_0^2\sqrt{2x^2+1}\cdot {\left(2x^2+1\right)}^{\prime }dx\right)=\text{(2 p)}$$ $$=\pi \left(10+\frac{\left(2x^2+1\right)\sqrt{2x^2+1}}{3}{|}_0^2\right)=\frac{56\pi }{3},\text{ deci }\frac{a\pi }{3}=\frac{56\pi }{3},\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=56\text{(3 p)}.$$

(Detaliile: $x^3{|}_0^2+x{|}_0^2=8+2=10$; primitiva lui $\sqrt{u}\cdot u^{\prime }$ este $\frac{2}{3}u\sqrt{u}$, iar cu factorul $\frac{1}{2}$ devine $\frac{u\sqrt{u}}{3}$; în $x=2$, $u=9$ și $u\sqrt{u}=27$, în $x=0$, $u=1$, deci termenul valorează $\frac{27-1}{3}=\frac{26}{3}$, iar $10+\frac{26}{3}=\frac{56}{3}$. Control numeric: $\mathcal{V}\approx 58,64$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat „termen cu termen", $g^2(x)=x^2+2x^2+1$, uitând dublul produs, și iese $a=30$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2026 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțirea în forma algebrică și $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale a două funcții liniare și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: logaritmul unui produs, egalarea argumentelor și condițiile de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de două cifre cu produsul cifrelor egal cu $4$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană, triunghiul dreptunghic: ipotenuza ca diametru al cercului circumscris și cateta opusă unghiului de $\frac{\pi }{6}$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, pătratul unei matrice și un determinant cu parametru întreg — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, relațiile lui Viète, teorema lui Bézout și restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs cu $e^x$, o limită și maximul funcției din semnul derivatei — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale și volume: formula Leibniz–Newton, primitiva de forma $\frac{u^{\prime }}{u}$ și volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2026. Subiectul I rămâne format din șase cerințe directe; la cerința 4 cazurile favorabile se numără cu atenție ($14$, $22$ și $41$ — nu doar $14$ și $41$), iar la cerința 6 raza cercului circumscris al unui triunghi dreptunghic este jumătate din ipotenuză. La Subiectul al II-lea, subpunctul c) al primei probleme cere să se arate că un determinant cu parametru întreg este număr natural: el iese $(m-4)(m-5)$, un produs de doi întregi consecutivi, care nu poate fi negativ. Polinomul $X^3+a{X}^2-2X+2$ cere relațiile lui Viète și, după ce Bézout fixează $a=-3$, restul împărțirii la $X^2-2$. La Subiectul al III-lea, inegalitatea de la problema 1 este „$f(x)\le f(-3)$" înmulțită cu $e^3$, iar problema 2 are trei integrale în care totul se simplifică — radicalul dispare la a), se reduce la $\sqrt{2x^2+1}$ la b), iar la c) pătratul lui $g$ are un termen de dublu produs, cu o primitivă de forma $u\sqrt{u}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $10$, $a=-1$, $\{1,4\}$, $\frac{1}{30}$, $a=2$ și $b=4$, $4$, $10$, $a=2$, $a=3$, restul $-4$, $\frac{1}{3}$, $8$, $\frac{\ln 3}{4}$ și $a=56$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației logaritmice date fără verificarea condițiilor de existență; „$N$ este natural" afirmat fără să se spună de ce produsul $(m-4)(m-5)$ nu poate fi negativ; inegalitatea de la problema 9, subpunctul c), „demonstrată" fără semnul derivatei pe intervale; volumul scris fără factorul $\pi$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$. Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$; ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u,v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Geometrie analitică: mijlocul segmentului $[PQ]$ are coordonatele $\left(\frac{x_P+x_Q}{2},\frac{y_P+y_Q}{2}\right)$. Triunghiul dreptunghic: ipotenuza este diametrul cercului circumscris, $BC=2R$; cateta opusă unghiului de $\frac{\pi }{6}$ este jumătate din ipotenuză.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; înmulțirea „linie cu coloană".
• Polinoame: pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$: $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$; teorema lui Bézout — $X-x_0$ divide $f$ exact când $f(x_0)=0$; teorema împărțirii cu rest, $f=g\cdot q+r$, cu gradul lui $r$ mai mic decât gradul lui $g$.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; dacă $f$ crește până în $x_0$ și scade după, atunci $f(x)\le f(x_0)$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln u+\mathcal{C}$ pentru $u>0$; $\int \sqrt{u}\cdot u^{\prime }dx=\frac{2}{3}u\sqrt{u}+\mathcal{C}$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=3-x$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3+a{X}^2-2X+2$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=e^x\left(x^2+x-1\right)$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}$ de la cerința $10$. Tot așa, $g$ este o funcție de gradul întâi la cerința $2$ și restricția lui $f$ la $[0,2]$ la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este necunoscută la cerința $2$, o coordonată la cerința $5$, numărul real căutat la cerința $7$, subpunctul b), parametrul polinomului la cerința $8$ și numărul căutat din valoarea volumului la cerința $10$, subpunctul c). Litera $A$ este un punct la cerința $5$, un vârf al triunghiului la cerința $6$ și o matrice, $A(x)$, la cerința $7$. Tot așa, $B$ și $C$ sunt puncte din reper la cerința $5$ și vârfuri ale triunghiului la cerința $6$; acolo „$C=\frac{\pi }{6}$" înseamnă că unghiul $C$ al triunghiului (unghiul $ACB$) măsoară $\frac{\pi }{6}$ — documentul oficial scrie unghiul fără semn, iar noi l-am transcris la fel.
• Litera $x$ este variabila matricei $A(x)$ la cerința $7$, iar $m$ de la subpunctul c) este un număr întreg; $N$ este un număr, nu o matrice. La cerința $10$, $\mathcal{V}$ este volumul, notat în barem cu $V$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".