Bac M2 2026, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2026 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_4$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, în care $a_1=2$ și $a_3=14$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+3$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(0)+(f\circ f)(0)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^x-4\cdot 5^{x-2}=105$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{1,2,3,9\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,0)$ și $B(5,4)$ și dreapta $d$ de ecuație $2x+ay=0$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care mijlocul segmentului $AB$ aparține dreptei $d$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=12$ și $C=\frac{\pi }{6}$. Punctul $M$ aparține segmentului $AC$ astfel încât $3AM=AC$. Arătați că $BM=4\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ -a& 1-a\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=abA(1)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $2A(2a)-A(a)\cdot A(a)-A(1)\cdot A(2a-1)=2A(1)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\frac{1}{6}(x-5)(y-5)+5$, cu elementul neutru $e=11$.

a) (5 puncte) Arătați că $7\circ 8=6$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ (6x-1)=10$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$, $n\ne 5$, ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „$\circ$" sunt numere naturale pare.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}-1+4\ln (x+3)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4\ln (x+3)-f(x)}{\ln x}=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\ge 4\ln \frac{x+3}{x^2+3}$, pentru orice $x\in (0,1]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+4x\right)e^{-x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{3}f(x)e^{x}dx=27$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^0\frac{f(x)}{x+4}dx=-1$.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f\left(x^2\right)}{x^2}$. Demonstrați că orice primitivă $G:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ a funcției $g$ este concavă.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresii aritmetice.

Între $a_1$ și $a_3$ sunt doi pași de rație: $$2r=a_3-a_1,\text{ de unde obținem }r=6,\text{ unde }r\text{ este rația progresiei aritmetice}\text{(3 p)}.$$ $$a_4=a_3+r,\text{ deci }{a}_4=14+6=20\text{(2 p)}.$$

(Control: termenii sunt $2,8,14,20$. Unde se greșește de obicei: se ia $r=a_3-a_1=12$, uitând că de la $a_1$ la $a_3$ sunt doi pași, și iese $a_4=26$.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Calculăm $f(0)$, apoi aplicăm $f$ pe rezultat: $$f(0)=3,(f\circ f)(0)=f(3)=3a+3,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția devine $3+3a+3=0$, de unde obținem $\mathbf{a}=-2$ (2 p).

(Verificare: pentru $a=-2$, $f(0)=3$ și $f(3)=-6+3=-3$, iar $3+(-3)=0$. Unde se greșește de obicei: se calculează $(f\circ f)(0)$ ca $f(0)\cdot f(0)$, sau se scrie $f(3)=3a$, uitând termenul $+3$, și iese $a=-1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Scriem $5^x=25\cdot 5^{x-2}$ și dăm factor comun $5^{x-2}$: $5^x-4\cdot 5^{x-2}=5^{x-2}(25-4)$, deci $$5^{x-2}\cdot 21=105,\text{ de unde obținem }{5}^{x-2}=5\text{(3 p)}.$$ Funcția exponențială este injectivă, deci $x-2=1$, de unde obținem $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Verificare: $5^3-4\cdot 5=125-20=105$. Unde se greșește de obicei: se scade „$5^x-4\cdot 5^x=-3\cdot 5^x$", ignorând exponentul $x-2$; sau se scrie $5^x=5\cdot 5^{x-2}$ în loc de $25\cdot 5^{x-2}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, regula produsului.

Numărul este impar exact când cifra unităților este impară: $1$, $3$ sau $9$. Cifra unităților se poate alege în $3$ moduri (2 p).

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte $3$ moduri (orice altă cifră din $A$) și, pentru fiecare alegere a cifrei unităților și cifrei zecilor, cifra sutelor se poate alege în câte $2$ moduri, deci se pot forma $3\cdot 3\cdot 2=18$ numere (3 p).

(Control: dintre cele $4\cdot 3\cdot 2=24$ de numere de trei cifre distincte cu cifre din $A$, cele pare sunt cele care se termină în $2$, adică $3\cdot 2=6$; rămân $24-6=18$ impare. Unde se greșește de obicei: se începe cu cifra sutelor și se uită condiția de paritate, și iese $24$; sau se permit cifrele repetate.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Mijlocul segmentului $AB$ are coordonatele $\left(\frac{1+5}{2},\frac{0+4}{2}\right)$: punctul $M(3,2)$ este mijlocul segmentului $AB$ (3 p).

$M$ aparține dreptei $d$ exact când coordonatele lui verifică ecuația: $2\cdot 3+a\cdot 2=0$, de unde obținem $\mathbf{a}=-3$ (2 p).

(Control: dreapta $2x-3y=0$ trece prin $M(3,2)$, pentru că $6-6=0$. Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul ca semidiferență, $(2,2)$, și iese $a=-2$; sau se inversează coordonatele în ecuație.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic, teorema lui Pitagora.

Cateta $AB$ se opune unghiului $C$, iar cateta $AC$ îi este alăturată: $AB=BC\sin C=12\cdot \frac{1}{2}$ și $AC=BC\cos C=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $$AB=6,AC=6\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$ Din $3AM=AC$ rezultă $$AM=2\sqrt{3}\text{ și, cum }B{M}^2=A{M}^2+A{B}^2=48,\text{ obținem }BM=4\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$

(Triunghiul $ABM$ este dreptunghic în $A$, pentru că $M$ stă pe cateta $AC$; de aceea se aplică teorema lui Pitagora. Calculul: ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2+6^2=12+36=48$, iar $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$. Unde se greșește de obicei: se inversează sinusul și cosinusul, $AB=6\sqrt{3}$ și $AC=6$, și iese $BM=4\sqrt{7}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Pentru $a=1$, $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=1\cdot 0-1\cdot (-1)=\text{(3 p)}$$ $$=0+1=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: elementul $1-a$ pentru $a=1$ se scrie $1$ în loc de $0$, și determinantul iese $2$.)

b) (5 p) Calculăm produsul și îl scădem din $A(a+b)$: $$A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{cc}1& a+b\\ -a-b& 1-a-b\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1-ab& b+a-ab\\ -a-b+ab& -ab+1-a-b+ab\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{cc}ab& ab\\ -ab& 0\end{array}\right)=abA(1),\text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: prima linie, $1\cdot 1+a\cdot (-b)=1-ab$ și $1\cdot b+a(1-b)=b+a-ab$; a doua linie, $-a\cdot 1+(1-a)(-b)=-a-b+ab$ și $-a\cdot b+(1-a)(1-b)=1-a-b$. Unde se greșește de obicei: se greșește semnul lui $ab$ în colțul din stânga jos și rezultatul nu mai este un multiplu al lui $A(1)$.)

c) (5 p) Aplicăm identitatea de la b) de două ori — cu $b=a$ și apoi cu $a\to 1$, $b\to 2a-1$ (atunci $a+b=2a$): $$A(2a)-A(a)\cdot A(a)=a^{2}A(1),A(2a)-A(1)\cdot A(2a-1)=(2a-1)A(1),$$ $$2A(2a)-A(a)\cdot A(a)-A(1)\cdot A(2a-1)=\left(a^2+2a-1\right)A(1),\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ $$\left(a^2+2a-1\right)A(1)=2A(1),\text{ de unde obținem }{a}^2+2a-1=2,\text{ deci }\mathbf{a}=-3\text{ sau }\mathbf{a}=1\text{(3 p)}.$$

(Egalitatea coeficienților e permisă pentru că $A(1)$ nu este matricea nulă. Ecuația $a^2+2a-3=0$ are rădăcinile $1$ și $-3$. Control direct: pentru $a=1$ și $a=-3$ membrul stâng, calculat element cu element, este exact $2A(1)$. Unde se greșește de obicei: se egalează coeficientul cu $0$ în loc de $2$, și iese $a=-1\pm \sqrt{2}$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Înlocuim în formula legii: $$7\circ 8=\frac{1}{6}(7-5)(8-5)+5=\text{(3 p)}$$ $$=1+5=6\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită termenul $+5$ și iese $1$.)

b) (5 p) Cum $6x-1-5=6(x-1)$, factorul $\frac{1}{6}$ se simplifică: $$x\circ (6x-1)=\frac{1}{6}(x-5)\cdot 6(x-1)+5=x^2-6x+10,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ $$x^2-6x+10=10,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=6\text{(2 p)}.$$

(Ecuația $x^2-6x=0$ se scrie $x(x-6)=0$. Control: $0\circ (-1)=\frac{1}{6}\cdot (-5)(-6)+5=10$ și $6\circ 35=\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 30+5=10$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația prin $x$ și se pierde soluția $x=0$.)

c) (5 p) Simetricul $n^{\prime }$ al lui $n$ verifică $n\circ n^{\prime }=e$: $$n\circ n^{\prime }=n^{\prime }\circ n=11,\text{ unde }{n}^{\prime }\text{ este simetricul lui }n,\text{ de unde obținem }(n-5)(n^{\prime }-5)=36\text{(2 p)}.$$ Cum $n$ și $n^{\prime }$ sunt numere naturale, $n\ne 5$ și $n^{\prime }$ este număr par, $n^{\prime }-5$ este un divizor impar al lui $36$, adică $\pm 1$, $\pm 3$ sau $\pm 9$. Cazurile $n^{\prime }-5\in \{1,3,9\}$ dau $n^{\prime }\in \{6,8,14\}$ și $n-5\in \{36,12,4\}$; cazurile negative dau $n^{\prime }\in \{4,2,-4\}$ și $n-5\in \{-36,-12,-4\}$, adică $n$ negativ — imposibil. Obținem $\mathbf{n}=9$, $\mathbf{n}=17$ și $\mathbf{n}=41$ (3 p).

(Baremul oficial trece direct la cele trei valori; enumerarea divizorilor impari și excluderea cazurilor negative sunt scrise de noi. Control: $9\circ 14=\frac{1}{6}\cdot 4\cdot 9+5=11$, $17\circ 8=\frac{1}{6}\cdot 12\cdot 3+5=11$, $41\circ 6=\frac{1}{6}\cdot 36\cdot 1+5=11$. Unde se greșește de obicei: se uită condiția „simetric par" și se iau toți divizorii lui $36$ — ar ieși și $n=6,7,8,11,14,23$, ale căror simetrice sunt impare.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită și o inegalitate.

a) (5 p) Derivăm termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{x^2}+\frac{4}{x+3}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{4x^2-x-3}{x^2(x+3)}=\frac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(La numărător: $-(x+3)+4x^2=4x^2-x-3$, cu rădăcinile $1$ și $-\frac{3}{4}$. Unde se greșește de obicei: derivata lui $\frac{1}{x}$ se scrie $\frac{1}{x^2}$, fără minus.)

b) (5 p) Numărătorul se simplifică: $4\ln (x+3)-f(x)=-\frac{1}{x}+1$. Pentru $x\to 1$ numărătorul și numitorul tind la $0$, deci se aplică regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4\ln (x+3)-f(x)}{\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-\frac{1}{x}+1}{\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{{\left(-\frac{1}{x}+1\right)}^{\prime }}{(\ln x{)}^{\prime }}=\text{(3 p)}$$ $$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}}=1\text{(2 p)}.$$

(Raportul $\frac{1/x^2}{1/x}=\frac{1}{x}$, care tinde la $1$. Unde se greșește de obicei: derivata lui $-\frac{1}{x}$ se scrie $-\frac{1}{x^2}$ și iese $-1$.)

c) (5 p) Pe $(0,1]$ avem $x-1\le 0$, iar ceilalți factori sunt pozitivi: $f^{\prime }(x)=0⟺x=1$; pentru orice $x\in (0,1]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$ (2 p).

Cum $x\in (0,1]\Rightarrow x\ge x^2$, rezultă că $f(x)\le f\left(x^2\right)$, de unde obținem $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\ge 4\ln \frac{x+3}{x^2+3}$, pentru orice $x\in (0,1]$ (3 p).

(Ce sare baremul: și $x^2$ aparține intervalului $(0,1]$, deci ambele numere sunt în intervalul pe care $f$ descrește — altfel comparația nu ar fi permisă. Iar $f\left(x^2\right)-f(x)=\frac{1}{x^2}-1+4\ln \left(x^2+3\right)-\frac{1}{x}+1-4\ln (x+3)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-4\ln \frac{x+3}{x^2+3}\ge 0$. Egalitatea are loc doar în $x=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x\le x^2$ pe $(0,1]$ — fals, de exemplu $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$ —, sau se uită că o funcție descrescătoare inversează sensul inegalității.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și o primitivă concavă.

a) (5 p) Exponențialele se reduc, $e^{-x}\cdot e^x=1$: $${\int }_0^{3}f(x)e^{x}dx={\int }_0^3\left(x^2+4x\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2\right){|}_0^3=\text{(3 p)}$$ $$=9+18=27\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $4x$ se scrie $4x^2$ și iese $9+36=45$.)

b) (5 p) Cum $x^2+4x=x(x+4)$ și $x+4\ne 0$ pe $[-1,0]$, $\frac{f(x)}{x+4}=x{e}^{-x}$. Integrăm prin părți, cu $u=x$ și $v=-e^{-x}$: $${\int }_{-1}^0\frac{f(x)}{x+4}dx={\int }_{-1}^{0}x{e}^{-x}dx={\int }_{-1}^{0}x{\left(-e^{-x}\right)}^{\prime }dx=-x{e}^{-x}{|}_{-1}^0-e^{-x}{|}_{-1}^0=\text{(3 p)}$$ $$=-e-1+e=-1\text{(2 p)}.$$

(Termenii: $-x{e}^{-x}{|}_{-1}^0=0-\left(-(-1)e^1\right)=-e$ și $-e^{-x}{|}_{-1}^0=-1+e$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=e^{-x}$, fără minus, și semnele ies greșit — de exemplu $2e-1$.)

c) (5 p) Calculăm $g$: $f\left(x^2\right)=\left(x^4+4x^2\right)e^{-x^2}$, iar împărțind la $x^2$, $$G^{\prime }(x)=g(x)=\left(x^2+4\right)e^{-x^2},x\in (0,+\infty ),\text{ deci }{G}^{\prime \prime }(x)={\left(x^2+4\right)}^{\prime }{e}^{-x^2}+\left(x^2+4\right){\left(e^{-x^2}\right)}^{\prime }=\text{(3 p)}$$ $$=2x{e}^{-x^2}+\left(x^2+4\right)(-2x)e^{-x^2}=-2x\left(x^2+3\right)e^{-x^2}\le 0,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty ),\text{ deci funcția }G\text{ este concava˘}\text{(2 p)}.$$

(Semnul: pentru $x>0$, $-2x<0$, iar $x^2+3>0$ și $e^{-x^2}>0$. Raționamentul nu depinde de care primitivă alegem — toate au aceeași derivată $g$, deci aceeași derivată a doua. Unde se greșește de obicei: se derivează $e^{-x^2}$ ca $e^{-x^2}$, fără factorul $-2x$, sau se uită împărțirea la $x^2$ și se lucrează cu $\left(x^4+4x^2\right)e^{-x^2}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale a probei E. c), Matematică M_șt-nat, dată elevilor de clasa a XII-a în 2026, înaintea examenului național de bacalaureat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația din doi termeni și un termen următor — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(0)=f(f(0))$ pentru o funcție de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: factorul comun $5^{x-2}$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numerele impare de trei cifre distincte, prin regula produsului — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și un punct pe o dreaptă — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: triunghiul dreptunghic cu un unghi de $\frac{\pi }{6}$ — catetele din ipotenuză, apoi teorema lui Pitagora — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, o identitate cu produse de matrice și o ecuație care se reduce la o ecuație de gradul al doilea — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul direct, o ecuație și elementele simetrice naturale — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei sume, o limită de tip $\frac{0}{0}$ și o inegalitate din monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale și primitive: formula Leibniz–Newton, integrarea prin părți și concavitatea unei primitive din semnul derivatei a doua — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2026. Subiectul I cere șase calcule directe, dintre care două au o cheie: la cerința 3 se dă factor comun $5^{x-2}$ (atunci $5^x=25\cdot 5^{x-2}$), iar la cerința 4 se alege întâi cifra unităților, pentru că ea poartă condiția de paritate. La Subiectul al II-lea, identitatea de la subpunctul b) al primei probleme se folosește de două ori la subpunctul c), cu $b=a$ și apoi cu $a=1$, $b=2a-1$; legea de compoziție $x\circ y=\frac{1}{6}(x-5)(y-5)+5$ cere la c) numerele ale căror simetrice sunt naturale pare, adică numerele pentru care $n^{\prime }-5$ este un divizor impar al lui $36$. Subiectul al III-lea cere la problema 1 o inegalitate care este, de fapt, „$f(x)\le f\left(x^2\right)$" pentru o funcție descrescătoare, iar la problema 2 o integrală prin părți și concavitatea unei primitive, care se citește din semnul lui $G^{\prime \prime }=g^{\prime }$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre legi de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $20$, $-2$, $3$, $18$, $-3$, $4\sqrt{3}$, $1$, $\{-3,1\}$, $6$, $\{0,6\}$, $\{9,17,41\}$, $1$, $27$ și $-1$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: numărarea de la cerința 4 fără o regulă de numărare explicată; simetricele de la problema 8, subpunctul c), date fără să se spună de ce $n^{\prime }-5$ trebuie să fie impar; inegalitatea de la problema 9, subpunctul c), scrisă fără să se arate că $x$ și $x^2$ stau amândouă în $(0,1]$; concavitatea afirmată fără semnul derivatei a doua.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_n=a_1+(n-1)r$, deci $a_3-a_1=2r$. Compunere: $(f\circ f)(x)=f(f(x))$. Exponențiale: $5^x=5^2\cdot 5^{x-2}$; $a^u=a^v⟺u=v$. Regula produsului: dacă o alegere se face în $m$ moduri și, pentru fiecare, a doua în $n$ moduri, perechea se face în $m\cdot n$ moduri.
• Geometrie analitică: mijlocul segmentului $[AB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; un punct aparține unei drepte când coordonatele lui îi verifică ecuația. Triunghiul dreptunghic în $A$: $AB=BC\sin C$, $AC=BC\cos C$, $B{M}^2=A{M}^2+A{B}^2$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; înmulțirea „linie cu coloană".
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru când $x\circ e=e\circ x=x$; $x^{\prime }$ este simetricul lui $x$ când $x\circ x^{\prime }=x^{\prime }\circ x=e$.
• Derivate: ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$, $(\ln (x+3){)}^{\prime }=\frac{1}{x+3}$; regula lui l'Hôpital pentru $\frac{0}{0}$; o funcție descrescătoare inversează inegalitățile: $u\ge v\Rightarrow f(u)\le f(v)$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; o funcție de două ori derivabilă cu $G^{\prime \prime }\le 0$ este concavă, iar pentru o primitivă $G$ a lui $g$ avem $G^{\prime }=g$ și $G^{\prime \prime }=g^{\prime }$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ este compunerea funcțiilor la cerința $2$, $(f\circ f)(0)$, și legea de compoziție definită în enunț la cerința $8$. Subiectul oficial le tipărește la fel; le-am păstrat, dar fiecare se citește în problema ei.
• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=ax+3$ la cerința $2$, $f(x)=\frac{1}{x}-1+4\ln (x+3)$ la cerința $9$ și $f(x)=\left(x^2+4x\right)e^{-x}$ la cerința $10$. Litera $A$ este o mulțime de cifre la cerința $4$, un punct la cerințele $5$ și $6$ și o matrice, $A(a)$, la cerința $7$. Litera $M$ este un punct la cerința $6$ și mijlocul segmentului $AB$ în rezolvarea cerinței $5$. Litera $B$ este un punct al reperului la cerința $5$ și un vârf al triunghiului la cerința $6$. La cerința $6$, $C=\frac{\pi }{6}$ înseamnă că unghiul din vârful $C$ are $30^{\circ }$: subiectul oficial scrie măsura unghiului cu aceeași literă ca vârful.
• Litera $a$ este parametrul funcției la cerința $2$, al dreptei la cerința $5$ și al matricei la cerința $7$. Litera $e$ este elementul neutru $e=11$ la cerința $8$ și baza logaritmului natural la cerințele $9$ și $10$. La cerința $8$, $n^{\prime }$ este simetricul lui $n$, nu o derivată; litera $n$ este acolo un număr natural, iar la cerința $1$ indicele termenilor $a_n$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".