Bac M2 2026, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2026 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\sqrt{2}\left(3+\sqrt{2}\right)+3\left(1-2\sqrt{2}\right)=7$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-10$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(2a)=f(a)-3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{4x^2-6x+5}=x\sqrt{3}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor cel mult egală cu $3$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$, $B(1,5)$ și $C(6,0)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)=\cos x\cdot \sin 3x-\sin 2x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{6}\right)=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(x)=\left(\begin{array}{cc}2x+1& 0\\ 4x& x+1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=6$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(-2)\cdot A(1)-4I_2=A(x)$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\det \left(A(x)+A\left(\frac{1}{x}\right)-2I_2\right)\ge 8$, pentru orice număr real nenul $x$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x^2-xy-x+2y+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 1=2$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ (2x)=1$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\circ n=m$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}\cdot f^{\prime }(x)}{5x-5}=\frac{1}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați imaginea funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+x\right)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx=\frac{5}{6}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x}dx=e(2e-1)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_2^4\frac{xf(x)}{f(x-1)}dx=ae(5+\ln 3)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Desfacem parantezele, cu $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$: $$2\sqrt{2}\left(3+\sqrt{2}\right)+3\left(1-2\sqrt{2}\right)=6\sqrt{2}+2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+3-6\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$ Termenii $6\sqrt{2}$ și $-6\sqrt{2}$ se reduc, iar $2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4$: $$6\sqrt{2}+4+3-6\sqrt{2}=4+3=7\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{4}=2\cdot 4=8$, uitând că $\sqrt{4}=2$, și iese $11$; sau se înmulțește $3$ doar cu primul termen al parantezei, $3-2\sqrt{2}$, și radicalii nu se mai reduc.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Calculăm cele două valori ale funcției: $$f(2a)=6a-10,f(a)=3a-10,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $6a-10=3a-10-3$, de unde $3a=-3$, adică $\mathbf{a}=-1$ (3 p).

(Control: $f(-2)=-16$, iar $f(-1)-3=-13-3=-16$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(2a)=2f(a)=6a-20$, ca și cum funcția ar fi proporțională — termenul liber $-10$ nu se dublează; atunci iese $a=\frac{7}{3}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ridicăm la pătrat ambii membri: $$4x^2-6x+5=3x^2,\text{ de unde obținem }{x}^2-6x+5=0\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile ecuației de gradul al doilea sunt $x=1$ și $x=5$; ambele sunt pozitive, deci membrul drept $x\sqrt{3}$ este pozitiv, iar prin verificare ambele sunt soluții: $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=5$, care convin (3 p).

(Justificarea pe care baremul o rezumă în „care convin": ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă; o soluție trebuie să îndeplinească $x\sqrt{3}\ge 0$, adică $x\ge 0$. Verificare: pentru $x=1$, $\sqrt{4-6+5}=\sqrt{3}=1\cdot \sqrt{3}$; pentru $x=5$, $\sqrt{100-30+5}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat doar $x$, uitând factorul $\sqrt{3}$, și iese $3x^2-6x+5=0$, fără soluții reale.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

În mulțimea numerelor naturale de două cifre, $\{10,11,\dots ,99\}$, sunt $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Numerele de două cifre cu suma cifrelor cel mult $3$ sunt $10$, $11$, $12$, $20$, $21$ și $30$, deci sunt $6$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}\text{(3 p)}.$$

(Cifra zecilor nu poate fi $0$: pentru suma $1$ există doar $10$, pentru suma $2$ — $11$ și $20$, pentru suma $3$ — $12$, $21$ și $30$. Unde se greșește de obicei: se numără doar numerele cu suma cifrelor exact $3$ și iese $\frac{3}{90}=\frac{1}{30}$; sau se uită $10$, cu suma $1$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, unghi drept.

Panta dreptei $AB$: $$m_{AB}=\frac{5-3}{1-0}=2\text{(2 p)}.$$ Panta dreptei $AC$ este $m_{AC}=\frac{0-3}{6-0}=-\frac{1}{2}$ și, cum $m_{AB}\cdot m_{AC}=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$, dreptele $AB$ și $AC$ sunt perpendiculare, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ (3 p).

(Control prin lungimi: $A{B}^2=1+4=5$, $A{C}^2=36+9=45$, $B{C}^2=25+25=50=A{B}^2+A{C}^2$ — reciproca teoremei lui Pitagora dă același unghi drept, în $A$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul la numărătorul pantei lui $AC$, $m_{AC}=\frac{3-0}{6-0}=\frac{1}{2}$, iar produsul pantelor iese $2\cdot \frac{1}{2}=1\ne -1$ — și unghiul drept „dispare". Formula cere aceeași ordine sus și jos: $\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Pentru $x=\frac{\pi }{6}$ avem $3x=\frac{\pi }{2}$ și $2x=\frac{\pi }{3}$, iar $$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{\pi }{2}=1,\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ $$E\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin 3x=3\sin x$ — funcția sinus nu „scoate" coeficientul — și iese $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$; sau se ia $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, valoarea lui $\sin \frac{\pi }{6}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 4& 2\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 4& 2\end{array}\right|=3\cdot 2-0\cdot 4\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(1))=6-0=6\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele de pe diagonala secundară și se ia $0-4\cdot 3=-12$, inversând ordinea diagonalelor.)

b) (5 p) Calculăm matricea $A(-2)$ și membrul stâng: $$A(-2)=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ -8& -1\end{array}\right),A(-2)\cdot A(1)-4I_2=\left(\begin{array}{cc}-9& 0\\ -28& -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ $$A(-2)\cdot A(1)-4I_2=\left(\begin{array}{cc}-13& 0\\ -28& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot (-7)+1& 0\\ 4\cdot (-7)& -7+1\end{array}\right)=A(-7),\text{ deci }A(x)=A(-7),\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=-7\text{(3 p)}.$$

(Detaliul produsului: linia a doua a lui $A(-2)$ înmulțită cu prima coloană a lui $A(1)$ dă $(-8)\cdot 3+(-1)\cdot 4=-28$, iar cu a doua coloană $(-8)\cdot 0+(-1)\cdot 2=-2$. Egalitatea $A(x)=A(-7)$ dă $x=-7$ comparând, de exemplu, elementele din colțul din stânga sus: $2x+1=-13$. Unde se greșește de obicei: se scade $4$ din toate elementele, nu doar de pe diagonală.)

c) (5 p) Adunăm și scădem element cu element: $$A(x)+A\left(\frac{1}{x}\right)-2I_2=\left(\begin{array}{cc}2x+\frac{2}{x}& 0\\ 4x+\frac{4}{x}& x+\frac{1}{x}\end{array}\right),\det \left(A(x)+A\left(\frac{1}{x}\right)-2I_2\right)=\left(2x+\frac{2}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)\text{(2 p)}.$$ Dezvoltăm și completăm pătratul: $$\left(2x+\frac{2}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=2\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)=2\left({\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+4\right)\ge 8,\text{ pentru orice numa˘r real nenul }x\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: pe diagonala principală $2x+1+\frac{2}{x}+1-2=2x+\frac{2}{x}$ și $x+1+\frac{1}{x}+1-2=x+\frac{1}{x}$; matricea are $0$ în dreapta sus, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală. Iar $x^2+\frac{1}{x^2}+2={\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+4$, pentru că ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}$. Egalitatea cu $8$ are loc pentru $x=\pm 1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2+\frac{1}{x^2}+2={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2\ge 0$ și se obține doar determinantul $\ge 0$ — o inegalitate adevărată, dar prea slabă ca să dea $\ge 8$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Înlocuim $x=y=1$ în formula legii: $$1\circ 1=1^2-1\cdot 1-1+2\cdot 1+1\text{(3 p)}.$$ $$1\circ 1=1-1-1+2+1=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se pierde semnul lui $-x$ și iese $1-1+1+2+1=4$.)

b) (5 p) Înlocuim $y=2x$, în ordinea dată: $$x\circ (2x)=x^2-2x^2-x+4x+1=-x^2+3x+1,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ $$-x^2+3x+1=1,\text{ deci }-x^2+3x=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=3\text{(3 p)}.$$

(Control: $3\circ 6=9-18-3+12+1=1$ și $0\circ 0=1$. Legea nu este comutativă: de exemplu $0\circ 1=3$, dar $1\circ 0=1$. Unde se greșește de obicei: se calculează $(2x)\circ x=2x^2+1$ în loc de $x\circ (2x)$ și se pierde soluția $x=3$.)

c) (5 p) Scriem egalitatea $m\circ n=m$: $$m\circ n=m^2-mn-m+2n+1,\text{ deci }{m}^2-mn-2m+2n=-1\text{(2 p)}.$$ Membrul stâng se descompune: $m^2-mn-2m+2n=m(m-n)-2(m-n)=(m-2)(m-n)$, deci $(m-2)(m-n)=-1$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, obținem perechile $(1,0)$ și $(3,4)$ (3 p).

(Justificarea pe care baremul o rezumă: $m-2$ și $m-n$ sunt numere întregi cu produsul $-1$, deci una dintre ele este $1$, iar cealaltă $-1$. Dacă $m-2=1$ și $m-n=-1$, atunci $m=3$ și $n=4$; dacă $m-2=-1$ și $m-n=1$, atunci $m=1$ și $n=0$. Control: $3\circ 4=9-12-3+8+1=3$ și $1\circ 0=1-0-1+0+1=1$. Unde se greșește de obicei: se uită că $0$ este număr natural și se pierde perechea $(1,0)$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită și imaginea funcției.

a) (5 p) Derivăm primul termen ca produs, iar pe al doilea ca $2\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$: $$f^{\prime }(x)=\sqrt{x}+(x-1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}\text{(3 p)}.$$ Aducem la numitorul comun $2x\sqrt{x}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x^2+x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\sqrt{x}=\frac{2x^2}{2x\sqrt{x}}$, $\frac{x-1}{2\sqrt{x}}=\frac{x^2-x}{2x\sqrt{x}}$ și $\frac{-1}{x\sqrt{x}}=\frac{-2}{2x\sqrt{x}}$. Control numeric: în $x=4$ formula dă $\frac{48-4-2}{16}=2,625$, iar raportul incremental $\frac{f(4,001)-f(3,999)}{0,002}$ dă tot aproximativ $2,625$. Unde se greșește de obicei: se derivează $\frac{2}{\sqrt{x}}$ ca $\frac{2}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=4\sqrt{x}$, adică se derivează doar numitorul.)

b) (5 p) Cu $\sqrt{x}\cdot f^{\prime }(x)=\frac{3x^2-x-2}{2x}$ și descompunerea $3x^2-x-2=(3x+2)(x-1)$: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}\cdot f^{\prime }(x)}{5x-5}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x^2-x-2}{2x(5x-5)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(3x+2)(x-1)}{10x(x-1)}\text{(3 p)}.$$ Simplificăm cu $x-1\ne 0$: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x+2}{10x}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Pentru $x\to 1$ numărătorul și numitorul tind amândoi la $0$ — nedeterminare $\frac{0}{0}$, pe care simplificarea cu $x-1$ o ridică. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $5$ din $5x-5=5(x-1)$ și iese $\frac{5}{2}$.)

c) (5 p) Rădăcinile trinomului $3x^2-x-2$ sunt $1$ și $-\frac{2}{3}$, iar numitorul $2x\sqrt{x}$ este pozitiv, deci pe $(0,+\infty )$: $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$; pentru orice $x\in (0,1]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$ și, pentru orice $x\in [1,+\infty )$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[1,+\infty )$ (2 p).

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, $f(1)=2$ și $f$ este continuă, de unde obținem că imaginea funcției $f$ este $[2,+\infty )$ (3 p).

(Justificarea pe care baremul o rezumă: $-\frac{2}{3}$ nu aparține domeniului; $f(1)=0\cdot 1+\frac{2}{1}=2$ este minimul funcției, deci $f(x)\ge 2$; pe $[1,+\infty )$ funcția este continuă și crescătoare, pornește din $2$ și tinde la $+\infty$, deci ia orice valoare din $[2,+\infty )$. Unde se greșește de obicei: se scrie imaginea $(2,+\infty )$, uitând că valoarea $2$ este atinsă în $x=1$; sau se ia și rădăcina $-\frac{2}{3}$, care nu este în domeniu.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Factorul $e^x$ se simplifică: $${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx={\int }_0^1\left(x^2+x\right)dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1+\frac{x^2}{2}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $x^2+x$ ca $x^3+x^2$, fără împărțirea la exponenți, și iese $2$.)

b) (5 p) Pentru $x\in [1,2]$ se simplifică cu $x$: $\frac{f(x)}{x}=(x+1)e^x$, care este chiar derivata lui $x{e}^x$: $${\int }_1^2\frac{f(x)}{x}dx={\int }_1^2(x+1){\left(e^x\right)}^{\prime }dx=x{e}^x{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $${\int }_1^2\frac{f(x)}{x}dx=2e^2-e=\mathbf{e}(2e-1)\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: ${\left(x{e}^x\right)}^{\prime }=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$; același rezultat se obține integrând prin părți. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[1,2]$ dă $12,059830$, iar $e(2e-1)\approx 12,059830$. Unde se greșește de obicei: se ia primitiva $(x+1)e^x$, adică integrandul însuși, și iese $3e^2-2e$.)

c) (5 p) Cum $f(x-1)=\left((x-1{)}^2+(x-1)\right)e^{x-1}=x(x-1)e^{x-1}$, raportul se simplifică: $\frac{xf(x)}{f(x-1)}=\frac{x\cdot x(x+1)e^x}{x(x-1)e^{x-1}}=e\cdot \frac{x^2+x}{x-1}$. Împărțim $x^2+x$ la $x-1$: $${\int }_2^4\frac{xf(x)}{f(x-1)}dx=e{\int }_2^4\frac{x^2+x}{x-1}dx=e{\int }_2^4\left(x+2+\frac{2}{x-1}\right)dx=e\left(\frac{x^2}{2}+2x+2\ln (x-1)\right){|}_2^4=2e(5+\ln 3)\text{(3 p)}.$$ $$ae(5+\ln 3)=2e(5+\ln 3),\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: pe $[2,4]$ avem $x(x-1)e^{x-1}\ne 0$, deci împărțirea are sens; $x^2+x=(x-1)(x+2)+2$ — câtul $x+2$, restul $2$; în $x=4$ paranteza valorează $8+8+2\ln 3$, în $x=2$ valorează $2+4+0=6$, iar diferența este $10+2\ln 3=2(5+\ln 3)$. Unde se greșește de obicei: se împarte greșit, $\frac{x^2+x}{x-1}=x+2$, uitând restul — atunci iese $10e$ și nu mai apare $\ln 3$; sau se scrie $e^{x-1}=\frac{e^x}{e}$ invers, și factorul $e$ ajunge la numitor.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2026 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii speciale din 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Calcul cu radicali: desfacerea parantezelor și $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valori ale funcției în puncte legate între ele și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de două cifre cu suma cifrelor cel mult $3$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: pantele a două drepte și condiția de perpendicularitate — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinant, produsul și diferența unor matrice cu parametru, o inegalitate cu determinant — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, o ecuație de gradul al doilea și o ecuație în numere naturale, prin descompunere în factori — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei funcții cu radicali, o limită de tip $\frac{0}{0}$, monotonia și imaginea funcției — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: formula Leibniz–Newton, recunoașterea unei derivate de produs și integrala unei funcții raționale — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2026. Subiectul I este format din șase cerințe directe: un calcul cu radicali în care termenii $6\sqrt{2}$ se reduc, o ecuație de gradul întâi din valori ale funcției, o ecuație irațională cu ambele soluții valabile, o probabilitate cu cele șase numere de două cifre care au suma cifrelor cel mult $3$, un unghi drept dovedit prin pante și o expresie trigonometrică în $\frac{\pi }{6}$. La Subiectul al II-lea, inegalitatea de la problema 1 se sprijină pe un pătrat perfect: determinantul este $2\left({\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+4\right)$; legea de compoziție nu este comutativă, iar la subpunctul c) ecuația $m\circ n=m$ se scrie ca produs, $(m-2)(m-n)=-1$, care în numere naturale are doar două soluții. La Subiectul al III-lea, problema 1 cere derivata unei funcții cu $\sqrt{x}$ și imaginea ei, din tabelul de variație, iar la problema 2 subpunctul b) se rezolvă recunoscând derivata lui $x{e}^x$, iar subpunctul c) cere împărțirea a două polinoame.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri". Tot așa, împărțirea polinoamelor de la problema a doua a Subiectului al III-lea, subpunctul c), stă în unitatea „Supliment Bac M2 2027–2029: integrale de funcții raționale".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $7$, $a=-1$, $x\in \{1,5\}$, $\frac{1}{15}$, $6$, $x=-7$, $x\in \{0,3\}$, perechile $(1,0)$ și $(3,4)$, $[2,+\infty )$, $\frac{5}{6}$ și $a=2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile date fără verificare (sau fără condiția $x\sqrt{3}\ge 0$); la cerința 7, subpunctul c), inegalitatea verificată pe câteva valori ale lui $x$, în loc de un pătrat perfect; la cerința 8, subpunctul c), perechile găsite prin încercări, fără descompunerea în factori; la cerința 9, subpunctul c), imaginea scrisă fără monotonie și fără limita la $+\infty$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$, pentru $a\ge 0$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v\Rightarrow u=v^2$, cu verificarea $v\ge 0$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Pante: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; dreptele $AB$ și $AC$ sunt perpendiculare exact când $m_{AB}\cdot m_{AC}=-1$. Trigonometrie: $\cos \frac{\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul se face „linie înmulțită cu coloană"; o matrice inferior triunghiulară are determinantul egal cu produsul elementelor de pe diagonală.
• Legi de compoziție: $x\circ y$ se calculează înlocuind în formulă, în ordinea dată — legea din această probă nu este comutativă.
• Derivate: ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$; o funcție continuă, descrescătoare până într-un punct și crescătoare după el, are minimul în acel punct.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; ${\left(x{e}^x\right)}^{\prime }=(x+1)e^x$; $\int \frac{1}{x-1}dx=\ln |x-1|+\mathcal{C}$; împărțirea cu rest $x^2+x=(x-1)(x+2)+2$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=3x-10$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\left(x^2+x\right)e^x$ de la cerința $10$. Tot așa, $A$ este un punct la cerința $5$ și o matrice, $A(x)$, la cerința $7$; $a$ este necunoscuta la cerința $2$ și la cerința $10$, subpunctul c); $m$ apare în pantele $m_{AB}$, $m_{AC}$ de la cerința $5$, iar la cerința $8$, subpunctul c), $m$ și $n$ sunt numere naturale. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor. La cerința $10$, litera $e$ este baza logaritmului natural, $e\approx 2,718$.
• La cerința $7$, litera $x$ este parametrul matricei $A(x)$ (la subpunctul c), un număr real nenul, pentru ca $\frac{1}{x}$ să aibă sens), iar $I_2$ este matricea unitate de ordinul al doilea.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".