Exerciții rezolvate — Cercul trigonometric și funcțiile trigonometrice (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Cercul trigonometric și funcțiile trigonometrice", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Ecuația cercului trigonometric, în reperul cartezian $xOy$, este:

   • a) $x^2+y^2=1$
   • b) $x^2+y^2=R^2$
   • c) $x+y=1$
   • d) $x^2-y^2=1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $x^2+y^2=1$

   Cercul trigonometric are centrul în $O$ și raza $1$, deci pentru orice punct $M(x,y)$ de pe el, $OM=\sqrt{x^2+y^2}=1$, adică $x^2+y^2=1$. Varianta b) ar fi ecuația unui cerc de rază oarecare $R$, nu neapărat $1$; c) descrie o dreaptă, nu un cerc; d) este ecuația unei hiperbole.

   Lecția: Cercul trigonometric și punctele asociate numerelor reale →

2. Care este domeniul maxim de definiție al funcției tangentă?

   • a) $\mathbb{R}$
   • b) $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$
   • c) $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$
   • d) $[-1,1]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$

   Tangenta nu există acolo unde $\cos t=0$, adică punctele de pe axa $Oy$: $t=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Varianta b confundă tangenta cu punctele unde se anulează sinusul, iar d confundă domeniul cu mulțimea valorilor sinusului și cosinusului.

   Lecția: Funcția tangentă și domeniul ei →

3. Câte zerouri are funcția sinus pe intervalul $[0,2\pi ]$?

   • a) 2
   • b) 3
   • c) 4
   • d) 1
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) 3

   Zerourile sunt $x=0$, $x=\pi$ și $x=2\pi$ — trei în total, pentru că intervalul închis include atât începutul, cât și sfârșitul turei.

   Lecția: Graficele funcțiilor sinus și cosinus pe [0, 2π] →

4. Transformați în radiani măsura de $135^{\circ }$.

   • a) $\frac{2\pi }{3}$
   • b) $\frac{3\pi }{4}$
   • c) $\frac{5\pi }{6}$
   • d) $\frac{4\pi }{5}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\frac{3\pi }{4}$

   Înmulțim cu $\frac{\pi }{180}$: $135^{\circ }=\frac{135\pi }{180}$. Simplificăm fracția $\frac{135}{180}$ prin $45$: $\frac{135}{180}=\frac{3}{4}$, deci rezultatul este $\frac{3\pi }{4}$. Varianta a) ar corespunde lui $120^{\circ }$, c) lui $150^{\circ }$, iar d) nu e o valoare din tabelul uzual — niciuna nu se obține din calculul cerut.

   Lecția: Măsura unui arc: grade și radiani →

5. Se știe că $\sin x>0$ și $\cos x<0$. În ce cadran se află punctul asociat lui $x$?

   • a) Cadranul I
   • b) Cadranul II
   • c) Cadranul III
   • d) Cadranul IV
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Cadranul II

   $\sin x>0\Rightarrow$ cadranul I sau II; $\cos x<0\Rightarrow$ cadranul II sau III. Intersecția celor două mulțimi este cadranul II.

   Lecția: Semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane →

6. Prin definiție, cosinusul numărului real $t$ este:

   • a) ordonata punctului $M(t)$
   • b) abscisa punctului $M(t)$
   • c) raza cercului trigonometric
   • d) lungimea segmentului $OM$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) abscisa punctului $M(t)$

   Din definiție, $M(t)=(\cos t,\sin t)$: cosinusul este abscisa (prima coordonată), sinusul este ordonata (a doua). Varianta a) descrie de fapt sinusul; c) raza este mereu $1$, indiferent de $t$; d) segmentul $OM$ are lungimea $1$ pentru orice punct de pe cerc, deci nu depinde de $t$.

   Lecția: Sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric →

7. Cât este $\sin \frac{\pi }{6}$?

   • a) $\frac{1}{2}$
   • b) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
   • c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • d) $1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{1}{2}$

   În triunghiul dreptunghic $OPM$ pentru $t=\frac{\pi }{6}$ ($30^{\circ }$), cateta $PM$ (ordonata, adică sinusul) este opusă unghiului de $30^{\circ }$ din $O$, deci este jumătate din ipotenuza $OM=1$: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$. Varianta c) este de fapt $\cos \frac{\pi }{6}$ — cea mai frecventă confuzie a acestui tabel.

   Lecția: Valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază →

8. Sensul trigonometric (pozitiv), pe cercul trigonometric, este:

   • a) sensul acelor de ceasornic
   • b) sensul invers acelor de ceasornic, de la $A$ spre $B$
   • c) de la $B$ spre $A$, prin cadranul I
   • d) sensul nu contează, cele două sunt echivalente
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) sensul invers acelor de ceasornic, de la $A$ spre $B$

   Prin convenție, sensul pozitiv (trigonometric) este cel invers acelor de ceasornic, adică de la $A(1,0)$ spre $B(0,1)$, prin cadranul I. Varianta a) descrie exact sensul negativ (acelor de ceasornic); c) descrie parcurgerea în sens opus, de la $B$ spre $A$ prin același cadran I — tot sensul acelor de ceasornic, doar cu punctele schimbate între ele; d) este greșită, pentru că semnul lui $t$ depinde esențial de sensul de parcurgere.

   Lecția: Cercul trigonometric și punctele asociate numerelor reale →

9. Cât este $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$?

   • a) $1$
   • b) $\frac{\sqrt{3}}{3}$
   • c) $\sqrt{3}$
   • d) nu există
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\sqrt{3}$

   $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sin \pi /3}{\cos \pi /3}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$. Varianta b este de fapt $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}$, iar a este $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$.

   Lecția: Funcția tangentă și domeniul ei →

10. În câte puncte își atinge funcția cosinus valoarea maximă pe $[0,2\pi ]$?

    • a) 1
    • b) 2
    • c) 3
    • d) 0
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) 2

    Maximul $1$ se atinge la ambele capete ale intervalului, $x=0$ și $x=2\pi$, pentru că amândouă corespund aceluiași punct $(1,0)$ de pe cerc, cu abscisa maximă.

    Lecția: Graficele funcțiilor sinus și cosinus pe [0, 2π] →

11. Transformați în grade măsura $\frac{7\pi }{6}$.

    • a) $150^{\circ }$
    • b) $180^{\circ }$
    • c) $210^{\circ }$
    • d) $240^{\circ }$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $210^{\circ }$

    Înlocuim $\pi$ cu $180^{\circ }$: $\frac{7\pi }{6}=\frac{7\cdot 180^{\circ }}{6}=\frac{1260^{\circ }}{6}=210^{\circ }$. Varianta a) ar fi $\frac{5\pi }{6}$, b) ar fi $\pi$, iar d) ar fi $\frac{4\pi }{3}$ — niciuna nu corespunde numărătorului $7$ cu numitorul $6$.

    Lecția: Măsura unui arc: grade și radiani →

12. Ce semn are $\mathrm{tg}x$ pentru $x$ în cadranul III?

    • a) Pozitiv
    • b) Negativ
    • c) Zero
    • d) Nedefinit
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) Pozitiv

    În cadranul III, $\sin x<0$ și $\cos x<0$. Raportul a două numere negative este pozitiv, deci $\mathrm{tg}x>0$ (de exemplu, pentru $x=4$: $\sin 4\approx -0,757$, $\cos 4\approx -0,654$, iar raportul lor este pozitiv, $\approx 1,158$).

    Lecția: Semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.