Exerciții rezolvate — Formule trigonometrice avansate (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Formule trigonometrice avansate", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Care este forma corectă a formulei sinusului sumei?

   • a) $\sin (a+b)=\sin a+\sin b$
   • b) $\sin (a+b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$
   • c) $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
   • d) $\sin (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

   Formula corectă, dedusă din formula-mamă prin trecerea la cofuncții, este $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ — varianta c. Varianta a e capcana clasică a lecției: sinusul nu e aditiv, contraexemplul $a=b=45^{\circ }$ o infirmă imediat ($1\ne \sqrt{2}$). Varianta b este de fapt formula lui $\sin (a-b)$, nu a sumei — semnul din mijloc trebuie să fie același cu cel din paranteză. Varianta d este formula lui $\cos (a+b)$, confundă cele două funcții.

   Lecția: Formulele pentru sumă și diferență: sin(a±b), cos(a±b), tg(a±b) →

2. Care este forma corectă a formulei $\sin 2x$?

   • a) $\sin 2x=2\sin x$
   • b) $\sin 2x=2\sin x\cos x$
   • c) $\sin 2x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$
   • d) $\sin 2x=\sin x+\cos x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\sin 2x=2\sin x\cos x$

   Din $\sin 2x=\sin (x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x$, varianta b. Varianta a este cea mai frecventă greșeală semnalată în lecție: la $x=90°$, formula corectă dă $\sin 180°=0$, dar varianta greșită ar da $2\sin 90°=2$ — testul rapid arată imediat eroarea. Varianta c este de fapt formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, care e constantă, nu depinde de $x$ ca $\sin 2x$. Varianta d nu corespunde niciunei identități trigonometrice.

   Lecția: Formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate →

3. Care este domeniul maxim de definiție al funcției cotangentă?

   • a) $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$
   • b) $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$
   • c) $\mathbb{R}$
   • d) $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$

   Cotangenta este fracția $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$, deci nu există unde $\sin x=0$, adică pentru $x=k\pi$; corect este varianta a. Varianta b este domeniul tangentei (unde se anulează cosinusul), nu al cotangentei — o confuzie frecventă semnalată explicit în lecție. Varianta c e greșită pentru că exclude un fapt cert: cotangenta chiar nu există în $x=0$. Varianta d exclude prea mult: în $x=\frac{\pi }{2}$, de exemplu, cotangenta există și valorează $0$, deci $\frac{\pi }{2}$ nu trebuie exclus.

   Lecția: Funcția cotangentă; periodicitatea funcțiilor trigonometrice →

4. Care este formula corectă pentru $\sin p+\sin q$?

   • a) $2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$
   • b) $2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}$
   • c) $2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$
   • d) $2\sin p\cos q$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$

   Formula corectă are semisuma la sinus și semidiferența la cosinus: $\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$ — varianta a. Varianta b inversează rolurile semisumei și semidiferenței; de fapt aceasta este formula pentru $\sin p-\sin q$, o confuzie frecventă semnalată explicit în lecție. Varianta c este formula pentru $\cos p+\cos q$, nu pentru sinusuri. Varianta d nu corespunde niciunei transformări valide — argumentele $p$ și $q$ rămân neschimbate, fără semisumă sau semidiferență.

   Lecția: Transformarea sumelor în produse și a produselor în sume →

5. Care dintre formulele de mai jos este „formula-mamă", demonstrată în lecție cu ajutorul coardei cercului trigonometric și al teoremei lui Pitagora?

   • a) $\cos (a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
   • b) $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
   • c) $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
   • d) $\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

   Egalând cele două expresii ale pătratului aceleiași coarde se obține direct $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ — varianta b, singura demonstrată geometric în lecție; toate celelalte trei formule se deduc ulterior din ea. Varianta a are semnul greșit: $\cos (a+b)$ se obține din formula-mamă înlocuind $b$ cu $-b$, ceea ce schimbă semnul lui $\sin b$, deci formula corectă pentru sumă are minus în față. Variantele c și d sunt formule derivate ulterior, nu punctul de plecare al demonstrației.

   Lecția: Formulele pentru sumă și diferență: sin(a±b), cos(a±b), tg(a±b) →

6. Dintr-un enunț cunoști direct $\sin x$ (dar nu și $\cos x$). Care formă a lui $\cos 2x$ o poți folosi fără să mai ai nevoie de $\cos x$?

   • a) $\cos 2x=2\sin x\cos x-1$
   • b) $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$
   • c) $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$
   • d) $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$

   Forma $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ conține doar $\sin x$, deci e cea potrivită când numai $\sin x$ e cunoscut — varianta d. Varianta c, $2{\cos }^{2}x-1$, e forma potrivită pentru situația inversă, când se cunoaște $\cos x$; ar cere să calculezi mai întâi $\cos x$ din $\sin x$, un pas suplimentar inutil. Varianta b conține ambele funcții, deci nu simplifică nimic. Varianta a nu este o identitate validă — amestecă termenul $2\sin x\cos x$ (care e $\sin 2x$, nu $\cos 2x$) cu forma liniarizată.

   Lecția: Formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate →

7. Care este perioada principală a funcției cotangentă?

   • a) $2\pi$
   • b) $\frac{\pi }{2}$
   • c) $\pi$
   • d) $4\pi$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\pi$

   Din $\mathrm{ctg}(x+\pi )=\mathrm{ctg}x$ rezultă că $\pi$ este perioadă, iar demonstrația prin reducere la absurd arată că niciun număr din $(0,\pi )$ nu poate fi perioadă, deci $\pi$ este perioada principală — varianta c. Varianta d, $4\pi$, este o greșeală înrudită: $4\pi$ este într-adevăr o perioadă (orice multiplu al lui $\pi$ este perioadă), dar e cu atât mai departe de a fi cea mai mică. Varianta a, $2\pi$, este greșeala frecventă semnalată explicit în lecție: și $2\pi$ este o perioadă, dar nu cea principală. Varianta b nici măcar nu este o perioadă a cotangentei: $\mathrm{ctg}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\ne \mathrm{ctg}x$ în general (de exemplu în $x=\frac{\pi }{4}$ se obține $\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{4}=-1\ne 1=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}$).

   Lecția: Funcția cotangentă; periodicitatea funcțiilor trigonometrice →

8. Care este formula corectă pentru $\cos p-\cos q$?

   • a) $2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$
   • b) $-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$
   • c) $2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$
   • d) $-2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$

   Formula corectă este $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$, cu minus în față — varianta b. Varianta a, fără minus, este cea mai frecventă greșeală a lecției: pentru $p=\pi$, $q=0$, membrul stâng este $\cos \pi -\cos 0=-2$, dar varianta fără minus ar da $2\sin \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2}=2$, contradicție care arată necesitatea minusului. Variantele c și d folosesc greșit cosinusuri în loc de sinusuri — acel produs corespunde de fapt lui $\cos p+\cos q$ (fără minus).

   Lecția: Transformarea sumelor în produse și a produselor în sume →

9. Formula $\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}$ este valabilă doar dacă:

   • a) $\sin a\ne 0$ și $\sin b\ne 0$
   • b) doar $\cos (a+b)\ne 0$
   • c) nicio condiție suplimentară, formula e valabilă mereu
   • d) $\cos a\ne 0$, $\cos b\ne 0$ și $\cos (a+b)\ne 0$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $\cos a\ne 0$, $\cos b\ne 0$ și $\cos (a+b)\ne 0$

   Pentru ca $\mathrm{tg}a$ și $\mathrm{tg}b$ să existe e nevoie de $\cos a\ne 0$ și $\cos b\ne 0$, iar pentru ca fracția să aibă sens e nevoie ca $1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b\ne 0$, condiție echivalentă cu $\cos (a+b)\ne 0$ — toate trei împreună, varianta d. Varianta a confundă condițiile cotangentei cu ale tangentei. Varianta b e incompletă: chiar dacă $\cos (a+b)\ne 0$, formula nu are sens dacă $\mathrm{tg}a$ sau $\mathrm{tg}b$ nici nu există. Varianta c ignoră exact punctul pe care lecția îl insistă: condițiile fac parte din formulă, nu sunt un detaliu opțional (cazul $a=b=45^{\circ }$, unde $a+b=90^{\circ }$, arată de ce sunt necesare).

   Lecția: Formulele pentru sumă și diferență: sin(a±b), cos(a±b), tg(a±b) →

10. Care formă a lui $\mathrm{tg}\frac{x}{2}$ evită complet radicalul și, deci, problema semnului?

    • a) $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$
    • b) $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$
    • c) $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}$
    • d) $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{1-\cos 2x}}{2}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$

    Forma rațională $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$, dedusă din $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ și $1+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}$, nu conține niciun radical — varianta a, valabilă pentru $\cos x\ne -1$. Varianta b este exact forma cu radical pe care vrem s-o evităm, cu semnul ei ambiguu. Varianta c este inversul formulei corecte, adică $\mathrm{ctg}\frac{x}{2}$, nu $\mathrm{tg}\frac{x}{2}$. Varianta d amestecă incorect argumentul $x$ cu $2x$ și nu corespunde niciunei identități din lecție.

    Lecția: Formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate →

11. Împărțind formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ la ${\sin }^{2}x$, se obține relația $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=$

    • a) $1-{\mathrm{tg}}^{2}x$
    • b) $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$
    • c) ${\sin }^{2}x$
    • d) $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

    Împărțind ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ la ${\sin }^{2}x$ obținem $1+\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, adică exact $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ — varianta b, valabilă pentru $x\ne k\pi$. Varianta d, $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, este relația-soră $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, obținută împărțind la ${\cos }^{2}x$, nu la ${\sin }^{2}x$ — ușor de confundat dacă nu reții care funcție stă la numitor. Varianta a nu are sens dimensional (membrul stâng e mereu $\ge 1$, dreapta poate fi subunitară). Varianta c confundă complet direcția calculului.

    Lecția: Funcția cotangentă; periodicitatea funcțiilor trigonometrice →

12. Care este formula corectă de transformare a produsului $\sin a\cos b$ într-o sumă?

    • a) $\sin (a+b)-\sin (a-b)$
    • b) $\frac{1}{2}[\sin (a+b)-\sin (a-b)]$
    • c) $\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$
    • d) $\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$

    Adunând $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ cu $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$, termenii cu $\cos a\sin b$ se anulează și rămâne $2\sin a\cos b$; împărțind la $2$: $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$ — varianta c. Varianta a omite factorul $\frac{1}{2}$. Varianta b are semnul greșit între cei doi termeni (ar corespunde scăderii formulelor, care dă $2\cos a\sin b$, nu $2\sin a\cos b$). Varianta d este de fapt formula pentru $\sin a\sin b$, nu pentru $\sin a\cos b$.

    Lecția: Transformarea sumelor în produse și a produselor în sume →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.