Exerciții rezolvate — Funcția exponențială și funcția logaritmică (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Funcția exponențială și funcția logaritmică", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Este adevărat că orice creștere exponențială cu factor mai mare decât $1$ depășește, mai devreme sau mai târziu, orice creștere liniară?

   • a) Da, întotdeauna, oricât de abruptă ar fi dreapta
   • b) Nu, dacă panta dreptei este suficient de mare
   • c) Da, dar numai dacă factorul exponențial este mai mare decât $2$
   • d) Nu se poate ști fără un calcul explicit
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Da, întotdeauna, oricât de abruptă ar fi dreapta

   Dreapta adaugă mereu același pas, dar curba își mărește pasul proporțional cu valoarea deja atinsă, deci depășește orice dreaptă la un moment dat — ca în comparația $2^n$ față de $100n$, unde răsturnarea are loc la $n=10$.

   Lecția: Creșterea exponențială: de ce «explodează» →

2. Ce înseamnă notația $\ln x$?

   • a) ${\log }_{10}x$
   • b) ${\log }_{e}x$
   • c) ${\log }_{x}e$
   • d) ${\log }_{2}x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) ${\log }_{e}x$

   $\ln x$ este logaritmul natural, adică logaritmul în baza $e$: $\ln x={\log }_{e}x$, cu $e\approx 2,718$.

   Lecția: Logaritm natural și logaritm zecimal →

3. Care dintre următoarele expresii nu există?

   • a) ${\log }_2\frac{1}{8}$
   • b) ${\log }_5(-25)$
   • c) ${\log }_{10}0,001$
   • d) ${\log }_{3}1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) ${\log }_5(-25)$

   Argumentul unui logaritm trebuie strict pozitiv. Nu există niciun exponent $c$ cu $5^c=-25$, fiindcă orice putere cu bază pozitivă este strict pozitivă. Celelalte există: ${\log }_2\frac{1}{8}=-3$, ${\log }_{10}0,001=-3$, ${\log }_{3}1=0$.

   Lecția: Logaritmul: întrebarea «la ce putere?» →

4. Ce se poate spune despre șirul ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$, pe măsură ce $n$ crește nemărginit?

   • a) Crește nemărginit, fără nicio limită.
   • b) Este crescător, dar rămâne mărginit, apropiindu-se de $e$.
   • c) Este descrescător și tinde spre $1$.
   • d) Oscilează, alternând valori mai mici și mai mari decât $e$.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Este crescător, dar rămâne mărginit, apropiindu-se de $e$.

   Valorile calculate — $2$; $2,25$; $2,44140625$; ... — cresc mereu, dar rămân sub $e\approx 2,718$. Șirul este crescător și mărginit superior de $e$, spre care se apropie oricât de mult, fără să îl atingă vreodată.

   Lecția: Numărul irațional e și funcția e^x →

5. O soluție are $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-9}$ mol/L. Cât este pH-ul ei și ce fel de soluție este?

   • a) pH $=9$, bazică
   • b) pH $=-9$, acidă
   • c) pH $=9$, acidă
   • d) pH $=1/9$, neutră
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) pH $=9$, bazică

   $\mathrm{pH}=-\lg \left(10^{-9}\right)=-(-9)=9$. Cum $9>7$, soluția este bazică.

   Lecția: Scări logaritmice: pH, decibeli, magnitudine →

6. Un preț crește cu $10\%$, apoi crește din nou cu $10\%$. Cu ce procent a crescut prețul în total?

   • a) $20\%$
   • b) $21\%$
   • c) $19\%$
   • d) $22\%$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $21\%$

   Factorii se înmulțesc, nu se adună: $1,1\cdot 1,1=1,21$, adică o creștere totală de $21\%$, pentru că a doua creștere se aplică valorii deja mărite.

   Lecția: Creșterea exponențială: de ce «explodează» →

7. Un număr natural $N$ are $\lg N\approx 4,7$. Câte cifre are $N$?

   • a) $4$
   • b) $5$
   • c) $47$
   • d) $6$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $5$

   Partea întreagă a lui $\lg N$ este $4$, deci $10^4\le N<10^5$, adică $N$ are $4+1=5$ cifre.

   Lecția: Logaritm natural și logaritm zecimal →

8. Scrierea ${\log }_{6}216=3$ este echivalentă cu:

   • a) $3^6=216$
   • b) $6^3=216$
   • c) $216^3=6$
   • d) $6^{216}=3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $6^3=216$

   La trecerea din formă logaritmică în formă exponențială, baza logaritmului rămâne bază, iar valoarea logaritmului devine exponent: $6^3=216$ (verificare: $6\cdot 6\cdot 6=216$).

   Lecția: Logaritmul: întrebarea «la ce putere?» →

9. Care este mulțimea valorilor funcției $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=e^x$?

   • a) $\mathbb{R}$
   • b) $(0,+\infty )$
   • c) $[0,+\infty )$
   • d) $\{e^x:x\in \mathbb{Z}\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $(0,+\infty )$

   Pentru orice $x$ real, $e^x>0$: nu există niciun $x$ cu $e^x=0$ sau $e^x<0$. Funcția ia toate valorile strict pozitive, deci mulțimea valorilor este $(0,+\infty )$, exact codomeniul din definiție.

   Lecția: Numărul irațional e și funcția e^x →

10. Cu cât crește nivelul sonor, în decibeli, dacă intensitatea unui sunet se dublează?

    • a) cu $10$ dB
    • b) cu aproximativ $3$ dB
    • c) cu $100$ dB
    • d) rămâne neschimbat
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) cu aproximativ $3$ dB

    $\Delta L=10\lg \frac{2I}{I}=10\lg 2\approx 10\cdot 0,301=3,01\approx 3$ dB. Pentru a crește nivelul cu $10$ dB ar fi nevoie de o intensitate de zece ori mai mare.

    Lecția: Scări logaritmice: pH, decibeli, magnitudine →

11. Un preț crește cu $20\%$, apoi scade cu $20\%$. Care este modificarea finală față de prețul inițial?

    • a) rămâne neschimbat ($0\%$)
    • b) scade cu $4\%$
    • c) crește cu $4\%$
    • d) scade cu $20\%$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) scade cu $4\%$

    Factorul total este $1,2\cdot 0,8=0,96$, adică o scădere finală de $4\%$: creșterea s-a aplicat prețului mic, iar scăderea prețului deja mărit, deci nu se anulează.

    Lecția: Creșterea exponențială: de ce «explodează» →

12. Care logaritm se folosește pentru a calcula timpul de dublare al unei populații care crește continuu, $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$?

    • a) logaritmul zecimal $\lg$
    • b) logaritmul natural $\ln$
    • c) oricare dintre ele, rezultatul e identic
    • d) niciunul, se folosește doar radicalul
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) logaritmul natural $\ln$

    Formula timpului de dublare este $t=\frac{\ln 2}{k}$: se folosește logaritmul natural, pentru că procesul continuu este descris cu baza $e$.

    Lecția: Logaritm natural și logaritm zecimal →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.