Exerciții rezolvate — Perpendicularitate (clasa a VI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Perpendicularitate", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Din punctul $R$ se duc pe dreapta $t$ trei segmente: $RS=6$ cm (perpendicular pe $t$, cu pătrățel de unghi drept în $S$), $RU=8$ cm și $RV=9$ cm (ambele oblice). Care segment reprezintă distanța de la $R$ la dreapta $t$?

   • a) $RS=6$ cm
   • b) $RU=8$ cm
   • c) $RV=9$ cm
   • d) Suma $RS+RU+RV$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $RS=6$ cm

   Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, nu a unei oblice. Singurul segment perpendicular pe $t$ este $RS$ (are pătrățelul de unghi drept în picior), deci $\text{dist}(R,t)=RS=6$ cm. Observă și că $6<8<9$, confirmând că perpendiculara este cea mai scurtă.

   Lecția: Distanța de la un punct la o dreaptă →

2. Dreptele $m$ și $n$ se intersectează în punctul $O$. Unul dintre cele patru unghiuri formate are măsura de $38°$. Ce relație au dreptele $m$ și $n$?

   • a) Sunt perpendiculare, pentru că se intersectează într-un punct
   • b) Sunt oblice, deoarece niciunul dintre cele patru unghiuri nu are $90°$
   • c) Sunt paralele, pentru că unghiul este mai mic de $90°$
   • d) Nu se poate stabili fără a cunoaște toate cele patru unghiuri
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Sunt oblice, deoarece niciunul dintre cele patru unghiuri nu are $90°$

   Unghiul adiacent (suplementar) cu cel de $38°$ are $180°-38°=142°$. Unghiurile opuse la vârf sunt $38°$ și $142°$. Niciunul nu este $90°$, deci dreptele nu sunt perpendiculare, ci oblice: $m/\perp n$.

   Lecția: Drepte perpendiculare: definiție și construcție →

3. Dreapta $d$ trece prin mijlocul segmentului $[EF]$ și formează cu el un unghi de $80°$. Este $d$ mediatoarea segmentului $[EF]$?

   • a) Da, pentru că trece prin mijloc
   • b) Nu, pentru că nu este perpendiculară pe segment
   • c) Da, orice dreaptă prin mijloc este mediatoare
   • d) Nu se poate ști fără să cunoaștem lungimea lui $EF$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Nu, pentru că nu este perpendiculară pe segment

   Mediatoarea trebuie să îndeplinească două condiții deodată: să treacă prin mijloc și să fie perpendiculară (unghi de $90°$). Aici trece prin mijloc, dar unghiul este $80°\ne 90°$, deci lipsește perpendicularitatea. Prin urmare $d$ nu este mediatoarea lui $[EF]$.

   Lecția: Mediatoarea unui segment. Construcția mediatoarei →

4. Punctul $P$ se află la distanța de $9$ cm de dreapta $d$. Pe dreapta $d$ se aleg punctele $R$, $S$ și $T$ astfel încât $PR=9$ cm, $PS=15$ cm și $PT=12,5$ cm. Care segment este perpendiculara dusă din $P$ pe $d$?

   • a) $PS$
   • b) $PT$
   • c) $PR$
   • d) Nu se poate determina
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $PR$

   Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, adică cel mai scurt segment dus din punct până la dreaptă. Aici distanța este $9$ cm, iar singurul segment cu exact $9$ cm este $PR$. Verificare: $PS=15>9$ și $PT=12,5>9$, deci sunt segmente oblice, mai lungi decât perpendiculara. ✓

   Lecția: Probleme de perpendicularitate →

5. Care dintre afirmațiile de mai jos despre axele de simetrie este adevărată?

   • a) Diagonalele unui dreptunghi (care nu este pătrat) sunt axe de simetrie ale lui
   • b) Un pătrat are 4 axe de simetrie
   • c) Litera de tipar S are o axă de simetrie verticală
   • d) Un cerc are exact două axe de simetrie
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Un pătrat are 4 axe de simetrie

   Un pătrat are exact 4 axe de simetrie: două care trec prin mijloacele laturilor opuse și două care sunt diagonalele lui — afirmația (b) este adevărată. Celelalte sunt greșite: la un dreptunghi care nu e pătrat, diagonalele nu sunt axe de simetrie (îndoit pe diagonală, colțurile nu se suprapun) — testul îndoirii respinge (a). Litera S nu are nicio axă de simetrie, oricum ai îndoi-o — respinge (c). Un cerc are o infinitate de axe de simetrie (orice dreaptă prin centru), nu doar două — respinge (d).

   Lecția: Simetria față de o dreaptă →

6. Pe dreapta $n$, în această ordine, se află punctele $B$, $C$, $E$, unde $B$ este piciorul perpendicularei duse dintr-un punct $A$. Se știe că $BC=3$ cm și $CE=4$ cm. Care este ordinea corectă (crescătoare) a lungimilor $AB$, $AC$, $AE$?

   • a) $AE<AC<AB$
   • b) $AB<AC<AE$
   • c) $AC<AB<AE$
   • d) Toate trei sunt egale
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $AB<AC<AE$

   $B$ este piciorul perpendicularei, deci $AB$ este cel mai mic (perpendiculara e cea mai scurtă). Punctul $C$ este la $3$ cm de $B$, iar $E$ este la $BC+CE=3+4=7$ cm de $B$, deci $E$ este mai departe de $B$ decât $C$. Cu cât piciorul oblicii se depărtează de $B$, cu atât oblica e mai lungă, deci $AC<AE$. Ordinea crescătoare este $AB<AC<AE$.

   Lecția: Distanța de la un punct la o dreaptă →

7. Dreptele $p$ și $q$ sunt perpendiculare în punctul $O$. O semidreaptă $[OT$ pleacă din $O$ și împarte unul dintre unghiurile drepte în două unghiuri, astfel încât unul este de cinci ori mai mare decât celălalt. Cât măsoară unghiul mai mic?

   • a) $15°$
   • b) $18°$
   • c) $22,5°$
   • d) $30°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $15°$

   Pentru că $p\perp q$, unghiul împărțit are $90°$. Notăm unghiul mai mic cu $x$, iar cel mare cu $5x$. Cele două sunt complementare (împreună formează unghiul drept): $x+5x=90°\Rightarrow 6x=90°\Rightarrow x=15°$. Verificare: $15°+75°=90°$, corect.

   Lecția: Drepte perpendiculare: definiție și construcție →

8. Dreapta $t$ formează cu segmentul $[MN]$ un unghi de $90°$, dar nu trece prin mijlocul lui. Este $t$ mediatoarea segmentului $[MN]$?

   • a) Da, pentru că este perpendiculară pe segment
   • b) Nu, pentru că nu trece prin mijlocul segmentului
   • c) Da, orice dreaptă perpendiculară pe un segment este mediatoare
   • d) Nu se poate ști fără să cunoaștem lungimea lui $MN$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Nu, pentru că nu trece prin mijlocul segmentului

   Mediatoarea trebuie să îndeplinească simultan două condiții: să treacă prin mijloc și să fie perpendiculară pe segment. Aici dreapta $t$ este perpendiculară, dar nu trece prin mijloc, deci nu este mediatoare.

   Lecția: Mediatoarea unui segment. Construcția mediatoarei →

9. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente și suplementare (adică $A$, $O$, $C$ sunt coliniare). $OM$ este bisectoarea lui $\widehat{AOB}$, iar $ON$ este bisectoarea lui $\widehat{BOC}$. Cât este măsura unghiului $\widehat{MON}$?

   • a) $45°$
   • b) $60°$
   • c) $90°$
   • d) $180°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $90°$

   Notez $\widehat{AOB}=2a$ și $\widehat{BOC}=2b$. Fiind suplementare, $2a+2b=180°\Rightarrow a+b=90°$. Bisectoarele înjumătățesc fiecare unghi, deci $\widehat{BOM}=a$ și $\widehat{BON}=b$, iar $\widehat{MON}=\widehat{BOM}+\widehat{BON}=a+b=90°$. Deci $OM\perp ON$, exact ca la bisectoarele a două unghiuri suplementare.

   Lecția: Probleme de perpendicularitate →

10. Care dintre următoarele afirmații despre axele de simetrie ale figurilor este corectă?

    • a) Un triunghi echilateral are 3 axe de simetrie
    • b) Un cerc are un număr finit de axe de simetrie
    • c) Litera de tipar M are o axă de simetrie orizontală
    • d) Un dreptunghi (care nu este pătrat) are 4 axe de simetrie
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) Un triunghi echilateral are 3 axe de simetrie

    Un triunghi echilateral are exact 3 axe de simetrie, câte una din fiecare vârf spre mijlocul laturii opuse — afirmația (a) este adevărată. Celelalte sunt greșite: un cerc are o infinitate de axe de simetrie (orice dreaptă prin centru), nu un număr finit — respinge (b). Litera M are o axă verticală, nu orizontală — respinge (c). Un dreptunghi care nu e pătrat are doar 2 axe de simetrie (prin mijloacele laturilor opuse), nu 4 — respinge (d).

    Lecția: Simetria față de o dreaptă →

11. Din punctul $P$ se duc pe dreapta $s$ trei segmente: $PQ=5$ cm (perpendicular pe $s$, cu pătrățel de unghi drept în $Q$), $PR=7$ cm și $PT=9$ cm (ambele oblice). Care segment reprezintă distanța de la $P$ la dreapta $s$?

    • a) $PQ=5$ cm
    • b) $PR=7$ cm
    • c) $PT=9$ cm
    • d) Suma $PQ+PR+PT$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $PQ=5$ cm

    Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, nu a unei oblice. Singurul segment perpendicular pe $s$ este $PQ$ (are pătrățelul de unghi drept în picior), deci $\text{dist}(P,s)=PQ=5$ cm. Observă și că $5<7<9$, confirmând că perpendiculara este cea mai scurtă.

    Lecția: Distanța de la un punct la o dreaptă →

12. În jurul punctului $O$ se formează patru unghiuri prin intersecția dreptelor $x$ și $y$. Unul dintre ele are $124°$. Ce poți spune despre dreptele $x$ și $y$?

    • a) Sunt perpendiculare, deoarece $124°$ este un unghi format la intersecție
    • b) Sunt oblice, pentru că niciunul dintre cele patru unghiuri nu măsoară $90°$
    • c) Sunt paralele, deoarece unghiul este obtuz
    • d) Nu se poate stabili nimic fără un raportor
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Sunt oblice, pentru că niciunul dintre cele patru unghiuri nu măsoară $90°$

    Unghiul adiacent (suplementar) cu cel de $124°$ are $180°-124°=56°$. Unghiurile opuse la vârf sunt $124°$ și $56°$. Niciunul dintre cele patru unghiuri nu are $90°$, deci dreptele $x$ și $y$ nu sunt perpendiculare, ci oblice: $x/\perp y$.

    Lecția: Drepte perpendiculare: definiție și construcție →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.