Exerciții rezolvate — Proprietăți ale funcțiilor și compunerea lor (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Proprietăți ale funcțiilor și compunerea lor", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-2$. Care este inversa $f^{-1}$?

   • a) $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{5}$
   • b) $f^{-1}(x)=\frac{x-2}{5}$
   • c) $f^{-1}(x)=5x+2$
   • d) $f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{5}$

   Din $y=5x-2$ rezultă $5x=y+2$, deci $x=\frac{y+2}{5}$, adică $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{5}$. Verificare: $(f^{-1}\circ f)(x)=\frac{(5x-2)+2}{5}=\frac{5x}{5}=x$ ✓.

   Lecția: Funcția inversă: condiția de inversabilitate →

2. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $|x-3|=7$. Mulțimea soluțiilor este:

   • a) $\{10,-4\}$
   • b) $\{10,4\}$
   • c) $\{-10,4\}$
   • d) $\{-10,-4\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\{10,-4\}$

   Cum $7>0$, ecuația e echivalentă cu $x-3=7$ sau $x-3=-7$, deci $x=10$ sau $x=-4$. Verificare: $|10-3|=7$ ✓ și $|-4-3|=|-7|=7$ ✓. $S=\{10,-4\}$.

   Lecția: Funcția modul: definiție, grafic, ecuații cu module →

3. Cât este $[-5,3]$?

   • a) $-5$
   • b) $-6$
   • c) $5$
   • d) $6$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $-6$

   Căutăm întregul $k$ cu $k\le -5,3<k+1$. Avem $-6\le -5,3<-5$, deci $[-5,3]=-6$ — întregul aflat imediat la stânga lui $-5,3$ pe axă, nu $-5$ (care e la dreapta lui).

   Lecția: Funcțiile parte întreagă și parte fracționară →

4. Domeniul maxim de definiție al expresiei $E(x)=\frac{x+5}{x-4}$ este:

   • a) $\mathbb{R}$
   • b) $\mathbb{R}\setminus \{4\}$
   • c) $\mathbb{R}\setminus \{-5\}$
   • d) $(4,\infty )$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\mathbb{R}\setminus \{4\}$

   Numitorul trebuie să fie nenul: $x-4\ne 0\Rightarrow x\ne 4$. Nu există altă restricție (numărătorul e definit pentru orice $x$), deci domeniul maxim este $\mathbb{R}\setminus \{4\}$.

   Lecția: Funcții egale, restricția unei funcții și imaginea unei funcții →

5. O funcție $f:A\to B$ este injectivă dacă:

   • a) orice element din $B$ are cel puțin o preimagine
   • b) din $f(x_1)=f(x_2)$ rezultă $x_1=x_2$
   • c) $f$ este strict descrescătoare
   • d) $A$ și $B$ au același număr de elemente
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) din $f(x_1)=f(x_2)$ rezultă $x_1=x_2$

   Definiția (în forma utilă la demonstrații) este: dacă două valori coincid, $f(x_1)=f(x_2)$, atunci ele provin obligatoriu din același element, $x_1=x_2$. Varianta a) descrie surjectivitatea, iar c) și d) nu sunt condiții echivalente cu injectivitatea.

   Lecția: Funcții injective, surjective, bijective →

6. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4-|x-2|$. Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?

   • a) $f$ este mărginită doar inferior, cu minorantul $4$.
   • b) $f$ are maximul $4$, atins în $x=2$, dar nu este mărginită inferior.
   • c) $f$ are minimul $4$, atins în $x=2$.
   • d) $f$ este mărginită atât superior, cât și inferior.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $f$ are maximul $4$, atins în $x=2$, dar nu este mărginită inferior.

   Din $|x-2|\ge 0$ rezultă $f(x)\le 4$ pentru orice $x$, deci $4$ este majorant. Egalitatea are loc pentru $x=2$ (unde $|x-2|=0$), deci maximul $4$ este efectiv atins, nu doar o barieră teoretică. Funcția nu este mărginită inferior: pentru $x=1002$ obținem $f(1002)=4-1000=-996$, iar valorile coboară oricât de mult când $x\to \pm \infty$. Deci singura afirmație corectă este b).

   Lecția: Mărginire, convexitate și concavitate: lecturi grafice →

7. Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+5$, $g(x)=2x-8$. Care este domeniul funcției $\frac{f}{g}$?

   • a) $\mathbb{R}$
   • b) $\mathbb{R}\setminus \{4\}$
   • c) $\mathbb{R}\setminus \{-5\}$
   • d) $[4,\infty )$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\mathbb{R}\setminus \{4\}$

   Domeniul lui $\frac{f}{g}$ este $D_f\cap D_g$ din care se scot rădăcinile lui $g$. Cum $D_f=D_g=\mathbb{R}$, rămâne doar condiția $g(x)\ne 0$, adică $2x-8\ne 0\iff x\ne 4$. Deci domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{4\}$.

   Lecția: Operații cu funcții; compunerea funcțiilor →

8. Studiați paritatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-5$.

   • a) pară
   • b) impară
   • c) nici pară, nici impară
   • d) nu se poate stabili fără grafic
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) pară

   Domeniul $\mathbb{R}$ e simetric. Calculăm $f(-x)=3(-x{)}^2-5=3x^2-5=f(x)$ pentru orice $x$, deci $f$ este pară. Graficul este o parabolă simetrică față de axa $Oy$.

   Lecția: Funcții pare și impare: simetriile graficului →

9. Ce reprezintă, prin definiție, notația $f^{-1}$ (pentru $f$ bijectivă)?

   • a) $\frac{1}{f(x)}$
   • b) funcția $g:B\to A$ unică, astfel încât $g\circ f=1_A$ și $f\circ g=1_B$
   • c) derivata funcției $f$
   • d) $f(x)-1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) funcția $g:B\to A$ unică, astfel încât $g\circ f=1_A$ și $f\circ g=1_B$

   Prin teorema fundamentală de inversabilitate, $f^{-1}$ este exact funcția $g$ (unică) care verifică ambele relații $g\circ f=1_A$ și $f\circ g=1_B$; existența ei este echivalentă cu bijectivitatea lui $f$. Nu este inversul aritmetic $\frac{1}{f(x)}$: pentru $f(x)=3x-5$, $f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}$, complet diferit de $\frac{1}{3x-5}$.

   Lecția: Funcția inversă: condiția de inversabilitate →

10. Rezolvați ecuația $|x+2|=|3x-4|$.

    • a) $\left\{3,\frac{1}{2}\right\}$
    • b) $\left\{-3,\frac{1}{2}\right\}$
    • c) $\left\{3,-\frac{1}{2}\right\}$
    • d) $\left\{-3,-\frac{1}{2}\right\}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\left\{3,\frac{1}{2}\right\}$

    Din $|E|=|F|⟺E=F$ sau $E=-F$: $x+2=3x-4\Rightarrow -2x=-6\Rightarrow x=3$; sau $x+2=-(3x-4)\Rightarrow x+2=-3x+4\Rightarrow 4x=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Verificare: pentru $x=3$, $|5|=5=|9-4|$ ✓; pentru $x=\frac{1}{2}$, $\left|\frac{5}{2}\right|=\frac{5}{2}=\left|\frac{3}{2}-4\right|$ ✓.

    Lecția: Funcția modul: definiție, grafic, ecuații cu module →

11. Cât este $\{-5,3\}$?

    • a) $0,3$
    • b) $0,7$
    • c) $-0,3$
    • d) $5,3$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $0,7$

    Din $\{x\}=x-[x]$ și $[-5,3]=-6$: $\{-5,3\}=-5,3-(-6)=0,7$. Rezultatul este, corect, în $[0,1)$ — nu se obține „ștergând semnul” zecimalelor negative.

    Lecția: Funcțiile parte întreagă și parte fracționară →

12. Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+2$. De ce $f\ne g$?

    • a) pentru că legile de corespondență diferă pentru unele valori ale lui $x$
    • b) pentru că domeniile diferă: $2$ aparține domeniului lui $g$, dar nu al lui $f$
    • c) pentru că au codomenii diferite
    • d) pentru că $g$ nu este o funcție
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) pentru că domeniile diferă: $2$ aparține domeniului lui $g$, dar nu al lui $f$

    Pentru $x\ne 2$, $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, deci legile coincid pe domeniul lui $f$. Dar $2\in \mathbb{R}$ (domeniul lui $g$), iar $2\notin \mathbb{R}\setminus \{2\}$ (domeniul lui $f$), deci domeniile diferă, iar $f\ne g$.

    Lecția: Funcții egale, restricția unei funcții și imaginea unei funcții →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.