Formule: Funcția de gradul al doilea

Parabola de la un capăt la altul: forma canonică, vârful, rădăcinile, semnul, Viète și întâlnirea cu o dreaptă. 7 formule, clasa 9.

Forma canonică — clasa 9
Vârful parabolei și axa de simetrie — clasa 9
Rădăcinile și descompunerea trinomului — clasa 9
Relațiile lui Viète — clasa 9
Semnul funcției de gradul al doilea — clasa 9
Valoarea extremă și mulțimea valorilor — clasa 9
Poziția unei drepte față de parabolă — clasa 9

Forma canonică — clasa 9

f (x) = a x^{2} + b x + c = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}

$a$ , $b$ , $c$ sunt coeficienții funcției de gradul al doilea ( $a \neq = 0$ ), iar $V (x_{V}, y_{V})$ este vârful parabolei. Forma canonică se obține prin restrângerea pătratului și arată totul dintr-o privire: parabola $y = a x^{2}$ mutată cu $x_{V}$ pe orizontală și cu $y_{V}$ pe verticală. Din ea se citesc vârful, axa de simetrie și valoarea extremă. Capcană: verifică rezultatul desfăcând parantezele — trebuie să obții exact forma inițială.

Exemplu: $f (x) = x^{2} - 6 x + 11 = (x^{2} - 6 x + 9) + 2 = (x - 3)^{2} + 2$ , deci $V (3, 2)$ . • $f (x) = 2 x^{2} + 4 x = 2 (x^{2} + 2 x) = 2 [(x + 1)^{2} - 1] = 2 (x + 1)^{2} - 2$ , deci $V (- 1, - 2)$ .

Vârful parabolei și axa de simetrie — clasa 9

V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a}), axa de simetrie: x = - \frac{b}{2 a}

$Δ = b^{2} - 4 a c$ este discriminantul. În practică, $y_{V}$ se obține cel mai sigur calculând $f (x_{V})$ . Axa de simetrie este dreapta verticală care trece prin vârf și oglindește ramurile: $f (x_{V} + t) = f (x_{V} - t)$ ; invers, dacă $f (p) = f (q)$ cu $p \neq = q$ , atunci $x_{V} = \frac{p + q}{2}$ . Semnul lui $a$ dă sensul ramurilor: $a > 0$ — ramuri în sus, vârful este punctul cel mai de jos; $a < 0$ — ramuri în jos. Capcană: nu uita minusul din $- \frac{b}{2 a}$ .

Exemplu: $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ : $x_{V} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ și $y_{V} = f (2) = 4 - 8 + 7 = 3$ , deci $V (2, 3)$ , iar axa de simetrie este $x = 2$ . • Dacă $f (1) = f (5)$ , atunci $x_{V} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ .

Rădăcinile și descompunerea trinomului — clasa 9

x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}, a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (Δ \geq 0)

$Δ = b^{2} - 4 a c$ decide totul: $Δ > 0$ — două rădăcini diferite, deci parabola taie axa $O x$ în două puncte; $Δ = 0$ — rădăcină dublă $- \frac{b}{2 a}$ , parabola fiind tangentă la axă; $Δ < 0$ — nicio rădăcină reală, iar trinomul nu se descompune peste $R$ . Formula vine din forma canonică, scrisă ca $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ . Scurtătură pentru numere mari: dacă $b = 2 b^{'}$ , atunci $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ și $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ .

Exemplu: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : $Δ = 25 - 24 = 1$ , deci $x_{1, 2} = \frac{5 \pm 1}{2}$ , adică $x_{1} = 3$ și $x_{2} = 2$ ; atunci $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2)$ . • $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ : $Δ = 36 - 52 = - 16 < 0$ , deci ecuația nu are rădăcini reale.

Relațiile lui Viète — clasa 9

S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

$x_{1}$ și $x_{2}$ sunt rădăcinile ecuației $a x^{2} + b x + c = 0$ (cu $Δ \geq 0$ ): suma și produsul lor se citesc direct din coeficienți, fără să rezolvi ecuația. Drumul invers: numerele cu suma $S$ și produsul $P$ sunt rădăcinile ecuației $x^{2} - S x + P = 0$ , iar ele sunt reale exact când $S^{2} - 4 P \geq 0$ . Expresiile simetrice se calculează prin $S$ și $P$ : $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ , $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{S}{P}$ , $(x_{1} - x_{2})^{2} = S^{2} - 4 P$ . Capcană: nu uita minusul de la sumă.

Exemplu: Pentru $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ : $S = 7$ și $P = 12$ , deci rădăcinile sunt $3$ și $4$ , iar $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 7^{2} - 2 \cdot 12 = 49 - 24 = 25$ . • Ecuația cu rădăcinile $2$ și $5$ este $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .

Semnul funcției de gradul al doilea — clasa 9

Δ > 0 : a \cdot f (x) < 0 pentru x \in (x_{1}, x_{2}), a \cdot f (x) > 0 pentru x \in / [x_{1}, x_{2}] Δ \leq 0 : a \cdot f (x) \geq 0, \forall x \in R

În cuvinte: funcția are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și semn contrar lui $a$ între ele. Când $Δ = 0$ are semnul lui $a$ peste tot, mai puțin în rădăcina dublă, unde se anulează; când $Δ < 0$ are semnul lui $a$ pe tot $R$ . De aici regula de aur: $f (x) > 0$ pentru orice $x$ real $⟺ a > 0$ și $Δ < 0$ . Pe grafic, semnul se citește ca poziție față de axa $O x$ — deasupra înseamnă pozitiv, sub axă negativ.

Exemplu: $f (x) = x^{2} - x - 6$ are rădăcinile $- 2$ și $3$ , iar $a = 1 > 0$ : deci $f (x) < 0$ pe $(- 2, 3)$ și $f (x) > 0$ pe $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ . • $f (x) = - x^{2} + x - 3$ are $Δ = 1 - 12 = - 11 < 0$ și $a < 0$ , deci $f (x) < 0$ pentru orice $x$ real.

Valoarea extremă și mulțimea valorilor — clasa 9

a > 0 : min f = y_{V}, Im f = [y_{V}, + \infty); a < 0 : max f = y_{V}, Im f = (- \infty, y_{V}]

$y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ este valoarea funcției în vârf, iar $Im f$ este mulțimea valorilor — tot ce funcția atinge efectiv. Capătul $y_{V}$ este inclus, pentru că este atins în $x_{V}$ . Funcția nu este monotonă pe $R$ : pentru $a > 0$ este descrescătoare pe $(- \infty, x_{V}]$ și crescătoare pe $[x_{V}, + \infty)$ , iar pentru $a < 0$ , invers. Capcană: punctul de extrem este $x_{V}$ (o abscisă), iar valoarea extremă este $y_{V}$ (o valoare a funcției) — nu le confunda în răspuns.

Exemplu: $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ are $V (2, 3)$ și $a = 1 > 0$ : valoarea minimă este $3$ , atinsă în $x = 2$ , iar $Im f = [3, + \infty)$ . • Dintre dreptunghiurile cu perimetrul $20$ , aria $x (10 - x)$ este maximă pentru $x = 5$ : pătratul, cu aria $25$ .

Poziția unei drepte față de parabolă — clasa 9

a x^{2} + (b - m) x + (c - n) = 0, tangent \overset{a}{˘} ⟺ (b - m)^{2} = 4 a (c - n)

Punctele comune ale dreptei $y = m x + n$ cu parabola $y = a x^{2} + b x + c$ se află egalând cele două expresii; rădăcinile ecuației obținute sunt abscisele lor. Semnul discriminantului acestei ecuații decide poziția: $Δ > 0$ — dreaptă secantă (două puncte), $Δ = 0$ — dreaptă tangentă (un punct, rădăcină dublă, de abscisă $\frac{m - b}{2 a}$ ), $Δ < 0$ — dreapta nu atinge parabola. Capcană: dreptele verticale $x = k$ ating parabola exact o dată, dar nu sunt tangente — regula se aplică doar dreptelor de forma $y = m x + n$ .

Exemplu: Dreapta $y = 2 x - 1$ și parabola $y = x^{2}$ : ecuația $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ are $Δ = 0$ , deci dreapta este tangentă, în punctul de abscisă $x = 1$ . • Dreapta $y = x + 2$ și aceeași parabolă: $x^{2} - x - 2 = 0$ cu $Δ = 9 > 0$ , deci sunt secante, în punctele de abscise $- 1$ și $2$ .