Formule: Patrulatere

Paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat și trapez: perimetre, arii, diagonale și proprietățile fiecăruia. 12 formule, clasele 3–7.

• Suma unghiurilor unui patrulater — clasa 6
• Paralelogram: aria — clasa 7
• Dreptunghi: perimetrul — clasa 3
• Dreptunghi: aria — clasa 4
• Dreptunghi: diagonala — clasa 7
• Romb: perimetrul și aria — clasa 7
• Pătrat: perimetrul — clasa 3
• Pătrat: aria — clasa 4
• Pătrat: diagonala — clasa 7
• Trapez: aria — clasa 7
• Trapez: linia mijlocie — clasa 7
• Trapezul isoscel — clasa 7

Suma unghiurilor unui patrulater — clasa 6

$\hat{A},\hat{B},\hat{C},\hat{D}$ sunt cele patru unghiuri ale patrulaterului $ABCD$. În orice patrulater (paralelogram, trapez sau unul oarecare), suma unghiurilor este mereu $360^{\circ }$. Folosește formula ca să afli un unghi necunoscut când le știi pe celelalte trei. Capcană: nu confunda cu triunghiul, unde suma este $180^{\circ }$!

Exemplu: Într-un patrulater, trei unghiuri au $110^{\circ }$, $85^{\circ }$ și $95^{\circ }$. Cât are al patrulea? • Pasul 1: adunăm unghiurile știute: $110^{\circ }+85^{\circ }+95^{\circ }=290^{\circ }$. • Pasul 2: scădem din $360^{\circ }$: $\hat{D}=360^{\circ }-290^{\circ }=70^{\circ }$.

Paralelogram: aria — clasa 7

$b$ = baza (una dintre laturi), $h$ = înălțimea, adică distanța măsurată perpendicular între bază și latura opusă. În paralelogram, laturile opuse sunt egale și paralele, iar diagonalele se înjumătățesc (dar, în general, nu sunt nici egale, nici perpendiculare). Capcană: $h$ nu este latura oblică — este mereu perpendiculara pe bază!

Exemplu: Un paralelogram are baza $b=9\text{cm}$ și înălțimea $h=4\text{cm}$. • Pasul 1: aplicăm formula: $A=b\cdot h=9\cdot 4$. • Pasul 2: calculăm: $A=36{\text{cm}}^2$. Chiar dacă latura oblică ar avea $5\text{cm}$, la arie folosim tot $h=4\text{cm}$.

Dreptunghi: perimetrul — clasa 3

$P$ = perimetrul, adică drumul de jur împrejurul dreptunghiului. $L$ = lungimea (latura mare), $l$ = lățimea (latura mică). Adunăm lungimea cu lățimea, apoi înmulțim cu $2$, pentru că dreptunghiul are două lungimi și două lățimi. Capcană: nu uita să înmulțești cu $2$ la final!

Exemplu: Un dreptunghi are lungimea $L=8\text{cm}$ și lățimea $l=5\text{cm}$. • Pasul 1: adunăm laturile: $L+l=8+5=13\text{cm}$. • Pasul 2: înmulțim cu $2$: $P=2\cdot 13=26\text{cm}$.

Dreptunghi: aria — clasa 4

$A$ = aria, adică suprafața acoperită de dreptunghi. $L$ = lungimea, $l$ = lățimea. Aria ne spune câte pătrățele de $1{\text{cm}}^2$ încap în dreptunghi. Capcană: aria se măsoară în unități pătrate (${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$), nu în $\text{cm}$!

Exemplu: Un dreptunghi are $L=8\text{cm}$ și $l=5\text{cm}$. • Pasul 1: înmulțim laturile: $A=L\cdot l=8\cdot 5$. • Pasul 2: rezultatul: $A=40{\text{cm}}^2$ — adică în el încap exact $40$ de pătrățele cu latura de $1\text{cm}$.

Dreptunghi: diagonala — clasa 7

$d$ = diagonala, $L$ = lungimea, $l$ = lățimea. Formula vine din teorema lui Pitagora, pentru că diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice. Diagonalele dreptunghiului sunt egale și se înjumătățesc, dar nu sunt perpendiculare (asta se întâmplă doar la pătrat și la romb). Capcană: adună pătratele laturilor înainte de a extrage radicalul, nu după!

Exemplu: Un dreptunghi are $L=8\text{cm}$ și $l=6\text{cm}$. • Pasul 1: ridicăm la pătrat: $L^2=64$, $l^2=36$. • Pasul 2: adunăm: $64+36=100$. • Pasul 3: extragem radicalul: $d=\sqrt{100}=10\text{cm}$.

Romb: perimetrul și aria — clasa 7

$l$ = latura (toate cele patru laturi sunt egale), $d_1$, $d_2$ = diagonalele, $h$ = înălțimea. Diagonalele rombului sunt perpendiculare, se înjumătățesc și sunt bisectoarele unghiurilor — dar, atenție, nu sunt egale între ele (doar la pătrat sunt și egale). Pentru arie ai două drumuri: cu diagonalele sau cu baza și înălțimea — alege-l pe cel pentru care ai datele.

Exemplu: Un romb are diagonalele $d_1=6\text{cm}$ și $d_2=8\text{cm}$. • Aria: $A=\frac{6\cdot 8}{2}=\frac{48}{2}=24{\text{cm}}^2$. • Perimetrul: jumătățile diagonalelor ($3$ și $4$) formează cu latura un triunghi dreptunghic, deci $l=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{cm}$ și $P=4\cdot 5=20\text{cm}$.

Pătrat: perimetrul — clasa 3

$P$ = perimetrul, $l$ = latura pătratului. Pătratul are toate cele patru laturi egale, așa că adunăm aceeași latură de patru ori, adică o înmulțim cu $4$. Folosește formula când vrei să afli, de exemplu, cât gard trebuie pentru o grădină pătrată.

Exemplu: Un pătrat are latura $l=7\text{cm}$. • Pasul 1: înmulțim latura cu $4$: $P=4\cdot 7$. • Pasul 2: rezultatul: $P=28\text{cm}$. Verificare: $7+7+7+7=28$.

Pătrat: aria — clasa 4

$A$ = aria, $l$ = latura pătratului. $l^2$ înseamnă $l\cdot l$, adică latura înmulțită cu ea însăși. Capcană: nu confunda $l^2$ cu $2\cdot l$! De exemplu, $7^2=49$, pe când $2\cdot 7=14$.

Exemplu: Un pătrat are latura $l=7\text{cm}$. • Pasul 1: înmulțim latura cu ea însăși: $A=7\cdot 7$. • Pasul 2: rezultatul: $A=49{\text{cm}}^2$ — în pătrat încap $49$ de pătrățele cu latura de $1\text{cm}$.

Pătrat: diagonala — clasa 7

$d$ = diagonala, $l$ = latura pătratului. Formula iese din teorema lui Pitagora: $d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}=l\sqrt{2}$. Pătratul are cele mai „bogate” diagonale dintre patrulatere: sunt egale, perpendiculare, se înjumătățesc și sunt bisectoarele unghiurilor. Capcană: lasă rezultatul cu radical ($5\sqrt{2}$), nu îl aproxima decât dacă ți se cere.

Exemplu: Un pătrat are latura $l=5\text{cm}$. • Pasul 1: aplicăm formula: $d=5\sqrt{2}\text{cm}$. • Pasul 2 (verificare cu Pitagora): $d=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\approx 7,07\text{cm}$.

Trapez: aria — clasa 7

$B$ = baza mare, $b$ = baza mică (cele două laturi paralele), $h$ = înălțimea (distanța dintre baze, măsurată perpendicular). Formula spune: aria trapezului = media bazelor înmulțită cu înălțimea. Capcană: adună mai întâi bazele, abia apoi înmulțește cu $h$ și împarte la $2$.

Exemplu: Un trapez are $B=10\text{cm}$, $b=6\text{cm}$ și $h=4\text{cm}$. • Pasul 1: adunăm bazele: $B+b=10+6=16$. • Pasul 2: înmulțim cu înălțimea: $16\cdot 4=64$. • Pasul 3: împărțim la $2$: $A=\frac{64}{2}=32{\text{cm}}^2$.

Trapez: linia mijlocie — clasa 7

$l_m$ = linia mijlocie a trapezului: segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele. $B$ = baza mare, $b$ = baza mică. Linia mijlocie este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu media lor aritmetică. Capcană: la triunghi, linia mijlocie este jumătate din bază; la trapez este media celor două baze — nu le confunda!

Exemplu: Un trapez are bazele $B=10\text{cm}$ și $b=6\text{cm}$. • Pasul 1: adunăm bazele: $10+6=16$. • Pasul 2: împărțim la $2$: $l_m=\frac{16}{2}=8\text{cm}$.

Trapezul isoscel — clasa 7

Trapezul isoscel este trapezul cu laturile neparalele egale; în notația de mai sus, $AB$ și $CD$ sunt bazele, $AD=BC$ laturile neparalele, iar $AC$, $BD$ diagonalele. La el, unghiurile alăturate aceleiași baze sunt congruente, iar diagonalele sunt egale. Atenție: diagonalele lui sunt doar egale — nu se înjumătățesc și, în general, nu sunt perpendiculare (acelea sunt proprietăți ale paralelogramului, respectiv ale rombului).

Exemplu: Într-un trapez isoscel, un unghi de la baza mare are $70^{\circ }$. Aflăm toate unghiurile: • Pasul 1: celălalt unghi de la baza mare are tot $70^{\circ }$ (unghiuri la aceeași bază). • Pasul 2: unghiurile de la baza mică au $180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$ fiecare (bazele sunt paralele). • Verificare: $70^{\circ }+70^{\circ }+110^{\circ }+110^{\circ }=360^{\circ }$.