Formule: Congruență și asemănare

Criteriile de congruență, teorema lui Thales și asemănarea triunghiurilor. 6 formule, clasele 6–7.

• Criteriile de congruență — clasa 6
• Teorema lui Thales — clasa 7
• Reciproca teoremei lui Thales — clasa 7
• Raportul de asemănare — clasa 7
• Teorema fundamentală a asemănării — clasa 7
• Raportul perimetrelor și al ariilor — clasa 7

Criteriile de congruență — clasa 6

Congruente înseamnă identice: triunghiurile se suprapun perfect. L = latură, U = unghi. Dacă elementele din criteriu sunt egale două câte două, triunghiurile sunt sigur congruente — nu mai trebuie verificat restul. Atenție: la LUL, unghiul trebuie să fie cel cuprins între cele două laturi! Pentru triunghiuri dreptunghice există cazurile speciale CC, CU, IC, IU (C = catetă, I = ipotenuză, U = unghi ascuțit).

Exemplu: $AB=DE$, $\angle A=\angle D$, $AC=DF$ $\Rightarrow △ABC\equiv △DEF$ (cazul LUL: unghiul $\angle A$ este cuprins între laturile $AB$ și $AC$). Din congruență rezultă apoi și $BC=EF$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$.

Teorema lui Thales — clasa 7

În $△ABC$, punctul $M$ este pe latura $AB$, iar $N$ pe latura $AC$. Dacă $MN\parallel BC$, paralela determină pe cele două laturi segmente proporționale. Capcană: scrie rapoartele în aceeași ordine pe ambele laturi (dinspre vârful $A$ spre bază), altfel proporția iese greșită.

Exemplu: $AM=2$ cm, $MB=3$ cm, $AN=4$ cm și $MN\parallel BC$. Din teoremă: $\frac{2}{3}=\frac{4}{NC}$, deci $NC=\frac{3\cdot 4}{2}=6$ cm. Verificare: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Reciproca teoremei lui Thales — clasa 7

Este teorema lui Thales „citită invers”: dacă punctele $M\in AB$ și $N\in AC$ împart laturile în același raport, atunci dreapta $MN$ este paralelă cu $BC$. Se folosește ca să demonstrezi că două drepte sunt paralele fără să măsori niciun unghi.

Exemplu: $AM=2$, $MB=4$, $AN=3$, $NC=6$. Calculăm rapoartele: $\frac{AM}{MB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Rapoartele sunt egale, deci $MN\parallel BC$.

Raportul de asemănare — clasa 7

$△ABC\sim △DEF$ înseamnă că triunghiurile au aceeași formă: unghiurile sunt congruente ($\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$), iar laturile omoloage sunt proporționale; raportul lor comun $k$ se numește raport de asemănare. Capcană: ordinea literelor contează — $AB$ se compară cu $DE$, prima latură cu prima, nu cu oricare!

Exemplu: $△ABC\sim △DEF$ cu $k=2$ și $DE=3$ cm, $EF=4$ cm, $DF=5$ cm. Atunci $AB=2\cdot 3=6$ cm, $BC=2\cdot 4=8$ cm, $AC=2\cdot 5=10$ cm. Verificare: $\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2$.

Teorema fundamentală a asemănării — clasa 7

Dacă $M\in AB$, $N\in AC$ și $MN\parallel BC$, paralela „decupează” din $△ABC$ un triunghi mai mic, $△AMN$, asemenea cu cel mare. De aici toate laturile devin proporționale: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. Atenție: aici rapoartele folosesc laturile întregi ($AM$ din tot $AB$), nu bucățile de latură ca la Thales.

Exemplu: $MN\parallel BC$, $AM=3$ cm, $AB=9$ cm, $BC=12$ cm. Raportul de asemănare este $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, deci $MN=\frac{1}{3}\cdot 12=4$ cm.

Raportul perimetrelor și al ariilor — clasa 7

Pentru două figuri asemenea cu raportul de asemănare $k$, perimetrele $P_1$ și $P_2$ se află în același raport $k$, dar ariile $A_1$ și $A_2$ se află în raportul $k^2$. Capcana clasică: la arii NU se folosește $k$, ci pătratul lui — laturi de 3 ori mai mari înseamnă arie de 9 ori mai mare, nu de 3 ori!

Exemplu: $k=3$, iar triunghiul mic are $P_2=12$ cm și $A_2=10{\text{cm}}^2$. Atunci $P_1=3\cdot 12=36$ cm, iar $A_1=3^2\cdot 10=9\cdot 10=90{\text{cm}}^2$.