Opusul și modulul unui număr rațional

Ai învățat deja ce înseamnă opusul și modulul pentru numerele întregi. Vestea bună este că, atunci când trecem la numere raționale (adică la fracții și la numerele zecimale), ideile rămân exact aceleași — doar că acum lucrăm cu numere „mai fine", care încap între întregi. În această lecție vei vedea cât de natural se mută aceste noțiuni de la $\mathbb{Z}$ la $\mathbb{Q}$ și cum te ajută axa numerelor să le „vezi" cu ochii minții.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini opusul unui număr rațional și să-l reprezinți pe axă.
• Vei ști să calculezi modulul (valoarea absolută) al unui număr rațional ca distanță de la origine.
• Vei ști să recunoști numere raționale opuse și să explici de ce au același modul.
• Vei ști să găsești toate numerele raționale care au un modul dat.
• Vei ști să eviți greșelile tipice când lucrezi cu semnul „minus" și cu barele de modul.

Hai să descoperim împreună

O scurtă recapitulare ca punct de plecare

Înainte de a porni, să ne amintim de unde venim. La lecția despre opusul unui număr întreg ai aflat că opusul lui $5$ este $-5$, iar opusul lui $-3$ este $3$. La lecția despre modulul unui număr întreg ai văzut că modulul măsoară „cât de departe" este numărul de zero, fără să-i pese de semn: $|-7|=7$ și $|7|=7$.

Acum facem un singur pas nou: în loc de numere întregi, folosim numere raționale. Un număr rațional este orice număr care poate fi scris ca o fracție $\frac{a}{b}$, cu $a$ și $b$ întregi și $b\ne 0$. În această categorie intră fracțiile (cum ar fi $\frac{3}{4}$), numerele zecimale finite (cum ar fi $1,25$) și, desigur, toate numerele întregi (pentru că, de exemplu, $5=\frac{5}{1}$). Dacă vrei să-ți reîmprospătezi memoria despre cum arată aceste numere, ai la dispoziție lecția Mulțimea numerelor raționale ℚ. Forme de scriere.

Ce înseamnă opusul unui număr rațional

Imaginează-ți axa numerelor ca pe un drum drept, cu un punct special numit origine, notat cu $0$. La dreapta lui $0$ stau numerele pozitive, la stânga lui $0$ stau numerele negative.

Opusul unui număr rațional este numărul aflat de cealaltă parte a originii, la exact aceeași distanță. Cu alte cuvinte, dacă „oglindești" numărul față de $0$, obții opusul lui.

De exemplu, opusul lui $\frac{2}{3}$ este $-\frac{2}{3}$. Amândouă sunt la aceeași depărtare de zero, dar de o parte și de alta. La fel, opusul lui $-1,5$ este $1,5$.

Cum scriem opusul în limbaj matematic? Foarte simplu: opusul unui număr $x$ se notează cu $-x$. Asta înseamnă: „schimbă semnul numărului".

• Opusul lui $\frac{5}{7}$ este $-\frac{5}{7}$.
• Opusul lui $-\frac{4}{9}$ este $\frac{4}{9}$.
• Opusul lui $2,75$ este $-2,75$.
• Opusul lui $0$ este $0$ (zero este singurul număr care este propriul său opus, fiindcă stă chiar în origine).

Reține regula de aur: pentru a obține opusul, schimbi doar semnul, nu valoarea. Numărul rămâne „la fel de mare", doar că trece de partea cealaltă a originii.

O analogie cu liftul

Gândește-te la un bloc cu subsoluri. Parterul este etajul $0$. Etajul $+2,5$ ar fi „la jumătatea drumului între etajul 2 și etajul 3" (e o analogie, sigur că etajele reale sunt întregi, dar e util să gândim continuu). Opusul, $-2,5$, ar fi tot la jumătatea drumului, dar în jos, în subsol. Distanța față de parter este aceeași: două etaje și jumătate. Doar direcția diferă: o dată în sus, o dată în jos. Exact asta face opusul — păstrează distanța, schimbă direcția.

Ce înseamnă modulul unui număr rațional

Acum ajungem la a doua vedetă a lecției: modulul, numit și valoarea absolută.

Definiție. Modulul unui număr rațional este distanța de la acel număr până la origine, măsurată pe axa numerelor. Modulul lui $x$ se notează $|x|$ și este întotdeauna un număr pozitiv sau zero.

Cuvântul-cheie aici este distanță. O distanță nu poate fi niciodată negativă — n-ai cum să mergi „minus trei kilometri" pe jos. Indiferent dacă mergi la dreapta sau la stânga, distanța parcursă este un număr pozitiv (sau zero, dacă nu te-ai mișcat deloc).

De aceea, regula practică de calcul al modulului este foarte simplă:

• Dacă numărul este pozitiv, modulul lui este chiar el. Exemplu: $\left|\frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5}$.
• Dacă numărul este negativ, modulul lui este opusul lui (adică îi „ștergem" semnul minus). Exemplu: $\left|-\frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5}$.
• Modulul lui $0$ este $0$, fiindcă $0$ se află chiar în origine, deci distanța este zero: $|0|=0$.

Hai să o spunem și altfel, ca să se așeze ideea: bara de modul „topește" semnul minus. Tot ce intră între cele două bare verticale iese fără minus în față. Atenție însă — barele nu schimbă valoarea numărului, ci doar îi iau semnul.

Câteva exemple rapide de modul

• $\left|\frac{7}{8}\right|=\frac{7}{8}$ (numărul e deja pozitiv, rămâne neschimbat).
• $\left|-\frac{7}{8}\right|=\frac{7}{8}$ (numărul e negativ, îi luăm minusul).
• $|-3,2|=3,2$.
• $|4,9|=4,9$.
• $\left|-\frac{11}{4}\right|=\frac{11}{4}$.

Observă un lucru minunat: un număr și opusul lui au întotdeauna același modul. Asta se vede imediat din definiție: dacă $\frac{2}{3}$ și $-\frac{2}{3}$ sunt la aceeași distanță de origine, atunci modulele lor sunt egale. $\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}$ și $\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}$. Frumos, nu?

Scrierea modulului „pe cazuri"

Tot ce am spus până acum poate fi strâns într-o singură regulă scrisă pe cazuri. Matematicienii o notează așa: $$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& \text{daca˘ }x\ge 0,\\ -x,& \text{daca˘ }x<0.\end{array}$$ Citită în cuvinte, regula spune exact ce ai descoperit deja: „dacă numărul este pozitiv sau zero, îl lași neschimbat; dacă este negativ, îi iei opusul (adică îi ștergi minusul)". Nu te speria de scrierea cu acolada — este doar o modalitate compactă de a pune cap la cap cele două situații. La clasa a VI-a o folosim ca să fim siguri că am acoperit toate posibilitățile, nu ca să facem calcul cu litere.

Un detaliu care derutează des: în al doilea caz scrie $-x$, dar asta nu înseamnă că rezultatul este negativ. Dacă $x$ este deja negativ (de pildă $x=-\frac{3}{5}$), atunci $-x$ este pozitiv: $-\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{3}{5}$. Semnul minus din formula $-x$ are rolul de a „răsturna" semnul lui $x$, iar dacă $x$ era negativ, răsturnarea îl face pozitiv. Așa se închide cercul: modulul iese mereu pozitiv sau zero, indiferent de la ce număr am pornit.

Numere raționale cu același modul

Aici apare o întrebare interesantă, pe care examinatorii o adoră: „Care sunt toate numerele raționale al căror modul este $\frac{5}{6}$?"

Hai să gândim ca niște detectivi. Modulul este o distanță. Întrebarea devine: „Ce numere se află la distanța $\frac{5}{6}$ față de origine?" Pe o axă, dacă pleci din $0$ și mergi exact $\frac{5}{6}$ unități, poți ajunge în două locuri: o dată mergând la dreapta, o dată mergând la stânga.

Deci numerele cu modulul $\frac{5}{6}$ sunt exact două: $\frac{5}{6}$ și $-\frac{5}{6}$. Ele sunt opuse unul altuia.

Regula generală se reține ușor:

Dacă $a$ este un număr rațional pozitiv, atunci ecuația $|x|=a$ are exact două soluții: $x=a$ și $x=-a$.

Dacă $a=0$, atunci $|x|=0$ are o singură soluție: $x=0$.

Dacă $a$ este negativ, atunci $|x|=a$ nu are nicio soluție, fiindcă un modul nu poate fi niciodată negativ.

Acest ultim caz e o capcană foarte des întâlnită. Dacă vezi „$|x|=-\frac{3}{4}$", răspunsul corect nu este un număr, ci constatarea: nu există niciun astfel de număr, fiindcă distanța nu poate fi negativă. E ca și cum cineva te-ar întreba ce număr de pași faci ca să parcurgi „minus doi metri" — pur și simplu nu are sens.

O poveste scurtă ca să nu uiți

Doi prieteni, Andrei și Bianca, pleacă din același punct dintr-un parc (punctul $0$) și merg pe aceeași alee dreaptă. Andrei merge $\frac{3}{4}$ km spre est, Bianca merge $\frac{3}{4}$ km spre vest. Cât de departe e fiecare de punctul de plecare? Amândoi sunt la $\frac{3}{4}$ km — aceeași distanță, deci același modul. Dar pozițiile lor pe hartă sunt diferite: unul la $+\frac{3}{4}$, celălalt la $-\frac{3}{4}$. Pozițiile (cu semn) sunt opuse, distanțele (modulele) sunt egale. Asta este, în esență, toată lecția de astăzi.

Cum lucrăm cu fracții și zecimale, fără calcul literal

La clasa a VI-a folosim exemple numerice, nu litere abstracte. Important este să recunoști forma numărului și să-i aplici regula corectă:

1. Privește semnul numărului dinăuntrul barelor.
2. Dacă e pozitiv sau zero, modulul este același număr.
3. Dacă e negativ, ștergi minusul.

Dacă numărul e o fracție cu semn, ține minte că minusul poate sta în trei poziții care înseamnă același lucru: $$-\frac{3}{5}=\frac{-3}{5}=\frac{3}{-5}.$$ Toate trei sunt același număr rațional negativ, iar modulul tuturor este $\frac{3}{5}$. La modul, ignori unde stă minusul — îl ștergi și gata.

Și încă o observație utilă: dacă o fracție nu este în formă ireductibilă, o poți simplifica înainte sau după ce iei modulul — rezultatul este același. De pildă, $\left|-\frac{4}{6}\right|=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. (Despre simplificare ai mai multe în lecția Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile.)

Punem totul cap la cap

Ca să fixăm imaginea de ansamblu, hai să luăm un singur număr și să spunem despre el tot ce știm. Fie numărul $-\frac{7}{10}$.

• Semnul: este negativ (stă la stânga lui $0$).
• Opusul: $\frac{7}{10}$ (același număr, semn schimbat).
• Modulul: $\left|-\frac{7}{10}\right|=\frac{7}{10}$ (distanța până la origine).
• Numere cu același modul: $-\frac{7}{10}$ și $\frac{7}{10}$ — și numai ele.

Vezi cum opusul și modulul „merg mână în mână"? Opusul îți spune unde se află perechea simetrică, iar modulul îți spune cât de departe de origine se află amândouă.

La ce ne folosește, de fapt, modulul?

S-ar putea să te întrebi de ce avem nevoie de o noțiune separată pentru „distanța față de zero". Răspunsul este că, în matematică și în viața de zi cu zi, de multe ori ne interesează cât de mare este o cantitate, nu și încotro „bate" ea.

Gândește-te la temperaturi: o zi cu $-8$ grade și una cu $+8$ grade sunt amândouă la $8$ grade depărtare de zero, doar că una este sub, cealaltă peste. Sau gândește-te la datorii și economii: dacă ai o datorie de $\frac{3}{2}$ din alocație și un prieten are economii de $\frac{3}{2}$ din alocație, „mărimea" sumei este aceeași ($\frac{3}{2}$), chiar dacă semnele sunt opuse. Exact aici intervine modulul: el ne dă mărimea fără semn.

Mai târziu, la clasele următoare, vei folosi modulul ca să măsori distanța dintre două numere oarecare pe axă, nu doar față de origine. Pentru moment, reține ideea de bază: modulul este unealta cu care „cântărim" un număr, ignorându-i direcția. Este motivul pentru care răspunsul la un modul nu poate fi niciodată negativ — o mărime, ca orice măsură, este pozitivă sau, la limită, zero.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Opusul unei fracții

Cerință: Determină opusul numărului $\frac{9}{4}$.

Rezolvare: Opusul înseamnă „schimbă semnul". Numărul $\frac{9}{4}$ este pozitiv, deci opusul lui este negativ: $$-\frac{9}{4}.$$ Pe axă, $\frac{9}{4}=2,25$ stă la dreapta lui $0$, iar opusul $-\frac{9}{4}=-2,25$ stă la stânga, la aceeași distanță.

Răspuns: Opusul este $-\frac{9}{4}$.

Exemplul 2 — Opusul unui număr negativ și al unui zecimal

Cerință: Găsește opusul fiecăruia: a) $-\frac{2}{7}$; b) $-3,6$; c) $0$.

Rezolvare:

• a) Numărul $-\frac{2}{7}$ este negativ; opusul lui este pozitiv: $\frac{2}{7}$.
• b) Opusul lui $-3,6$ este $3,6$.
• c) Opusul lui $0$ este tot $0$ (zero stă în origine, nu are unde să se „oglindească").

Răspuns: a) $\frac{2}{7}$; b) $3,6$; c) $0$.

Exemplul 3 — Calculul modulului

Cerință: Calculează: a) $\left|-\frac{5}{8}\right|$; b) $\left|\frac{11}{3}\right|$; c) $|-4,05|$; d) $|0|$.

Rezolvare: Folosim regula distanței. Modulul nu poate fi negativ.

• a) Numărul e negativ, deci ștergem minusul: $\left|-\frac{5}{8}\right|=\frac{5}{8}$.
• b) Numărul e deja pozitiv, rămâne neschimbat: $\left|\frac{11}{3}\right|=\frac{11}{3}$.
• c) Ștergem minusul: $|-4,05|=4,05$.
• d) Distanța de la $0$ la $0$ este zero: $|0|=0$.

Răspuns: a) $\frac{5}{8}$; b) $\frac{11}{3}$; c) $4,05$; d) $0$.

Exemplul 4 — Numere cu un modul dat

Cerință: Află toate numerele raționale $x$ pentru care $|x|=\frac{7}{12}$.

Rezolvare: Întrebarea cere toate numerele aflate la distanța $\frac{7}{12}$ de origine. Pe axă există exact două astfel de puncte: unul la dreapta și unul la stânga, simetrice față de $0$. $$x=\frac{7}{12}\text{sau}x=-\frac{7}{12}.$$ Ele sunt opuse unul altuia, ceea ce confirmă că au același modul.

Răspuns: $x\in \left\{-\frac{7}{12},\frac{7}{12}\right\}$.

Exemplul 5 — O capcană cu modul negativ

Cerință: Rezolvă ecuația $|x|=-\frac{2}{5}$.

Rezolvare: Atenție! Modulul este o distanță, deci este mereu pozitiv sau zero. Nu poate fi niciodată egal cu un număr negativ precum $-\frac{2}{5}$. Prin urmare, nu există niciun număr rațional cu această proprietate.

Răspuns: Ecuația nu are soluții (mulțimea soluțiilor este vidă, $\varnothing$).

Exemplul 6 — Compararea a două module

Cerință: Care număr este mai depărtat de origine: $-\frac{5}{6}$ sau $\frac{3}{4}$?

Rezolvare: „Mai depărtat de origine" înseamnă „cu modulul mai mare". Calculăm modulele: $$\left|-\frac{5}{6}\right|=\frac{5}{6},\left|\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}.$$ Acum comparăm $\frac{5}{6}$ cu $\frac{3}{4}$. Aducem la același numitor; numitorul comun este $12$: $$\frac{5}{6}=\frac{10}{12},\frac{3}{4}=\frac{9}{12}.$$ Cum $\frac{10}{12}>\frac{9}{12}$, rezultă că $\frac{5}{6}>\frac{3}{4}$.

Răspuns: $-\frac{5}{6}$ este mai depărtat de origine, deoarece are modulul mai mare. (Pentru comparare în detaliu vezi Compararea și ordonarea numerelor raționale.)

Exemplul 7 — Modul cu semn minus în față

Cerință: Calculează $-\left|-\frac{4}{9}\right|$.

Rezolvare: Lucrăm dinăuntru spre exterior. Mai întâi modulul: $\left|-\frac{4}{9}\right|=\frac{4}{9}$. Apoi aplicăm minusul din față, care înseamnă „opusul rezultatului": $$-\left|-\frac{4}{9}\right|=-\frac{4}{9}.$$ Deci minusul din interiorul barelor a fost „topit" de modul, dar minusul din afara barelor rămâne și face rezultatul negativ.

Răspuns: $-\frac{4}{9}$.

Exemplul 8 — O sumă de module

Cerință: Calculează $\left|-\frac{3}{4}\right|+\left|\frac{1}{4}\right|$.

Rezolvare: Modulul se calculează pentru fiecare număr separat, înainte de adunare. Mai întâi „topim" semnele: $$\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4},\left|\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}.$$ Acum adunăm cele două fracții, care au deja același numitor: $$\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1.$$ Observă că am avut grijă să iau modulul întâi, abia apoi să adun — barele de modul se comportă ca niște paranteze care se rezolvă cu prioritate.

Răspuns: $1$.

Exemplul 9 — Triada completă a unui număr

Cerință: Pentru numărul $-2,5$, scrie semnul, opusul și modulul, apoi spune câte numere au același modul cu el.

Rezolvare: Luăm numărul pas cu pas.

• Semnul: $-2,5$ este negativ (stă la stânga lui $0$).
• Opusul: schimbăm semnul, deci opusul este $2,5$.
• Modulul: este distanța până la origine, $|-2,5|=2,5$.
• Numere cu același modul: cele aflate la distanța $2,5$ de origine sunt exact două: $-2,5$ și $2,5$.

Răspuns: semn negativ; opus $2,5$; modul $2,5$; două numere au acest modul ($-2,5$ și $2,5$).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La final, verifică-te cu secțiunea „Răspunsuri și explicații".

1. Scrie opusul fiecărui număr: a) $\frac{3}{8}$; b) $-\frac{5}{11}$; c) $2,4$; d) $-7,9$; e) $0$.

2. Calculează modulele: a) $\left|\frac{6}{13}\right|$; b) $\left|-\frac{6}{13}\right|$; c) $|-8,1|$; d) $\left|\frac{17}{5}\right|$.

3. Adevărat sau fals? a) Modulul oricărui număr rațional este pozitiv sau zero. b) Opusul lui $0$ este un număr negativ. c) Un număr și opusul lui au același modul. d) $\left|-\frac{2}{3}\right|=-\frac{2}{3}$.

4. Completează: opusul lui $\frac{4}{5}$ este ____, iar modulul lui $-\frac{4}{5}$ este ____.

5. Găsește toate numerele raționale $x$ cu $|x|=\frac{9}{10}$.

6. Câte numere raționale au modulul egal cu $0$? Care este (sunt) acela (acelea)?

7. Încercuiește perechile de numere opuse: $\left(\frac{2}{7};-\frac{2}{7}\right)$, $\left(\frac{1}{3};\frac{3}{1}\right)$, $(-1,5;1,5)$, $\left(\frac{5}{9};-\frac{9}{5}\right)$.

8. Rezolvă, dacă se poate: a) $|x|=\frac{3}{7}$; b) $|x|=0$; c) $|x|=-\frac{1}{4}$.

9. Așază pe axă, în ordine, numerele $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $0$, $-1$, $1$ și marchează perechile de numere opuse.

10. Care număr este mai aproape de origine: $\frac{2}{3}$ sau $-\frac{3}{5}$? Justifică prin module.

11. Calculează: a) $-\left|\frac{7}{8}\right|$; b) $-\left|-\frac{7}{8}\right|$; c) $\left|-\frac{0}{4}\right|$.

12. Potrivește fiecare număr cu modulul lui: Coloana A: i) $-\frac{3}{4}$; ii) $\frac{5}{2}$; iii) $-2,1$; iv) $\frac{0}{9}$. Coloana B: A) $2,1$; B) $0$; C) $\frac{3}{4}$; D) $\frac{5}{2}$.

13. Scrie un număr rațional negativ al cărui modul să fie $\frac{8}{15}$. Există mai multe variante?

14. Mică problemă: Un submarin coboară la adâncimea de $\frac{7}{2}$ km sub nivelul mării (poziție $-\frac{7}{2}$), iar o dronă urcă la $\frac{7}{2}$ km deasupra mării (poziție $+\frac{7}{2}$). Care este distanța fiecăruia față de nivelul mării? Ce observi?

15. Ordonează crescător modulele numerelor: $-\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $-\frac{2}{3}$, $\frac{1}{6}$.

16. Adevărat sau fals: dacă două numere raționale au același modul, atunci ele sunt obligatoriu egale. Explică printr-un exemplu.

17. Completează tabelul (pe caiet) pentru numerele $-\frac{5}{4}$, $\frac{2}{9}$, $-3,5$: pentru fiecare scrie opusul și modulul.

18. Provocare: Găsește un număr rațional care este egal cu propriul său modul. Câte astfel de numere există? Dă două exemple și explică ce au în comun.

19. Calculează, respectând ordinea operațiilor: a) $\left|-\frac{2}{5}\right|+\left|\frac{1}{5}\right|$; b) $\left|\frac{7}{4}\right|-\left|-\frac{3}{4}\right|$.

20. Provocare: Găsește toate numerele raționale care sunt egale cu opusul propriului lor modul (adică $x=-|x|$). Ce fel de numere sunt acestea?

Răspunsuri și explicații

1. Opusul = semn schimbat. a) $-\frac{3}{8}$; b) $\frac{5}{11}$; c) $-2,4$; d) $7,9$; e) $0$.

2. Modulul = distanța, fără semn. a) $\frac{6}{13}$; b) $\frac{6}{13}$; c) $8,1$; d) $\frac{17}{5}$. (Observă că a) și b) dau același rezultat, fiindcă numerele sunt opuse.)

3. a) Adevărat — un modul nu poate fi negativ. b) Fals — opusul lui $0$ este $0$, care nu e negativ. c) Adevărat — opusele sunt simetrice față de origine, deci au aceeași distanță. d) Fals — modulul nu poate fi negativ; corect este $\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}$.

4. Opusul lui $\frac{4}{5}$ este $-\frac{4}{5}$; modulul lui $-\frac{4}{5}$ este $\frac{4}{5}$.

5. $x=\frac{9}{10}$ sau $x=-\frac{9}{10}$. Sunt exact două numere, simetrice față de origine.

6. Un singur număr are modulul $0$, și acela este $0$ însuși (distanța de la origine la origine este zero).

7. Perechi opuse: $\left(\frac{2}{7};-\frac{2}{7}\right)$ și $(-1,5;1,5)$. Celelalte nu sunt opuse: $\frac{3}{1}=3\ne \frac{1}{3}$, iar $-\frac{9}{5}$ nu e opusul lui $\frac{5}{9}$ (opusul lui $\frac{5}{9}$ ar fi $-\frac{5}{9}$).

8. a) $x=\frac{3}{7}$ sau $x=-\frac{3}{7}$. b) $x=0$ (soluție unică). c) Nu are soluții, fiindcă modulul nu poate fi negativ.

9. Ordinea pe axă: $-1<-\frac{1}{2}<0<\frac{1}{2}<1$. Perechi opuse: $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ și $(-1;1)$; iar $0$ este propriul opus.

   🖼️ [Imagine: axa cu punctele -1, -1/2, 0, 1/2, 1 marcate la distanțe egale, cu arce care unesc perechile simetrice -1/2↔1/2 și -1↔1]

10. Module: $\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$ și $\left|-\frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$. Cum $\frac{9}{15}<\frac{10}{15}$, numărul $-\frac{3}{5}$ are modulul mai mic, deci este mai aproape de origine.

11. a) $-\left|\frac{7}{8}\right|=-\frac{7}{8}$ (modulul e $\frac{7}{8}$, apoi minusul din față). b) $-\left|-\frac{7}{8}\right|=-\frac{7}{8}$ (modulul „topește" minusul interior, dă $\frac{7}{8}$, apoi minusul exterior îl face negativ). c) $\left|-\frac{0}{4}\right|=|0|=0$.

12. i) → C ($\frac{3}{4}$); ii) → D ($\frac{5}{2}$); iii) → A ($2,1$); iv) → B ($0$).

13. Numărul negativ cu modulul $\frac{8}{15}$ este $-\frac{8}{15}$. Nu, nu există mai multe variante: există un singur număr negativ cu acest modul. (Dacă n-am cere să fie negativ, ar mai fi și $\frac{8}{15}$, pozitiv.)

14. Submarinul este la distanța $\frac{7}{2}$ km de nivelul mării, iar drona tot la $\frac{7}{2}$ km. Distanțele sunt egale ($\left|-\frac{7}{2}\right|=\left|\frac{7}{2}\right|=\frac{7}{2}$), chiar dacă pozițiile sunt opuse (unul sub, unul peste nivelul mării). Modulele egale = distanțe egale.

15. Modulele sunt: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{6}$. Le aducem la numitor comun $12$: $\frac{6}{12}$, $\frac{9}{12}$, $\frac{8}{12}$, $\frac{2}{12}$. Ordonate crescător: $\frac{2}{12}<\frac{6}{12}<\frac{8}{12}<\frac{9}{12}$, adică $\frac{1}{6}<\frac{1}{2}<\frac{2}{3}<\frac{3}{4}$.

16. Fals. Două numere pot avea același modul fără a fi egale: de exemplu $\frac{2}{3}$ și $-\frac{2}{3}$ au amândouă modulul $\frac{2}{3}$, dar sunt numere diferite (sunt opuse). Singurul caz în care modulele egale înseamnă numere egale este când numerele au și același semn.

17. Tabel:

    • $-\frac{5}{4}$: opus $\frac{5}{4}$, modul $\frac{5}{4}$.
    • $\frac{2}{9}$: opus $-\frac{2}{9}$, modul $\frac{2}{9}$.
    • $-3,5$: opus $3,5$, modul $3,5$.

18. Un număr egal cu propriul modul este orice număr pozitiv sau zero (pentru ele, $|x|=x$). Există o infinitate de astfel de numere. Exemple: $\frac{3}{7}$ (fiindcă $\left|\frac{3}{7}\right|=\frac{3}{7}$) și $0$ (fiindcă $|0|=0$). Ce au în comun: niciunul nu este negativ.

19. Calculăm întâi fiecare modul, apoi efectuăm operația. a) $\left|-\frac{2}{5}\right|+\left|\frac{1}{5}\right|=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$. b) $\left|\frac{7}{4}\right|-\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{7}{4}-\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$.

20. Numerele cu $x=-|x|$ sunt cele negative sau zero (numerele non-pozitive). Pentru un număr negativ, $-|x|$ este chiar acel număr negativ (de pildă, pentru $x=-\frac{2}{3}$ avem $-\left|-\frac{2}{3}\right|=-\frac{2}{3}=x$), iar pentru $x=0$ avem $-|0|=0$. Un număr pozitiv nu poate fi egal cu $-|x|$, fiindcă $-|x|$ ar fi negativ. Deci condiția descrie exact numerele raționale care nu sunt pozitive.

De reținut

• Opusul unui număr rațional se obține schimbând semnul: opusul lui $x$ este $-x$. Pe axă, opusul este simetricul față de origine.
• Modulul $|x|$ este distanța de la număr la origine; este mereu pozitiv sau zero. Pentru un număr pozitiv $|x|=x$, pentru un număr negativ $|x|=-x$ (îi ștergem minusul), iar $|0|=0$.
• Un număr și opusul lui au întotdeauna același modul, fiindcă sunt la aceeași distanță de origine.
• Ecuația $|x|=a$ are două soluții dacă $a>0$ ($x=a$ și $x=-a$), una dacă $a=0$, și niciuna dacă $a<0$.
• Modulul nu schimbă valoarea, doar îi ia semnul; bara de modul „topește" minusul dinăuntru.

Greșeli frecvente

• „Modulul poate fi negativ." Niciodată. Modulul este o distanță, deci $|x|\ge 0$ mereu. Dacă ai obținut un modul negativ, ai greșit undeva.
• „Confund opusul cu inversul." Opusul lui $\frac{2}{3}$ este $-\frac{2}{3}$ (semn schimbat), nu $\frac{3}{2}$ (acela e inversul, despre care vei învăța la împărțirea fracțiilor). Opusul schimbă semnul, inversul răstoarnă fracția.
• „$|x|=-5$ are soluții." Nu are. Niciun modul nu este egal cu un număr negativ. Răspunsul corect este „nu există".
• „$-|-3|=3$." Greșit. Întâi modulul: $|-3|=3$; apoi minusul din față: $-3$. Lucrează mereu dinăuntrul barelor spre exterior.

Joc acasă

1. Aleea opuselor. Lipește pe podea o bandă lungă de hârtie și marchează la mijloc punctul $0$. Pune cartonașe la distanțe egale: $\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{3}{2}$ în dreapta și $-\frac{1}{2}$, $-1$, $-\frac{3}{2}$ în stânga. Cineva strigă un număr, tu pășești pe el, apoi sari pe opusul lui. Verifică: pașii până la $0$ trebuie să fie aceiași în ambele direcții — asta e modulul.

2. Detectivul modulului. Scrie pe bilețele numere raționale cu și fără semn (de exemplu $-\frac{3}{4}$, $2,5$, $-\frac{7}{10}$). Amestecă-le într-o cutie. Tragi câte unul și spui rapid, cu voce tare: semnul, opusul și modulul. Un coleg sau un părinte ține scorul: un punct pentru fiecare răspuns corect.

3. Perechile gemene. Scrie pe 10 cartonașe numere raționale, având grijă să incluzi 4 perechi de numere opuse. Amestecă-le cu fața în jos și joacă „Memory": câștigi o pereche dacă cele două cartonașe au același modul (adică sunt opuse). E un mod excelent de a antrena recunoașterea rapidă a opuselor.

Pentru părinți și învățători

Această lecție transferă la numere raționale două noțiuni pe care elevul le-a întâlnit deja la numere întregi, așa că accentul cade pe continuitatea ideii, nu pe reguli noi. Ajută-l pe elev să verbalizeze definiția corectă: modulul este distanța de la număr la origine. Această formulare geometrică previne cele mai multe greșeli, fiindcă „distanța nu poate fi negativă" devine ceva de bun-simț.

Întrebări utile pe care le poți pune:

• „Arată-mi pe axă unde stă numărul și unde stă opusul lui. Ce observi despre distanțe?"
• „Dacă modulul este $\frac{4}{5}$, câte numere pot avea acest modul? De ce două?"
• „De ce nu există niciun număr cu modulul $-3$?"
• „Care e diferența dintre opusul și inversul unei fracții?" (capcana clasică).

Cum verifici că a înțeles: cere-i să completeze, pentru un număr la alegere, „triada" — semn, opus, modul — și să deseneze cele două puncte simetrice pe axă. Dacă reușește să explice de ce opusele au același modul (fiindcă sunt la aceeași distanță de zero), atunci a prins esența. Evită să-l corectezi doar cu „greșit"; întreabă-l „cât e distanța până la zero?" și lasă-l să se autocorecteze. Lecțiile conexe pentru aprofundare sunt Reprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor și, în continuare, Compararea și ordonarea numerelor raționale.

Întrebări frecvente

Ce este opusul unui număr rațional? Opusul unui număr rațional este numărul cu semn schimbat, aflat de cealaltă parte a originii, la aceeași distanță. De exemplu, opusul lui $\frac{3}{4}$ este $-\frac{3}{4}$, iar opusul lui $-2,5$ este $2,5$. Pe axa numerelor, opusul este punctul simetric față de $0$.

Ce înseamnă modulul (valoarea absolută) al unui număr rațional? Modulul, notat $|x|$, este distanța de la număr până la origine pe axa numerelor. El este întotdeauna pozitiv sau zero. Pentru un număr pozitiv modulul este numărul însuși, iar pentru un număr negativ modulul se obține ștergând semnul minus.

Poate fi modulul unui număr negativ? Nu. Modulul reprezintă o distanță, iar o distanță nu poate fi niciodată negativă. De aceea $|x|\ge 0$ pentru orice număr rațional $x$. Dacă obții un modul negativ, înseamnă că s-a strecurat o greșeală de calcul.

Câte numere raționale au modulul egal cu o valoare dată? Dacă valoarea dată este un număr pozitiv, există exact două numere cu acel modul: unul pozitiv și opusul lui negativ. Dacă valoarea este $0$, există un singur număr: $0$. Dacă valoarea este negativă, nu există niciun astfel de număr.

Care este diferența dintre opus și invers la o fracție? Opusul schimbă semnul fracției (opusul lui $\frac{2}{5}$ este $-\frac{2}{5}$), pe când inversul răstoarnă fracția (inversul lui $\frac{2}{5}$ este $\frac{5}{2}$). Sunt operații complet diferite, ușor de confundat — opusul ține de semn, inversul ține de poziția numărătorului și numitorului.

De ce un număr și opusul lui au același modul? Pentru că ambele se află la exact aceeași distanță de origine, doar în direcții opuse. Distanța este aceeași, iar modulul măsoară tocmai această distanță, deci modulele sunt egale. De exemplu, $\left|\frac{7}{9}\right|=\frac{7}{9}$ și $\left|-\frac{7}{9}\right|=\frac{7}{9}$.

Cum calculez modulul unei fracții negative? Ștergi semnul minus și păstrezi fracția. De exemplu, $\left|-\frac{4}{11}\right|=\frac{4}{11}$. Nu contează unde este scris minusul (în față, la numărător sau la numitor), fiindcă toate aceste scrieri reprezintă același număr negativ, iar modulul lui este fracția fără semn.

Modulul lui zero cât este? Modulul lui zero este zero, adică $|0|=0$. Zero se află chiar în origine, deci distanța de la el la origine este nulă. Tot din acest motiv, zero este singurul număr rațional al cărui opus este chiar el însuși.

Cum reprezint opusul unui număr rațional pe axa numerelor? Marchezi mai întâi numărul pe axă, apoi cauți punctul aflat la aceeași distanță de origine, dar de partea cealaltă a lui $0$. Acel punct simetric este opusul. De exemplu, dacă $\frac{3}{4}$ este la dreapta originii, opusul $-\frac{3}{4}$ se află la aceeași distanță, la stânga. Originea joacă rolul unei „oglinzi": opusul este imaginea numărului în această oglindă.

Modulul unei fracții și modulul unui număr zecimal se calculează la fel? Da, regula este identică, fiindcă fracțiile și numerele zecimale sunt amândouă numere raționale. În ambele cazuri, dacă numărul este pozitiv îl lași neschimbat, iar dacă este negativ îi ștergi semnul. De exemplu, $\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$ și $|-0,5|=0,5$ — același rezultat, fiindcă $-\frac{1}{2}$ și $-0,5$ sunt același număr scris în două feluri.