Scăderea numerelor raționale

Ai învățat deja să aduni numere raționale, iar acum facem pasul firesc mai departe: scăderea numerelor raționale. Vestea bună este că nu trebuie să înveți o regulă complet nouă. Toată scăderea în mulțimea ℚ se sprijină pe o singură idee genială, pe care ai folosit-o și la numere întregi: a scădea înseamnă a aduna cu opusul. Dacă stăpânești acea idee, scăderea fracțiilor și a zecimalelor devine doar o adunare deghizată. Hai să vedem cum funcționează, pas cu pas.

Ce vei învăța

• Vei ști să transformi orice scădere de numere raționale într-o adunare cu opusul: $a-b=a+(-b)$.
• Vei ști să aduci la numitor comun atunci când scazi două fracții cu numitori diferiți.
• Vei ști să efectuezi corect sume și diferențe combinate de numere raționale, respectând semnele.
• Vei ști să scazi numere raționale scrise sub formă de fracție sau de număr zecimal.
• Vei ști să folosești scăderea în probleme practice cu bani, temperaturi, distanțe și rețete.

Hai să descoperim împreună

O singură idee mare: scăderea este adunare cu opusul

La numerele întregi ai descoperit o regulă foarte puternică: în loc să te chinui cu „cât scad și ce semn pun", transformi scăderea în adunare. Adică, în loc să calculezi $5-8$, calculezi $5+(-8)$. Aceeași idee funcționează identic și la numerele raționale, fie ele fracții, fie zecimale.

Regula de aur a acestei lecții este:

$$a-b=a+(-b)$$

Cu cuvinte: ca să scazi un număr, aduni opusul lui. Opusul lui $b$ este numărul $-b$, adică numărul cu același „modul" (aceeași depărtare de zero), dar cu semn schimbat. Opusul lui $\frac{3}{5}$ este $-\frac{3}{5}$; opusul lui $-\frac{2}{7}$ este $+\frac{2}{7}$; opusul lui $-1,4$ este $+1,4$.

De ce funcționează acest truc? Pentru că opusul „anulează" un număr: $b+(-b)=0$. Scăderea cere să dăm înapoi exact cât am adăugat, iar a aduna opusul face fix acest lucru. Dacă reții doar atât din toată lecția, ești deja pe drumul cel bun.

Această idee a fost prezentată și la lecția despre scăderea numerelor întregi, iar acum o ridicăm la nivelul fracțiilor și al zecimalelor. Practic, tot ce ai învățat acolo se aplică, doar că numerele sunt mai „bogate".

Pasul 1: schimbă scăderea în adunare

Primul gest, de fiecare dată, este să rescrii operația. Vezi un minus între două numere raționale? Transformă-l într-un plus cu opusul celui de-al doilea număr.

• $\frac{4}{9}-\frac{1}{9}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{1}{9}\right)$
• $\frac{2}{3}-\frac{5}{3}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)$
• $-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{3}{4}\right)$
• $\frac{7}{8}-\left(-\frac{2}{8}\right)=\frac{7}{8}+\frac{2}{8}$

Fii foarte atent la ultimul exemplu: când scazi un număr negativ, opusul lui este pozitiv, deci „minus cu minus dă plus". Asta este capcana clasică în care cad mulți elevi. Reține: $-(-x)=+x$.

Pasul 2: când numitorii sunt egali

După ce ai transformat scăderea în adunare, dacă fracțiile au același numitor, treaba e ușoară: aduni numărătorii (cu semnele lor) și păstrezi numitorul.

Exemplu: $\frac{4}{9}-\frac{1}{9}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{1}{9}\right)=\frac{4+(-1)}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$

Observă că la final am simplificat rezultatul: $\frac{3}{9}$ s-a redus la $\frac{1}{3}$, împărțind și sus și jos la 3. La numere raționale, răspunsul se dă, de obicei, ca fracție ireductibilă (cea mai simplă formă). Despre simplificare ai discutat la fracții ireductibile.

Alt exemplu, cu rezultat negativ: $\frac{2}{3}-\frac{5}{3}=\frac{2+(-5)}{3}=\frac{-3}{3}=-1.$ Vezi? Diferența a două fracții pozitive poate fi un număr negativ, exact ca la scăderea $2-5=-3$ de la numere întregi.

Pasul 3: când numitorii sunt diferiți — aducerea la numitor comun

Aici intervine partea care cere cea mai multă grijă. Nu poți scădea direct $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}$, pentru că „bucățile" sunt de mărimi diferite: pătrimi și șesimi nu se potrivesc. Trebuie mai întâi să le aduci la același numitor, ca să compari mere cu mere, nu mere cu pere.

Procedeul are trei pași mici:

1. Găsești numitorul comun. Cel mai practic este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numitorilor. Pentru 4 și 6, $\text{c.m.m.m.c.}(4,6)=12$.
2. Amplifici fiecare fracție ca să ajungă la numitorul comun. Înmulțești și numărătorul, și numitorul cu același număr.
3. Scazi numărătorii (după ce ai transformat, eventual, scăderea în adunare cu opusul) și păstrezi numitorul comun.

Hai să calculăm $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}$:

$$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12},\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{2}{12}.$$

$$\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{9-2}{12}=\frac{7}{12}.$$

Pentru aducerea la numitor comun te bazezi pe c.m.m.m.c., despre care ai învățat la cel mai mic multiplu comun. Dacă nu îți amintești metoda rapidă, există și o variantă „de siguranță": înmulțești pur și simplu numitorii între ei. Pentru 4 și 6 ai obține numitorul $24$; merge și așa, doar că la final vei avea de simplificat mai mult.

Pasul 4: când apar și semne negative

Combinăm acum totul. Să calculăm $-\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$.

Mai întâi transform scăderea în adunare cu opusul: $$-\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{4}\right).$$

Numitor comun pentru 3 și 4 este $12$. Amplific: $$-\frac{2}{3}=-\frac{8}{12},-\frac{1}{4}=-\frac{3}{12}.$$

Acum am două numere negative, deci modulele se adună și păstrăm semnul minus: $$-\frac{8}{12}+\left(-\frac{3}{12}\right)=\frac{-8+(-3)}{12}=\frac{-11}{12}=-\frac{11}{12}.$$

Iată un al doilea exemplu, cu „minus minus dă plus": $\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)$.

$$\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}.$$

Regulile de semn sunt exact cele de la adunarea numerelor raționale, lecție pe care o poți reciti la adunarea numerelor raționale. Pe scurt:

• semne la fel (ambele plus sau ambele minus): aduni modulele și păstrezi semnul comun;
• semne diferite: scazi modulul mai mic din cel mai mare și pui semnul numărului cu modul mai mare.

Pasul 5: scăderea numerelor zecimale

Numerele zecimale sunt și ele numere raționale, fiindcă orice zecimală finită se poate scrie ca fracție. Ai două drumuri:

Drumul A — direct, în coloană. Așezi numerele unul sub altul, virgulă sub virgulă, completezi cu zerouri ca să ai același număr de zecimale, apoi scazi ca la numere naturale, ținând cont de semn. Exemplu pozitiv simplu: $7,50-2,30=5,20=5,2$.

Drumul B — cu opusul, când apar semne. Pentru $3,2-5,7$ folosești ideea de la întregi: $3,2-5,7=3,2+(-5,7)$. Semne diferite, deci scad modulele: $5,7-3,2=2,5$, iar semnul îl iau de la $5,7$ (modulul mai mare), deci rezultatul este $-2,5$.

Uneori e mai comod să transformi zecimala în fracție și să lucrezi unitar. De exemplu, $0,75=\frac{3}{4}$ și $0,2=\frac{1}{5}$. Pentru reprezentarea numerelor raționale ca fracție sau zecimală, vezi forme de scriere ale numerelor raționale.

Pasul 6: calcule combinate cu adunări și scăderi

În practică întâlnești expresii cu mai multe operații: $\frac{5}{6}-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$. Strategia inteligentă este să transformi toate scăderile în adunări cu opusul, apoi să aduci totul la un singur numitor comun și să aduni numărătorii dintr-o singură mișcare.

Numitor comun pentru 6, 2 și 3 este $6$: $$\frac{5}{6}-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{5}{6}-\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{5-3+4}{6}=\frac{6}{6}=1.$$

Un avantaj minunat al transformării în adunări este că poți regrupa termenii cum îți convine (comutativitate și asociativitate), ca să simplifici. Aceasta este, de fapt, competența 3.4: folosești proprietățile operațiilor ca să calculezi mai ușor.

Pasul 7: scăderea cu numere mixte și cu paranteze

Uneori numerele apar scrise ca fracții mixte (un întreg și o fracție lipite, de exemplu $2\frac{1}{3}$) sau în interiorul unor paranteze. Niciuna dintre situații nu schimbă regula de aur; doar adaugă un pas de „pregătire".

La un număr mixt, transformi mai întâi întregul în fracție improprie, ca să ai cu ce lucra. De exemplu, $2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot 3+1}{3}=\frac{7}{3}$. Apoi continui exact ca până acum. Hai să calculăm $2\frac{1}{3}-\frac{5}{6}$:

$$2\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{7}{3}-\frac{5}{6}=\frac{14}{6}-\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}.$$

La paranteze, ține minte ordinea operațiilor: întâi rezolvi ce e în paranteză, apoi scazi. Dacă în fața parantezei stă un minus, el „schimbă semnele" termenilor dinăuntru atunci când desfaci paranteza. Compară cele două drumuri pentru $\frac{5}{6}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)$:

• Drumul cu paranteza întâi: $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$, apoi $\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
• Drumul cu desfacerea parantezei: $\frac{5}{6}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}-\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Ambele drumuri dau același rezultat, $\frac{2}{3}$ — exact cum trebuie. Observă cum, la desfacerea parantezei, $-\frac{1}{3}$ dinăuntru a devenit $+\frac{1}{3}$, fiindcă minusul din fața parantezei i-a schimbat semnul. Aceasta este aceeași regulă „minus cu minus dă plus", aplicată unei paranteze întregi.

Proba scăderii: cum îți verifici singur rezultatul

Un obicei de aur al matematicianului priceput este să verifice ce a obținut. La scădere, proba se face prin adunare, fix ca la numerele naturale din clasele mici: dacă $a-b=c$, atunci trebuie ca $c+b=a$. Cu alte cuvinte, dacă aduni la rezultat numărul pe care l-ai scăzut, trebuie să primești înapoi numărul de la care ai plecat.

Să verificăm calculul $\frac{5}{6}-\frac{3}{8}=\frac{11}{24}$ din Exemplul 2. Proba cere $\frac{11}{24}+\frac{3}{8}=?$. Aduc la numitorul $24$: $\frac{11}{24}+\frac{9}{24}=\frac{20}{24}=\frac{5}{6}$. Am primit înapoi $\frac{5}{6}$, deci scăderea a fost corectă. Acest reflex te scapă de multe greșeli la teză: îți ia 20 de secunde și îți confirmă că nu ai încurcat un semn sau un numitor.

O comparație ca să prinzi încredere

Mulți elevi cred că scăderea fracțiilor este complet altceva decât scăderea numerelor pe care le știu de mici. De fapt, este aceeași poveste, doar cu „bucăți" mai mici. Compară următoarele trei calcule, scrise unul sub altul:

• Numere naturale: $7-3=4$.
• Numere întregi: $3-7=-4$ (rezultatul poate fi negativ).
• Numere raționale: $\frac{3}{5}-\frac{7}{5}=\frac{3-7}{5}=\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$.

Observă că, în toate trei, ai făcut exact același raționament cu numărătorii. La fracții doar „cari" și numitorul, care îți spune în câte bucăți ai împărțit întregul. Dacă numitorii sunt egali, ei stau cuminți și nu se ating: scazi doar numărătorii. Aceasta este o legătură directă cu lecția despre scăderea numerelor întregi: regula de bază este aceeași, doar îmbrăcată în haine de fracție.

Hai să mai facem împreună un calcul tipic, ca să fixăm pașii. Calculează $\frac{9}{10}-\frac{2}{15}$.

Pasul 1 — transform scăderea în adunare cu opusul: $\frac{9}{10}+\left(-\frac{2}{15}\right)$.

Pasul 2 — caut numitorul comun. $10=2\cdot 5$ și $15=3\cdot 5$, deci c.m.m.m.c.$(10,15)=2\cdot 3\cdot 5=30$.

Pasul 3 — amplific fiecare fracție până la numitorul $30$: $$\frac{9}{10}=\frac{9\cdot 3}{30}=\frac{27}{30},\frac{2}{15}=\frac{2\cdot 2}{30}=\frac{4}{30}.$$

Pasul 4 — scad numărătorii și păstrez numitorul: $\frac{27}{30}-\frac{4}{30}=\frac{23}{30}$. Fracția este ireductibilă (23 este număr prim și nu divide 30), deci acesta este răspunsul final.

Vezi cât de mecanic devine totul când respecți ordinea pașilor? Tocmai de aceea merită să scrii fiecare pas pe caiet la început: mâna ta învață drumul și, după câteva exerciții, vei sări singur peste pașii evidenți.

O poveste scurtă ca să nu uiți

Imaginează-ți contul tău de buzunar ca pe o axă: la dreapta lui zero sunt banii pe care îi ai, la stânga sunt datoriile (sumele pe care le datorezi). Dacă ai $\frac{3}{4}$ dintr-un leu și „scazi" o datorie de $\frac{1}{4}$ de leu, înseamnă că ți se iartă datoria — practic ți se adaugă $\frac{1}{4}$. Asta e povestea din spatele lui „minus cu minus dă plus": a scădea o datorie este același lucru cu a primi bani. De aceea $\frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ leu întreg.

Un exemplu din viața reală

Hai să vedem scăderea raționalelor la treabă într-o situație concretă. Presupune că ai economisit $\frac{5}{8}$ dintr-o sumă necesară pentru un cadou, iar fratele tău mai mic îți ia cu împrumut $\frac{1}{6}$ din aceeași sumă. Ce parte din sumă îți mai rămâne strânsă?

Calculezi $\frac{5}{8}-\frac{1}{6}$. Numitorul comun al lui 8 și 6 este c.m.m.m.c.$(8,6)=24$: $$\frac{5}{8}=\frac{15}{24},\frac{1}{6}=\frac{4}{24},\frac{15}{24}-\frac{4}{24}=\frac{11}{24}.$$ Îți rămâne strânsă $\frac{11}{24}$ din sumă. Observă cum aceeași rețetă — numitor comun, amplificare, scăderea numărătorilor — rezolvă deopotrivă exercițiile „seci" din manual și problemele cu sens din viață. Tocmai de aceea merită stăpânită temeinic: o vei folosi de fiecare dată când împarți o pizza, calculezi un rest de bani sau urmărești cât ți-a mai rămas dintr-un rezervor de combustibil.

Mini-rezumat al algoritmului

1. Transformă fiecare scădere în adunare cu opusul: $a-b=a+(-b)$.
2. Dacă numitorii diferă, adu la numitor comun (c.m.m.m.c.) prin amplificare.
3. Adună numărătorii ținând cont de semne; păstrează numitorul comun.
4. Simplifică rezultatul și, dacă se cere, scrie-l ca număr zecimal sau fracție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Fracții cu același numitor

Calculează $\frac{7}{10}-\frac{3}{10}$.

Numitorii sunt egali, deci scad numărătorii și păstrez numitorul: $$\frac{7}{10}-\frac{3}{10}=\frac{7-3}{10}=\frac{4}{10}.$$ Simplific prin 2: $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

Răspuns: $\frac{2}{5}$.

Exemplul 2 — Numitori diferiți, cu aducere la numitor comun

Calculează $\frac{5}{6}-\frac{3}{8}$.

Caut c.m.m.m.c.$(6,8)$. Descompun: $6=2\cdot 3$, $8=2^3$, deci c.m.m.m.c. $=2^3\cdot 3=24$. Amplific: $$\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 4}{24}=\frac{20}{24},\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 3}{24}=\frac{9}{24}.$$ $$\frac{5}{6}-\frac{3}{8}=\frac{20}{24}-\frac{9}{24}=\frac{20-9}{24}=\frac{11}{24}.$$ Fracția $\frac{11}{24}$ este deja ireductibilă (11 este prim și nu divide 24).

Răspuns: $\frac{11}{24}$.

Exemplul 3 — Scăderea unui număr negativ („minus cu minus")

Calculează $\frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{3}\right)$.

Transform scăderea unui negativ în adunare a opusului (care e pozitiv): $$\frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{5}+\frac{1}{3}.$$ Numitor comun $15$: $$\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}.$$

Răspuns: $\frac{11}{15}$.

Exemplul 4 — Ambele numere negative

Calculează $-\frac{3}{4}-\frac{5}{6}$.

Transform în adunare cu opusul: $-\frac{3}{4}+\left(-\frac{5}{6}\right)$. Numitor comun $12$: $$-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12},-\frac{5}{6}=-\frac{10}{12}.$$ Ambele negative, deci adun modulele și păstrez minusul: $$-\frac{9}{12}+\left(-\frac{10}{12}\right)=\frac{-9+(-10)}{12}=\frac{-19}{12}=-\frac{19}{12}.$$ O pot scrie și ca fracție mixtă: $-1\frac{7}{12}$.

Răspuns: $-\frac{19}{12}$ (adică $-1\frac{7}{12}$).

Exemplul 5 — Numere zecimale cu semne

Calculează $2,4-5,9$.

Folosesc opusul: $2,4-5,9=2,4+(-5,9)$. Semne diferite, deci scad modulele: $5,9-2,4=3,5$. Semnul îl iau de la $5,9$ (modul mai mare), deci minus.

Răspuns: $-3,5$.

Exemplul 6 — Calcul combinat cu fracții și zecimale

Calculează $\frac{3}{4}-0,5+\frac{1}{8}$.

Transform zecimala în fracție: $0,5=\frac{1}{2}$. Expresia devine $\frac{3}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}$. Numitor comun $8$: $$\frac{3}{4}=\frac{6}{8},\frac{1}{2}=\frac{4}{8},\frac{1}{8}=\frac{1}{8}.$$ $$\frac{6}{8}-\frac{4}{8}+\frac{1}{8}=\frac{6-4+1}{8}=\frac{3}{8}.$$ Ca zecimală: $\frac{3}{8}=0,375$.

Răspuns: $\frac{3}{8}=0,375$.

Exemplul 7 — O mică problemă practică

Maria avea în cămară $\frac{7}{4}$ kg de făină. A folosit $\frac{2}{3}$ kg pentru un cozonac. Câtă făină i-a rămas?

Trebuie să calculez $\frac{7}{4}-\frac{2}{3}$. Numitor comun $12$: $$\frac{7}{4}=\frac{21}{12},\frac{2}{3}=\frac{8}{12}.$$ $$\frac{21}{12}-\frac{8}{12}=\frac{13}{12}\text{ kg}.$$ Adică $1\frac{1}{12}$ kg, puțin peste un kilogram.

Răspuns: $\frac{13}{12}$ kg $=1\frac{1}{12}$ kg.

Exemplul 8 — Diferență cu rezultat care se simplifică mult

Calculează $\frac{7}{12}-\frac{1}{18}$ și dă rezultatul ca fracție ireductibilă.

Caut numitorul comun. $12=2^2\cdot 3$ și $18=2\cdot 3^2$, deci c.m.m.m.c. $=2^2\cdot 3^2=36$. Amplific: $$\frac{7}{12}=\frac{7\cdot 3}{36}=\frac{21}{36},\frac{1}{18}=\frac{1\cdot 2}{36}=\frac{2}{36}.$$ $$\frac{7}{12}-\frac{1}{18}=\frac{21}{36}-\frac{2}{36}=\frac{19}{36}.$$ Fracția $\frac{19}{36}$ este ireductibilă, fiindcă 19 este prim.

Răspuns: $\frac{19}{36}$.

Exemplul 9 — Scădere cu număr mixt

Calculează $3\frac{1}{2}-\frac{4}{3}$.

Transform numărul mixt în fracție improprie: $3\frac{1}{2}=\frac{3\cdot 2+1}{2}=\frac{7}{2}$. Numitor comun pentru 2 și 3 este $6$: $$\frac{7}{2}-\frac{4}{3}=\frac{21}{6}-\frac{8}{6}=\frac{21-8}{6}=\frac{13}{6}.$$ O pot scrie și ca fracție mixtă: $\frac{13}{6}=2\frac{1}{6}$.

Răspuns: $\frac{13}{6}=2\frac{1}{6}$.

Exemplul 10 — Scădere cu paranteză

Calculează $\frac{7}{10}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)$.

Rezolv întâi paranteza. Numitor comun pentru 2 și 5 este $10$: $$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}.$$ Acum scad din $\frac{7}{10}$: $$\frac{7}{10}-\frac{3}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$$ Verificare prin desfacerea parantezei: $\frac{7}{10}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{7}{10}-\frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. Același rezultat.

Răspuns: $\frac{2}{5}$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea „Răspunsuri și explicații". Scrie rezultatele ca fracții ireductibile.

1. Calculează $\frac{8}{9}-\frac{2}{9}$.

2. Calculează $\frac{5}{12}-\frac{11}{12}$.

3. Completează caseta: $\frac{3}{7}-\frac{?}{7}=\frac{1}{7}$.

4. Adevărat sau fals? $\frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$.

5. Calculează $\frac{3}{4}-\frac{1}{8}$.

6. Calculează $\frac{5}{6}-\frac{2}{9}$.

7. Calculează $-\frac{1}{2}-\frac{3}{10}$.

8. Calculează $\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{4}\right)$.

9. Calculează cu numere zecimale: $4,3-6,8$.

10. Calculează $1-\frac{3}{5}$. (Indiciu: $1=\frac{5}{5}$.)

11. Încercuiește răspunsul corect. $-\frac{2}{3}-\frac{1}{6}$ este egal cu:   a) $-\frac{5}{6}$    b) $-\frac{1}{2}$    c) $\frac{5}{6}$

12. Calcul combinat: $\frac{7}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$.

13. Calculează $\frac{2}{3}-0,25$. (Scrie $0,25=\frac{1}{4}$.)

14. Potrivește fiecare scădere (coloana stângă) cu rezultatul ei (coloana dreaptă):   A) $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$     I) $\frac{1}{6}$   B) $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$     II) $\frac{1}{4}$   C) $\frac{5}{6}-\frac{1}{2}$     III) $\frac{1}{12}$   D) $\frac{5}{12}-\frac{1}{3}$    IV) $\frac{1}{3}$

15. Află numărul necunoscut: $x-\frac{2}{5}=\frac{1}{10}$.

16. Problemă (bani). Andrei avea $12,5$ lei. A cheltuit $\frac{3}{4}$ din 10 lei, adică $7,5$ lei, pe un suc și o pungă de semințe. Câți lei i-au rămas?

17. Problemă (temperaturi). Dimineața termometrul arăta $-2,5^{\circ }$C, iar la prânz $4,25^{\circ }$C. Cu câte grade a crescut temperatura? (Indiciu: creșterea $=$ valoarea de la prânz $-$ valoarea de dimineață.)

18. Calcul cu mai mulți termeni: $\frac{11}{6}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}$.

19. Adevărat sau fals? Diferența $\frac{4}{9}-\frac{4}{9}$ este egală cu $0$.

20. Calculează $-\frac{3}{8}-\left(-\frac{5}{8}\right)$.

21. Problemă (sport). Un alergător avea de parcurs $\frac{3}{4}$ dintr-o tură de pistă, dar s-a oprit după ce a parcurs $\frac{1}{6}$ din tură. Ce parte din tură i-a mai rămas de alergat până la $\frac{3}{4}$?

22. Calcul combinat cu zecimală și fracție: $1,5-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$.

23. Calculează cu număr mixt: $2\frac{1}{4}-\frac{5}{6}$.

24. Calculează cu paranteză: $\frac{5}{6}-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)$.

25. Fă proba scăderii $\frac{4}{5}-\frac{1}{3}=\frac{7}{15}$ adunând la rezultat numărul scăzut. Iese înapoi $\frac{4}{5}$?

26. Problemă (timp). Un film durează $1\frac{1}{2}$ ore. Ai urmărit deja $\frac{3}{4}$ de oră. Cât timp din film a mai rămas?

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{8}{9}-\frac{2}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Numitor comun deja; scad numărătorii și simplific prin 3.

2. $\frac{5}{12}-\frac{11}{12}=\frac{5-11}{12}=\frac{-6}{12}=-\frac{1}{2}$. Diferența a două pozitive poate fi negativă.

3. $\frac{?}{7}=\frac{2}{7}$, deci caseta este $2$, pentru că $\frac{3}{7}-\frac{2}{7}=\frac{1}{7}$.

4. Fals. $\frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1$. Capcana „minus cu minus dă plus": rezultatul corect este $1$, nu $\frac{1}{3}$.

5. $\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{6}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$. Numitor comun $8$.

6. $\frac{5}{6}-\frac{2}{9}=\frac{15}{18}-\frac{4}{18}=\frac{11}{18}$. c.m.m.m.c.$(6,9)=18$. Fracția e ireductibilă.

7. $-\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=-\frac{5}{10}-\frac{3}{10}=\frac{-5+(-3)}{10}=\frac{-8}{10}=-\frac{4}{5}$. Ambele negative: module adunate, semn minus.

8. $\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$.

9. $4,3-6,8=4,3+(-6,8)$. Semne diferite: $6,8-4,3=2,5$, semn de la $6,8$, deci $-2,5$.

10. $1-\frac{3}{5}=\frac{5}{5}-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$.

11. Răspuns a) $-\frac{5}{6}$. Calcul: $-\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=-\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$.

12. $\frac{7}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{7}{8}-\frac{2}{8}+\frac{4}{8}=\frac{7-2+4}{8}=\frac{9}{8}$. Adică $1\frac{1}{8}$.

13. $\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$.

14. A–II ($\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}$); B–I ($\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$); C–IV ($\frac{5}{6}-\frac{1}{2}=\frac{5-3}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$); D–III ($\frac{5}{12}-\frac{1}{3}=\frac{5-4}{12}=\frac{1}{12}$). Fiecare scădere are un rezultat diferit, așa că potrivirea este unică.

15. $x=\frac{1}{10}+\frac{2}{5}=\frac{1}{10}+\frac{4}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. Pentru a izola $x$, am adunat $\frac{2}{5}$ în ambele părți.

16. $12,5-7,5=5$ lei. I-au rămas 5 lei.

17. Creșterea $=4,25-(-2,5)=4,25+2,5=6,75$. Temperatura a crescut cu $6,75^{\circ }$C. (Scăderea unui negativ devine adunare!)

18. $\frac{11}{6}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}$. Numitor comun $6$: $\frac{11}{6}-\frac{3}{6}-\frac{2}{6}-\frac{4}{6}=\frac{11-3-2-4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

19. Adevărat. Orice număr rațional minus el însuși dă $0$: $\frac{4}{9}-\frac{4}{9}=\frac{0}{9}=0$.

20. $-\frac{3}{8}-\left(-\frac{5}{8}\right)=-\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=\frac{-3+5}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$. Scăderea negativului devine adunare.

21. I-a mai rămas $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$ din tură.

22. $1,5-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$. Scriu $1,5=\frac{3}{2}$. Numitor comun $4$: $\frac{6}{4}-\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{6-3-2}{4}=\frac{1}{4}$. Ca zecimală: $0,25$.

23. $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$. Numitor comun $12$: $\frac{9}{4}-\frac{5}{6}=\frac{27}{12}-\frac{10}{12}=\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}$.

24. Rezolv paranteza: $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}$. Apoi $\frac{5}{6}-\frac{1}{12}=\frac{10}{12}-\frac{1}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$.

25. Da. Proba: $\frac{7}{15}+\frac{1}{3}=\frac{7}{15}+\frac{5}{15}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$. Am primit înapoi numărul de la care s-a plecat, deci scăderea era corectă.

26. $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ ore. Numitor comun $4$: $\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{6}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$ de oră (adică 45 de minute) au mai rămas.

De reținut

• Regula de aur: a scădea înseamnă a aduna cu opusul: $a-b=a+(-b)$.
• Când numitorii diferă, adu mai întâi la numitor comun (c.m.m.m.c.) prin amplificare, apoi scade numărătorii.
• A scădea un număr negativ se transformă în adunarea unui număr pozitiv: $-(-x)=+x$.
• După semn, păstrezi numitorul comun și simplifici rezultatul la fracție ireductibilă.
• Zecimalele sunt tot numere raționale: le poți transforma în fracții sau le poți scădea în coloană, virgulă sub virgulă.
• Un număr mixt se transformă întâi în fracție improprie ($2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$), apoi calculezi obișnuit.
• Verifică-te prin probă: dacă $a-b=c$, atunci $c+b$ trebuie să dea înapoi $a$.

Greșeli frecvente

• Scazi direct numitorii. Greșit: $\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{0}$. Numitorul rămâne neschimbat atunci când numitorii sunt egali: $\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Nu scădem niciodată numitorii între ei.
• Uiți să aduci la numitor comun. $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\ne \frac{1-1}{3-2}=\frac{0}{1}$. Corect: $\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$.
• Capcana „minus cu minus". $a-(-b)$ NU este $a-b$, ci $a+b$. Verifică mereu: scăderea unui negativ adaugă.
• Pierzi semnul la zecimale. La $2,4-5,9$ unii scriu doar $3,5$. Cum scazi un număr mai mare dintr-unul mai mic, rezultatul este negativ: $-3,5$.

Joc acasă

Jocul 1 — Linia banilor de buzunar. Lipește pe o riglă sau pe o sfoară bilețele cu numere raționale din jumătate în jumătate de leu: $\dots ,-1\frac{1}{2},-1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\dots$ Pleacă cu degetul de la $\frac{3}{2}$ și „scade" $2$ pași (adică $1$): unde ajungi? Verifică prin calcul: $\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$. Inventează 5 deplasări și notează scăderile.

Jocul 2 — Rețeta la jumătate. Ia o rețetă din bucătărie cu cantități în fracții (de exemplu $\frac{3}{4}$ cană zahăr, $\frac{1}{2}$ cană ulei). Dacă vrei să faci doar o parte din rețetă, calculează cu cât scade fiecare ingredient față de cantitatea inițială. Scrie scăderile și răspunsurile, apoi cere unui părinte să le verifice.

Jocul 3 — Duel de cartonașe. Faceți, tu și un coleg/părinte, câte 10 cartonașe cu fracții pozitive și negative simple. La fiecare tură întoarceți două cartonașe și formați o scădere. Cine calculează corect și mai repede rezultatul (ca fracție ireductibilă) ia punctul. Primul la 7 puncte câștigă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție se sprijină pe o singură idee unificatoare: scăderea este adunare cu opusul. Dacă elevul a înțeles bine adunarea numerelor raționale, scăderea nu mai este o operație nouă, ci o reformulare. Insistați pe acest transfer, nu pe memorarea unei a doua liste de reguli.

Întrebări utile de pus elevului:

• „Cum rescrii această scădere ca o adunare?" (verifică transformarea cu opusul).
• „De ce nu putem scădea direct $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$? Ce trebuie făcut întâi?" (verifică nevoia de numitor comun).
• „Ce se întâmplă când scazi un număr negativ?" (verifică regula $-(-x)=+x$).
• „Rezultatul tău poate fi simplificat?" (formează reflexul fracției ireductibile).

Cum sprijiniți: lăsați elevul să scrie fiecare pas la început, chiar dacă pare lent — transformarea în adunare, amplificarea, calculul numărătorilor, simplificarea. Scurtăturile vin de la sine după 15-20 de exerciții. Un semn sigur că a înțeles este când rezolvă corect un calcul combinat cu trei-patru termeni și semne mixte (exercițiul 18) și când explică, cu cuvintele lui, de ce „scăderea unei datorii înseamnă a primi bani". Pentru recapitulare conectată, puteți reciti împreună adunarea numerelor raționale și apoi anticipa înmulțirea numerelor raționale.

Întrebări frecvente

Cum scazi două fracții cu numitori diferiți la clasa a 6-a? Aduci mai întâi fracțiile la același numitor (folosind cel mai mic multiplu comun al numitorilor), apoi scazi numărătorii și păstrezi numitorul comun. La final simplifici rezultatul. De exemplu, $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$.

Ce înseamnă „scădere ca adunare cu opusul"? Înseamnă că orice scădere $a-b$ se poate scrie ca adunare a opusului: $a-b=a+(-b)$. Astfel nu mai ai nevoie de reguli separate pentru scădere; folosești tot ce știi de la adunarea numerelor raționale.

De ce „minus cu minus dă plus" la scăderea numerelor raționale? Pentru că opusul unui număr negativ este pozitiv: $-(-x)=+x$. A scădea un număr negativ înseamnă a aduna opusul lui, care este pozitiv. De aceea $\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$.

Pot scădea numere zecimale la fel ca fracțiile? Da, pentru că orice zecimală finită este un număr rațional. Poți fie să o transformi în fracție (de exemplu $0,5=\frac{1}{2}$), fie să scazi în coloană, cu virgula sub virgulă și completând cu zerouri. Ține mereu cont de semn.

Rezultatul unei scăderi de numere raționale poate fi negativ? Da. Dacă scazi un număr mai mare dintr-unul mai mic, rezultatul este negativ, exact ca la numere întregi. De exemplu $\frac{2}{3}-\frac{5}{3}=-1$ și $4,3-6,8=-2,5$.

Trebuie să simplific întotdeauna rezultatul? Da, este recomandat să dai răspunsul ca fracție ireductibilă (cea mai simplă formă), pentru că aceasta este forma standard cerută la clasa a VI-a. De exemplu, scrii $\frac{6}{9}$ ca $\frac{2}{3}$.

Care este diferența dintre adunarea și scăderea numerelor raționale? Practic, nicio diferență de metodă: scăderea se transformă în adunare cu opusul. Singura grijă în plus la scădere este să schimbi corect semnul numărului care se scade înainte de a calcula.

Cum verific dacă am scăzut corect două fracții? Poți face proba prin adunare: dacă $a-b=c$, atunci $c+b$ trebuie să dea înapoi $a$. De exemplu, dacă ai obținut $\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$, verifici: $\frac{5}{8}+\frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$, corect.