Compararea și ordonarea numerelor raționale

Ai învățat deja ce sunt numerele raționale și cum le așezi pe axa numerelor. Acum facem pasul firesc: dintre două numere raționale, care este mai mare? Și cum punem în ordine o întreagă listă de fracții, fracții zecimale și numere negative amestecate? Vestea bună este că ai deja toate uneltele — trebuie doar să le pui cap la cap cu metodă. La final vei putea compara orice două numere raționale, fie ele pozitive sau negative, și le vei ordona crescător sau descrescător fără ezitare.

Ce vei învăța

• Vei ști să compari două numere raționale pozitive folosind axa numerelor sau aducerea la același numitor.
• Vei ști să compari două numere raționale negative cu ajutorul modulului (valorii absolute).
• Vei ști să compari o fracție ordinară cu o fracție zecimală, transformând una în cealaltă.
• Vei ști să ordonezi crescător și descrescător o mulțime finită de numere raționale.
• Vei ști să eviți greșelile tipice la numerele negative, unde „mai mare ca modul" nu înseamnă „mai mare ca număr".

Hai să descoperim împreună

1. Ideea de bază: cine stă mai la dreapta este mai mare

Toate regulile de comparare vin dintr-o singură imagine pe care o cunoști deja de la numerele întregi: axa numerelor. Pe axă, numerele cresc de la stânga spre dreapta. Deci, dintre două numere raționale, cel care stă mai la dreapta pe axă este mai mare, iar cel care stă mai la stânga este mai mic.

Din această imagine ies imediat trei adevăruri pe care le vom folosi mereu:

• Orice număr pozitiv este mai mare decât zero, iar orice număr negativ este mai mic decât zero. Scriem: dacă $a>0$ și $b<0$, atunci $a>b$.
• Orice număr rațional pozitiv este mai mare decât orice număr rațional negativ. De exemplu $\frac{1}{100}>-1000,5$, oricât ar părea de ciudat: numărul pozitiv mititel stă tot la dreapta lui zero, iar cel negativ uriaș stă departe la stânga.
• Zero stă la mijloc: este mai mare decât toate negativele și mai mic decât toate pozitivele.

Reține analogia cu termometrul așezat vertical: $+5°$ e mai cald (mai sus) decât $+2°$, dar $-2°$ e mai cald decât $-5°$, fiindcă $-5°$ înseamnă un ger mai aspru. La numerele raționale negative se întâmplă exact la fel.

2. Compararea a două numere raționale pozitive

Când ai două fracții pozitive, întrebarea „care e mai mare?" se rezolvă în două situații.

Cazul A — au același numitor. Atunci e mai mare fracția cu numărătorul mai mare. Logic: dacă tortul e tăiat în aceleași felii, ai mai mult cu cât iei mai multe felii.

$$\frac{5}{8}>\frac{3}{8}\text{pentru ca˘ }5>3.$$

Cazul B — au numitori diferiți. Atunci le aducem la același numitor (cel mai comod este numitorul comun, adică c.m.m.m.c. al numitorilor), apoi comparăm numărătorii. Pașii sunt:

1. Găsește un numitor comun al celor două fracții.
2. Amplifică fiecare fracție ca să ajungă la acel numitor.
3. Compară numărătorii: fracția cu numărătorul mai mare este mai mare.

Să comparăm $\frac{3}{5}$ și $\frac{2}{3}$. Numitor comun: $15$.

$$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{9}{15},\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{10}{15}.$$

Acum $9<10$, deci $\frac{9}{15}<\frac{10}{15}$, adică $\frac{3}{5}<\frac{2}{3}$.

Truc rapid (înmulțirea în cruce). Pentru două fracții pozitive $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ cu $b,d>0$, compari produsele „în cruce": $a\cdot d$ față de $b\cdot c$. La exemplul de mai sus: $3\cdot 3=9$ și $5\cdot 2=10$; cum $9<10$, obținem $\frac{3}{5}<\frac{2}{3}$. Atenție: trucul cu înmulțirea în cruce funcționează simplu doar la numere pozitive; la negative ne întoarcem la modul, ca să nu greșim.

3. Compararea cu ajutorul axei și a punctelor

Uneori e mai limpede să „vezi" numerele. Dacă desenezi axa și pui punctele, comparația devine evidentă: numărul din dreapta câștigă. Această metodă e foarte utilă când amesteci fracții, zecimale și numere întregi.

Să comparăm $\frac{7}{4}$ și $1,5$. Transformăm: $\frac{7}{4}=1,75$ și $1,5$ rămâne $1,5$. Pe axă, $1,75$ stă mai la dreapta decât $1,5$, deci $\frac{7}{4}>1,5$.

4. Compararea a două numere raționale negative — aici intervine modulul

La numerele negative apare „surpriza" cu care ne-am întâlnit deja la numerele întregi: cu cât modulul (distanța față de zero) este mai mare, cu atât numărul este mai mic, fiindcă se află mai departe la stânga.

Regula de aur pentru două numere negative:

Dintre două numere raționale negative, este mai mare cel cu modulul mai mic.

De ce? Modulul este distanța până la zero. Un număr negativ cu modul mic e „aproape de zero", deci stă aproape de mijloc, mai la dreapta. Un număr negativ cu modul mare e „departe în stânga", deci mai mic.

Să comparăm $-\frac{2}{3}$ și $-\frac{3}{4}$. Lucrăm cu modulele:

$$\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}=\frac{8}{12},\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}=\frac{9}{12}.$$

Cum $\frac{8}{12}<\frac{9}{12}$, modulul lui $-\frac{2}{3}$ este mai mic, deci $-\frac{2}{3}$ este mai mare:

$$-\frac{2}{3}>-\frac{3}{4}.$$

Rețetă în 3 pași pentru două negative:

1. Scrie modulele (fără semn).
2. Compară modulele aducându-le la numitor comun.
3. Inversează rezultatul: numărul cu modul mai mare este cel mai mic. (Aceasta e capcana — modulele se compară normal, dar concluzia pentru numere se întoarce pe dos.)

Despre opus și modul ai o lecție întreagă: Opusul și modulul unui număr rațional. Iar regulile la numere întregi, pe care le extindem aici, le găsești la Compararea și ordonarea numerelor întregi.

5. Compararea unei fracții cu o fracție zecimală

Foarte des trebuie să compari o fracție ordinară (de exemplu $\frac{7}{8}$) cu o fracție zecimală (de exemplu $0,9$). Ai două drumuri și amândouă sunt corecte — alege-l pe cel mai comod:

Drumul 1 — transformi fracția în zecimală (faci împărțirea numărător : numitor).

$$\frac{7}{8}=7:8=0,875.$$

Acum compari două zecimale: $0,875$ și $0,900$. Aliniezi virgulele și compari cifră cu cifră: zecimile sunt $8$ și $9$, deci $0,875<0,9$, adică $\frac{7}{8}<0,9$.

Drumul 2 — transformi zecimala în fracție și aduci la numitor comun.

$$0,9=\frac{9}{10},\frac{7}{8}=\frac{35}{40},\frac{9}{10}=\frac{36}{40}.$$

Cum $35<36$, obținem $\frac{7}{8}<0,9$. Același rezultat, pe alt drum.

Sfat practic: dacă fracția se transformă ușor în zecimală (numitor $2,4,5,8,10,20,25,50,100$ etc.), alege Drumul 1. Dacă împărțirea nu „iese frumos" (de exemplu $\frac{1}{3}=0,333\dots$), e mai sigur Drumul 2, cu numitor comun, ca să nu rotunjești greșit.

6. Ordonarea unei mulțimi finite de numere raționale

A ordona înseamnă a așeza numerele în șir, fie crescător (de la cel mai mic la cel mai mare), fie descrescător (de la cel mai mare la cel mai mic). Strategia care nu dă greș:

1. Adu toate numerele la aceeași formă. Cel mai comod e să le transformi pe toate în fracții zecimale (sau, dacă nu se poate frumos, la același numitor comun). Astfel le compari ușor pe toate dintr-o privire.
2. Separă pozitivele de negative. Toate negativele vin înaintea lui zero, toate pozitivele după.
3. Ordonează negativele între ele ținând minte regula modulului: la negative, modulul mai mare = număr mai mic.
4. Ordonează pozitivele între ele normal.
5. Scrie șirul cu semnele „$<$" (crescător) sau „$>$" (descrescător) și, la final, revino la forma inițială a numerelor, ca răspunsul să fie scris așa cum ți s-a cerut.

Să ordonăm crescător mulțimea $A=\left\{\frac{1}{2},-\frac{3}{4},0,3,-1,\frac{2}{5}\right\}$.

Transformăm tot în zecimale: $$\frac{1}{2}=0,5,-\frac{3}{4}=-0,75,0,3=0,3,-1=-1,\frac{2}{5}=0,4.$$

Negativele: $-1$ și $-0,75$. Cum $1>0,75$ (modul mai mare la $-1$), avem $-1<-0,75$. Pozitivele: $0,3<0,4<0,5$.

Punem cap la cap, de la cel mai mic la cel mai mare: $$-1<-\frac{3}{4}<0,3<\frac{2}{5}<\frac{1}{2}.$$

Dacă ni s-ar fi cerut descrescător, am fi scris exact același șir întors: $\frac{1}{2}>\frac{2}{5}>0,3>-\frac{3}{4}>-1$.

Despre poziționarea exactă a acestor numere pe axă, revezi Reprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor.

7. O poveste scurtă ca să ții minte

Imaginează-ți o competiție de scufundări și sărituri într-un parc acvatic. Înălțimea peste apă o notăm cu plus, adâncimea sub apă cu minus. Trei prieteni sunt în diferite locuri: Andrei stă pe un panou la $+\frac{3}{2}$ metri deasupra apei, Bianca plutește exact la nivelul apei ($0$), iar Cristi e scufundat la $-\frac{7}{4}$ metri. Cine e „mai sus"? Evident, ordinea de sus în jos (descrescător) este Andrei, Bianca, Cristi: $\frac{3}{2}>0>-\frac{7}{4}$. Iar dacă apare și David, scufundat doar la $-\frac{1}{2}$ metru, el e mai sus decât Cristi, fiindcă $-\frac{1}{2}>-\frac{7}{4}$ — modulul lui e mai mic, deci e mai aproape de suprafață. Exact așa funcționează compararea numerelor raționale: „mai sus" înseamnă „mai mare".

8. Două scurtături utile când numerele „seamănă"

Pe lângă metodele sigure de mai sus, există două observații care îți grăbesc munca atunci când fracțiile au ceva în comun. Le folosești ca să ghicești repede răspunsul, dar verifici tot prin numitor comun dacă ai dubii.

Scurtătura 1 — același numărător. Dacă două fracții pozitive au același numărător, este mai mare cea cu numitorul mai mic. Intuiția: dacă împarți același tort la mai puține persoane, fiecare primește o felie mai mare.

$$\frac{3}{5}>\frac{3}{8}\text{pentru ca˘ }5<8.$$

La fracții negative cu același numărător, concluzia se inversează, ca de obicei: $-\frac{3}{5}<-\frac{3}{8}$, fiindcă $\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$.

Scurtătura 2 — comparația cu „reperul" 1. Multe comparații devin banale dacă vezi că o fracție este subunitară (mai mică decât $1$, când numărătorul e mai mic decât numitorul) și cealaltă supraunitară (mai mare decât $1$). De exemplu, $\frac{4}{7}<1<\frac{9}{8}$, deci sigur $\frac{4}{7}<\frac{9}{8}$, fără niciun calcul cu numitor comun. La fel, poți compara rapid cu $\frac{1}{2}$: $\frac{4}{9}$ e puțin sub $\frac{1}{2}$ (pentru că $\frac{1}{2}=\frac{4,5}{9}$), iar $\frac{5}{9}$ e peste, deci $\frac{4}{9}<\frac{1}{2}<\frac{5}{9}$.

Aceste scurtături nu înlocuiesc metoda cu numitor comun, dar te ajută să verifici dacă răspunsul tău are sens. Dacă „ghicitul rapid" și calculul îți dau rezultate diferite, ceva e greșit și merită reluat.

9. Compararea numerelor scrise sub formă de număr mixt

Uneori numerele raționale apar scrise ca numere mixte, adică o parte întreagă lângă o fracție, de pildă $2\frac{1}{3}$ (citit „doi întregi și o treime", egal cu $\frac{7}{3}$) sau, la negative, $-1\frac{3}{4}$. Comparația devine atunci foarte rapidă, fiindcă partea întreagă decide prima.

Pasul 1 — compară părțile întregi. Dacă două numere mixte pozitive au părți întregi diferite, câștigă cel cu partea întreagă mai mare, fără să te mai uiți la fracție. De exemplu $3\frac{1}{10}>2\frac{9}{10}$, pentru că $3>2$, oricât de mare ar fi fracția celui de-al doilea.

Pasul 2 — dacă părțile întregi sunt egale, compară fracțiile. Atunci totul se reduce la a compara cele două fracții, prin numitor comun. Să comparăm $2\frac{1}{3}$ și $2\frac{2}{5}$: partea întreagă e aceeași ($2$), deci comparăm $\frac{1}{3}=\frac{5}{15}$ cu $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$. Cum $5<6$, avem $2\frac{1}{3}<2\frac{2}{5}$.

La numere mixte negative revine, ca de obicei, regula modulului: scrii fiecare număr fără semn, compari modulele și apoi inversezi concluzia. Să comparăm $-1\frac{1}{2}$ și $-1\frac{3}{4}$. Modulele sunt $1\frac{1}{2}=1,5$ și $1\frac{3}{4}=1,75$. Cum $1,5<1,75$, modulul lui $-1\frac{1}{2}$ este mai mic, deci $-1\frac{1}{2}$ este mai mare: $-1\frac{1}{2}>-1\frac{3}{4}$. Verificarea pe axă confirmă: $-1,5$ stă mai aproape de zero decât $-1,75$.

Dacă te încurci cu numerele mixte, cea mai sigură cale este să le transformi în fracții improprii (de exemplu $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$) sau direct în zecimale, și apoi aplici metodele deja învățate. Numărul mixt e doar o altă „haină" a aceluiași număr rațional.

10. Strategia „o singură formă" pentru liste lungi

Când ai de comparat sau de ordonat multe numere deodată, scrise în forme diferite — fracții, zecimale, procente, numere mixte —, cel mai sigur lucru este să nu sari de la o metodă la alta, ci să le traduci pe toate în aceeași formă, de obicei zecimale. Așa eviți greșelile și vezi întreaga listă „dintr-o privire".

Iată un mic tabel de traduceri pe care merită să-l ai în minte, fiindcă apar des:

• $\frac{1}{2}=0,5=50\%$
• $\frac{1}{4}=0,25=25\%$ și $\frac{3}{4}=0,75=75\%$
• $\frac{1}{5}=0,2=20\%$, $\frac{2}{5}=0,4=40\%$, $\frac{3}{5}=0,6=60\%$
• $\frac{1}{10}=0,1=10\%$ și, în general, $\frac{a}{10}$ se citește direct ca zecimală
• $\frac{1}{8}=0,125$, $\frac{3}{8}=0,375$, $\frac{5}{8}=0,625$, $\frac{7}{8}=0,875$

Cu aceste echivalențe în minte, multe comparații care păreau grele devin instant. De pildă, „cine e mai mare, $\frac{3}{8}$ sau $35\%$?" se rezolvă pe loc: $\frac{3}{8}=0,375$ și $35\%=0,35$, deci $\frac{3}{8}>35\%$. Nu uita totuși de semn: la negative compari modulele și inversezi concluzia, exact ca până acum.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — două fracții pozitive, numitor comun. Compară $\frac{4}{9}$ și $\frac{5}{12}$.

Numitor comun: c.m.m.m.c.$(9,12)=36$. $$\frac{4}{9}=\frac{16}{36},\frac{5}{12}=\frac{15}{36}.$$ Cum $16>15$, rezultă $\frac{4}{9}>\frac{5}{12}$. Verificare cu înmulțirea în cruce: $4\cdot 12=48$, $9\cdot 5=45$; $48>45$, deci $\frac{4}{9}>\frac{5}{12}$. Se confirmă.

Exemplul 2 — două numere negative. Compară $-\frac{5}{6}$ și $-\frac{7}{9}$.

Lucrăm cu modulele: $\frac{5}{6}$ și $\frac{7}{9}$. Numitor comun $18$: $$\frac{5}{6}=\frac{15}{18},\frac{7}{9}=\frac{14}{18}.$$ Cum $15>14$, modulul lui $-\frac{5}{6}$ este mai mare, deci $-\frac{5}{6}$ este mai mic: $$-\frac{5}{6}<-\frac{7}{9}.$$

Exemplul 3 — fracție față de zecimală. Compară $\frac{5}{8}$ și $0,6$.

Transform fracția: $\frac{5}{8}=5:8=0,625$. Compar $0,625$ cu $0,600$: la zecimi avem $6=6$, la sutimi $2>0$, deci $0,625>0,6$, adică $\frac{5}{8}>0,6$. Verificare prin fracții: $0,6=\frac{6}{10}=\frac{24}{40}$ și $\frac{5}{8}=\frac{25}{40}$; $25>24$, deci $\frac{5}{8}>0,6$. Corect.

Exemplul 4 — fracție negativă față de zecimală negativă. Compară $-\frac{3}{5}$ și $-0,7$.

Module: $\frac{3}{5}=0,6$ și $0,7$. Cum $0,6<0,7$, modulul lui $-\frac{3}{5}$ este mai mic, deci $-\frac{3}{5}$ este mai mare: $$-\frac{3}{5}>-0,7.$$ Cu alte cuvinte, $-0,6>-0,7$, ceea ce se potrivește perfect cu intuiția de pe axă.

Exemplul 5 — ordonare crescătoare. Ordonează crescător: $\frac{3}{4},-\frac{1}{2},1,2,-\frac{5}{4},0$.

Transform în zecimale: $\frac{3}{4}=0,75$; $-\frac{1}{2}=-0,5$; $1,2$; $-\frac{5}{4}=-1,25$; $0$. Negative: $-1,25<-0,5$. Apoi $0$. Apoi pozitive: $0,75<1,2$. Șirul crescător: $$-\frac{5}{4}<-\frac{1}{2}<0<\frac{3}{4}<1,2.$$

Exemplul 6 — ordonare descrescătoare, cu toate tipurile amestecate. Ordonează descrescător: $-\frac{2}{3},0,5,-1,\frac{1}{4},-0,25,\frac{4}{5}$.

Zecimale: $-\frac{2}{3}\approx -0,667$ (aproximarea este suficientă aici, fiindcă niciun alt număr din listă nu este apropiat de această valoare); $0,5$; $-1$; $\frac{1}{4}=0,25$; $-0,25$; $\frac{4}{5}=0,8$. Pozitive, descrescător: $0,8>0,5>0,25$, adică $\frac{4}{5}>0,5>\frac{1}{4}$. Negative, descrescător (cele mai aproape de zero primele): $-0,25>-0,667>-1$, adică $-0,25>-\frac{2}{3}>-1$. Șirul descrescător complet: $$\frac{4}{5}>0,5>\frac{1}{4}>-0,25>-\frac{2}{3}>-1.$$

Exemplul 7 — două numere mixte negative. Compară $-2\frac{1}{4}$ și $-2\frac{1}{3}$.

Partea întreagă a modulelor e aceeași ($2$), deci comparăm fracțiile: $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$ și $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$. Cum $3<4$, modulul lui $-2\frac{1}{4}$ ($=2,25$) este mai mic decât al lui $-2\frac{1}{3}$ ($=2,33\dots$), deci $-2\frac{1}{4}$ este mai mare: $$-2\frac{1}{4}>-2\frac{1}{3}.$$

Exemplul 8 — trei forme amestecate, cu procent. Ordonează crescător: $\frac{7}{20}$, $0,4$, $30\%$.

Le aducem pe toate la forma de zecimală. Reține că un procent se transformă în zecimală împărțind la $100$: $30\%=\frac{30}{100}=0,3$. La fel, $\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0,35$, iar $0,4$ rămâne $0,4$. Acum comparăm trei zecimale: $0,3<0,35<0,4$. Deci, în forma cerută: $$30\%<\frac{7}{20}<0,4.$$ Observă cum procentul, fracția și zecimala sunt doar trei haine ale acelorași numere raționale — odată aduse la aceeași formă, comparația e imediată.

Exemplul 9 — listă lungă, forme amestecate. Ordonează descrescător: $\frac{3}{8}$, $40\%$, $0,35$, $\frac{1}{5}$.

Traducem tot în zecimale: $\frac{3}{8}=0,375$; $40\%=0,4$; $0,35$; $\frac{1}{5}=0,2$. Le așezăm de la cel mai mare la cel mai mic: $0,4>0,375>0,35>0,2$. Revenim la forma cerută: $$40\%>\frac{3}{8}>0,35>\frac{1}{5}.$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Notează de fiecare dată ce metodă ai folosit (axă, numitor comun, modul sau transformare în zecimală).

1. Completează cu „$<$", „$>$" sau „$=$": $\frac{2}{7}\square \frac{5}{7}$.
2. Completează cu „$<$", „$>$" sau „$=$": $\frac{3}{4}\square \frac{5}{6}$.
3. Completează cu „$<$", „$>$" sau „$=$": $\frac{6}{10}\square \frac{3}{5}$.
4. Compară numerele negative: $-\frac{1}{3}\square -\frac{1}{2}$.
5. Compară numerele negative: $-\frac{7}{8}\square -\frac{5}{6}$.
6. Compară fracția cu zecimala: $\frac{7}{10}\square 0,65$.
7. Compară fracția cu zecimala: $\frac{9}{8}\square 1,1$.
8. Compară: $-\frac{4}{5}\square -0,9$.
9. Adevărat sau fals: „Orice număr rațional negativ este mai mic decât orice număr rațional pozitiv."
10. Adevărat sau fals: „Dacă două numere negative au modulele egale, numerele sunt egale."
11. Adevărat sau fals: „$-\frac{2}{3}<-\frac{3}{4}$."
12. Încercuiește cel mai mare număr din mulțimea: $\left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-2,0,4,-\frac{7}{4}\right\}$.
13. Încercuiește cel mai mic număr din aceeași mulțime de la exercițiul 12.
14. Ordonează crescător: $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{6}$.
15. Ordonează descrescător: $-\frac{1}{4},-\frac{2}{3},-1,-\frac{1}{2}$.
16. Ordonează crescător mulțimea: $\left\{-0,5,\frac{3}{4},-\frac{5}{4},0,\frac{1}{4},-\frac{1}{8}\right\}$.
17. Potrivește fiecare număr din coloana stângă cu poziția lui (A = cel mai mic ... E = cel mai mare): coloana stângă $\frac{2}{5},-\frac{3}{10},1,5,-1,0,6$.
18. Mică problemă. La un concurs de sărituri cu trambulina, trei sportivi au primit de la arbitri abateri față de standard (în puncte): Maria $-\frac{3}{4}$, Paul $-\frac{5}{8}$, Sorin $-0,7$. Abaterea mai mare (mai aproape de zero) e mai bună. Cine a obținut cel mai bun rezultat și cine cel mai slab?
19. Compară numerele mixte negative: $-1\frac{2}{5}\square -1\frac{1}{2}$.
20. Compară fracția cu procentul: $\frac{3}{4}\square 70\%$.
21. Ordonează crescător mulțimea, scriind fiecare număr în forma dată: $\left\{0,2,\frac{1}{4},15\%,\frac{3}{10}\right\}$.
22. Adevărat sau fals: „Dintre $-3\frac{1}{2}$ și $-3\frac{1}{4}$, numărul mai mare este $-3\frac{1}{4}$."
23. Ordonează descrescător mulțimea, în forma dată: $\left\{\frac{1}{2},45\%,0,55,\frac{2}{5}\right\}$.
24. Completează cu „$<$", „$>$" sau „$=$": $2\frac{3}{4}\square \frac{11}{4}$.

Răspunsuri și explicații

1. $<$. Același numitor ($7$); $2<5$, deci $\frac{2}{7}<\frac{5}{7}$.
2. $<$. Numitor comun $12$: $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$; $9<10$, deci $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$.
3. $=$. $\frac{6}{10}$ se simplifică prin $2$ și dă $\frac{3}{5}$; sunt fracții echivalente, deci egale.
4. $>$. Module: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$; $\frac{2}{6}<\frac{3}{6}$, deci $-\frac{1}{3}$ are modul mai mic și este mai mare: $-\frac{1}{3}>-\frac{1}{2}$.
5. **$<$**. Module: $\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$, $\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$; $21>20$, deci $-\frac{7}{8}$ are modul mai mare și este mai mic: $-\frac{7}{8}<-\frac{5}{6}$.
6. $>$. $\frac{7}{10}=0,7$ și $0,7>0,65$, deci $\frac{7}{10}>0,65$.
7. $>$. $\frac{9}{8}=1,125$ și $1,125>1,1$, deci $\frac{9}{8}>1,1$.
8. $>$. Module: $\frac{4}{5}=0,8$ și $0,9$; $0,8<0,9$, deci $-\frac{4}{5}$ are modul mai mic și este mai mare: $-\frac{4}{5}>-0,9$.
9. Adevărat. Orice negativ stă la stânga lui $0$, orice pozitiv la dreapta; deci negativul e mereu mai mic.
10. Fals. Module egale înseamnă fie numere egale, fie numere opuse. De exemplu $-\frac{2}{3}$ și $+\frac{2}{3}$ au același modul, dar nu sunt egale.
11. Fals. Module: $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}<\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, deci $-\frac{2}{3}$ are modul mai mic și este mai mare: corect este $-\frac{2}{3}>-\frac{3}{4}$.
12. $0,4$ este cel mai mare. Valorile: $-0,5;0,333\dots ;-2;0,4;-1,75$. Cel mai mare dintre pozitive: $0,4>\frac{1}{3}$.
13. $-2$ este cel mai mic (modul cel mai mare dintre negative: $2>1,75>0,5$).
14. Numitor comun $30$: $\frac{1}{2}=\frac{15}{30}$, $\frac{2}{3}=\frac{20}{30}$, $\frac{3}{5}=\frac{18}{30}$, $\frac{5}{6}=\frac{25}{30}$. Crescător: $\frac{1}{2}<\frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{5}{6}$.
15. Valori: $-0,25;-0,667;-1;-0,5$. Descrescător (de la cel mai mare): $-\frac{1}{4}>-\frac{1}{2}>-\frac{2}{3}>-1$.
16. Zecimale: $-0,5;0,75;-1,25;0;0,25;-0,125$. Crescător: $-\frac{5}{4}<-0,5<-\frac{1}{8}<0<\frac{1}{4}<\frac{3}{4}$.
17. Valori: $\frac{2}{5}=0,4;-\frac{3}{10}=-0,3;1,5;-1;0,6$. Ordine crescătoare: A $=-1$, B $=-\frac{3}{10}$, C $=\frac{2}{5}$, D $=0,6$, E $=1,5$.
18. Valori (abateri): Maria $-0,75$, Paul $-0,625$, Sorin $-0,7$. Cea mai mare (mai aproape de zero) este $-0,625$, deci cel mai bun rezultat l-a obținut Paul, iar cel mai slab Maria ($-0,75$, cel mai departe de zero). Ordinea de la cel mai bun la cel mai slab: $-\frac{5}{8}>-0,7>-\frac{3}{4}$.
19. $>$. Module: $1\frac{2}{5}=1,4$ și $1\frac{1}{2}=1,5$; cum $1,4<1,5$, modulul lui $-1\frac{2}{5}$ este mai mic, deci numărul este mai mare: $-1\frac{2}{5}>-1\frac{1}{2}$.
20. $>$. $\frac{3}{4}=0,75=75\%$, iar $75\%>70\%$, deci $\frac{3}{4}>70\%$.
21. Zecimale: $0,2$; $\frac{1}{4}=0,25$; $15\%=0,15$; $\frac{3}{10}=0,3$. Crescător: $15\%<0,2<\frac{1}{4}<\frac{3}{10}$.
22. Adevărat. Modulele sunt $3\frac{1}{2}=3,5$ și $3\frac{1}{4}=3,25$; cum $3,25<3,5$, numărul $-3\frac{1}{4}$ are modulul mai mic, deci este mai aproape de zero și mai mare: $-3\frac{1}{4}>-3\frac{1}{2}$.
23. Zecimale: $\frac{1}{2}=0,5$; $45\%=0,45$; $0,55$; $\frac{2}{5}=0,4$. Descrescător: $0,55>\frac{1}{2}>45\%>\frac{2}{5}$.
24. $=$. $2\frac{3}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}$; sunt scrieri diferite ale aceluiași număr, deci egale.

De reținut

• Pe axa numerelor, numărul din dreapta este mai mare; orice pozitiv $>0>$ orice negativ.
• La fracții pozitive cu numitori diferiți: aduci la numitor comun și compari numărătorii (sau folosești înmulțirea în cruce).
• La numere negative: compari modulele, iar concluzia se inversează — modul mai mare înseamnă număr mai mic.
• O fracție și o zecimală se compară transformând una în cealaltă (fracție → zecimală prin împărțire, sau zecimală → fracție și numitor comun).
• La numere mixte, compari întâi părțile întregi; dacă sunt egale, compari fracțiile. La negative aplici tot regula modulului.
• Fracția, zecimala și procentul sunt doar forme diferite ale aceluiași număr rațional ($\frac{3}{5}=0,6=60\%$); aduci totul la o singură formă și compari.
• Pentru a ordona o mulțime: adu totul la aceeași formă, separă negativele de pozitive, ordonează fiecare grupă, apoi scrie șirul cu „$<$" sau „$>$".

Greșeli frecvente

• „La negative, modulul mai mare = număr mai mare." Fals. E exact pe dos: $-\frac{3}{4}<-\frac{1}{2}$, deși $\frac{3}{4}>\frac{1}{2}$. Gândește-te la termometru: $-7°$ e mai frig (mai mic) decât $-2°$.
• Compararea numărătorilor fără a aduce la numitor comun. Nu poți spune că $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$ doar pentru că „$3>2$" sau „$5>3$". Adu mereu la același numitor: $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$, $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$, deci $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$.
• Rotunjirea greșită a zecimalelor periodice. $\frac{1}{3}=0,333\dots$, nu $0,3$. Dacă tai prea devreme, poți inversa comparația. Când împărțirea nu „iese", folosește numitorul comun, nu o zecimală aproximată.
• Înmulțirea în cruce aplicată direct la negative. Trucul cu produsele „în cruce" merge simplu doar la pozitive. La negative, treci întâi prin module, ca să nu greșești semnul concluziei.

Joc acasă

1. Cursa pe axă. Desenează pe o foaie o axă lungă de la $-2$ la $2$, cu diviziuni din $0,25$ în $0,25$. Scrie pe bilețele $8$ numere raționale amestecate (de exemplu $\frac{3}{4}$, $-\frac{5}{4}$, $0,9$, $-0,5$ etc.). Pune bilețelele, pe rând, exact la locul lor pe axă. Câștigi un punct pentru fiecare poziționare corectă. La final, citește numerele de la stânga la dreapta — ai obținut chiar șirul crescător.

2. Duelul fracțiilor. Cu un coleg sau un părinte, fiecare scrie pe un bilet o fracție (pozitivă sau negativă). Le întoarceți simultan. Câștigă cel cu numărul mai mare; trebuie să justificați cu numitor comun sau cu modul. Jucați 10 runde și țineți scorul.

3. Sortează rețeta. Ia un ambalaj de produs cu mai multe procente sau cantități scrise ca fracții și zecimale (de exemplu $\frac{1}{2}$ litru, $0,33$ l, $\frac{3}{4}$ l). Transformă-le în aceeași formă și ordonează-le crescător. Verifică apoi cu o cană gradată dacă ordinea ta se potrivește cu realitatea.

4. Reducerile din magazin. Notează cinci reduceri văzute pe etichete sau în reclame, scrise în forme diferite — de pildă $25\%$, $\frac{1}{3}$, $0,2$, „o jumătate de preț" ($\frac{1}{2}$) și $\frac{3}{8}$. Transformă-le pe toate în procente, apoi ordonează-le descrescător, de la cea mai mare reducere la cea mai mică. Astfel exersezi compararea numerelor raționale exact așa cum o vei folosi când faci cumpărături și vrei să prinzi cea mai bună ofertă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează ideea că toate numerele raționale trăiesc pe aceeași axă și se compară prin poziție. Cel mai eficient sprijin este să cereți copilului să „vadă" mereu numărul pe axă înainte de a aplica o regulă.

Întrebări utile de pus:

• „Numărul ăsta stă în stânga sau în dreapta lui zero? Deci e pozitiv sau negativ?"
• „Ca să compari aceste două fracții, ce numitor comun alegi și de ce?"
• „La cele două numere negative, care are modulul mai mare? Și atunci care e mai mic?"
• „Poți verifica rezultatul și pe alt drum (transformând în zecimală)?"

Cum verificați înțelegerea: dați un mic test cu trei tipuri de cerințe — o pereche de pozitive, o pereche de negative și o fracție comparată cu o zecimală. Dacă elevul greșește doar la negative, sursa e aproape sigur confuzia cu modulul; reluați analogia termometrului și exercițiile 4, 5, 8, 11. Dacă greșește la numitor comun, reluați aducerea la același numitor din lecțiile de divizibilitate, în special c.m.m.m.c.. Încurajați scrierea ordonată, cu semnele „$<$" și „$>$" puse corect, fără să sară pași.

Un al doilea obstacol tipic apare la formele diferite ale aceluiași număr: mulți elevi tratează $\frac{3}{4}$, $0,75$ și $75\%$ ca pe trei lucruri distincte, când de fapt sunt același număr rațional scris în trei feluri. Un exercițiu foarte util este să cereți copilului să completeze un tabel cu trei coloane (fracție, zecimală, procent) pentru câteva valori uzuale; odată ce „vede" că ele coincid, comparațiile cu procente sau cu numere mixte nu îl mai sperie. La numerele mixte, accentuați regula simplă „întâi partea întreagă, apoi fracția", dar și varianta de siguranță — transformarea în fracție improprie sau în zecimală. Scopul nu este să memoreze rețete separate pentru fiecare formă, ci să înțeleagă că, indiferent de haină, fiecare număr ocupă un singur loc pe axă, iar acel loc decide totul.

Întrebări frecvente

Cum compar două numere raționale negative la clasa a 6-a? Compari modulele lor (valorile absolute), aducându-le la numitor comun dacă e nevoie. Numărul negativ cu modulul mai mic este cel mai mare, fiindcă stă mai aproape de zero pe axă. De exemplu, $-\frac{1}{3}>-\frac{1}{2}$, deoarece $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$.

Care e mai mare, o fracție pozitivă mică sau un număr negativ mare? Întotdeauna fracția pozitivă, oricât de mică. Orice număr pozitiv stă la dreapta lui zero, iar orice negativ la stânga, deci pozitivul e mereu mai mare. Astfel $\frac{1}{1000}>-50$.

Cum aduc două fracții la același numitor pentru comparare? Alegi un numitor comun (cel mai comod, c.m.m.m.c. al numitorilor), apoi amplifici fiecare fracție până ajunge la acel numitor. După aceea compari doar numărătorii: cel mai mare numărător dă cea mai mare fracție.

Pot folosi înmulțirea în cruce ca să compar fracții? Da, dar simplu doar la fracții pozitive: compari $a\cdot d$ cu $b\cdot c$ pentru $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$. La numere negative e mai sigur să treci prin module, ca să nu încurci semnul concluziei.

Cum compar o fracție cu o fracție zecimală? Transformi una în forma celeilalte: fie împarți numărătorul la numitor pentru a obține o zecimală, fie scrii zecimala ca fracție și aduci la numitor comun. Apoi compari în aceeași formă. De exemplu $\frac{5}{8}=0,625>0,6$.

Ce înseamnă să ordonez crescător sau descrescător numere raționale? Crescător înseamnă să le așezi de la cel mai mic la cel mai mare (folosind „$<$"), iar descrescător de la cel mai mare la cel mai mic (folosind „$>$"). Practic, le transformi în aceeași formă, le compari și le scrii în șir.

De ce $-0,75$ este mai mic decât $-0,5$, deși $75>50$? Pentru că la numerele negative un modul mai mare înseamnă o poziție mai la stânga pe axă, adică un număr mai mic. $-0,75$ e mai departe de zero decât $-0,5$, deci este mai mic. E ca la temperaturi: $-7°$ e mai frig decât $-5°$.

Cum verific dacă am comparat corect? Folosește un al doilea drum: dacă ai comparat prin numitor comun, verifică transformând în zecimale (sau invers). De asemenea, poziționează numerele pe o axă desenată rapid; dacă ordinea de pe axă se potrivește cu rezultatul tău, comparația e corectă.