Adunarea și scăderea numerelor reale

Ai învățat deja să lucrezi cu radicali: știi să scoți factori de sub radical și să introduci factori sub radical. Acum vine pasul care leagă totul: adunarea și scăderea numerelor reale, inclusiv a celor care conțin radicali. Este exact tipul de calcul care apare când aduni lungimi de diagonale la un desen tehnic, când combini rezultate dintr-o problemă de geometrie sau când simplifici o expresie la un test. Vestea bună? Regula este surprinzător de simplă și seamănă perfect cu ceva ce faci de ani buni: adunarea termenilor asemenea. Hai să o descoperim împreună, pas cu pas.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști radicalii asemenea (au aceeași parte irațională) și să îi reduci.
• Vei ști să aduni și să scazi numere reale care conțin radicali.
• Vei ști să simplifici expresii de forma $\sqrt{50}-\sqrt{8}+\sqrt{2}$ aducând radicalii la aceeași formă.
• Vei ști să folosești comutativitatea și asociativitatea adunării pentru a grupa termenii inteligent.
• Vei ști să eviți greșeala clasică: „adunarea de sub radical", care nu este permisă.

Hai să descoperim împreună

1. O reamintire scurtă: ce înseamnă „termeni asemenea"

Încă din clasele anterioare ai adunat expresii cu litere. Când ai avut $3x+5x$, ai obținut $8x$, pentru că ai adunat câte $x$-uri erau: $3$ bucăți plus $5$ bucăți fac $8$ bucăți. Dar $3x+5y$ nu se poate strânge într-un singur termen, fiindcă $x$ și $y$ sunt lucruri diferite.

Cheia întregii lecții este că un radical se comportă exact ca o „literă". Numărul $\sqrt{2}$ este un număr real fix (aproximativ $1,414\dots$), dar în calcule îl tratăm ca pe o unitate de sine stătătoare, ca pe un $x$.

Gândește-te așa: $\sqrt{2}$ este ca un „măr", iar $\sqrt{3}$ este ca o „pară". Poți aduna 3 mere cu 5 mere și obții 8 mere. Dar 3 mere plus 5 pere rămân... 3 mere și 5 pere — nu le poți uni într-un singur fel de fruct.

2. Ce sunt radicalii asemenea

Definiție. Doi (sau mai mulți) radicali se numesc radicali asemenea dacă au aceeași parte irațională, adică același număr sub radical (același radicand), după ce au fost aduși la forma cea mai simplă.

De exemplu:

• $3\sqrt{2}$ și $5\sqrt{2}$ sunt asemenea — amândoi au $\sqrt{2}$.
• $-7\sqrt{5}$ și $\sqrt{5}$ sunt asemenea — amândoi au $\sqrt{5}$ (al doilea are coeficientul $1$, chiar dacă nu îl scriem).
• $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu sunt asemenea — au radicanzi diferiți.
• $4\sqrt{2}$ și $4\sqrt{3}$ nu sunt asemenea — coeficientul e același, dar partea de sub radical diferă. Contează partea irațională, nu coeficientul!

Numărul din fața radicalului se numește coeficient. În $3\sqrt{2}$, coeficientul este $3$, iar partea irațională este $\sqrt{2}$.

3. Regula de aur: reducerea radicalilor asemenea

Când aduni sau scazi radicali asemenea, aduni sau scazi coeficienții și păstrezi neschimbată partea irațională. Exact ca la termenii cu litere.

$$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(3+5)\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$

De ce funcționează? Pentru că poți da $\sqrt{2}$ factor comun (o proprietate pe care o cunoști — distributivitatea):

$$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(3+5)\cdot \sqrt{2}=8\sqrt{2}.$$

La fel la scădere:

$$9\sqrt{7}-4\sqrt{7}=(9-4)\sqrt{7}=5\sqrt{7}.$$

Foarte important — capcana numărul unu. Radicalul nu se schimbă și nu îl aduni! Este greșit să scrii $\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{4}=2$. Corect este $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

Verifică singur cu aproximări: $\sqrt{2}\approx 1,414$, deci $\sqrt{2}+\sqrt{2}\approx 2,828$. Iar $2\sqrt{2}\approx 2\cdot 1,414=2,828$. Se potrivește! În schimb $\sqrt{4}=2$, care e complet altceva. Așadar nu se adună sub radical:

$$\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}.$$

4. Când radicalii NU par asemenea... dar sunt

Aici intervine partea interesantă și cea mai utilă a lecției. Uneori doi radicali arată diferit, dar de fapt sunt asemenea — trebuie doar să îi aducem la aceeași formă prin scoaterea factorilor de sub radical (tehnică din lecția Scoaterea factorilor de sub radical).

Să privim $\sqrt{50}$ și $\sqrt{8}$. La prima vedere, radicanzii $50$ și $8$ sunt diferiți. Dar hai să îi simplificăm:

• $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}$
• $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Surpriză: amândoi „ascundeau" un $\sqrt{2}$! După simplificare, sunt radicali asemenea. Așa că:

$$\sqrt{50}-\sqrt{8}=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}.$$

Aceasta este ideea centrală a lecției: înainte de a decide dacă niște radicali sunt asemenea, îi aduci mereu la forma cea mai simplă. Mulți radicali care par străini se dovedesc rude apropiate.

5. Algoritmul complet, în trei pași

Pentru orice sumă sau diferență de numere reale cu radicali, folosește această rețetă:

Pasul 1 — Simplifică fiecare radical. Scoate toți factorii posibili de sub fiecare radical, ca să ajungi la forma minimă.

Pasul 2 — Grupează radicalii asemenea. Folosește comutativitatea (poți schimba ordinea termenilor) și asociativitatea (poți grupa termenii cum vrei) ca să aduci lângă ei termenii cu aceeași parte irațională.

Pasul 3 — Reduce fiecare grupă. Adună/scade coeficienții din fiecare grupă, păstrând partea irațională. Termenii care nu au pereche rămân așa cum sunt.

Să aplicăm rețeta pe $\sqrt{50}-\sqrt{8}+\sqrt{2}$:

• Pasul 1: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Toți sunt „de tip $\sqrt{2}$".
• Pasul 2: sunt deja împreună: $5\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}$.
• Pasul 3: adunăm coeficienții $5-2+1=4$, deci rezultatul este $4\sqrt{2}$.

$$\sqrt{50}-\sqrt{8}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$$

Atenție la ultimul termen: $\sqrt{2}$ are coeficientul $1$, nu $0$. E o greșeală frecventă să îl uiți.

6. Proprietățile adunării ne ajută

Adunarea numerelor reale păstrează proprietățile pe care le știi de la numerele raționale:

• Comutativitate: $a+b=b+a$. Ordinea termenilor nu contează. Poți muta liniștit $\sqrt{3}$ înaintea lui $2\sqrt{5}$.
• Asociativitate: $(a+b)+c=a+(b+c)$. Poți grupa cum vrei. Asta îți permite să strângi la un loc toți termenii de tip $\sqrt{2}$, apoi toți cei de tip $\sqrt{3}$ etc.

Aceste două proprietăți sunt exact motivul pentru care avem voie să rearanjăm și să grupăm termenii înainte de a-i reduce. Fără ele, „mutatul" termenilor nu ar fi corect.

De exemplu, în expresia $2\sqrt{3}+5\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}$, rearanjăm:

$$\underset{\text{grupa }\sqrt{3}}{\underbrace{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}}+\underset{\text{grupa }\sqrt{2}}{\underbrace{5\sqrt{2}+\sqrt{2}}}=\sqrt{3}+6\sqrt{2}.$$

Observă că rezultatul are doi termeni care nu se pot uni: $\sqrt{3}$ și $6\sqrt{2}$ sunt de „specii" diferite. Este perfect normal ca răspunsul final să conțină mai mulți radicali; nu tot ce începe complicat se termină cu un singur termen.

7. Radicali amestecați cu numere raționale

Numerele reale includ și numerele raționale (întregi, fracții, zecimale) alături de cele iraționale. Când într-o expresie apar și numere „obișnuite", și radicali, îi tratezi ca pe grupe separate: numerele raționale se adună între ele, radicalii asemenea se reduc între ei.

De exemplu:

$$4+2\sqrt{5}+7-3\sqrt{5}=(4+7)+(2\sqrt{5}-3\sqrt{5})=11-\sqrt{5}.$$

Numărul $11$ este rațional, iar $-\sqrt{5}$ este irațional; nu se pot combina într-un singur număr scris simplu, deci $11-\sqrt{5}$ este forma finală. Nu te grăbi să faci un singur număr din ele.

8. Un caz mai bogat, pas cu pas

Hai să rezolvăm împreună ceva mai consistent:

$$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}.$$

Pasul 1 — simplific fiecare radical. Caut cel mai mare pătrat perfect care „intră":

• $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$
• $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$
• $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$

Pasul 2 — observ că toți sunt de tip $\sqrt{3}$. Rescriu:

$$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-4\sqrt{3}.$$

Pasul 3 — reduc coeficienții: $2+3-4=1$, deci rezultatul este $1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$.

$$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}=\sqrt{3}.$$

Uimitor cât de curat iese, nu? Trei radicali care păreau fără legătură s-au dovedit toți „rude" cu $\sqrt{3}$, iar la final a rămas un singur radical simplu. Aceasta e frumusețea metodei: simplificarea scoate la iveală structura ascunsă.

9. Cum verifici singur că rezultatul e corect

Un obicei foarte sănătos, mai ales la test, este să îți verifici rezultatul cu aproximări zecimale. Numerele reale au valori concrete, iar dacă expresia inițială și cea finală reprezintă același număr, atunci și aproximările lor trebuie să coincidă.

Să luăm exemplul de mai sus, $\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}=\sqrt{3}$. Folosim $\sqrt{3}\approx 1,732$:

• Membrul stâng: $\sqrt{12}\approx 3,464$, $\sqrt{27}\approx 5,196$, $\sqrt{48}\approx 6,928$. Suma: $3,464+5,196-6,928\approx 1,732$.
• Membrul drept: $\sqrt{3}\approx 1,732$.

Se potrivesc perfect! Această verificare nu înlocuiește calculul exact, dar îți dă încredere că nu ai greșit un semn sau un coeficient. Este ca și cum ai cântări de două ori un pachet pe două cântare diferite: dacă arată la fel, probabil e corect.

10. Ce se întâmplă când rezultatul este zero

Uneori, după reducere, coeficientul final este $0$. Atunci întreaga grupă de radicali dispare, pentru că $0\cdot \sqrt{a}=0$. De exemplu:

$$\sqrt{27}+\sqrt{12}-\sqrt{75}=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=(3+2-5)\sqrt{3}=0\sqrt{3}=0.$$

Nu te speria de un rezultat egal cu zero: este un răspuns perfect valid și chiar destul de frecvent în exercițiile construite special. Înseamnă doar că termenii pozitivi și cei negativi s-au echilibrat exact.

La fel de firesc este ca după reducere să obții un coeficient negativ. De pildă:

$$\sqrt{12}-\sqrt{75}=2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=(2-5)\sqrt{3}=-3\sqrt{3}.$$

Un radical înmulțit cu un număr negativ este tot un număr real, doar că negativ (aici $-3\sqrt{3}\approx -5,2$). Nu este nicio greșeală și nu trebuie „reparat"; scădem coeficienții exact în ordinea dată, respectând semnele. Ai grijă doar să nu inversezi din neatenție scăderea: $2-5=-3$, nu $3$.

11. Ordinea de lucru pe o expresie mai lungă

Când ai multe grupe diferite, cel mai sigur e să lucrezi organizat, „pe coloane". Îți recomand să te obișnuiești să scrii sub fiecare tip de radical coeficienții lui, apoi să îi aduni separat. Ia expresia:

$$\sqrt{8}+\sqrt{75}+\sqrt{50}-\sqrt{12}.$$

Simplific fiecare radical: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Acum organizez:

• Grupa $\sqrt{2}$: $2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=7\sqrt{2}$.
• Grupa $\sqrt{3}$: $5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.

Rezultat final: $7\sqrt{2}+3\sqrt{3}$. Cele două grupe nu se amestecă, deci aceasta e forma cea mai simplă. Obiceiul de a lucra „pe coloane" te ferește de greșeli când ai patru, cinci sau mai mulți termeni.

12. Când radicalul are deja un coeficient în față

Până acum, radicalii de simplificat erau „goi", scriși fără număr în față. Dar în multe expresii întâlnești un radical care are și un coeficient, și un radicand care se poate simplifica — de exemplu $2\sqrt{18}$. Ce faci atunci? Regula este simplă și se bazează pe asociativitatea înmulțirii: simplifici întâi radicalul, apoi înmulțești coeficienții între ei.

Să urmărim pas cu pas:

$$2\sqrt{18}=2\cdot \sqrt{9\cdot 2}=2\cdot 3\sqrt{2}=(2\cdot 3)\sqrt{2}=6\sqrt{2}.$$

Coeficientul din față ($2$) și coeficientul care „iese" din radical ($3$) se înmulțesc, nu se adună. O greșeală des întâlnită este să scrii $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ (adunând $2+3$) — este greșit; corect este $2\cdot 3=6$.

Odată ce ai adus fiecare termen la forma cea mai simplă, reduci radicalii asemenea exact ca înainte. De exemplu:

$$2\sqrt{18}+\sqrt{50}-3\sqrt{2}=6\sqrt{2}+5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=(6+5-3)\sqrt{2}=8\sqrt{2}.$$

Reține deci doi pași atunci când vezi un coeficient înaintea unui radical „nesimplificat": (1) desfaci radicalul în factori și scoți ce se poate; (2) înmulțești coeficientul vechi cu cel nou. Abia apoi cauți radicalii asemenea.

13. De ce contează asta în „viața reală"

Poate te întrebi: unde voi folosi vreodată o sumă de radicali? Răspunsul te va urmări tot restul gimnaziului și liceului. De îndată ce ajungi la teorema lui Pitagora (o vei studia mai încolo, la lecția Teorema lui Pitagora), lungimile laturilor înclinate ies aproape mereu sub formă de radical. Diagonala unui pătrat cu latura $1$ este $\sqrt{2}$; diagonala unui dreptunghi, înălțimea unui triunghi echilateral — toate conțin radicali.

Când o figură geometrică este formată din mai multe astfel de segmente și vrei perimetrul total, trebuie să aduni radicali. Dacă un traseu este format din trei bucăți de $\sqrt{18}$ m, $\sqrt{8}$ m și $\sqrt{2}$ m, nu ai cum să dai un răspuns îngrijit decât reducând radicalii asemenea: $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ m. Un răspuns curat, exact, elegant — exact ce cer un matematician și un inginer. Iar dacă vrei o valoare aproximativă pentru practică, $6\sqrt{2}\approx 8,49$ m.

Ca să vezi concret cum arată, imaginează-ți o figură cu patru laturi ale căror lungimi (calculate mai devreme cu teorema lui Pitagora) sunt $\sqrt{8}$ cm, $\sqrt{27}$ cm, $\sqrt{2}$ cm și $\sqrt{12}$ cm. Perimetrul este suma lor:

$$\sqrt{8}+\sqrt{27}+\sqrt{2}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{2}+2\sqrt{3}=3\sqrt{2}+5\sqrt{3}\text{cm}.$$

Observă că perimetrul rămâne cu doi termeni: laturile „de tip $\sqrt{2}$" se strâng într-o grupă, cele „de tip $\sqrt{3}$" în alta, iar cele două grupe nu se amestecă. Un răspuns de forma $3\sqrt{2}+5\sqrt{3}$ este perfect valid pentru un perimetru — este chiar cea mai exactă formă posibilă. Dacă profesorul cere și o valoare aproximativă, calculezi $3\cdot 1,414+5\cdot 1,732\approx 4,24+8,66=12,90$ cm.

Așadar, deprinderea din această lecție nu este un truc izolat, ci o unealtă pe care o vei folosi constant la geometrie, la relații metrice și la trigonometrie. Cu cât o stăpânești mai bine acum, cu atât îți va fi mai ușor mai târziu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — reducere directă

Calculează $6\sqrt{7}+2\sqrt{7}-3\sqrt{7}$.

Rezolvare. Toți termenii au aceeași parte irațională, $\sqrt{7}$, deci sunt asemenea. Adun și scad coeficienții:

$$6+2-3=5.$$

Rezultat: $6\sqrt{7}+2\sqrt{7}-3\sqrt{7}=5\sqrt{7}.$

Exemplul 2 — simplificare înainte de reducere

Calculează $\sqrt{18}+\sqrt{2}$.

Rezolvare. Simplific primul radical: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$. Al doilea este deja simplu, $\sqrt{2}$ (coeficient $1$). Acum sunt asemenea:

$$3\sqrt{2}+\sqrt{2}=(3+1)\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$$

Rezultat: $4\sqrt{2}$.

Exemplul 3 — expresia din obiective

Calculează $\sqrt{50}-\sqrt{8}+\sqrt{2}$.

Rezolvare.

• $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$
• $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$
• $\sqrt{2}$ rămâne $\sqrt{2}$

Toți sunt de tip $\sqrt{2}$. Reduc: $5-2+1=4$.

Rezultat: $\sqrt{50}-\sqrt{8}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$

Exemplul 4 — două grupe de radicali

Calculează $\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{80}+\sqrt{5}$.

Rezolvare. Simplific fiecare radical:

• $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$
• $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$
• $\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$
• $\sqrt{5}$ rămâne $\sqrt{5}$

Toți sunt de tip $\sqrt{5}$. Reduc coeficienții:

$$2+3-4+1=2.$$

Rezultat: $2\sqrt{5}$.

Exemplul 5 — radicali de tipuri diferite

Calculează $\sqrt{8}+\sqrt{27}+\sqrt{2}-\sqrt{12}$.

Rezolvare. Simplific:

• $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
• $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
• $\sqrt{2}$ rămâne $\sqrt{2}$
• $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Grupez pe tipuri, folosind comutativitatea și asociativitatea:

$$\underset{\text{tip }\sqrt{2}}{\underbrace{(2\sqrt{2}+\sqrt{2})}}+\underset{\text{tip }\sqrt{3}}{\underbrace{(3\sqrt{3}-2\sqrt{3})}}=3\sqrt{2}+\sqrt{3}.$$

Rezultat: $3\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Cele două grupe nu se pot uni, deci aceasta este forma finală.

Exemplul 6 — cu numere raționale amestecate

Calculează $5+\sqrt{75}-2-\sqrt{3}$.

Rezolvare. Simplific radicalul: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$. Grupez separat numerele raționale și radicalii:

$$(5-2)+(5\sqrt{3}-\sqrt{3})=3+4\sqrt{3}.$$

Rezultat: $3+4\sqrt{3}$. Partea rațională ($3$) și cea irațională ($4\sqrt{3}$) rămân distincte.

Exemplul 7 — coeficient în fața unui radical nesimplificat

Calculează $2\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{8}$.

Rezolvare. Aici primul termen are deja coeficientul $2$, dar radicalul $\sqrt{18}$ se mai poate simplifica. Simplific fiecare termen, înmulțind coeficienții acolo unde e cazul:

• $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ (atenție: $2\cdot 3=6$, nu $2+3$)
• $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
• $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Toți sunt de tip $\sqrt{2}$. Reduc coeficienții:

$$6\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(6+5-2)\sqrt{2}=9\sqrt{2}.$$

Rezultat: $9\sqrt{2}$.

Exemplul 8 — totul la un loc: raționale și două tipuri de radical

Calculează $10-3\sqrt{2}+\sqrt{48}+5\sqrt{2}-\sqrt{27}-4$.

Rezolvare. Simplific radicalii care se pot simplifica: $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ și $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. Grupez apoi pe trei categorii — numere raționale, termeni de tip $\sqrt{2}$ și termeni de tip $\sqrt{3}$:

• Raționale: $10-4=6$.
• Tip $\sqrt{2}$: $-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
• Tip $\sqrt{3}$: $4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$.

Adun cele trei rezultate, care nu se mai pot combina între ele:

$$6+2\sqrt{2}+\sqrt{3}.$$

Rezultat: $6+2\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Trei „specii" diferite, trei termeni în răspunsul final — perfect corect.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Sunt gradate de la ușor la greu.

1. Calculează $4\sqrt{3}+5\sqrt{3}$.
2. Calculează $9\sqrt{2}-6\sqrt{2}$.
3. Calculează $7\sqrt{5}+\sqrt{5}-3\sqrt{5}$.
4. Simplifică $\sqrt{8}$ și apoi calculează $\sqrt{8}+3\sqrt{2}$.
5. Calculează $\sqrt{12}+\sqrt{3}$.
6. Calculează $\sqrt{50}-\sqrt{2}$.
7. Calculează $\sqrt{45}-\sqrt{20}$.
8. Calculează $\sqrt{18}+\sqrt{32}-\sqrt{2}$.
9. Calculează $\sqrt{27}+\sqrt{12}-\sqrt{75}$.
10. Calculează $2\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+4\sqrt{3}$.
11. Calculează $\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{3}-\sqrt{27}$.
12. Calculează $6+\sqrt{48}-1-\sqrt{3}$.
13. Adevărat sau fals, cu justificare: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=\sqrt{25}$.
14. Adevărat sau fals, cu justificare: $\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
15. Calculează $\sqrt{200}-\sqrt{98}+\sqrt{8}$.
16. Problemă aplicată. Un desen tehnic are trei segmente lipite cap la cap, de lungimi $\sqrt{72}$ cm, $\sqrt{50}$ cm și $\sqrt{2}$ cm. Ce lungime totală (sub formă de radical simplificat) are figura?
17. Găsește numărul real $x$ astfel încât $x+\sqrt{27}=5\sqrt{3}$.
18. Raționament. Se dau $a=\sqrt{12}+\sqrt{3}$ și $b=\sqrt{48}-\sqrt{3}$. Arată că $a=b$.
19. Calculează $\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{32}$ și verifică rezultatul prin aproximare zecimală ($\sqrt{2}\approx 1,414$).
20. Problemă aplicată. Trei jucători de baschet aleargă pe diagonalele unor terenuri pătrate. Diagonala unui pătrat cu latura $\ell$ este $\ell \sqrt{2}$. Primul aleargă pe diagonala unui pătrat cu latura $4$ m, al doilea pe a unuia cu latura $7$ m, iar al treilea pe a unuia cu latura $2$ m. Ce distanță totală, sub formă de radical, parcurg împreună?
21. Găsește numărul real $y$ astfel încât $\sqrt{50}-y=\sqrt{2}$.
22. Calculează $2\sqrt{12}+\sqrt{75}$ (atenție la coeficientul din față!).
23. Calculează $3\sqrt{8}-\sqrt{50}+4$.
24. Calculează $5\sqrt{2}+\sqrt{18}-\sqrt{8}+3\sqrt{3}-\sqrt{12}$.

Răspunsuri și explicații

1. $9\sqrt{3}$. Radicali asemenea: $4+5=9$, păstrez $\sqrt{3}$.
2. $3\sqrt{2}$. $9-6=3$.
3. $5\sqrt{5}$. Coeficienți: $7+1-3=5$ (nu uita coeficientul $1$ la $\sqrt{5}$).
4. $5\sqrt{2}$. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
5. $3\sqrt{3}$. $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.
6. $4\sqrt{2}$. $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, deci $5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.
7. $\sqrt{5}$. $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, deci $3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}$.
8. $6\sqrt{2}$. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$, deci $3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.
9. $0$. $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$; atunci $3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=0\cdot \sqrt{3}=0$.
10. $\sqrt{5}+5\sqrt{3}$. Grupez: $(2\sqrt{5}-\sqrt{5})+(\sqrt{3}+4\sqrt{3})=\sqrt{5}+5\sqrt{3}$.
11. $5\sqrt{2}-2\sqrt{3}$. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$; atunci $(2\sqrt{2}+3\sqrt{2})+(\sqrt{3}-3\sqrt{3})=5\sqrt{2}-2\sqrt{3}$.
12. $5+3\sqrt{3}$. $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$; grupez rațional și irațional: $(6-1)+(4\sqrt{3}-\sqrt{3})=5+3\sqrt{3}$.
13. Fals. $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$, iar $\sqrt{25}=5$. Cum $7\ne 5$, egalitatea e falsă. Concluzie: nu ai voie să aduni sub radical, adică $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$.
14. Adevărat. Sunt trei termeni asemenea de câte $\sqrt{2}$: $1+1+1=3$, deci $3\sqrt{2}$.
15. $5\sqrt{2}$. $\sqrt{200}=10\sqrt{2}$, $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$; atunci $10\sqrt{2}-7\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
16. $12\sqrt{2}$ cm. $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$, $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ rămâne; suma: $6\sqrt{2}+5\sqrt{2}+\sqrt{2}=12\sqrt{2}$ cm.
17. $x=2\sqrt{3}$. $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, deci $x=5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
18. $a=b=3\sqrt{3}$. Pentru $a$: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $a=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$. Pentru $b$: $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, deci $b=4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$. Cum $a=3\sqrt{3}$ și $b=3\sqrt{3}$, rezultă $a=b$. Ideea: două expresii care arată complet diferit pot fi, după simplificare, exact același număr real.
19. $9\sqrt{2}$. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$; suma coeficienților $2+3+4=9$. Verificare: $9\sqrt{2}\approx 9\cdot 1,414=12,726$, iar $2,828+4,243+5,657\approx 12,728$ — se potrivește.
20. $13\sqrt{2}$ m. Diagonalele sunt $4\sqrt{2}$, $7\sqrt{2}$ și $2\sqrt{2}$ metri; suma: $4\sqrt{2}+7\sqrt{2}+2\sqrt{2}=13\sqrt{2}$ m.
21. $y=4\sqrt{2}$. $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, deci $y=5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.
22. $9\sqrt{3}$. $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $2\sqrt{12}=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$; $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$; atunci $4\sqrt{3}+5\sqrt{3}=9\sqrt{3}$ ($2\cdot 2=4$, apoi $4+5=9$: coeficienții din față se înmulțesc, iar radicalii asemenea se adună).
23. $4+\sqrt{2}$. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $3\sqrt{8}=3\cdot 2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$; $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$; atunci $6\sqrt{2}-5\sqrt{2}=\sqrt{2}$, iar cu numărul rațional: $4+\sqrt{2}$.
24. $6\sqrt{2}+\sqrt{3}$. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$; grupez: $(5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2})+(3\sqrt{3}-2\sqrt{3})=6\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

De reținut

• Radicalii asemenea au aceeași parte irațională (același radicand după simplificare). Doar ei se pot reduce.
• Regula de reducere: $m\sqrt{a}\pm n\sqrt{a}=(m\pm n)\sqrt{a}$ — aduni/scazi coeficienții, păstrezi radicalul.
• Simplifică întâi! Scoate factorii de sub radical înainte de a decide cine e asemenea cu cine: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
• Nu se adună sub radical: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$.
• Comutativitatea și asociativitatea îți permit să rearanjezi și să grupezi termenii pe tipuri înainte de a-i reduce.
• Coeficient în fața unui radical nesimplificat: simplifică radicalul, apoi înmulțește coeficienții (nu îi aduna): $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Greșeli frecvente

• „Adunarea sub radical." $\sqrt{2}+\sqrt{3}\ne \sqrt{5}$ și $\sqrt{2}+\sqrt{2}\ne \sqrt{4}$. Verifică rapid cu aproximări: $\sqrt{2}+\sqrt{2}\approx 2,83$, iar $\sqrt{4}=2$ — clar diferite. Corect: $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
• Uitarea coeficientului $1$. În $\sqrt{5}$ coeficientul este $1$, nu $0$. La $2\sqrt{5}-\sqrt{5}$ răspunsul este $\sqrt{5}$, nu $2\sqrt{5}$.
• Reducerea unor radicali care nu sunt asemenea. $3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$ nu se poate simplifica; rămâne exact așa. Nu forța un singur termen când sunt „specii" diferite.
• Omiterea simplificării. Dacă nu simplifici întâi, ratezi faptul că $\sqrt{18}$ și $\sqrt{2}$ sunt asemenea. Scoaterea factorilor este pasul care dezvăluie rudele ascunse.

Aplică acasă

• Măsurători și diagonale. Ia o coală A4 și o coală pătrată. Diagonala unui pătrat cu latura $a$ este $a\sqrt{2}$. Dacă lipești două pătrate cu laturile $3$ cm și $5$ cm cap la cap pe diagonală, lungimea totală a diagonalelor este $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ cm $\approx 11,3$ cm. Verifică cu rigla!
• Fabrică de exerciții. Alege un radical simplu, de exemplu $\sqrt{3}$, și „ascunde-l" în radicanzi mai mari: $\sqrt{12},\sqrt{27},\sqrt{48},\sqrt{75}$. Compune apoi o sumă cu semne la alegere și cere unui coleg sau părinte să o simplifice. Compară rezultatele.
• Verificarea cu calculatorul. După ce reduci o expresie, compară valoarea inițială și cea finală cu un calculator (ex.: $\sqrt{50}-\sqrt{8}+\sqrt{2}$ vs. $4\sqrt{2}$). Trebuie să iasă același număr — o dovadă bună că metoda ta e corectă.
• Perimetre cu radicali. Desenează pe caiet un pătrat cu latura $2$ cm și unul cu latura $3$ cm. Diagonalele lor sunt $2\sqrt{2}$ cm și $3\sqrt{2}$ cm. Dacă parcurgi ambele diagonale, distanța totală este $2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\approx 7,07$ cm. Măsoară cu rigla suma celor două diagonale și vezi cât de aproape ești de valoarea calculată — e o mică demonstrație că radicalii sunt numere reale foarte concrete.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează ideea că un radical se tratează ca un termen algebric (ca un „$x$"), iar reducerea radicalilor asemenea este identică cu reducerea termenilor asemenea învățată anterior. Sprijinul cel mai util este să insistați pe primul pas — simplificarea fiecărui radical — pentru că acolo se ascunde toată dificultatea reală; restul e adunare de coeficienți.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „De ce nu ai voie să scrii $\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{4}$?" (Răspuns bun: pentru că $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$; se poate verifica prin aproximări.)
• „Cum știi dacă doi radicali sunt asemenea?" (Răspuns bun: îi simplifici întâi și compari partea de sub radical.)
• „Cât e coeficientul lui $\sqrt{5}$?" (Răspuns: $1$.)

Semne că elevul a înțeles: simplifică automat fiecare radical înainte de a aduna, nu forțează combinarea unor radicali diferiți și obține corect răspunsuri cu doi termeni (de tip $3\sqrt{2}+\sqrt{3}$) fără să încerce să îi „strângă" cu forța într-unul singur.

Întrebări frecvente

Cum se adună radicalii la clasa a 7-a? Se adună doar radicalii asemenea (cu aceeași parte irațională, după simplificare): aduni coeficienții și păstrezi radicalul. De exemplu, $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$. Radicalii care nu sunt asemenea nu se pot uni.

Ce sunt radicalii asemenea? Sunt radicalii care au același număr sub radical (același radicand) după ce au fost aduși la forma cea mai simplă. De exemplu, $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ și $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ sunt asemenea, pentru că amândoi conțin $\sqrt{2}$.

De ce $\sqrt{2}+\sqrt{2}$ nu este $\sqrt{4}$? Pentru că adunarea nu intră sub radical: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$. Corect, $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\approx 2,83$, în timp ce $\sqrt{4}=2$. Sunt numere diferite.

Cum rezolv $\sqrt{50}-\sqrt{8}+\sqrt{2}$? Simplifici fiecare radical: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Toți sunt de tip $\sqrt{2}$, deci reduci coeficienții: $5-2+1=4$, iar rezultatul este $4\sqrt{2}$.

Ce fac dacă radicalii nu sunt asemenea? Îi lași ca atare — nu se pot combina. De exemplu, $3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$ este deja forma finală. Un răspuns cu mai mulți termeni este perfect corect.

Trebuie să simplific radicalii înainte de a-i aduna? Da, întotdeauna. Simplificarea (scoaterea factorilor de sub radical) scoate la iveală radicalii asemenea care păreau diferiți, cum sunt $\sqrt{18}$ și $\sqrt{2}$, ambii de tip $\sqrt{2}$.

Ce coeficient are un radical scris fără număr în față, ca $\sqrt{5}$? Coeficientul este $1$. Deci $\sqrt{5}$ înseamnă $1\cdot \sqrt{5}$, iar la calcule îl numeri ca o unitate: $4\sqrt{5}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}$.

Se pot aduna un număr rațional și un radical? Nu într-un singur număr simplu. De exemplu, $3+\sqrt{2}$ rămâne așa, pentru că $3$ este rațional, iar $\sqrt{2}$ este irațional. Aduni raționalele între ele și radicalii asemenea între ei, separat.

Ce fac dacă radicalul are deja un coeficient, ca $2\sqrt{18}$? Simplifici întâi radicalul, apoi înmulțești coeficienții între ei: $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$. Atenție, coeficienții se înmulțesc ($2\cdot 3=6$), nu se adună. Abia după aceea cauți radicalii asemenea cu care poți reduce.

Contează ordinea în care fac operațiile într-o sumă lungă de radicali? Nu, datorită comutativității și asociativității adunării poți rearanja și grupa termenii cum îți este mai comod. Recomandarea este să lucrezi „pe coloane": strângi toți termenii de tip $\sqrt{2}$, apoi pe cei de tip $\sqrt{3}$ și așa mai departe, iar la final aduni fiecare grupă separat.