Înmulțirea numerelor reale cu radicali

Când calculezi aria unui teren dreptunghiular ale cărui laturi sunt exprimate prin radicali, sau când vrei să afli lungimea diagonalei unui pătrat, ajungi inevitabil să înmulțești numere care conțin semnul  ​. Vestea bună este că înmulțirea radicalilor este chiar mai simplă și mai directă decât adunarea lor: nu ai nevoie ca numerele de sub radical să fie la fel. În lecția de față vei descoperi o regulă scurtă și elegantă — $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ — și vei învăța să o folosești pentru a calcula produse de forma $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}$, apoi să simplifici rezultatul până la cea mai frumoasă formă. Este o piesă esențială din operațiile cu numere reale la clasa a VII-a, pe care o vei folosi mai departe la raționalizare, la teorema lui Pitagora și la trigonometrie.

Ce vei învăța

• Vei ști să înmulțești doi radicali folosind regula $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ pentru numere pozitive.
• Vei ști să înmulțești un număr rațional cu un radical și să scrii corect rezultatul.
• Vei ști să calculezi produse de forma $(a\sqrt{b})\cdot (c\sqrt{d})$, cum ar fi $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}$.
• Vei ști să folosești cazul special $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$ (radicalul ridicat la pătrat).
• Vei ști să simplifici rezultatul, scoțând factorii de sub radical până la forma cea mai simplă.
• Vei ști să înmulțești un radical cu o sumă de radicali, folosind distributivitatea.

Hai să descoperim împreună

De ce funcționează regula produsului

Îți amintești din lecțiile trecute că, pentru un număr pozitiv $a$, simbolul $\sqrt{a}$ înseamnă acel număr pozitiv care, ridicat la pătrat, dă $a$. Cu alte cuvinte, ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$. Această idee este cheia care deschide toată lecția de azi.

Înainte de a merge mai departe, să fixăm limbajul. Într-o scriere de forma $a\sqrt{b}$, numărul $a$ din față se numește coeficient, iar numărul $b$ de sub semnul radical se numește radicand (adică „numărul de sub radical"). De exemplu, în $3\sqrt{7}$ coeficientul este $3$, iar radicandul este $7$. Când scriem doar $\sqrt{5}$, se subînțelege că avem coeficientul $1$: $\sqrt{5}=1\cdot \sqrt{5}$. Aceste cuvinte te vor ajuta să urmărești mai ușor pașii de mai jos, fiindcă în tot restul lecției vom vorbi despre „ce facem cu coeficienții" și „ce facem cu radicanzii".

Să pornim de la o întrebare simplă: cât face $\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}$? Aici putem verifica direct, fiindcă amândouă sunt rădăcini de pătrate perfecte. Avem $\sqrt{4}=2$ și $\sqrt{9}=3$, deci

$$\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6.$$

Pe de altă parte, ce se întâmplă dacă înmulțim mai întâi numerele de sub radical? Obținem $4\cdot 9=36$, iar $\sqrt{36}=6$. Surprinzător (sau nu), am ajuns la același rezultat:

$$\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=6=\sqrt{36}=\sqrt{4\cdot 9}.$$

Nu este o coincidență. Așa se comportă întotdeauna radicalii numerelor pozitive. Regula generală este:

$$\boxed{\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}}\text{pentru orice }a\ge 0\text{ și }b\ge 0.$$

În cuvinte: produsul a doi radicali este radicalul produsului. Numerele de sub cei doi radicali „se adună sub același acoperiș" prin înmulțire.

Să mai facem o verificare, ca să prindem încredere. Cât face $\sqrt{16}\cdot \sqrt{25}$? Pe de o parte, $\sqrt{16}=4$ și $\sqrt{25}=5$, deci produsul este $4\cdot 5=20$. Pe de altă parte, regula spune $\sqrt{16}\cdot \sqrt{25}=\sqrt{16\cdot 25}=\sqrt{400}=20$. Din nou același rezultat. Poți încerca oricâte perechi de pătrate perfecte vrei — regula nu dă niciodată greș. Diferența este că regula funcționează și când numerele nu sunt pătrate perfecte, adică tocmai acolo unde nu poți calcula radicalii „în minte". De pildă $\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{10}$: nici $\sqrt{2}$, nici $\sqrt{5}$, nici $\sqrt{10}$ nu sunt numere raționale, dar egalitatea este perfect valabilă. Exact aici este forța regulii: îți dă un rezultat corect fără să fii nevoit să afli valorile zecimale.

De ce este adevărat? Iată justificarea, pe înțelesul unui elev de clasa a VII-a. Notează cu $p=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$. Numărul $p$ este pozitiv (produs de două numere pozitive). Ridicăm $p$ la pătrat și folosim faptul că înmulțirea este comutativă și asociativă (putem rearanja factorii cum vrem):

$$p^2={\left(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\right)}^2=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\cdot \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}={\left(\sqrt{a}\right)}^2\cdot {\left(\sqrt{b}\right)}^2=a\cdot b.$$

Deci $p$ este un număr pozitiv al cărui pătrat este $a\cdot b$. Dar exact asta înseamnă radicalul: $p=\sqrt{a\cdot b}$. Am demonstrat regula. Reține pașii, pentru că aceeași idee — „ridic la pătrat și văd ce iese" — te ajută să înțelegi de ce sunt corecte multe formule cu radicali.

Un avantaj față de adunare

Merită să te oprești o clipă asupra unei diferențe importante. La adunarea și scăderea numerelor reale (lecția anterioară) ai văzut că poți combina doar radicalii asemenea, adică cei care au același număr sub radical: $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$, dar $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ rămâne așa cum e. La înmulțire, condiția aceasta dispare. Poți înmulți $\sqrt{2}$ cu $\sqrt{3}$ fără nicio problemă:

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{2\cdot 3}=\sqrt{6}.$$

Ține minte contrastul: la adunare radicalii trebuie să fie la fel; la înmulțire pot fi diferiți. Este una dintre cele mai frecvente confuzii, iar tu tocmai ai eliminat-o.

Ca să vezi cât de diferite sunt cele două operații, compară-le pe aceleași numere. La adunare, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ nu se poate simplifica: cele două numere sunt iraționale și diferite, așa că rămâne pur și simplu $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ (o sumă pe care o poți doar aproxima zecimal, aproximativ $1,41+1,73=3,14$). La înmulțire, aceleași numere se combină imediat: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$, un singur radical curat. Deci nu doar că poți înmulți radicali diferiți, dar chiar obții mereu o formă mai compactă. Reține imaginea: înmulțirea „strânge" radicalii într-unul singur, pe când adunarea îi lasă separați dacă sunt diferiți.

Înmulțirea unui număr rațional cu un radical

Uneori nu înmulțești doi radicali, ci un număr obișnuit (rațional) cu un radical. De exemplu, $3\cdot \sqrt{5}$. Ce faci aici? De fapt, nimic special: pur și simplu le scrii alături, coeficientul în față și radicalul după el:

$$3\cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}.$$

Nu poți „băga" pe $3$ sub radical direct ca factor simplu, pentru că $3$ nu este sub radical. (Dacă vrei totuși să-l introduci sub radical, folosești tehnica din lecția Introducerea factorilor sub radical: $3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$. Aici $3$ se ridică la pătrat înainte de a intra sub radical.) Pentru înmulțirea de azi însă, forma $3\sqrt{5}$ este deja rezultatul final, curat și corect.

Ce se întâmplă când ai mai mulți coeficienți? De pildă $2\cdot 4\cdot \sqrt{7}$. Îi înmulțești pe cei raționali între ei și lași radicalul: $2\cdot 4\cdot \sqrt{7}=8\sqrt{7}$.

Cazul special: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$

Există o situație pe care o vei întâlni la tot pasul: un radical înmulțit cu el însuși. Folosind regula produsului cu $b=a$:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=\sqrt{a\cdot a}=\sqrt{a^2}=a(\text{pentru }a\ge 0).$$

Așadar $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$. Radicalul „dispare" și rămâne numărul de sub el. Acesta nu este decât ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$, scris altfel. Câteva exemple utile:

$$\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7,\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2,\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}=13.$$

Reține acest tipar: de fiecare dată când vezi două rădăcini identice înmulțite, ele „se anulează" și rămâne numărul de sub ele. Îl vei folosi masiv la lecția de raționalizare a numitorului, unde tocmai acest truc face ca radicalii din numitor să dispară.

Produse de forma $(a\sqrt{b})\cdot (c\sqrt{d})$ — inima lecției

Acum ajungem la tipul cel mai des întâlnit de exercițiu: un produs în care fiecare factor are un coeficient (numărul din față) și un radical. De exemplu $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}$. Cum procedezi ordonat?

Ideea este să grupezi separat coeficienții și separat radicalii, folosind comutativitatea înmulțirii (putem schimba ordinea factorilor). Regula, scrisă general, este:

$$\boxed{a\sqrt{b}\cdot c\sqrt{d}=(a\cdot c)\cdot \sqrt{b\cdot d}}$$

Cu alte cuvinte: coeficienții se înmulțesc între ei, radicalii se înmulțesc între ei (după regula $\sqrt{b}\cdot \sqrt{d}=\sqrt{b\cdot d}$). Hai să vedem pas cu pas produsul de mai sus:

Pasul 1 — grupăm. Scriem $$2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}=(2\cdot 5)\cdot (\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}).$$

Pasul 2 — înmulțim coeficienții. $2\cdot 5=10$.

Pasul 3 — înmulțim radicalii. $\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{3\cdot 6}=\sqrt{18}$.

Pasul 4 — punem la un loc. Am obținut $10\sqrt{18}$.

Suntem gata? Aproape. Rezultatul $10\sqrt{18}$ este corect, dar nu este în forma cea mai simplă, pentru că $18$ conține un pătrat perfect: $18=9\cdot 2$. Trebuie să mai facem un pas.

Pasul 5 — simplificăm. Scoatem factorul de sub radical (tehnica din lecția Scoaterea factorilor de sub radical): $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$. Prin urmare:

$$10\sqrt{18}=10\cdot 3\sqrt{2}=30\sqrt{2}.$$

Rezultatul final, curat, este $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}=30\sqrt{2}$.

De ce ai voie să grupezi așa? Poate te întrebi de ce e corect să „desparți" coeficienții de radicali. Motivul stă în două proprietăți simple ale înmulțirii, pe care le știi din anii trecuți: înmulțirea este comutativă (poți schimba ordinea factorilor) și asociativă (poți grupa factorii cum vrei). Produsul $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}$ înseamnă, de fapt, patru factori înmulțiți: $2\cdot \sqrt{3}\cdot 5\cdot \sqrt{6}$. Rearanjăm factorii ca să stea numerele raționale împreună și radicalii împreună: $2\cdot 5\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}$. Apoi grupăm: $(2\cdot 5)\cdot (\sqrt{3}\cdot \sqrt{6})$. Nimic nu s-a schimbat în valoarea produsului — doar am pus lucrurile în ordinea care ne convine. De aceea metoda „coeficienți separat, radicali separat" este garantat corectă, nu doar o rețetă memorată.

Observă cât de important este ultimul pas. Multe exerciții de la clasă și de la test sunt gândite tocmai așa: după ce înmulțești, rezultatul de sub radical conține un pătrat perfect (4, 9, 16, 25, 36...) care trebuie scos. Dacă te oprești la $10\sqrt{18}$, răspunsul este corect matematic, dar incomplet ca formă — iar la lucrare se punctează forma simplificată. Deci obișnuiește-te să te întrebi mereu, la final: „Mai pot scoate ceva de sub radical?"

O ordine practică a pașilor

Ca să nu te pierzi, iată rețeta pe care o poți aplica la orice produs de radicali cu coeficienți:

1. Înmulțește coeficienții între ei (numerele din față).
2. Înmulțește radicalii între ei, adunându-i sub același radical: $\sqrt{b}\cdot \sqrt{d}=\sqrt{bd}$.
3. Simplifică radicalul obținut, scoțând orice pătrat perfect de sub el.
4. Verifică: mai există vreun pătrat perfect sub radical? Dacă nu, ai terminat.

Această ordine funcționează și când sunt trei sau mai mulți factori. De exemplu, $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6$. Toate numerele intră sub același radical, apoi verifici dacă rezultatul e pătrat perfect.

Un truc care îți scurtează munca

Uneori e mai deștept să simplifici înainte de a duce calculul până la capăt, mai ales dacă vezi de la început perechi de radicali identici. Ia produsul $3\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}$. Ai putea face $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{4}=2$ direct, fiindcă e cazul special $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$. Atunci:

$$3\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=(3\cdot 4)\cdot (\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})=12\cdot 2=24.$$

Nici urmă de radical în rezultat! Ori de câte ori cei doi radicali sunt la fel, produsul lor se transformă într-un număr rațional și radicalul dispare. Fii atent la aceste situații — îți economisesc timp și te feresc de greșeli.

Și încă un exemplu de „scurtătură prin observație": $\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}$. În loc să simplifici întâi pe $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, poți merge direct: $\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{16}=4$. Uneori regula produsului duce chiar la un pătrat perfect frumos. Antrenează-ți ochiul să observe astfel de oportunități.

Când rezultatul rămâne irațional și când devine rațional

O întrebare firească este: de unde știu dinainte dacă produsul va avea radical în răspuns sau nu? Iată un ghid practic. După ce înmulțești totul sub un singur radical, uită-te la numărul obținut:

• Dacă acel număr este pătrat perfect ($4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,\dots$), atunci radicalul dispare și rezultatul este un număr rațional (de obicei întreg). Exemplu: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$.
• Dacă numărul nu este pătrat perfect, dar are un factor pătrat, atunci scoți ce se poate și rămâne un radical mai mic. Exemplu: $\sqrt{6}\cdot \sqrt{10}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$.
• Dacă numărul nu are niciun factor pătrat perfect (în afară de 1), rezultatul rămâne un radical „pur". Exemplu: $\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{15}$.

Această clasificare te ajută să-ți verifici singur răspunsul: dacă ai obținut, să zicem, $\sqrt{15}$, dar ai bănuiala că ar trebui să iasă un număr întreg, verifici dacă $15$ e pătrat perfect — nu este, deci $\sqrt{15}$ este corect ca formă finală.

Înmulțirea unui radical cu o sumă de radicali

Uneori nu ai un singur radical în paranteză, ci o sumă pe care trebuie să o înmulțești cu un factor, de forma $\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{8}+\sqrt{18}\right)$. Aici intervine o proprietate pe care o cunoști deja de la numerele întregi: distributivitatea înmulțirii față de adunare. Ea spune că înmulțești factorul din față cu fiecare termen din paranteză, apoi aduni rezultatele. Exact ca la $3\cdot (4+5)=3\cdot 4+3\cdot 5$, doar că acum termenii din paranteză sunt radicali:

$$\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{8}+\sqrt{18}\right)=\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{18}=\sqrt{16}+\sqrt{36}=4+6=10.$$

Observă cum fiecare produs în parte se rezolvă cu regula de bază a lecției ($\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$), iar la final aduni numerele obținute. Este pur și simplu regula produsului aplicată de două ori, plus o adunare la sfârșit.

Atenție însă la o capcană des întâlnită: nu ai voie să „bagi" adunarea din paranteză sub un singur radical. Cu alte cuvinte, $\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{8}+\sqrt{18}\right)$ nu este $\sqrt{2\cdot (8+18)}$. Radicalul „intră" peste înmulțire, dar nu peste adunare — de aceea distributivitatea îți cere să înmulțești termen cu termen, nu să comasezi totul dintr-un foc. Dacă ții minte acest lucru, vei rezolva corect orice produs cu paranteză.

O situație din viața reală

Ca să vezi la ce folosește toată această mașinărie, imaginează-ți că proiectezi o mică grădină dreptunghiulară. Din calcule (de exemplu, dintr-o condiție geometrică pe care o vei întâlni la teorema lui Pitagora), a ieșit că o latură măsoară $2\sqrt{3}$ metri, iar cealaltă $5\sqrt{6}$ metri. Vrei să afli câți metri pătrați de gazon îți trebuie, adică aria. Aria dreptunghiului este produsul laturilor, deci exact calculul-vedetă al lecției:

$$A=2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}=30\sqrt{2}{\text{m}}^2.$$

Dacă vrei o valoare practică, aproximezi $\sqrt{2}\approx 1,41$, deci $A\approx 30\cdot 1,41=42,3{\text{m}}^2$. Iată de ce merită să știi să înmulțești radicali: forma exactă $30\sqrt{2}$ este scurtă și precisă pentru calcule ulterioare, iar din ea obții imediat și aproximarea zecimală de care ai nevoie ca să comanzi gazonul. În matematica reală, ambele forme au valoarea lor: cea exactă pentru raționamente, cea zecimală pentru viață.

Cuvânt de atenție: doar numere pozitive

Toată lecția vorbește despre radicali de numere pozitive (sau zero). La clasa a VII-a nu se pune problema rădăcinii pătrate dintr-un număr negativ — $\sqrt{-5}$ nu are sens în mulțimea numerelor reale. Regula $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ este garantată corect exact pentru $a\ge 0$ și $b\ge 0$. Reține condiția: e importantă și te ferește de capcane pe care le vei înțelege pe deplin în anii următori.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — regula de bază. Calculează $\sqrt{5}\cdot \sqrt{7}$.

Aplicăm direct regula produsului: $$\sqrt{5}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{5\cdot 7}=\sqrt{35}.$$ Numărul $35=5\cdot 7$ nu conține niciun pătrat perfect (afară de 1), deci $\sqrt{35}$ este forma finală. Răspuns: $\sqrt{35}$.

Exemplul 2 — rezultatul se simplifică. Calculează $\sqrt{6}\cdot \sqrt{10}$.

Adunăm numerele sub același radical: $$\sqrt{6}\cdot \sqrt{10}=\sqrt{6\cdot 10}=\sqrt{60}.$$ Acum verificăm dacă $60$ are un factor pătrat perfect: $60=4\cdot 15$, iar $4$ este pătrat perfect. Scoatem factorul: $$\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{15}=2\sqrt{15}.$$ Răspuns: $\sqrt{6}\cdot \sqrt{10}=2\sqrt{15}$.

Exemplul 3 — coeficienți și radicali diferiți. Calculează $4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{5}$.

Grupăm coeficienții și radicalii: $$4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{5}=(4\cdot 2)\cdot (\sqrt{3}\cdot \sqrt{5})=8\cdot \sqrt{15}=8\sqrt{15}.$$ Numărul $15=3\cdot 5$ nu are factor pătrat perfect, deci ne oprim. Răspuns: $8\sqrt{15}$.

Exemplul 4 — produsul-vedetă cu simplificare. Calculează $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}$.

Pasul 1: coeficienții $\to 2\cdot 5=10$. Pasul 2: radicalii $\to \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{18}$. Reunim: $10\sqrt{18}$. Pasul 3: simplificăm, fiindcă $18=9\cdot 2$: $$10\sqrt{18}=10\cdot \sqrt{9\cdot 2}=10\cdot 3\sqrt{2}=30\sqrt{2}.$$ Răspuns: $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}=30\sqrt{2}$.

Exemplul 5 — radicalul la pătrat. Calculează $5\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}$.

Aici cei doi radicali sunt identici, deci se aplică $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$: $$5\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=(5\cdot 2)\cdot (\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})=10\cdot 2=20.$$ Radicalul dispare complet. Răspuns: $20$ (un număr rațional!).

Exemplul 6 — doi radicali și un rezultat surprinzător de curat. Calculează $\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}$.

Adunăm sub același radical: $$\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{144}.$$ Dar $144$ este pătrat perfect: $144=12^2$. Prin urmare $\sqrt{144}=12$. Răspuns: $\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}=12$.

(Verificare pe altă cale: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ și $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, deci $2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=6\cdot 2=12$. Același rezultat — regula funcționează oricum ai lua-o.)

Exemplul 7 — număr rațional înmulțit cu radical. Calculează $6\cdot 4\sqrt{5}$.

Aici $6$ este un număr rațional, iar $4\sqrt{5}$ are coeficientul $4$. Coeficienții se înmulțesc între ei, radicalul rămâne neschimbat: $$6\cdot 4\sqrt{5}=(6\cdot 4)\sqrt{5}=24\sqrt{5}.$$ Numărul $5$ nu are factor pătrat perfect, deci $24\sqrt{5}$ este forma finală. Răspuns: $24\sqrt{5}$.

Exemplul 8 — aplicație geometrică. Un dreptunghi are lungimea $3\sqrt{10}$ cm și lățimea $\sqrt{10}$ cm. Care este aria lui?

Aria unui dreptunghi este produsul dimensiunilor: $$A=3\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=3\cdot (\sqrt{10}\cdot \sqrt{10})=3\cdot 10=30.$$ Radicalul dispare pentru că am înmulțit $\sqrt{10}$ cu $\sqrt{10}$. Răspuns: aria este $30{\text{cm}}^2$.

Exemplul 9 — înmulțire cu o paranteză (distributivitate). Calculează $\sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{3}+\sqrt{12}\right)$.

Înmulțim factorul $\sqrt{3}$ cu fiecare termen din paranteză, apoi adunăm: $$\sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{3}+\sqrt{12}\right)=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=3+\sqrt{36}=3+6=9.$$ Primul produs a folosit cazul special $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$, iar al doilea regula produsului. Răspuns: $9$.

Să exersăm

Rezolvă și scrie de fiecare dată rezultatul în forma cea mai simplă (scoate factorii de sub radical acolo unde se poate).

1. $\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}$
2. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{11}$
3. $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}$
4. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}$
5. $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}$
6. $2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}$
7. $\sqrt{10}\cdot \sqrt{15}$
8. $3\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}$
9. $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}$
10. $7\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$
11. $\sqrt{12}\cdot \sqrt{27}$
12. ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2$
13. Un dreptunghi are lungimea $\sqrt{27}$ cm și lățimea $\sqrt{12}$ cm. Calculează aria lui.
14. Adevărat sau fals, cu justificare: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{5}$.
15. Adevărat sau fals, cu justificare: $\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=\sqrt{36}$.
16. Calculează $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}$.
17. Un pătrat are latura $\sqrt{5}$ cm. Cât este aria pătratului?
18. $5\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}$
19. $\sqrt{20}\cdot \sqrt{5}$
20. $2\sqrt{6}\cdot 3\sqrt{2}$
21. $\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{8}$
22. Un pătrat are latura $2\sqrt{3}$ cm. Calculează aria lui.
23. Adevărat sau fals, cu justificare: $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}$.
24. Provocare: arată că $\left(3\sqrt{2}\right)\cdot \left(2\sqrt{8}\right)$ este un număr natural și găsește-l.
25. $\sqrt{5}\cdot \left(\sqrt{5}+\sqrt{20}\right)$
26. $\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{2}+\sqrt{8}\right)$
27. $2\sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{3}+\sqrt{27}\right)$

Răspunsuri și explicații

1. $\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{15}$. Numărul $15$ nu are factor pătrat perfect, deci este forma finală.
2. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{11}=\sqrt{22}$. Nici $22=2\cdot 11$ nu se simplifică.
3. $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7$. Caz special: radical înmulțit cu el însuși, $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$.
4. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$. Sub radical apare un pătrat perfect.
5. $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$. La fel, $36$ este pătrat perfect.
6. $2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}=(2\cdot 3)\sqrt{5\cdot 2}=6\sqrt{10}$. Numărul $10$ nu se simplifică.
7. $\sqrt{10}\cdot \sqrt{15}=\sqrt{150}$. Cum $150=25\cdot 6$, avem $\sqrt{150}=5\sqrt{6}$.
8. $3\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=3\sqrt{12}=3\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$, fiindcă $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
9. $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}=10\sqrt{18}=10\cdot 3\sqrt{2}=30\sqrt{2}$. (Produsul-vedetă al lecției.)
10. $7\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=7\cdot (\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})=7\cdot 2=14$.
11. $\sqrt{12}\cdot \sqrt{27}=\sqrt{324}=18$, deoarece $324=18^2$. (Verificare: $2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=6\cdot 3=18$.)
12. ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=(2\cdot 2)(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3})=4\cdot 3=12$.
13. Aria $=\sqrt{27}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{324}=18$. Aria dreptunghiului este $18{\text{cm}}^2$.
14. Fals. Regula corectă este $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{2\cdot 3}=\sqrt{6}$, nu $\sqrt{5}$. La înmulțire numerele de sub radical se înmulțesc, nu se adună.
15. Adevărat. $\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}$ (ambele fac $6$). Exact regula produsului.
16. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6$.
17. Aria $=\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$. Aria pătratului este $5{\text{cm}}^2$. (Frumos: latura irațională, dar aria un număr întreg.)
18. $5\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=(5\cdot 2)(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3})=10\cdot 3=30$. Radicalii identici se anulează.
19. $\sqrt{20}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{100}=10$. Sub radical apare un pătrat perfect, $100=10^2$.
20. $2\sqrt{6}\cdot 3\sqrt{2}=(2\cdot 3)\sqrt{6\cdot 2}=6\sqrt{12}=6\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$, deoarece $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
21. $\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{3\cdot 6\cdot 8}=\sqrt{144}=12$.
22. Aria $=2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=(2\cdot 2)(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3})=4\cdot 3=12$. Aria pătratului este $12{\text{cm}}^2$.
23. Fals. $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}$ este o înmulțire, deci $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$. Rezultatul $2\sqrt{5}$ ar apărea la adunare: $\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$. Sunt operații diferite.
24. $3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{8}=(3\cdot 2)\sqrt{2\cdot 8}=6\sqrt{16}=6\cdot 4=24$. Este numărul natural $24$.
25. $\sqrt{5}\cdot \left(\sqrt{5}+\sqrt{20}\right)=\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}=5+\sqrt{100}=5+10=15$. Distributivitate: înmulțim cu fiecare termen, apoi adunăm.
26. $\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{2}+\sqrt{8}\right)=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=2+\sqrt{16}=2+4=6$.
27. $2\sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{3}+\sqrt{27}\right)=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+2\sqrt{3}\cdot \sqrt{27}=2\cdot 3+2\sqrt{81}=6+2\cdot 9=6+18=24$.

De reținut

• Regula produsului: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ pentru $a\ge 0$ și $b\ge 0$. Numerele de sub radicali se înmulțesc.
• Produs cu coeficienți: $a\sqrt{b}\cdot c\sqrt{d}=(a\cdot c)\sqrt{b\cdot d}$ — coeficienții se înmulțesc între ei, radicalii între ei.
• Radicalul la pătrat: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$; două rădăcini identice se „anulează" și rămâne numărul de sub ele.
• Ultimul pas obligatoriu: simplifică rezultatul, scoțând orice pătrat perfect de sub radical (ex.: $10\sqrt{18}=30\sqrt{2}$).
• La înmulțire radicalii pot fi diferiți — spre deosebire de adunare, unde trebuie să fie asemenea.
• Cu o paranteză folosești distributivitatea: $\sqrt{a}\cdot (\sqrt{b}+\sqrt{c})=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}+\sqrt{a}\cdot \sqrt{c}$ — înmulțești cu fiecare termen, apoi aduni. Nu comasa adunarea sub un singur radical.

Greșeli frecvente

• Confuzia cu adunarea: a scrie $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{5}$. Greșit! La înmulțire numerele se înmulțesc: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$. Adunarea ($2+3=5$) nu are ce căuta aici.
• Oprirea prea devreme: a lăsa rezultatul ca $10\sqrt{18}$ sau $\sqrt{50}$ fără simplificare. Verifică mereu dacă sub radical se ascunde un pătrat perfect ($4,9,16,25,36\dots$) și scoate-l: $10\sqrt{18}=30\sqrt{2}$, $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
• Uitarea coeficienților: la $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}$ a înmulți doar radicalii și a scăpa din vedere că $2\cdot 5=10$. Coeficienții se înmulțesc și ei — nu-i abandona.
• A confunda $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}$ cu $2\sqrt{a}$: $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$ (înmulțire), pe când $\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ (adunare). Sunt operații diferite, cu rezultate diferite.
• A crede că $\sqrt{a\cdot b}$ se poate „desface" oricum: regula $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ este valabilă doar pentru numere pozitive și doar pentru produs (sau împărțire), nu și pentru sumă. Atenție: $\sqrt{a+b}$ nu este egal cu $\sqrt{a}+\sqrt{b}$. De exemplu, $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, dar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$. Deci radicalul „intră" peste înmulțire, nu peste adunare.

Aplică acasă

• Aria unei mese sau a unei plăci. Ia o coală A4 și „desenează" un dreptunghi imaginar cu laturile $\sqrt{8}$ dm și $\sqrt{18}$ dm. Calculează aria folosind regula produsului ($\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}=12$ dm²) și observă cât de curat iese un număr întreg din două laturi iraționale. Inventează încă două perechi de laturi care dau arii întregi.
• Aria unui pătrat. Măsoară latura unei plăci de gresie sau a unui carton pătrat, notează-o cu $\ell$, apoi ține minte că aria pătratului este $\ell \cdot \ell ={\ell }^2$. Verifică pe un pătrat cu latura $\sqrt{7}$ cm că aria este exact $7$ cm² și explică-i unui membru al familiei de ce radicalul „dispare".
• Jocul perechilor. Scrie pe bilețele numere de forma $\sqrt{2},\sqrt{3},2\sqrt{5},3\sqrt{2},\sqrt{8}$ etc. Trage câte două și înmulțește-le, apoi simplifică. Câștigi un punct de fiecare dată când rezultatul devine un număr rațional (fără radical). Vei descoperi singur ce perechi „curăță" radicalul.

Pentru părinți și profesori

La această lecție elevul consolidează o singură regulă puternică — $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ — și o combină cu ceva deja învățat: scoaterea factorilor de sub radical. Cel mai bun sprijin pe care îl puteți oferi este să insistați pe ultimul pas, simplificarea. Multe greșeli nu vin din regula de bază, ci din răspunsul lăsat neterminat (de exemplu $10\sqrt{18}$ în loc de $30\sqrt{2}$).

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Cât face $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$ și de ce nu $\sqrt{5}$?" (testează dacă a înțeles că numerele se înmulțesc, nu se adună).
• „De ce $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$?" (testează cazul special și legătura cu ridicarea la pătrat).
• „Mai poți simplifica $\sqrt{50}$?" (verifică reflexul de a căuta pătrate perfecte).

Semne că a înțeles cu adevărat: împarte spontan calculul în „coeficienți separat, radicali separat", verifică din proprie inițiativă dacă rezultatul se mai simplifică și nu confundă înmulțirea cu adunarea radicalilor. Dacă mai greșește, reveniți împreună la lecțiile Scoaterea factorilor de sub radical și Adunarea și scăderea numerelor reale.

Întrebări frecvente

Cum se înmulțesc doi radicali la clasa a 7-a? Se folosește regula $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$: pui cele două numere sub același radical, înmulțindu-le. De exemplu, $\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{15}$. La final verifici dacă rezultatul se poate simplifica, scoțând un pătrat perfect de sub radical.

Ce faci cu coeficienții din fața radicalilor? Coeficienții (numerele din față) se înmulțesc între ei, iar radicalii se înmulțesc între ei: $a\sqrt{b}\cdot c\sqrt{d}=(a\cdot c)\sqrt{b\cdot d}$. De pildă, $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}=10\sqrt{18}=30\sqrt{2}$ după simplificare.

De ce $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$ nu este $\sqrt{5}$? Pentru că la înmulțire numerele de sub radical se înmulțesc, nu se adună: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{2\cdot 3}=\sqrt{6}$. Confuzia apare când elevul aplică din reflex $2+3=5$, care ar fi valabil doar la o adunare, și nici acolo pentru radicali diferiți.

Cât face un radical înmulțit cu el însuși? $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$. Radicalul dispare și rămâne numărul de sub el, pentru că ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$. De exemplu $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7$ și $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$.

Când trebuie să simplific rezultatul unei înmulțiri de radicali? Întotdeauna verifici la final. Dacă numărul rămas sub radical are un factor pătrat perfect (4, 9, 16, 25, 36...), îl scoți afară. De exemplu $\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}$. Dacă nu are, cum e la $\sqrt{15}$, rezultatul e deja în forma finală.

Poți înmulți radicali cu numere diferite sub ei? Da, spre deosebire de adunare. La adunare radicalii trebuie să fie asemenea (același număr sub radical), dar la înmulțire poți combina orice: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{14}$ fără nicio restricție. Aceasta este marea diferență între cele două operații.

Rezultatul înmulțirii radicalilor poate fi un număr întreg? Poate, și se întâmplă des. Dacă produsul de sub radical devine un pătrat perfect, radicalul dispare complet: $\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}=\sqrt{144}=12$, iar $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$. Sunt exact situațiile pe care merită să le observi din timp, ca să scurtezi calculul.

Unde folosesc înmulțirea radicalilor mai departe? O vei folosi la raționalizarea numitorului, la împărțirea numerelor reale cu radicali, dar și în geometrie: la calculul ariilor, la teorema lui Pitagora și în trigonometrie, unde apar frecvent produse cu $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$.

Cum verific dacă am înmulțit corect doi radicali? Ai două metode simple de control. Prima: refă calculul pe alt drum — de exemplu, simplifică radicalii înainte de a-i înmulți și vezi dacă obții același rezultat (ca la $\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}$, unde ambele căi dau $12$). A doua: aproximează zecimal fiecare radical cu calculatorul și compară cu aproximarea răspunsului tău. Dacă valorile coincid, ești pe drumul bun.

Se poate înmulți un radical cu un număr întreg negativ? Da, coeficientul poate fi negativ, chiar dacă radicandul rămâne pozitiv. De exemplu, $-2\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=-2\sqrt{18}=-6\sqrt{2}$. Semnul minus se tratează exact ca la orice înmulțire de numere: regula semnelor rămâne valabilă, iar radicalul se simplifică normal la final.