Puteri cu exponent număr întreg

Când auzi „puterea a cincea a lui 2", te gândești imediat la o înmulțire repetată: $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$. Dar ce se întâmplă dacă exponentul devine $0$ sau chiar un număr negativ, ca în $2^{-3}$? Puterile cu exponent număr întreg apar peste tot în viața reală: la exprimarea dimensiunilor foarte mici (grosimea unui fir de păr în metri), la memoria calculatorului tău ($2^{-10}$ dintr-un gigabyte) sau la scara logaritmică pe care o folosesc inginerii. În această lecție de matematică pentru clasa a 7-a vei descoperi ce înseamnă un exponent negativ, de ce orice număr nenul ridicat la puterea zero dă $1$ și cum se aplică toate regulile de calcul cu puteri atunci când exponenții sunt numere întregi.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi puteri cu exponent întreg negativ, folosind definiția $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
• Vei ști de ce $a^0=1$ pentru orice $a\ne 0$ și cum se justifică această regulă.
• Vei ști să aplici regulile de înmulțire și împărțire a puterilor cu aceeași bază.
• Vei ști să folosești puterea unei puteri, puterea unui produs și puterea unui cât cu exponent întreg.
• Vei ști să simplifici expresii care conțin puteri cu baze raționale nenule.

Hai să descoperim împreună

Ne amintim: puterea cu exponent natural

În clasele anterioare ai învățat că o putere cu exponent număr natural înseamnă o înmulțire repetată. Dacă $a$ este un număr real și $n$ un număr natural, $n\ge 1$, atunci:

$$a^n=\underset{n\text{ factori}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Numărul $a$ se numește baza puterii, iar $n$ se numește exponent. De exemplu:

$$2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16,{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{27}.$$

Până acum, exponentul era mereu un număr natural. Marea noutate a acestei lecții este că vom da un sens și puterilor cu exponent $0$ și cu exponent negativ, adică vom lucra cu exponent număr întreg. Reține un lucru esențial de la început: baza trebuie să fie diferită de zero ori de câte ori exponentul este $0$ sau negativ. Vei vedea imediat de ce.

De unde vine ideea de exponent zero?

Să pornim de la o observație simplă despre împărțirea puterilor cu aceeași bază. Știm că, atunci când împărțim două puteri cu aceeași bază, scădem exponenții:

$$\frac{2^5}{2^3}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 2}=2\cdot 2=2^2=2^{5-3}.$$

Regula $a^m:a^n=a^{m-n}$ funcționează frumos atâta timp cât $m>n$. Dar ce se întâmplă când $m=n$? Să calculăm $\frac{2^3}{2^3}$ în două moduri.

Modul 1 (direct): orice număr împărțit la el însuși dă $1$, deci $\frac{2^3}{2^3}=\frac{8}{8}=1$.

Modul 2 (cu regula scăderii exponenților): $\frac{2^3}{2^3}=2^{3-3}=2^0$.

Pentru ca ambele moduri să dea același rezultat, suntem obligați să acceptăm că:

$$2^0=1.$$

Nu este ceva magic sau arbitrar: definiția $a^0=1$ este singura alegere care păstrează regulile de calcul valabile. Iată regula generală.

Puterea cu exponent zero. Pentru orice număr real $a$, cu $a\ne 0$, avem: $$a^0=1.$$

Deci $5^0=1$, ${\left(\frac{7}{4}\right)}^0=1$, $(-3{)}^0=1$ și chiar $(-100{)}^0=1$. Singurul caz interzis este $0^0$, care nu are sens (rămâne nedefinit). De aceea insistăm mereu că baza trebuie să fie nenulă.

De unde vine exponentul negativ?

Continuăm aceeași idee, dar de data asta împărțim o putere mai mică la una mai mare. Să calculăm $\frac{2^3}{2^5}$ din nou în două moduri.

Modul 1 (direct):

$$\frac{2^3}{2^5}=\frac{2\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}.$$

Modul 2 (cu regula scăderii exponenților):

$$\frac{2^3}{2^5}=2^{3-5}=2^{-2}.$$

Din nou, pentru ca cele două rezultate să coincidă, suntem nevoiți să acceptăm că:

$$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}.$$

Aceasta este ideea centrală a lecției: un exponent negativ înseamnă că întorci baza „cu susul în jos", adică treci la inversul ei, iar exponentul devine pozitiv.

Definiția puterii cu exponent negativ. Pentru orice număr real $a\ne 0$ și orice număr natural $n\ge 1$: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$$

Să vedem câteva calcule simple pas cu pas:

$$3^{-1}=\frac{1}{3^1}=\frac{1}{3},3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9},10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}.$$

Observă ceva: $a^{-1}=\frac{1}{a}$, adică puterea cu exponent $-1$ este chiar inversul (răsturnatul) numărului. Așa că $2^{-1}=\frac{1}{2}$ și $5^{-1}=\frac{1}{5}$. Este cel mai util caz particular pe care merită să îl reții.

Această imagine te ajută să vezi puterile lui $2$ ca pe un șir continuu: $\dots ,2^{-2}=\frac{1}{4},2^{-1}=\frac{1}{2},2^0=1,2^1=2,2^2=4,\dots$ La fiecare pas spre dreapta înmulțești cu $2$; la fiecare pas spre stânga împarți la $2$. Exponenții negativi nu sunt altceva decât continuarea firească a acestui șir spre stânga.

Baze care sunt fracții

La clasa a 7-a lucrăm mult cu baze raționale, adică fracții. Când baza este o fracție și exponentul este negativ, apare un truc foarte comod. Să calculăm ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}$:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}=\frac{1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^1}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=1\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$$

Deci ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}=\frac{3}{2}$: pur și simplu am răsturnat fracția. Regula generală, extrem de utilă, este:

Puterea cu exponent negativ a unei fracții. Pentru $a\ne 0$ și $b\ne 0$: $${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n.$$

Adică: la un exponent negativ, întoarce fracția (numărătorul devine numitor și invers) și schimbă semnul exponentului în pozitiv. Un exemplu complet:

$${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-3}={\left(\frac{5}{2}\right)}^3=\frac{5^3}{2^3}=\frac{125}{8}.$$

Aceasta te scutește de calcule cu fracții etajate și este metoda pe care ți-o recomand mereu când baza e o fracție.

Regulile de calcul cu puteri (acum valabile pentru orice exponent întreg)

Vestea foarte bună este că toate regulile de calcul cu puteri pe care le știi rămân adevărate și pentru exponenți întregi negativi sau zero. Nu trebuie să înveți reguli noi, ci doar să le aplici pe cele vechi și pentru exponenți negativi. Le trecem în revistă, cu câte un exemplu.

Regula 1 — Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: aduni exponenții.

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},a\ne 0.$$

Exemplu: $2^5\cdot 2^{-3}=2^{5+(-3)}=2^2=4$. Verificare directă: $32\cdot \frac{1}{8}=\frac{32}{8}=4$. Corect.

Regula 2 — Împărțirea puterilor cu aceeași bază: scazi exponenții.

$$a^m:a^n=a^{m-n},a\ne 0.$$

Exemplu: $3^{-2}:3^{-5}=3^{-2-(-5)}=3^{-2+5}=3^3=27$. Atenție la semne: scăderea unui număr negativ înseamnă adunare.

Regula 3 — Puterea unei puteri: înmulțești exponenții.

$$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n},a\ne 0.$$

Exemplu: $(2^{-2}{)}^3=2^{(-2)\cdot 3}=2^{-6}=\frac{1}{64}$. Și dacă exponentul de afară e negativ: $(5^2{)}^{-1}=5^{2\cdot (-1)}=5^{-2}=\frac{1}{25}$.

Regula 4 — Puterea unui produs: fiecare factor la acea putere.

$$(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n,a\ne 0,b\ne 0.$$

Exemplu: $(2\cdot 5{)}^{-2}=2^{-2}\cdot 5^{-2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{25}=\frac{1}{100}$. Verificare: $(10{)}^{-2}=\frac{1}{100}$. Corect.

Regula 5 — Puterea unui cât: numărătorul și numitorul la acea putere.

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n},a\ne 0,b\ne 0.$$

Exemplu: ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}=\frac{3^{-2}}{4^{-2}}=\frac{4^2}{3^2}=\frac{16}{9}$. Observă că am regăsit tot regula răsturnării fracției.

Un lucru important despre semne: unde stă minusul?

O confuzie foarte des întâlnită la exponentul negativ este între $(-2{)}^{-2}$ și $-2^{-2}$. Sunt lucruri diferite. Fii foarte atent la paranteze.

• $(-2{)}^{-2}=\frac{1}{(-2{)}^2}=\frac{1}{4}$ — baza este $-2$, iar $(-2{)}^2$ este pozitiv, deci rezultatul e pozitiv.
• $-2^{-2}=-\left(2^{-2}\right)=-\frac{1}{4}$ — aici doar $2$ este ridicat la putere, iar minusul din față rămâne în afara puterii.

Regula de semn a bazei negative se păstrează: dacă baza este negativă și exponentul (fie el și transformat în pozitiv) este par, rezultatul e pozitiv; dacă exponentul este impar, rezultatul e negativ. De exemplu, $(-2{)}^{-3}=\frac{1}{(-2{)}^3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}$.

O strategie sigură de lucru

Când ai de calculat o expresie cu puteri, urmează acești pași în ordine:

1. Reduce la aceeași bază dacă poți (de exemplu, scrie $4$ ca $2^2$, $8$ ca $2^3$, $9$ ca $3^2$). Așa poți aplica regulile de adunare/scădere a exponenților.
2. Aplică regulile pentru puterea unei puteri, produs, cât — operând mereu cu exponenții.
3. Adună și scade exponenții cu grijă la semne (minus cu minus dă plus).
4. La final, transformă exponenții negativi în fracții folosind $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, ca să obții un număr obișnuit.

Vei vedea această strategie aplicată în exemplele de mai jos. Dacă lucrezi ordonat, exponenții negativi devin la fel de simpli ca cei pozitivi.

Cum comparăm două puteri cu exponent întreg

Uneori nu trebuie să calculezi o putere până la capăt, ci doar să spui care este mai mare. Aici te ajută două observații simple. Prima: pentru o bază mai mare decât $1$, cu cât exponentul este mai mare, cu atât puterea este mai mare. Deci pentru puteri ale lui $2$ este suficient să compari exponenții: $2^{-5}<2^{-1}<2^0<2^3$, fără să mai calculezi valorile. A doua: un exponent negativ dă mereu un număr subunitar (mai mic decât $1$) când baza este mai mare decât $1$, iar un exponent pozitiv dă un număr supraunitar; exponentul $0$ dă exact $1$. Astfel, doar privind semnul exponentului, știi imediat de care parte a lui $1$ se află puterea.

Dacă bazele sunt diferite, adu-le, dacă poți, la aceeași bază, apoi compară exponenții. De exemplu, ca să compari $4^{-1}$ cu $8^{-1}$, observă că ambele sunt subunitare, iar $\frac{1}{4}>\frac{1}{8}$, deci $4^{-1}>8^{-1}$: la fracții cu numărător $1$, cu cât numitorul este mai mare, cu atât fracția este mai mică. Aceste comparații rapide te scutesc de calcule și îți dau o intuiție solidă asupra puterilor.

O aplicație reală: mărimi foarte mari și foarte mici

Exponenții negativi nu sunt doar un exercițiu de matematică; ei apar firesc atunci când vrei să scrii comod numere foarte mici, fără să înșiri zerouri după virgulă. Iată câteva exemple din științe și tehnologie:

• Grosimea unei foi de hârtie este de aproximativ $0,0001$ m, adică $10^{-4}$ m.
• Diametrul unui fir de păr este de ordinul $10^{-5}$ m.
• Memoria unui dispozitiv se măsoară în puteri ale lui $2$: „o mie douăzeci și patru de octeți" înseamnă $2^{10}$ octeți, iar un octet reprezintă $2^{-10}$ dintr-un kilobyte.

Observă tiparul la puterile lui $10$: exponentul negativ îți spune direct câte cifre sunt după virgulă. $10^{-1}=0,1$ (o cifră), $10^{-2}=0,01$ (două cifre), $10^{-3}=0,001$ (trei cifre). Când vei studia scrierea științifică a numerelor, exact această idee te va ajuta să scrii, de pildă, $0,0007$ ca $7\cdot 10^{-4}$. Deocamdată reține doar că un exponent negativ „micșorează" numărul, împărțindu-l, în timp ce un exponent pozitiv îl „mărește", înmulțindu-l.

De ce nu are sens $0^0$ și de ce evităm baza zero

Poate te întrebi de ce insistăm atât de mult ca baza să fie diferită de zero. Motivul este simplu și ține de o regulă de aur a matematicii: nu împărțim niciodată la zero. La exponent negativ, $0^{-2}$ ar însemna $\frac{1}{0^2}=\frac{1}{0}$, o operație interzisă. La exponent zero, situația e și mai subtilă: pe de o parte $a^0=1$ pentru orice bază nenulă, pe de altă parte $0^n=0$ pentru orice exponent pozitiv, deci $0^0$ ar trebui să fie „și $1$, și $0$" în același timp — contradicție. De aceea $0^0$ rămâne nedefinit, iar în toate formulele acestei lecții presupunem tacit că baza este nenulă.

Această lecție se leagă direct de ordinea efectuării operațiilor cu numere reale, unde puterile intră în calcule mai lungi, alături de radicali și paranteze. Puterile cu exponent $2$ le-ai întâlnit deja când ai studiat relația dintre pătrat și rădăcina pătrată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calculul direct al câtorva puteri cu exponent întreg

Calculează: $5^{-2}$, ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-3}$, $(-4{)}^0$ și $10^{-1}$.

Rezolvare.

$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$ — aplic definiția exponentului negativ.

${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-3}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$ — răstorn fracția și schimb semnul exponentului.

$(-4{)}^0=1$ — orice bază nenulă la puterea $0$ dă $1$.

$10^{-1}=\frac{1}{10}$ — inversul bazei.

Exemplul 2 — Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceeași bază

Calculează $E=2^{-4}\cdot 2^6:2^3$.

Rezolvare. Toate au baza $2$, deci lucrez doar cu exponenții, respectând ordinea de la stânga la dreapta:

$$E=2^{-4+6}:2^3=2^2:2^3=2^{2-3}=2^{-1}=\frac{1}{2}.$$

Deci $E=\frac{1}{2}$. Observă cum am adunat întâi exponenții la înmulțire ($-4+6=2$) și apoi i-am scăzut la împărțire ($2-3=-1$).

Exemplul 3 — Reducerea la aceeași bază

Calculează $F=\frac{4^3\cdot 8^{-1}}{2^2}$.

Rezolvare. Scriu totul în baza $2$: $4=2^2$, deci $4^3=(2^2{)}^3=2^6$; iar $8=2^3$, deci $8^{-1}=(2^3{)}^{-1}=2^{-3}$.

$$F=\frac{2^6\cdot 2^{-3}}{2^2}=\frac{2^{6+(-3)}}{2^2}=\frac{2^3}{2^2}=2^{3-2}=2^1=2.$$

Deci $F=2$. Trucul a fost să aduc toate numerele la baza comună $2$; abia atunci am putut aduna și scădea exponenții.

Exemplul 4 — Puterea unei puteri și a unui produs

Calculează $G={\left(3^{-1}\cdot 2^2\right)}^{-2}$.

Rezolvare. Aplic puterea unui produs, ducând exponentul $-2$ la fiecare factor:

$$G={\left(3^{-1}\right)}^{-2}\cdot {\left(2^2\right)}^{-2}=3^{(-1)\cdot (-2)}\cdot 2^{2\cdot (-2)}=3^2\cdot 2^{-4}=9\cdot \frac{1}{16}=\frac{9}{16}.$$

Deci $G=\frac{9}{16}$. Atenție la semne la puterea unei puteri: $(-1)\cdot (-2)=2$ (pozitiv), iar $2\cdot (-2)=-4$ (negativ).

Exemplul 5 — Bază fracționară și exponenți negativi combinați

Calculează $H={\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{4}{5}\right)}^2:{\left(\frac{2}{5}\right)}^0$.

Rezolvare. Iau pe rând fiecare factor.

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}={\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$.

${\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$.

${\left(\frac{2}{5}\right)}^0=1$ (împărțirea la $1$ nu schimbă nimic).

Acum înmulțesc și simplific:

$$H=\frac{25}{4}\cdot \frac{16}{25}:1=\frac{25\cdot 16}{4\cdot 25}=\frac{16}{4}=4.$$

Deci $H=4$. Am simplificat $25$ cu $25$ și $16$ cu $4$, ceea ce a scurtat mult calculul.

Exemplul 6 — Adevărat sau fals, cu justificare

Stabilește dacă egalitatea $2^{-3}+2^{-3}=2^{-2}$ este adevărată.

Rezolvare. Calculez fiecare membru separat. Membrul stâng:

$$2^{-3}+2^{-3}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$

Membrul drept: $2^{-2}=\frac{1}{4}$.

Cele două sunt egale, deci egalitatea este adevărată. Aici a funcționat pentru că adunam de două ori aceeași putere: $2\cdot 2^{-3}=2^1\cdot 2^{-3}=2^{-2}$. Atenție însă: aceasta este o coincidență utilă a adunării de termeni egali, nu o regulă generală. La adunare NU se combină exponenții ca la înmulțire.

Exemplul 7 — O expresie lungă, redusă la o singură bază

Calculează $I=\frac{4^{-1}\cdot 8^2}{16^{-1}\cdot 2^5}$.

Rezolvare. Toate numerele care apar ($4$, $8$, $16$, $2$) sunt puteri ale lui $2$, așa că strategia sigură este să aduc totul la baza $2$:

$$4^{-1}=(2^2{)}^{-1}=2^{-2},8^2=(2^3{)}^2=2^6,16^{-1}=(2^4{)}^{-1}=2^{-4}.$$

Înlocuiesc și grupez separat numărătorul și numitorul, adunând exponenții la fiecare înmulțire:

$$I=\frac{2^{-2}\cdot 2^6}{2^{-4}\cdot 2^5}=\frac{2^{-2+6}}{2^{-4+5}}=\frac{2^4}{2^1}=2^{4-1}=2^3=8.$$

Deci $I=8$. Cheia a fost pasul întâi: fără reducerea la baza comună nu am fi putut aduna și scădea exponenții. Odată ajuns la o singură bază, restul e doar aritmetică pe exponenți.

Exemplul 8 — Simplificarea unei expresii cu literă

Simplifică $J=\frac{a^{-3}\cdot a^5}{a^{-2}}$, unde $a\ne 0$, și scrie rezultatul ca o singură putere a lui $a$.

Rezolvare. Lucrez pas cu pas, întâi la numărător (înmulțire, deci adun exponenții), apoi împart (scad exponenții):

$$J=\frac{a^{-3+5}}{a^{-2}}=\frac{a^2}{a^{-2}}=a^{2-(-2)}=a^{2+2}=a^4.$$

Deci $J=a^4$. Observă cel mai delicat pas: $2-(-2)=2+2=4$. Scăderea unui exponent negativ se transformă în adunare, exact ca la numere. Punem condiția $a\ne 0$ pentru că altfel puterile cu exponent negativ (adică împărțirea) nu ar avea sens.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Ai grijă la semne și la baza nenulă.

1. Calculează: a) $4^{-2}$; b) $2^{-5}$; c) $10^{-4}$.
2. Calculează: a) $7^0$; b) $(-9{)}^0$; c) ${\left(\frac{11}{4}\right)}^0$.
3. Scrie sub formă de fracție: a) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-1}$; b) ${\left(\frac{2}{7}\right)}^{-2}$; c) ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{-2}$.
4. Calculează folosind regula înmulțirii: a) $3^5\cdot 3^{-3}$; b) $2^{-4}\cdot 2^{-1}$.
5. Calculează folosind regula împărțirii: a) $5^2:5^5$; b) $7^{-3}:7^{-6}$.
6. Calculează puterea unei puteri: a) $(2^{-3}{)}^2$; b) $(4^{-1}{)}^{-2}$.
7. Calculează: a) $(2\cdot 3{)}^{-2}$; b) ${\left(\frac{5}{2}\right)}^{-3}$.
8. Reducând la aceeași bază, calculează $\frac{9^2\cdot 3^{-3}}{27}$.
9. Calculează $E=2^{-3}\cdot 4^2:8^{-1}$ (adu totul la baza $2$).
10. Calculează ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2$.
11. Stabilește semnul rezultatului fără să calculezi complet: a) $(-3{)}^{-4}$; b) $(-5{)}^{-3}$.
12. Adevărat sau fals, cu justificare: $-2^{-2}={\left(-2\right)}^{-2}$.
13. Adevărat sau fals, cu justificare: ${\left(a^{-1}\right)}^{-1}=a$, pentru $a\ne 0$.
14. Calculează ${\left(10^{-2}\right)}^2\cdot 10^5$ și scrie rezultatul ca putere a lui $10$, apoi ca număr.
15. Simplifică expresia $\frac{a^5\cdot a^{-2}}{a^{-4}}$, unde $a\ne 0$, și scrie rezultatul ca o singură putere a lui $a$.
16. Un fișier are dimensiunea $2^{-3}$ dintr-un gigabyte, iar altul $2^{-1}$ dintr-un gigabyte. De câte ori este mai mare al doilea decât primul?
17. Calculează $A=\left(3^{-2}+3^{-1}\right)\cdot 3^2$.
18. Ordonează crescător numerele: $2^{-1}$, $2^0$, $2^{-3}$, $2^2$.
19. Reducând la aceeași bază, calculează $\frac{8^{-1}\cdot 4^3}{2^2}$.
20. Calculează ${\left(2^{-1}+3^{-1}\right)}^{-1}$. (Atenție: întâi paranteza, apoi exponentul din afară.)
21. Simplifică $\frac{x^{-2}\cdot x^6}{x^3}$, unde $x\ne 0$, și scrie rezultatul ca o singură putere a lui $x$.
22. Calculează $B={\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}:{\left(\frac{3}{2}\right)}^0$.
23. Un laser măsoară grosimi de ordinul $10^{-6}$ m, iar un microscop obișnuit ajunge la $10^{-4}$ m. De câte ori mai mică este mărimea măsurată de laser față de cea a microscopului?
24. Calculează ${\left(5^{-2}\cdot 5^3\right)}^{-1}$.
25. Adevărat sau fals, cu justificare: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8$.
26. Reducând la aceeași bază, calculează $\frac{27^{-1}\cdot 9^2}{3}$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$. b) $2^{-5}=\frac{1}{32}$. c) $10^{-4}=\frac{1}{10000}$.

2. Toate dau $1$: a) $7^0=1$; b) $(-9{)}^0=1$; c) ${\left(\frac{11}{4}\right)}^0=1$. Orice bază nenulă la puterea zero este $1$.

3. a) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-1}=\frac{5}{3}$ (răstorn fracția). b) ${\left(\frac{2}{7}\right)}^{-2}={\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{49}{4}$. c) ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{-2}=6^2=36$.

4. a) $3^5\cdot 3^{-3}=3^{5-3}=3^2=9$. b) $2^{-4}\cdot 2^{-1}=2^{-4-1}=2^{-5}=\frac{1}{32}$.

5. a) $5^2:5^5=5^{2-5}=5^{-3}=\frac{1}{125}$. b) $7^{-3}:7^{-6}=7^{-3-(-6)}=7^3=343$.

6. a) $(2^{-3}{)}^2=2^{-6}=\frac{1}{64}$. b) $(4^{-1}{)}^{-2}=4^{(-1)(-2)}=4^2=16$.

7. a) $(2\cdot 3{)}^{-2}=6^{-2}=\frac{1}{36}$. b) ${\left(\frac{5}{2}\right)}^{-3}={\left(\frac{2}{5}\right)}^3=\frac{8}{125}$.

8. Reduc la baza $3$: $9^2=(3^2{)}^2=3^4$ și $27=3^3$. Atunci $$\frac{3^4\cdot 3^{-3}}{3^3}=\frac{3^{4-3}}{3^3}=\frac{3^1}{3^3}=3^{1-3}=3^{-2}=\frac{1}{9}.$$

9. Aduc la baza $2$: $4^2=2^4$, $8^{-1}=2^{-3}$. Atunci $$E=2^{-3}\cdot 2^4:2^{-3}=2^{-3+4-(-3)}=2^4=16.$$

10. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}=\frac{9}{4}$ și ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$. Produsul: $\frac{9}{4}\cdot \frac{9}{4}=\frac{81}{16}$.

11. a) $(-3{)}^{-4}=\frac{1}{(-3{)}^4}=\frac{1}{81}$ — pozitiv (exponent par). b) $(-5{)}^{-3}=\frac{1}{(-5{)}^3}=\frac{1}{-125}=-\frac{1}{125}$ — negativ (exponent impar).

12. Fals. $-2^{-2}=-\frac{1}{4}$ (minusul rămâne în afara puterii), iar $(-2{)}^{-2}=\frac{1}{(-2{)}^2}=\frac{1}{4}$. Rezultatele au semne diferite, deci egalitatea nu este adevărată.

13. Adevărat. Aplic puterea unei puteri, înmulțind exponenții $-1$ (dinăuntru) și $-1$ (din afară): ${\left(a^{-1}\right)}^{-1}=a^{(-1)\cdot (-1)}=a^1=a$. Inversul inversului unui număr este chiar numărul.

14. ${\left(10^{-2}\right)}^2\cdot 10^5=10^{-4}\cdot 10^5=10^{-4+5}=10^1=10$.

15. $\frac{a^5\cdot a^{-2}}{a^{-4}}=\frac{a^{5-2}}{a^{-4}}=\frac{a^3}{a^{-4}}=a^{3-(-4)}=a^7$.

16. Împart cele două dimensiuni: $\frac{2^{-1}}{2^{-3}}=2^{-1-(-3)}=2^2=4$. Al doilea fișier este de $4$ ori mai mare.

17. $A=\left(3^{-2}+3^{-1}\right)\cdot 3^2=3^{-2}\cdot 3^2+3^{-1}\cdot 3^2=3^0+3^1=1+3=4$. (Am folosit distributivitatea înmulțirii față de adunare.)

18. Calculez valorile: $2^{-3}=\frac{1}{8}$, $2^{-1}=\frac{1}{2}$, $2^0=1$, $2^2=4$. Ordinea crescătoare: $2^{-3}<2^{-1}<2^0<2^2$, adică $\frac{1}{8}<\frac{1}{2}<1<4$.

19. Reduc la baza $2$: $8^{-1}=2^{-3}$ și $4^3=(2^2{)}^3=2^6$. Atunci $$\frac{2^{-3}\cdot 2^6}{2^2}=\frac{2^{-3+6}}{2^2}=\frac{2^3}{2^2}=2^{3-2}=2^1=2.$$

20. Calculez întâi paranteza: $2^{-1}+3^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$. Apoi ridic la $-1$, adică răstorn fracția: ${\left(\frac{5}{6}\right)}^{-1}=\frac{6}{5}$.

21. $\frac{x^{-2}\cdot x^6}{x^3}=\frac{x^{-2+6}}{x^3}=\frac{x^4}{x^3}=x^{4-3}=x^1=x$.

22. Iau pe rând: ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$; ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}=\frac{3}{2}$; ${\left(\frac{3}{2}\right)}^0=1$. Atunci $$B=\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{2}:1=\frac{4\cdot 3}{9\cdot 2}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.$$

23. Împart cele două ordine de mărime: $\frac{10^{-6}}{10^{-4}}=10^{-6-(-4)}=10^{-2}=\frac{1}{100}$. Mărimea măsurată de laser este de $100$ de ori mai mică.

24. Calculez întâi paranteza: $5^{-2}\cdot 5^3=5^{-2+3}=5^1$. Apoi ridic la $-1$: ${\left(5^1\right)}^{-1}=5^{-1}=\frac{1}{5}$.

25. Adevărat. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}={\left(\frac{2}{1}\right)}^3=2^3=8$. Am răsturnat fracția și am schimbat semnul exponentului.

26. Reduc la baza $3$: $27^{-1}=(3^3{)}^{-1}=3^{-3}$ și $9^2=(3^2{)}^2=3^4$. Atunci $$\frac{3^{-3}\cdot 3^4}{3}=\frac{3^{-3+4}}{3^1}=\frac{3^1}{3^1}=3^{1-1}=3^0=1.$$

De reținut

• Exponent zero: $a^0=1$ pentru orice $a\ne 0$. Cazul $0^0$ nu are sens.
• Exponent negativ: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, cu $a\ne 0$. În particular $a^{-1}=\frac{1}{a}$.
• Bază fracție: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$ — răstorni fracția și schimbi semnul exponentului.
• Regulile de calcul rămân valabile pentru orice exponent întreg: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; $a^m:a^n=a^{m-n}$; $(a^m{)}^n=a^{mn}$; $(ab{)}^n=a^n{b}^n$; ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.
• Strategie: reduci la aceeași bază, operezi cu exponenții cu atenție la semne, iar la final transformi exponenții negativi în fracții.

Greșeli frecvente

• Crezi că $a^{-n}$ este un număr negativ. Greșit! $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ este o fracție, nu un număr negativ. De exemplu, $2^{-3}=\frac{1}{8}$ este pozitiv. Semnul rezultatului depinde de semnul bazei, nu de semnul exponentului.
• Confuzi $(-2{)}^{-2}$ cu $-2^{-2}$. Când baza negativă e în paranteză, minusul intră în putere: $(-2{)}^{-2}=\frac{1}{4}$. Fără paranteză, minusul rămâne afară: $-2^{-2}=-\frac{1}{4}$. Pune mereu parantezele acolo unde vrei ca minusul să facă parte din bază.
• Aduni exponenții la adunare de puteri. $2^3+2^2$ NU este $2^5$! Regula adunării exponenților este doar pentru înmulțire. La adunare calculezi fiecare putere separat: $8+4=12$.
• Uiți că baza trebuie să fie nenulă. Definițiile $a^0=1$ și $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ cer $a\ne 0$, altfel ai împărți la zero. Verifică mereu că baza nu este $0$.

Aplică acasă

1. Puterile din calculator. Memoria dispozitivelor se măsoară în puteri ale lui $2$: $1$ kilobyte $=2^{10}$ octeți, $1$ megabyte $=2^{20}$ octeți. Calculează de câte ori este mai mare un megabyte decât un kilobyte folosind împărțirea puterilor ($2^{20}:2^{10}$). Apoi exprimă „un kilobyte dintr-un megabyte" ca putere cu exponent negativ a lui $2$.

2. Scara zecimală a mărimilor. Ia o riglă și un obiect subțire (o foaie de hârtie). Grosimea unei foi este aproximativ $0,1$ mm $=10^{-1}$ mm. Scrie ca puteri ale lui $10$ (cu exponent negativ) și alte mărimi mici: $0,01$ mm, $0,001$ mm. Observă că exponentul îți spune câte zerouri sunt după virgulă.

3. Provocarea răsturnării. Alege trei fracții preferate (de exemplu $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{2}$, $\frac{7}{3}$) și calculează pentru fiecare puterea cu exponent $-2$. Verifică-ți răspunsul răsturnând fracția și ridicând la pătrat. Roagă un coleg să facă la fel și comparați rezultatele.

4. Tabelul puterilor lui 2. Completează pe caiet un tabel cu puterile lui $2$ de la $2^{-4}$ până la $2^4$, scriind fiecare valoare atât ca fracție, cât și ca număr zecimal (de exemplu $2^{-2}=\frac{1}{4}=0,25$). Observă cum, coborând de la $2^4$ spre $2^{-4}$, valoarea se înjumătățește la fiecare pas. Acest tabel este o „hartă" pe care o poți folosi oricând ai de comparat sau de ordonat puteri ale lui $2$.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, ideea-cheie pe care elevul trebuie să o interiorizeze este că exponentul negativ nu produce un număr negativ, ci un invers (o fracție). Cea mai bună cale de a verifica înțelegerea este să îi cereți să explice cu cuvintele lui de ce $a^0=1$ și de ce $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ — dacă poate reface raționamentul cu împărțirea puterilor ($\frac{2^3}{2^3}$ și $\frac{2^3}{2^5}$), înseamnă că a înțeles, nu doar a memorat.

Întrebări bune de verificare: „Cât este $3^{-2}$ și de ce nu este $-9$?", „Care e diferența dintre $(-2{)}^{-2}$ și $-2^{-2}$?", „De ce baza trebuie să fie diferită de zero?". Dacă elevul greșește semnele, opriți-l la pasul cu scăderea exponenților și cereți-i să scrie explicit, de exemplu, $-3-(-6)=-3+6=3$. Multe erori vin din regula scăderii unui număr negativ, nu din puteri în sine. Încurajați verificarea prin calcul direct (transformând în fracții) — este cea mai sigură plasă de siguranță.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă un exponent negativ la clasa a 7-a? Un exponent negativ înseamnă că iei inversul bazei ridicat la exponentul pozitiv corespunzător: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, pentru $a\ne 0$. De exemplu, $5^{-2}=\frac{1}{25}$. Nu produce un număr negativ, ci de obicei o fracție subunitară.

De ce $a$ la puterea $0$ este $1$? Pentru că împărțind o putere la ea însăși obții $1$: $\frac{a^n}{a^n}=1$, dar cu regula scăderii exponenților același calcul dă $a^{n-n}=a^0$. Ca ambele să coincidă, definim $a^0=1$, valabil pentru orice $a\ne 0$.

Este $2^{-3}$ un număr negativ? Nu. $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$, care este pozitiv. Exponentul negativ arată doar că treci la invers (la fracție), nu schimbă semnul. Semnul rezultatului depinde de semnul bazei, nu de al exponentului.

Care este diferența dintre $(-2{)}^{-2}$ și $-2^{-2}$? La $(-2{)}^{-2}$ baza este $-2$, deci $(-2{)}^{-2}=\frac{1}{(-2{)}^2}=\frac{1}{4}$ (pozitiv). La $-2^{-2}$ doar $2$ este ridicat la putere, iar minusul rămâne în afară: $-2^{-2}=-\frac{1}{4}$. Parantezele fac toată diferența.

Rămân valabile regulile de calcul cu puteri și pentru exponenți negativi? Da, toate proprietățile puterilor ($a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^m:a^n=a^{m-n}$, $(a^m{)}^n=a^{mn}$ etc.) funcționează identic pentru orice exponenți întregi, pozitivi, negativi sau zero, cu condiția ca baza să fie nenulă. Nu trebuie să înveți reguli noi.

Cum calculez o putere cu exponent negativ când baza este o fracție? Răstorni fracția și schimbi semnul exponentului în pozitiv: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$. De exemplu, ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-3}={\left(\frac{5}{2}\right)}^3=\frac{125}{8}$. Este metoda cea mai rapidă și evită fracțiile etajate.

De ce baza nu poate fi zero la exponent negativ sau zero? Pentru că $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ar duce la împărțire la zero când $a=0$, iar $0^0$ nu are o valoare bine definită. Împărțirea la zero nu este permisă în matematică, de aceea impunem mereu $a\ne 0$.

Cum ordonez puteri ale aceluiași număr, cum ar fi $2^{-3}$, $2^0$, $2^2$? Pentru o bază mai mare decât $1$ (ca $2$), cu cât exponentul este mai mare, cu atât puterea este mai mare. Deci ordinea crescătoare urmează ordinea exponenților: $2^{-3}<2^0<2^2$, adică $\frac{1}{8}<1<4$.

Cum calculez o sumă de puteri cu exponent negativ, ca $3^{-2}+3^{-1}$? La adunare NU combini exponenții. Transformi fiecare putere în fracție și aduni fracțiile: $3^{-2}+3^{-1}=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}=\frac{1}{9}+\frac{3}{9}=\frac{4}{9}$. Regula adunării exponenților ($a^m\cdot a^n=a^{m+n}$) este valabilă doar la înmulțire, niciodată la adunare.