Teorema lui Pitagora

Dacă ai vrea să afli lungimea unei scări sprijinite de un perete, distanța pe diagonala unui teren de fotbal sau înălțimea la care ajunge o dronă care se ridică în linie oblică, ai nevoie de o singură relație magică: teorema lui Pitagora. Este poate cea mai celebră formulă din toată matematica de gimnaziu și, odată ce o înțelegi, o vei folosi la geometrie, la fizică și chiar în viața de zi cu zi. În această lecție despre teorema lui Pitagora la clasa 7 vei învăța enunțul ei, o vei demonstra pornind de la teorema catetei și vei rezolva o mulțime de probleme, inclusiv câteva cu radicali.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți corect teorema lui Pitagora și să o demonstrezi pornind de la teorema catetei.
• Vei ști să scrii formula teoremei lui Pitagora pentru orice triunghi dreptunghic, folosind notația corectă.
• Vei ști să calculezi ipotenuza atunci când cunoști cele două catete.
• Vei ști să afli o catetă atunci când cunoști ipotenuza și cealaltă catetă.
• Vei ști să aplici teorema lui Pitagora în probleme cu radicali și în situații practice din viața reală.

Hai să descoperim împreună

Reamintim: ce este un triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept, adică un unghi de $90°$. Laturile lui au nume speciale:

• ipotenuza este latura cea mai lungă, cea care se află în fața unghiului drept (opusă lui);
• catetele sunt celelalte două laturi, cele care formează unghiul drept.

Ține minte regula simplă: ipotenuza stă mereu în fața unghiului drept. Dacă unghiul drept este în $A$, atunci ipotenuza este $BC$. Dacă unghiul drept este în $C$, atunci ipotenuza este $AB$. Este cel mai important lucru pe care trebuie să nu-l încurci niciodată.

Enunțul teoremei lui Pitagora

Iată vedeta lecției:

Teorema lui Pitagora. Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Cu litere, dacă triunghiul $ABC$ are unghiul drept în $A$ (deci ipotenuza este $BC$, iar catetele sunt $AB$ și $AC$), atunci:

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$

Pe scurt, dacă notăm ipotenuza cu $i$ și catetele cu $c_1$ și $c_2$, formula teoremei lui Pitagora se scrie:

$$i^2=c_1^2+c_2^2$$

Reține cuvintele cheie: „ipotenuza la pătrat" stă singură de o parte a egalului, iar „suma pătratelor catetelor" stă de cealaltă parte. Ipotenuza fiind cea mai lungă latură, este firesc ca pătratul ei să fie cel mai mare — el este suma celorlalte două pătrate.

Ce înseamnă „pătratul unei laturi", de fapt

Numele teoremei vine de la o imagine geometrică frumoasă. Dacă pe fiecare latură a triunghiului construim un pătrat (având latura egală cu latura respectivă), atunci aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete.

De exemplu, la un triunghi cu catetele $3$ și $4$: pătratul de pe o catetă are aria $3^2=9$, pătratul de pe cealaltă catetă are aria $4^2=16$, iar pătratul de pe ipotenuză are aria $9+16=25=5^2$. Deci ipotenuza este $5$. Această legătură între arii este chiar inima teoremei și explică de ce apar peste tot pătrate ale laturilor.

Demonstrația teoremei lui Pitagora din teorema catetei

La clasa a VII-a, cea mai naturală demonstrație a teoremei lui Pitagora pornește de la un rezultat pe care l-ai învățat în lecția despre teorema catetei. Hai să o construim pas cu pas.

Ipoteză. Fie triunghiul $ABC$ cu unghiul drept în $A$. Ducem înălțimea din $A$ pe ipotenuză; piciorul ei îl notăm $D$, deci $AD\perp BC$, cu $D\in BC$.

Concluzie de demonstrat. $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$.

Pasul 1 — folosim teorema catetei. Teorema catetei spune că, într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză. Aplicăm teorema pentru fiecare dintre cele două catete.

Pentru cateta $AB$, a cărei proiecție pe ipotenuză este segmentul $BD$: $$A{B}^2=BC\cdot BD$$

Pentru cateta $AC$, a cărei proiecție pe ipotenuză este segmentul $CD$: $$A{C}^2=BC\cdot CD$$

Pasul 2 — adunăm cele două egalități. Adunând membru cu membru, obținem: $$A{B}^2+A{C}^2=BC\cdot BD+BC\cdot CD$$

Pasul 3 — dăm factor comun. În partea dreaptă, $BC$ apare în ambii termeni, așa că îl scoatem factor comun: $$A{B}^2+A{C}^2=BC\cdot (BD+CD)$$

Pasul 4 — folosim că $D$ este între $B$ și $C$. Fiindcă $D$ se află pe segmentul $BC$, cele două proiecții se completează exact: $BD+CD=BC$. Înlocuim: $$A{B}^2+A{C}^2=BC\cdot BC=B{C}^2$$

Am ajuns la $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, adică exact teorema lui Pitagora. Q.E.D. (ceea ce era de demonstrat).

Observă cât de elegant este raționamentul: două aplicații ale teoremei catetei, o adunare și o dare de factor comun. Merită să reții acest lanț, pentru că este chiar tipul de demonstrație pe care programa de clasa a VII-a ți-l cere.

Cum calculezi ipotenuza când cunoști catetele

Aceasta este cea mai simplă folosire a teoremei. Ai catetele, vrei ipotenuza. Pornim de la formulă: $$i^2=c_1^2+c_2^2$$

Ridici fiecare catetă la pătrat, le aduni, iar apoi extragi rădăcina pătrată din rezultat, pentru că ipotenuza este un număr pozitiv (o lungime): $$i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$$

Exemplu rapid. Catetele sunt $6$ cm și $8$ cm. Atunci: $$i^2=6^2+8^2=36+64=100⟹i=\sqrt{100}=10\text{ cm}.$$

De multe ori rezultatul nu este un pătrat perfect și rămâne un radical. De exemplu, dacă ambele catete sunt $2$: $$i^2=2^2+2^2=4+4=8⟹i=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

Aici am folosit scoaterea factorilor de sub radical: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$. Vei întâlni des radicali în problemele cu teorema lui Pitagora, așa că e bine să ai la îndemână operațiile cu radicali.

Cum afli o catetă când cunoști ipotenuza și cealaltă catetă

Aici mulți elevi greșesc, așa că fii atent. Pornim tot de la aceeași relație: $$i^2=c_1^2+c_2^2$$

Dacă cunoști ipotenuza $i$ și o catetă (să zicem $c_1$) și vrei cealaltă catetă $c_2$, atunci treci termenul cunoscut de cealaltă parte, cu semn schimbat. Deoarece $c_2^2=i^2-c_1^2$, avem: $$c_2=\sqrt{i^2-c_1^2}$$

Cuvântul cheie este scădere: când afli o catetă, scazi pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei. Când afli ipotenuza, aduni pătratele catetelor. Nu le încurca!

Exemplu rapid. Ipotenuza este $13$ și o catetă este $5$. Cealaltă catetă: $$c_2^2=13^2-5^2=169-25=144⟹c_2=\sqrt{144}=12.$$

O verificare de bun-simț: rezultatul unei catete trebuie să iasă mai mic decât ipotenuza. Dacă îți iese o catetă mai mare decât ipotenuza, sigur ai greșit undeva (probabil ai adunat în loc să scazi).

Triplete pitagoreice — prietenii tăi de calcul rapid

Anumite triplete de numere naturale verifică relația $a^2+b^2=c^2$ și apar foarte des în probleme. Se numesc triplete pitagoreice. Cele mai folosite:

• $(3,4,5)$, fiindcă $9+16=25$;
• $(6,8,10)$ — dublul primului;
• $(5,12,13)$, fiindcă $25+144=169$;
• $(8,15,17)$, fiindcă $64+225=289$;
• $(7,24,25)$, fiindcă $49+576=625$;
• $(9,12,15)$ — triplul primului.

Dacă înmulțești un triplet cu același număr, obții tot un triplet. De pildă, din $(3,4,5)$ obții $(9,12,15)$ înmulțind cu $3$. Când recunoști aceste numere, poți sări peste calcule și da răspunsul aproape instant.

Un caz special foarte util: triunghiul dreptunghic isoscel

Dacă triunghiul dreptunghic are catetele egale, adică $c_1=c_2=c$, atunci: $$i^2=c^2+c^2=2c^2⟹i=c\sqrt{2}.$$

Deci ipotenuza triunghiului dreptunghic isoscel este egală cu cateta înmulțită cu $\sqrt{2}$. Aceasta este chiar formula diagonalei unui pătrat de latură $c$: diagonala $=c\sqrt{2}$, pentru că o diagonală taie pătratul în două triunghiuri dreptunghice isoscele.

Ține minte această formulă — o vei folosi la aria pătratului, la probleme cu diagonale și în multe alte locuri.

Când se aplică (și când NU se aplică) teorema

Este esențial să reții o condiție pe care mulți elevi o uită la primul contact cu teorema: teorema lui Pitagora funcționează numai în triunghiuri dreptunghice. Dacă triunghiul nu are un unghi de $90°$, relația $a^2+b^2=c^2$ pur și simplu nu mai este adevărată și, dacă o aplici, vei obține un rezultat greșit fără să-ți dai seama.

Gândește-te la ce spune de fapt egalitatea. Într-un triunghi dreptunghic, unghiul drept este cel mai mare unghi, iar latura din fața lui — ipotenuza — este cea mai lungă. Legătura $i^2=c_1^2+c_2^2$ este echilibrul perfect dintre aceste laturi. Dacă „deschizi" unghiul drept și îl faci obtuz (mai mare de $90°$), latura din fața lui crește, iar suma pătratelor catetelor devine mai mică decât pătratul acelei laturi. Dacă „închizi" unghiul și îl faci ascuțit (mai mic de $90°$), latura din față se scurtează, iar suma pătratelor devine mai mare. Doar exact la $90°$ cele două părți se echilibrează perfect. De aceea primul lucru pe care îl faci în orice problemă este să te asiguri că lucrezi cu un triunghi dreptunghic — altfel formula nu are voie să fie folosită.

Vestea bună este că poți întâlni triunghiuri dreptunghice și acolo unde nu par la prima vedere. Multe figuri obișnuite ascund în interiorul lor triunghiuri dreptunghice pe care le poți „scoate la lumină" cu o singură linie ajutătoare, iar apoi le rezolvi cu Pitagora.

Cum recunoști ipotenuza în figuri mai complicate

În exercițiile de la clasă vei vedea rar triunghiul dreptunghic desenat singur, curat. Cel mai des el este ascuns într-o altă figură, iar sarcina ta este să-l descoperi. Iată tiparele care apar cel mai des:

• Diagonala unui dreptunghi sau a unui pătrat. O diagonală împarte figura în două triunghiuri dreptunghice, în care laturile figurii sunt catetele, iar diagonala este ipotenuza.
• Înălțimea unui triunghi isoscel sau echilateral. Când cobori înălțimea pe baza unui triunghi isoscel, ea împarte baza în două părți egale și formează două triunghiuri dreptunghice. Înălțimea și jumătate din bază sunt catetele, iar latura oblică este ipotenuza.
• Semidiagonalele unui romb. Diagonalele unui romb sunt perpendiculare și se taie exact la jumătate. Ele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice mici, în care jumătățile de diagonale sunt catetele, iar latura rombului este ipotenuza.
• O situație practică din realitate. Scara sprijinită de perete, cablul întins de la un catarg, drumul pe diagonala unui teren — toate ascund un triunghi dreptunghic în care „linia oblică" este de obicei ipotenuza.

Regula de aur rămâne aceeași peste tot: după ce ai identificat triunghiul dreptunghic, caută unghiul de $90°$ și numește ipotenuza latura din fața lui. Abia apoi scrii formula. Dacă îți iei acest obicei, nu vei mai greși niciodată care latură se adună și care stă singură.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — calculul ipotenuzei

Enunț. În triunghiul $MNP$ cu unghiul drept în $M$, catetele sunt $MN=9$ cm și $MP=12$ cm. Cât este ipotenuza $NP$?

Rezolvare. Unghiul drept fiind în $M$, ipotenuza este $NP$ (latura opusă lui $M$). Aplicăm teorema lui Pitagora: $$N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2=9^2+12^2=81+144=225.$$ Extragem rădăcina: $NP=\sqrt{225}=15$ cm.

Verificare. Numerele $(9,12,15)$ formează un triplet pitagoreic (triplul lui $3,4,5$), deci răspunsul este corect. Ipotenuza este $15$ cm.

Exemplul 2 — aflarea unei catete

Enunț. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de $26$ cm și o catetă de $10$ cm. Află cealaltă catetă.

Rezolvare. Notăm ipotenuza $i=26$ și cateta cunoscută $c_1=10$. Cealaltă catetă: $$c_2^2=i^2-c_1^2=26^2-10^2=676-100=576.$$ Deci $c_2=\sqrt{576}=24$ cm.

Verificare. $10^2+24^2=100+576=676=26^2$. Corect. Cateta $24$ cm este mai mică decât ipotenuza $26$ cm, cum era de așteptat. Cealaltă catetă este $24$ cm.

Exemplul 3 — rezultat cu radical

Enunț. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt $3$ cm și $5$ cm. Cât este ipotenuza? Scrie rezultatul cu radicalul cât mai simplu.

Rezolvare. $$i^2=3^2+5^2=9+25=34⟹i=\sqrt{34}\text{ cm}.$$ Numărul $34=2\cdot 17$ nu are niciun factor pătrat perfect, așa că $\sqrt{34}$ nu se mai poate simplifica. Rezultatul rămâne $i=\sqrt{34}$ cm (aproximativ $5,83$ cm).

Ideea de reținut. Nu orice problemă are răspuns „frumos". Când sub radical rămâne un număr fără factori pătrați perfecți, lăsăm radicalul ca atare — este forma exactă a răspunsului.

Exemplul 4 — scoaterea factorilor de sub radical

Enunț. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de câte $7$ cm. Află lungimea ipotenuzei.

Rezolvare. Fiind isoscel, folosim formula $i=c\sqrt{2}$ cu $c=7$: $$i=7\sqrt{2}\text{ cm}.$$ Verificăm și direct: $$i^2=7^2+7^2=49+49=98,i=\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}\text{ cm}.$$

Ipotenuza este $7\sqrt{2}$ cm (aproximativ $9,9$ cm). Observă cum scoaterea factorilor de sub radical, $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$, ne dă exact același rezultat ca formula rapidă.

Exemplul 5 — problemă practică cu scara

Enunț. O scară de $2,5$ m este sprijinită de un perete vertical. Baza scării se află la $0,7$ m distanță de perete, pe pământul orizontal. La ce înălțime pe perete ajunge vârful scării?

Rezolvare. Scara, peretele și pământul formează un triunghi dreptunghic. Scara este ipotenuza ($2,5$ m), distanța de la perete este o catetă ($0,7$ m), iar înălțimea căutată $h$ este cealaltă catetă.

Aplicăm teorema pentru a afla cateta $h$: $$h^2=2,5^2-0,7^2=6,25-0,49=5,76⟹h=\sqrt{5,76}=2,4\text{ m}.$$

Verificare. $0,7^2+2,4^2=0,49+5,76=6,25=2,5^2$. Corect. Vârful scării ajunge la $2,4$ m înălțime.

Exemplul 6 — diagonala unui dreptunghi

Enunț. Un ecran de televizor are forma unui dreptunghi cu laturile de $48$ cm și $27$ cm. Cât de lungă este diagonala ecranului? Dă rezultatul sub formă de radical simplificat.

Rezolvare. Diagonala unui dreptunghi este ipotenuza triunghiului dreptunghic format de două laturi vecine. Deci: $$d^2=48^2+27^2=2304+729=3033.$$ Descompunem: $3033=9\cdot 337$, iar $337$ este prim. Atunci: $$d=\sqrt{3033}=\sqrt{9\cdot 337}=3\sqrt{337}\text{ cm}.$$

Diagonala este $3\sqrt{337}$ cm (aproximativ $55,1$ cm). Am folosit din nou scoaterea factorului de sub radical, pentru că $3033$ conține pătratul perfect $9$.

Exemplul 7 — înălțimea unui triunghi echilateral

Enunț. Un triunghi echilateral are latura de $6$ cm. Cât este înălțimea lui? Dă rezultatul sub formă de radical simplificat.

Rezolvare. Un triunghi echilateral are toate laturile egale și toate unghiurile de $60°$. Când coborâm înălțimea dintr-un vârf pe latura opusă, ea cade exact la mijlocul acelei laturi (o proprietate a triunghiului isoscel, iar echilateralul este un caz particular de isoscel). Astfel se formează un triunghi dreptunghic.

În triunghiul dreptunghic astfel obținut, ipotenuza este latura triunghiului ($6$ cm), o catetă este jumătate din bază ($6:2=3$ cm), iar cealaltă catetă este chiar înălțimea $h$ pe care o căutăm. Aplicăm teorema pentru a afla cateta: $$h^2=6^2-3^2=36-9=27⟹h=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}\text{ cm}.$$

Înălțimea este $3\sqrt{3}$ cm (aproximativ $5,2$ cm). Reține tiparul general: înălțimea unui triunghi echilateral de latură $a$ este $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Îl vei folosi des la calculul ariilor.

Exemplul 8 — distanța dintre două puncte pe caroiaj

Enunț. Într-un reper cartezian, punctul $A$ are coordonatele $(1,2)$, iar punctul $B$ are coordonatele $(5,5)$. Cât de departe se află cele două puncte unul de celălalt?

Rezolvare. Când ducem un segment oblic pe caroiajul reperului, putem completa un triunghi dreptunghic „lipind" de el o latură orizontală și una verticală. Segmentul $AB$ este atunci ipotenuza, iar cele două catete se citesc direct din coordonate.

Cateta orizontală este diferența absciselor (coordonatele pe axa $Ox$): $5-1=4$. Cateta verticală este diferența ordonatelor (coordonatele pe axa $Oy$): $5-2=3$. Aplicăm teorema lui Pitagora pentru ipotenuză: $$A{B}^2=4^2+3^2=16+9=25⟹AB=\sqrt{25}=5.$$

Distanța dintre punctele $A$ și $B$ este $5$ unități. Observă cum am regăsit vechiul nostru prieten, tripletul $(3,4,5)$. Ideea de a completa un triunghi dreptunghic pe caroiaj funcționează pentru orice două puncte: numeri câte pătrățele mergi pe orizontală și câte pe verticală, apoi aplici teorema.

Exemplul 9 — latura unui romb din diagonale

Enunț. Un romb are diagonalele de $12$ cm și $16$ cm. Cât este latura rombului?

Rezolvare. La un romb, cele două diagonale sunt perpendiculare una pe alta și se taie exact la jumătate. În punctul lor de intersecție se formează patru unghiuri drepte, deci patru triunghiuri dreptunghice egale. Pentru fiecare, catetele sunt jumătățile diagonalelor, iar ipotenuza este chiar latura rombului.

Jumătățile diagonalelor sunt $16:2=8$ cm și $12:2=6$ cm. Latura rombului este ipotenuza triunghiului dreptunghic format: $$l^2=8^2+6^2=64+36=100⟹l=\sqrt{100}=10\text{ cm}.$$

Latura rombului este $10$ cm. Din nou apare un triplet pitagoreic, de data aceasta $(6,8,10)$. Reține proprietatea folosită: la romb diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc, ceea ce transformă orice problemă cu romburi într-o problemă cu triunghiuri dreptunghice.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile de mai jos într-un caiet. Sunt gradate de la ușor la greu. La geometrie, fă mai întâi un desen.

1. Într-un triunghi dreptunghic cu catetele $3$ cm și $4$ cm, cât este ipotenuza?

2. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt $8$ cm și $15$ cm. Află ipotenuza.

3. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este $10$ cm, iar o catetă este $6$ cm. Află cealaltă catetă.

4. Ipotenuza este $25$ cm și o catetă este $7$ cm. Cât este cealaltă catetă?

5. Scrie formula teoremei lui Pitagora pentru un triunghi $ABC$ dreptunghic în $B$, precizând care latură este ipotenuza.

6. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de câte $5$ cm. Află ipotenuza (sub formă de radical simplificat).

7. Catetele sunt $2$ cm și $6$ cm. Află ipotenuza, cu radicalul cât mai simplu.

8. Adevărat sau fals (motivează): „Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza poate fi mai scurtă decât o catetă."

9. Adevărat sau fals (motivează): „Dacă un triunghi are laturile $5$, $12$ și $13$, atunci este dreptunghic." (Indicație: verifică $5^2+12^2$ față de $13^2$.)

10. Un dreptunghi are laturile $9$ cm și $12$ cm. Cât este diagonala lui?

11. Diagonala unui pătrat este de $6\sqrt{2}$ cm. Cât este latura pătratului?

12. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza $17$ cm și o catetă $8$ cm. Află cealaltă catetă și apoi calculează perimetrul triunghiului.

13. Vârful unui catarg este ținut de un cablu întins până la un punct de pe sol aflat la $9$ m de baza catargului. Catargul are $12$ m înălțime. Ce lungime are cablul?

14. Un triunghi dreptunghic are catetele $a$ și $a+1$ și ipotenuza $5$ cm. Știind că $a$ este număr natural, află catetele. (Indicație: încearcă tripletul $3,4,5$.)

15. Justifică pas cu pas deducerea teoremei lui Pitagora din teorema catetei, pentru un triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$ cu înălțimea $AD$ pe ipotenuză.

16. Un teren dreptunghic are lungimea $40$ m și lățimea $30$ m. Un om merge pe două laturi (de-a lungul lungimii și apoi al lățimii), iar altul merge direct pe diagonală. Cu câți metri este mai scurt drumul pe diagonală?

17. În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$, se știe $AB=6$ cm și $BC=6\sqrt{2}$ cm. Ce fel de triunghi este $ABC$? Justifică prin calculul catetei $AC$.

18. Un triunghi dreptunghic are catetele exprimate în cm prin numerele $x$ și $x+7$, iar ipotenuza $13$ cm. Află $x$ (folosind un triplet pitagoreic cunoscut) și scrie lungimile celor două catete.

Răspunsuri și explicații

1. $i^2=3^2+4^2=9+16=25$, deci $i=\sqrt{25}=5$ cm. (Tripletul $3,4,5$.)

2. $i^2=8^2+15^2=64+225=289$, deci $i=\sqrt{289}=17$ cm. (Tripletul $8,15,17$.)

3. $c^2=10^2-6^2=100-36=64$, deci $c=\sqrt{64}=8$ cm. (Tripletul $6,8,10$; se scade, fiindcă aflăm o catetă.)

4. $c^2=25^2-7^2=625-49=576$, deci $c=\sqrt{576}=24$ cm. (Tripletul $7,24,25$.)

5. Fiind dreptunghic în $B$, ipotenuza este latura opusă lui $B$, adică $AC$. Formula: $\mathbf{A}{\mathbf{C}}^2=\mathbf{A}{\mathbf{B}}^2+\mathbf{B}{\mathbf{C}}^2$.

6. $i=5\sqrt{2}$ cm. Verificare: $i^2=5^2+5^2=50$, iar $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$ cm.

7. $i^2=2^2+6^2=4+36=40$, deci $i=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}$ cm.

8. Fals. Ipotenuza este întotdeauna latura cea mai lungă (este opusă celui mai mare unghi, cel drept de $90°$). Din formulă, $i^2=c_1^2+c_2^2>c_1^2$, deci $i>c_1$; la fel $i>c_2$. Ipotenuza este mereu mai mare decât fiecare catetă.

9. Adevărat. $5^2+12^2=25+144=169=13^2$. Fiindcă suma pătratelor a două laturi este egală cu pătratul celei de-a treia, triunghiul este dreptunghic (aceasta va fi chiar reciproca teoremei lui Pitagora, din lecția următoare).

10. $d^2=9^2+12^2=81+144=225$, deci $d=\sqrt{225}=15$ cm.

11. Diagonala pătratului este $d=l\sqrt{2}$. Din $l\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ rezultă $l=6$ cm. (Verificare: $6^2+6^2=72=(6\sqrt{2}{)}^2$.)

12. $c^2=17^2-8^2=289-64=225$, deci $c=15$ cm. Perimetrul $=8+15+17=40$ cm.

13. Cablul este ipotenuza: $L^2=12^2+9^2=144+81=225$, deci $L=\sqrt{225}=15$ m.

14. Încercăm $a=3$: catetele $3$ și $4$, iar $3^2+4^2=25=5^2$. Corect. Catetele sunt $3$ cm și $4$ cm.

15. Ducem $AD\perp BC$, $D\in BC$. Din teorema catetei: $A{B}^2=BC\cdot BD$ și $A{C}^2=BC\cdot CD$. Adunând: $A{B}^2+A{C}^2=BC(BD+CD)$. Cum $BD+CD=BC$ (fiindcă $D$ este între $B$ și $C$), obținem $A{B}^2+A{C}^2=BC\cdot BC=B{C}^2$. Deci $\mathbf{B}{\mathbf{C}}^2=\mathbf{A}{\mathbf{B}}^2+\mathbf{A}{\mathbf{C}}^2$.

16. Diagonala: $d^2=40^2+30^2=1600+900=2500$, deci $d=50$ m. Pe două laturi: $40+30=70$ m. Diferența: $70-50=20$ m mai scurt pe diagonală.

17. Aflăm cateta $AC$: $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=(6\sqrt{2}{)}^2-6^2=72-36=36$, deci $AC=6$ cm. Cum $AC=AB=6$ cm, triunghiul este dreptunghic isoscel.

18. Tripletul $5,12,13$ are catetele care diferă cu $7$. Deci $x=5$, iar catetele sunt $5$ cm și $12$ cm. (Verificare: $5^2+12^2=169=13^2$.)

De reținut

• Teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, $i^2=c_1^2+c_2^2$, adică pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor.
• Ipotenuza este mereu latura cea mai lungă și stă în fața unghiului drept.
• Calculul ipotenuzei: $i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$ (aduni pătratele catetelor).
• Aflarea unei catete: $c_2=\sqrt{i^2-c_1^2}$ (scazi pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei).
• Triunghiul dreptunghic isoscel are ipotenuza $i=c\sqrt{2}$; aceasta este și diagonala unui pătrat de latură $c$.

Greșeli frecvente

• Confuzia adunare/scădere. Când afli ipotenuza aduni pătratele; când afli o catetă scazi. Regula sigură: ipotenuza (cea mai mare) stă singură la pătrat, iar catetele se adună. Dacă îți iese o catetă mai mare decât ipotenuza, ai adunat greșit.
• Uitarea rădăcinii pătrate. După ce calculezi $i^2=100$, răspunsul nu este $100$, ci $i=\sqrt{100}=10$. Nu confunda pătratul laturii cu latura însăși.
• Identificarea greșită a ipotenuzei. Ipotenuza NU este mereu latura $BC$ sau latura de jos a desenului — este latura opusă unghiului drept. Verifică întâi unde se află unghiul de $90°$.
• Uitarea simplificării radicalului. Un rezultat ca $\sqrt{50}$ trebuie scris $5\sqrt{2}$. Scoate factorii pătrați perfecți de sub radical pentru forma finală corectă.

Aplică acasă

1. Măsoară diagonala unei mese. Ia o riglă sau un metru și măsoară lungimea și lățimea blatului mesei din bucătărie (în cm). Calculează diagonala cu teorema lui Pitagora, apoi măsoar-o direct cu metrul. Cât de aproape este calculul de măsurătoare? Diferența mică vine din erorile de măsurare.

2. Verifică un colț drept prin metoda 3-4-5. Constructorii verifică dacă un colț este perfect drept măsurând $3$ unități pe o latură, $4$ pe cealaltă și controlând dacă distanța dintre capete este exact $5$. Încearcă acasă la un colț de cameră sau la o ramă: dacă iese $5$, colțul este de $90°$. Explică de ce funcționează, folosind tripletul $(3,4,5)$.

3. Estimează distanța pe diagonala unui teren. Alege un teren de sport sau o curte dreptunghiulară din cartier. Estimează lungimea și lățimea în metri, apoi calculează cât ar economisi cineva care merge pe diagonală față de mersul pe două laturi. Compară cu rezultatul de la exercițiul 16.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este una dintre cele mai importante din geometria clasei a VII-a, pentru că teorema lui Pitagora reapare la trigonometrie, la arii și, mai târziu, la geometria în spațiu din clasa a VIII-a. Cel mai bun sprijin este să încurajați copilul să facă mereu un desen și să identifice corect ipotenuza înainte de a scrie formula.

Câteva întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Care latură este ipotenuza și de ce?" (trebuie să spună: cea opusă unghiului drept, cea mai lungă);
• „Când aduni pătratele și când le scazi?" (aduni pentru ipotenuză, scazi pentru o catetă);
• „De ce, după ce ai aflat $i^2=169$, mai extragi rădăcina?" (pentru că $i$ este latura, nu pătratul ei);
• „Poți demonstra teorema pornind de la teorema catetei?"

Veți ști că a înțeles cu adevărat dacă poate rezolva o problemă aplicată (scara, diagonala, cablul) fără să i se spună care este ipotenuza — adică dacă traduce singur situația într-un triunghi dreptunghic. Dacă greșește semnul (adună în loc să scadă), reamintiți-i verificarea de bun-simț: o catetă iese întotdeauna mai mică decât ipotenuza.

Întrebări frecvente

Care este formula teoremei lui Pitagora la clasa 7? Formula este $i^2=c_1^2+c_2^2$, unde $i$ este ipotenuza (latura opusă unghiului drept), iar $c_1$ și $c_2$ sunt catetele. În cuvinte: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Se aplică numai în triunghiuri dreptunghice.

Cum calculez ipotenuza dacă știu catetele? Ridici fiecare catetă la pătrat, aduni cele două rezultate și extragi rădăcina pătrată din sumă: $i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$. De exemplu, pentru catetele $6$ și $8$: $i=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Cum aflu o catetă dacă știu ipotenuza și cealaltă catetă? Scazi pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei și extragi rădăcina: $c_2=\sqrt{i^2-c_1^2}$. Atenție, aici se scade, nu se adună, iar rezultatul trebuie să fie mai mic decât ipotenuza.

Care este demonstrația teoremei lui Pitagora la clasa a 7-a? Se pleacă de la teorema catetei. Ducem înălțimea din unghiul drept pe ipotenuză și scriem $A{B}^2=BC\cdot BD$ și $A{C}^2=BC\cdot CD$. Adunând și dând factor comun pe $BC$, folosim că $BD+CD=BC$ și obținem $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$.

Ce sunt tripletele pitagoreice? Sunt grupuri de trei numere naturale care verifică $a^2+b^2=c^2$, cum ar fi $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$ și $(7,24,25)$. Recunoașterea lor te ajută să dai răspunsul rapid, fără a mai extrage rădăcina.

Teorema lui Pitagora se aplică la orice triunghi? Nu. Se aplică doar în triunghiuri dreptunghice, adică cele care au un unghi de $90°$. Într-un triunghi fără unghi drept, relația $a^2+b^2=c^2$ nu este valabilă.

De ce ipotenuza este cea mai lungă latură? Pentru că este opusă celui mai mare unghi din triunghi, unghiul drept de $90°$. Din formula $i^2=c_1^2+c_2^2$ rezultă că $i^2$ este mai mare decât fiecare pătrat al catetelor, deci $i$ este mai mare decât fiecare catetă.

Ce fac dacă rezultatul iese cu radical? Îl lași sub formă de radical, dar simplificat: scoți factorii pătrați perfecți de sub radical. De exemplu, $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$. Dacă numărul de sub radical nu are factori pătrați perfecți (ca $\sqrt{34}$), îl lași așa, fiind forma exactă a răspunsului.