Împărțirea numerelor reale cu radicali

Ai un teren pătrat cu aria de $50{\text{m}}^2$ și un altul, tot pătrat, cu aria de $2{\text{m}}^2$. De câte ori este mai mare latura primului față de a celui de-al doilea? Ca să afli, trebuie să împarți $\sqrt{50}$ la $\sqrt{2}$ — și, dacă aplici corect regula pe care o înveți azi, vei descoperi că răspunsul este un număr surprinzător de simplu: $5$. Împărțirea numerelor reale cu radicali este ultima piesă din setul de operații de bază cu radicali și, la fel ca înmulțirea din lecția anterioară, are o regulă frumoasă și ușor de folosit. Hai să o descoperim pas cu pas.

Ce vei învăța

• Vei ști să împarți doi radicali folosind regula $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}$, pentru numere pozitive și $b\ne 0$.
• Vei ști să simplifici câturi de radicali de forma $\sqrt{18}:\sqrt{2}$ și să obții rezultate mai simple.
• Vei ști să împarți un radical la un număr rațional și invers.
• Vei ști să scrii un cât de radicali sub formă de fracție și să reduci fracția.
• Vei ști să alegi cea mai rapidă cale de calcul dintre „împart întâi" și „simplific întâi".

Hai să descoperim împreună

1. De unde pornim: ce știm deja despre radicali

Înainte de a împărți, să ne reamintim câteva lucruri esențiale despre rădăcina pătrată. Pentru un număr real $a\ge 0$, simbolul $\sqrt{a}$ (citit „radical din $a$" sau „rădăcina pătrată a lui $a$") înseamnă acel număr pozitiv sau nul care, ridicat la pătrat, dă $a$. Cu alte cuvinte, ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$ și $\sqrt{a}\ge 0$.

De exemplu, $\sqrt{9}=3$ pentru că $3^2=9$, iar $\sqrt{0}=0$. Nu are sens $\sqrt{-4}$ la clasa a VII-a, pentru că niciun număr real ridicat la pătrat nu dă un număr negativ. De aceea, toate regulile despre radicali funcționează doar pentru numere pozitive sau nule. Ține minte această condiție — o vom repeta des.

În lecțiile anterioare ai învățat deja două lucruri de care vom avea nevoie:

• Scoaterea factorilor de sub radical (vezi lecția Scoaterea factorilor de sub radical): de exemplu, $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.
• Înmulțirea radicalilor (vezi lecția Înmulțirea numerelor reale cu radicali): regula $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$.

Împărțirea de azi este „sora" înmulțirii: are exact aceeași formă, doar că înlocuim înmulțirea cu împărțirea.

Ne va fi de folos și o listă cu pătratele perfecte, pentru că le vom întâlni des ca rezultat al împărțirilor:

$$1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225.$$

Acestea sunt $1^2,2^2,3^2,\dots ,15^2$. Ori de câte ori sub un radical apare unul dintre aceste numere, radicalul „dispare" și devine un număr întreg. Recunoașterea rapidă a pătratelor perfecte este cheia unei împărțiri de radicali făcute din câteva secunde.

2. Regula de aur a împărțirii radicalilor

Iată regula centrală a acestei lecții:

$$\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b},\text{pentru }a\ge 0,b>0.$$

În cuvinte: câtul a doi radicali este radicalul câtului. Împarți ce este sub radical și lași rezultatul tot sub un singur radical.

Observă condițiile: $a$ trebuie să fie pozitiv sau nul (ca să existe $\sqrt{a}$), iar $b$ trebuie să fie strict pozitiv, adică $b>0$. De ce nu doar $b\ge 0$? Pentru că împărțim la $\sqrt{b}$, iar împărțirea la $0$ nu este permisă niciodată. Dacă $b=0$, atunci $\sqrt{b}=0$ și nu putem împărți. Așadar, la împărțire cerem numitor nenul.

De ce funcționează această regulă? Hai să o justificăm, ca să nu fie o „vrajă" pe care o accepți orbește. Notăm câtul $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ și îl ridicăm la pătrat:

$${\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2}{{\left(\sqrt{b}\right)}^2}=\frac{a}{b}.$$

Am folosit că pătratul unei fracții este fracția pătratelor și că ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$, ${\left(\sqrt{b}\right)}^2=b$. Deci $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ este un număr pozitiv (câtul a două numere pozitive) al cărui pătrat este $\frac{a}{b}$. Dar exact asta înseamnă rădăcina pătrată a lui $\frac{a}{b}$! Prin urmare:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}.$$

Iată demonstrația completă a regulii. Fiindcă am arătat-o riguros, o poți folosi cu încredere.

3. Primele exemple simple — să simțim regula

Să vedem regula la lucru pe numere prietenoase.

Exemplul A. $\sqrt{18}:\sqrt{2}=\sqrt{18:2}=\sqrt{9}=3.$

Uite ce s-a întâmplat: am adus cei doi radicali sub unul singur, am făcut împărțirea $18:2=9$, iar $\sqrt{9}$ este chiar $3$. Un rezultat rotund, fără radical! Asta se întâmplă des la împărțire: câtul de sub radical devine un pătrat perfect și radicalul „dispare".

Exemplul B. $\sqrt{75}:\sqrt{3}=\sqrt{75:3}=\sqrt{25}=5.$

Exemplul C. $\sqrt{40}:\sqrt{5}=\sqrt{40:5}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}.$

Aici câtul $40:5=8$ nu este pătrat perfect, dar tot am simplificat: am scos factorul $2$ de sub radical. Vezi cât de util este să știi și scoaterea factorilor?

Exemplul D. $\sqrt{6}:\sqrt{2}=\sqrt{6:2}=\sqrt{3}.$

Aici rezultatul rămâne un radical, $\sqrt{3}$, pentru că $3$ nu este pătrat perfect. Și e perfect corect — nu orice împărțire dă un număr „frumos", iar $\sqrt{3}$ este deja forma cea mai simplă.

Exemplul E. $\sqrt{100}:\sqrt{4}=\sqrt{100:4}=\sqrt{25}=5.$ Ai putea rezolva și direct, calculând fiecare radical separat: $\sqrt{100}=10$ și $\sqrt{4}=2$, deci $10:2=5$. Ambele drumuri duc la același rezultat — dovadă că regula este consistentă cu ce știai deja.

Observă un tipar în toate exemplele de mai sus: în loc să calculezi doi radicali separat și apoi să-i împarți (ceea ce nu poți face din cap dacă radicalii sunt „urâți"), regula îți permite să faci o singură împărțire sub radical, mult mai simplă. Aceasta este marea putere a formulei: transformă două operații grele într-una ușoară.

4. Legătura dintre împărțire și fracție

Un lucru foarte important, pe care îl vei folosi tot restul gimnaziului și liceului: a împărți înseamnă a scrie sub formă de fracție. Adică:

$$\sqrt{a}:\sqrt{b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$

Cele două scrieri sunt exact același lucru. Semnul „$:$" și linia de fracție spun aceeași poveste. De aceea, regula noastră se poate scrie și așa:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}.$$

Această formă cu fracție este adesea mai comodă, pentru că îți permite să simplifici fracția de sub radical înainte de a extrage rădăcina. Uite un exemplu în care simplificarea fracției face minuni:

$$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}=3.$$

Sau, cu numere care nu se împart exact, dar a căror fracție se poate reduce:

$$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{27}{12}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}.$$

Am redus fracția $\frac{27}{12}$ prin $3$ și am obținut $\frac{9}{4}$, o fracție cu numărător și numitor pătrate perfecte. Apoi am aplicat regula și pentru fracții: radicalul unei fracții este fracția radicalilor, $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}$. Reține și această variantă a regulii:

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},a\ge 0,b>0.$$

Este exact aceeași regulă citită „de la dreapta la stânga".

5. Împărțirea unui radical la un număr rațional (și invers)

Nu întotdeauna împarți radical la radical. Uneori ai un radical împărțit la un număr obișnuit, de exemplu $\frac{6\sqrt{5}}{2}$. Aici nu ai ce băga sub același radical — numărul $2$ nu e sub radical. Tratezi atunci partea din fața radicalului separat de radical, exact ca la o fracție cu factor:

$$\frac{6\sqrt{5}}{2}=\frac{6}{2}\cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}.$$

Împărți coeficientul $6$ la $2$ și lași $\sqrt{5}$ neatins. Gândește-te la $\sqrt{5}$ ca la o „literă", ca la un $x$: $\frac{6x}{2}=3x$. La fel se procedează și dacă radicalul este la numitor sau dacă ai coeficient și sus, și jos:

$$\frac{10\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{10}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=5\cdot \sqrt{\frac{6}{3}}=5\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}.$$

Ai văzut trucul? Separi calculul în două: coeficient cu coeficient ($10:2=5$) și radical cu radical ($\sqrt{6}:\sqrt{3}=\sqrt{2}$). Apoi le înmulțești la loc. Este exact „oglinda" a ceea ce ai făcut la înmulțirea radicalilor.

De ce ai voie să separi așa? Pentru că o expresie ca $\frac{10\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$ este de fapt un produs de fracții: $\frac{10}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$. La înmulțirea fracțiilor, numărătorii se înmulțesc între ei și numitorii între ei, deci putem grupa comod partea „numerică" ($\frac{10}{2}$) și partea „cu radicali" ($\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$). Este aceeași idee ca la calculul cu litere: $\frac{10x}{2y}=\frac{10}{2}\cdot \frac{x}{y}=5\cdot \frac{x}{y}$. Aici, în loc de $x$ și $y$, avem radicali.

Un caz frecvent: radicalul este numai la numitor. De exemplu, $\frac{20}{\sqrt{4}}=\frac{20}{2}=10$, pentru că $\sqrt{4}=2$. Sau, dacă numitorul se simplifică frumos: $\frac{\sqrt{200}}{2}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$, unde am scos întâi $\sqrt{200}=10\sqrt{2}$, apoi am împărțit coeficientul la $2$. Reține că, atunci când numitorul rămâne un radical „urât" (cum ar fi $\frac{1}{\sqrt{3}}$), avem o tehnică specială numită raționalizare, pe care o vei studia separat în lecția Raționalizarea numitorului de forma a√b. În lecția de față ne concentrăm pe cazurile în care împărțirea iese curat.

6. Două strategii: „împart întâi" sau „simplific întâi"?

De multe ori ai două drumuri către răspuns, iar amândouă sunt corecte. Să luăm $\sqrt{200}:\sqrt{8}$.

Drumul 1 — împart întâi ce e sub radical: $$\sqrt{200}:\sqrt{8}=\sqrt{200:8}=\sqrt{25}=5.$$

Drumul 2 — scot factorii de sub fiecare radical, apoi împart: $$\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{100\cdot 2}}{\sqrt{4\cdot 2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{10}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5\cdot 1=5.$$

Ambele dau $5$. Care e mai bun? Depinde de numere. Când numărul mare se împarte exact la cel mic (ca $200:8=25$), Drumul 1 e cel mai rapid. Când numerele sunt mari și greu de împărțit din cap, dar au factori comuni evidenți, Drumul 2 te ajută. Sfatul meu: încearcă întâi să împarți ce e sub radical — de cele mai multe ori la exerciții problema e construită să iasă frumos. Dacă împărțirea nu iese exactă, treci la simplificarea fracției.

7. Când câtul de sub radical nu iese pătrat perfect

Nu te aștepta ca orice împărțire să dea un număr întreg. De exemplu:

$$\sqrt{54}:\sqrt{2}=\sqrt{54:2}=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}.$$

Aici $54:2=27$ nu e pătrat perfect, dar l-am prelucrat scoțând $\sqrt{9}=3$ în față. Forma finală $3\sqrt{3}$ este forma cea mai simplă — nu se mai poate simplifica. Un rezultat este „în formă simplificată" când sub radical nu mai există niciun factor pătrat perfect (altul decât $1$).

Alt exemplu, cu fracție care nu se reduce la pătrate:

$$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}.$$

Rezultatul $\sqrt{5}$ este perfect valabil și complet simplificat. Nu-l transforma cu zecimale decât dacă ți se cere explicit o aproximare. În matematică, forma exactă $\sqrt{5}$ este preferată formei aproximative $2,236\dots$, pentru că este precisă și scurtă; zecimalele apar doar când ai nevoie de o valoare concretă, de exemplu într-o măsurătoare practică.

Este util să reții și că, uneori, un rezultat aparent complicat se dovedește un număr rațional abia după simplificare. De aceea nu te grăbi să declari „e irațional": mai întâi împarte, redu fracția și verifică dacă sub radical nu a rămas cumva un pătrat perfect ascuns. Abia după ce ai simplificat complet poți spune cu certitudine dacă rezultatul este rațional sau irațional.

8. Când câtul a doi radicali iese un număr rațional

Uneori împărțirea apare „ascunsă" într-o fracție. De exemplu, $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ este chiar $\sqrt{12}:\sqrt{3}$. Rezolvarea:

$$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2.$$

Observă un lucru foarte plăcut: aici, deși ambii termeni erau radicali, rezultatul a ieșit un număr rațional, $2$. Când poate ieși rezultatul rațional? Exact atunci când câtul de sub radical este un pătrat perfect ($4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$…). Merită să știi pe de rost pătratele perfecte până la $15^2=225$ — îți vor accelera enorm calculele.

Atenție însă la o capcană des întâlnită: regula funcționează pentru împărțire și înmulțire, dar NU pentru adunare și scădere. Adică $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}$ este adevărat, dar $\sqrt{a-b}\ne \sqrt{a}-\sqrt{b}$ în general. Verifică pe numere: $\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$, în timp ce $\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2$. Cum $4\ne 2$, se vede că radicalul „nu se împarte pe adunare/scădere". Regula noastră este specifică împărțirii.

9. Cum verifici că rezultatul e corect

Un obicei foarte bun este să-ți verifici singur răspunsul, fără să aștepți cheia. Ai două metode simple.

Metoda 1 — prin înmulțire (operația inversă). Împărțirea și înmulțirea sunt operații inverse: dacă $\sqrt{a}:\sqrt{b}=r$, atunci trebuie ca $r\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a}$. De pildă, ai calculat $\sqrt{98}:\sqrt{2}=7$. Verifici: $7\cdot \sqrt{2}=\sqrt{49}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{98}$. Se potrivește, deci răspunsul e corect. Această metodă folosește exact ce ai învățat la Înmulțirea numerelor reale cu radicali.

Metoda 2 — prin aproximare zecimală. Folosești valori aproximative pentru radicali și verifici că împărțirea „se apropie". De exemplu, la $\sqrt{60}:\sqrt{3}=2\sqrt{5}$: știm că $\sqrt{60}\approx 7,75$ și $\sqrt{3}\approx 1,73$, deci câtul $\approx 4,48$. Pe de altă parte, $2\sqrt{5}\approx 2\cdot 2,24=4,48$. Cele două valori coincid, deci rezultatul e corect. Aproximarea nu înlocuiește calculul exact, dar e o plasă de siguranță excelentă împotriva greșelilor grosolane.

10. Rezumatul metodei, ca rețetă

Când ai de împărțit numere reale cu radicali, urmează pașii:

1. Rescrie împărțirea ca fracție, dacă nu e deja: $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
2. Dacă ai coeficienți în față, separă: împarte coeficient cu coeficient și radical cu radical.
3. Pentru partea cu radicali, aplică $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ — bagă totul sub un singur radical.
4. Simplifică fracția de sub radical cât poți.
5. Dacă sub radical a rămas un pătrat perfect, extrage rădăcina. Dacă nu, scoate factorii pătrate ca să obții forma cea mai simplă.
6. Verifică: sub radicalul final nu mai trebuie să existe niciun factor pătrat perfect.

Cu această rețetă în minte, hai să lucrăm exemple complete.

11. O comparație utilă: împărțire vs. înmulțire

Ca să fixezi bine ideea, compară cele două reguli-surori una lângă alta:

• Înmulțire: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ — numerele de sub radical se înmulțesc.
• Împărțire: $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}$ — numerele de sub radical se împart.

Sunt gemene: în ambele, cei doi radicali se unesc sub unul singur, iar operația dintre ei (înmulțire sau împărțire) se mută sub radical. Singura deosebire practică este condiția: la împărțire, numitorul trebuie să fie nenul ($b>0$), pe când la înmulțire e suficient ca ambele numere să fie pozitive sau nule. Dacă ții minte una dintre reguli, o știi și pe cealaltă — schimbi doar semnul operației.

Un ultim sfat de calcul: când vezi o expresie lungă cu înmulțiri și împărțiri de radicali, poți aduna totul sub un singur radical, punând la numărător ce se înmulțește și la numitor ce împarte, apoi simplifici o singură dată. De exemplu: $$\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{10}}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{6\cdot 10}{15}}=\sqrt{\frac{60}{15}}=\sqrt{4}=2.$$ Această tehnică „totul sub un radical" te scapă de calcule intermediare urâte și e foarte eficientă la exerciții mai complicate.

12. Împărțirea radicalilor în geometria plană

Împărțirea radicalilor nu este doar un joc cu numere — o vei folosi des în geometria de clasa a VII-a, mai ales când arii și lungimi sunt exprimate exact, cu radicali. Un dreptunghi are aria $A=\text{lungime}\times \text{la˘țime}$; dacă știi aria și una dintre laturi, cealaltă latură se află prin împărțire.

Să luăm un dreptunghi cu aria $\sqrt{300}{\text{cm}}^2$ și o latură de $\sqrt{12}\text{cm}$. Cealaltă latură este:

$$\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{300}{12}}=\sqrt{25}=5\text{cm}.$$

Observă cât de curat iese: o arie și o latură care păreau „urâte" ascundeau de fapt un dreptunghi a cărui a doua latură măsoară exact $5$ cm. Așa se comportă des radicalii în probleme — valorile intermediare arată complicate, dar rezultatul final este simplu și rotund.

De aici desprindem o lecție practică importantă: păstrează forma exactă, cu radical, până la capăt și împarte abia la final. Dacă ai fi aproximat aria de la început, scriind $\sqrt{300}\approx 17,32$ și $\sqrt{12}\approx 3,46$, împărțirea ți-ar fi dat un $5,005\dots$, un număr „murdar" din care nu ai fi bănuit niciodată că răspunsul corect este fix $5$. Radicalii îți oferă precizie perfectă; folosește-i ca atare și lasă zecimalele doar pentru finalul unei măsurători practice.

13. Este câtul mai mare sau mai mic decât 1?

Uneori nu ai nevoie de valoarea exactă a unui cât, ci vrei doar să știi dacă este mai mare sau mai mic decât $1$ — de exemplu, când compari două lungimi și vrei să afli care e mai lungă. Aici regula de aur îți dă răspunsul dintr-o privire, fără calcule grele.

Fiindcă $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}$, iar rădăcina pătrată păstrează ordinea numerelor pozitive, poziția câtului față de $1$ depinde doar de cum se compară $a$ cu $b$:

• Dacă $a>b$, atunci $a:b>1$, deci $\sqrt{a:b}>1$: câtul este supraunitar (numărătorul „bate" numitorul).
• Dacă $a<b$, atunci $a:b<1$, deci câtul este subunitar.
• Dacă $a=b$, câtul este exact $1$.

De exemplu, fără să calculezi nimic, știi că $\sqrt{30}:\sqrt{7}>1$ (pentru că $30>7$), iar $\sqrt{5}:\sqrt{20}<1$ (pentru că $5<20$). Și, într-adevăr, $\sqrt{5}:\sqrt{20}=\sqrt{\frac{5}{20}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$, exact cum prevesteai. Această idee simplă — compari doar numerele de sub radical — te ajută să estimezi rapid și, mai ales, să prinzi din zbor erorile: dacă îți iese un cât supraunitar acolo unde numitorul este evident mai mare, știi sigur că ai greșit undeva și te întorci să verifici.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — împărțire directă care iese rotund

Calculează $\sqrt{98}:\sqrt{2}$.

Aplicăm regula de aur, băgând totul sub un radical: $$\sqrt{98}:\sqrt{2}=\sqrt{98:2}=\sqrt{49}=7.$$

Verificare: dacă $\sqrt{98}:\sqrt{2}=7$, atunci $7\cdot \sqrt{2}$ ar trebui să dea $\sqrt{98}$. Într-adevăr, $7\sqrt{2}=\sqrt{49\cdot 2}=\sqrt{98}$. Corect. Răspuns: $7$.

Exemplul 2 — câtul rămâne radical, dar se simplifică

Calculează $\sqrt{60}:\sqrt{3}$.

$$\sqrt{60}:\sqrt{3}=\sqrt{60:3}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}.$$

Câtul $60:3=20$ nu este pătrat perfect, dar are factorul pătrat $4$, pe care l-am scos. Răspuns: $2\sqrt{5}$.

Exemplul 3 — coeficienți în față

Calculează $\frac{12\sqrt{50}}{3\sqrt{2}}$.

Separăm coeficienții de radicali: $$\frac{12\sqrt{50}}{3\sqrt{2}}=\frac{12}{3}\cdot \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=4\cdot \sqrt{\frac{50}{2}}=4\cdot \sqrt{25}=4\cdot 5=20.$$

Am împărțit $12:3=4$, apoi $\sqrt{50}:\sqrt{2}=\sqrt{25}=5$ și, în final, $4\cdot 5=20$. Răspuns: $20$.

Exemplul 4 — folosind forma de fracție și reducerea

Calculează $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$.

Băgăm sub un singur radical și reducem fracția: $$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{72}{8}}=\sqrt{9}=3.$$

Fracția $\frac{72}{8}$ s-a redus imediat la $9$, un pătrat perfect. Răspuns: $3$.

Exemplul 5 — fracția de sub radical se reduce la pătrate

Calculează $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{18}}$.

$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{50}{18}}=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\frac{5}{3}.$$

Am redus $\frac{50}{18}$ prin $2$ și am obținut $\frac{25}{9}$, cu numărător și numitor pătrate perfecte. Răspuns: $\frac{5}{3}$.

Exemplul 6 — expresie combinată, cu ordinea operațiilor

Calculează $\frac{\sqrt{80}\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$.

Facem întâi înmulțirea de la numărător, apoi împărțirea: $$\frac{\sqrt{80}\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{80\cdot 5}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{400}}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{400}{4}}=\sqrt{100}=10.$$

La numărător am folosit înmulțirea radicalilor, $\sqrt{80}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{400}=20$; apoi $\sqrt{4}=2$ și $20:2=10$. Răspuns: $10$.

Exemplul 7 — un rezultat care rămâne irațional

Calculează $\sqrt{21}:\sqrt{7}$.

$$\sqrt{21}:\sqrt{7}=\sqrt{21:7}=\sqrt{3}.$$

Câtul $21:7=3$ nu este pătrat perfect, deci rezultatul este numărul irațional $\sqrt{3}$. Este forma finală. Răspuns: $\sqrt{3}$.

Exemplul 8 — fracție de radicali care se reduce

Calculează $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{12}}$.

Băgăm sub un singur radical și reducem fracția: $$\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{108}{12}}=\sqrt{9}=3.$$

Fracția $\frac{108}{12}$ s-a redus direct la $9$ (deoarece $108=9\cdot 12$). Răspuns: $3$.

Exemplul 9 — o mică problemă aplicată

Problemă. O grădină pătrată are aria $\sqrt{288}{\text{m}}^2$ (formă exactă), iar un strat de flori pătrat din ea are aria $\sqrt{2}{\text{m}}^2$. De câte ori este mai mare latura grădinii față de latura stratului de flori?

Raportul laturilor este raportul rădăcinilor ariilor: $$\frac{\sqrt{288}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{288}{2}}=\sqrt{144}=12.$$

Latura grădinii este de $12$ ori mai mare decât latura stratului de flori. Răspuns: de $12$ ori.

Exemplul 10 — „totul sub un radical" cu înmulțire și împărțire

Calculează $\frac{\sqrt{40}\cdot \sqrt{15}}{\sqrt{6}}$.

Aici avem și înmulțire, și împărțire de radicali. În loc să calculăm pas cu pas, adunăm totul sub un singur radical: la numărător punem factorii care se înmulțesc, iar la numitor pe cel care împarte.

$$\frac{\sqrt{40}\cdot \sqrt{15}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{40\cdot 15}{6}}=\sqrt{\frac{600}{6}}=\sqrt{100}=10.$$

Fracția $\frac{600}{6}$ s-a redus imediat la $100$, un pătrat perfect, iar $\sqrt{100}=10$. Ai văzut cum tehnica „totul sub un radical" a topit trei radicali într-un singur calcul curat? Răspuns: $10$.

Exemplul 11 — coeficienți și radical care iese pătrat perfect

Calculează $\frac{20\sqrt{147}}{5\sqrt{3}}$.

Separăm partea numerică de partea cu radicali:

$$\frac{20\sqrt{147}}{5\sqrt{3}}=\frac{20}{5}\cdot \frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}=4\cdot \sqrt{\frac{147}{3}}=4\cdot \sqrt{49}=4\cdot 7=28.$$

Am împărțit coeficienții $20:5=4$, apoi radicalii $\sqrt{147}:\sqrt{3}=\sqrt{49}=7$, iar la final $4\cdot 7=28$. Numerele păreau mari, dar rezultatul este un întreg frumos. Răspuns: $28$.

Exemplul 12 — două înmulțiri și o împărțire

Calculează $\frac{\sqrt{18}\cdot \sqrt{40}}{\sqrt{5}}$.

Adunăm totul sub un singur radical, cu produsul la numărător și împărțitorul la numitor:

$$\frac{\sqrt{18}\cdot \sqrt{40}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{18\cdot 40}{5}}=\sqrt{\frac{720}{5}}=\sqrt{144}=12.$$

Fracția $\frac{720}{5}$ s-a redus la $144$, un pătrat perfect ($12^2$). Dacă am fi calculat fiecare radical separat, ar fi fost mult mai greu; „totul sub un radical" a transformat trei radicali „urâți" într-o singură împărțire curată. Răspuns: $12$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te cu secțiunea următoare. Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu.

1. Calculează $\sqrt{32}:\sqrt{2}$.

2. Calculează $\sqrt{45}:\sqrt{5}$.

3. Calculează $\sqrt{99}:\sqrt{11}$.

4. Calculează $\sqrt{10}:\sqrt{2}$.

5. Calculează $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$.

6. Calculează $\sqrt{90}:\sqrt{2}$ și adu rezultatul la forma cea mai simplă.

7. Calculează $\frac{8\sqrt{6}}{2}$.

8. Calculează $\frac{15\sqrt{20}}{5\sqrt{5}}$.

9. Calculează $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}$.

10. Calculează $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{50}}$.

11. Calculează $\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{28}}$ (reduce fracția de sub radical).

12. Adevărat sau fals, cu motivare: $\sqrt{36}:\sqrt{4}=\sqrt{36-4}$.

13. Calculează $\frac{\sqrt{12}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$.

14. Calculează $\frac{6\sqrt{75}}{3\sqrt{3}}$.

15. Găsește numărul natural $x$ pentru care $\sqrt{x}:\sqrt{3}=4$.

16. Un dreptunghi are aria $\sqrt{200}{\text{cm}}^2$, iar una dintre laturi are lungimea $\sqrt{8}\text{cm}$. Cât măsoară cealaltă latură?

17. Adevărat sau fals, cu motivare: rezultatul lui $\sqrt{27}:\sqrt{3}$ este un număr rațional.

18. Calculează $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{50}}$ și scrie rezultatul ca fracție simplă.

19. Calculează $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}$ și adu rezultatul la forma cea mai simplă.

20. Ordonează crescător numerele $\sqrt{32}:\sqrt{2}$, $\sqrt{45}:\sqrt{5}$ și $\sqrt{180}:\sqrt{5}$ (calculează întâi fiecare).

21. Calculează $\frac{\sqrt{50}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$ (folosește tehnica „totul sub un radical").

22. Calculează $\frac{20\sqrt{98}}{4\sqrt{2}}$.

23. Găsește numărul natural $x$ pentru care $\sqrt{75}:\sqrt{x}=5$.

24. Adevărat sau fals, cu motivare: $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}$ este un număr natural.

25. Calculează $\frac{\sqrt{242}}{\sqrt{2}}$.

26. Fără a calcula valoarea exactă, spune dacă $\sqrt{40}:\sqrt{13}$ este mai mare sau mai mic decât $1$ și motivează.

27. Calculează $\frac{\sqrt{24}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

28. Calculează $\frac{\sqrt{338}}{\sqrt{2}}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\sqrt{32}:\sqrt{2}=\sqrt{32:2}=\sqrt{16}=\boxed{4}$.

2. $\sqrt{45}:\sqrt{5}=\sqrt{45:5}=\sqrt{9}=\boxed{3}$.

3. $\sqrt{99}:\sqrt{11}=\sqrt{99:11}=\sqrt{9}=\boxed{3}$.

4. $\sqrt{10}:\sqrt{2}=\sqrt{10:2}=\sqrt{5}$. Cum $5$ nu e pătrat perfect, rezultatul este $\boxed{\sqrt{5}}$ (irațional, formă finală).

5. $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{48}{3}}=\sqrt{16}=\boxed{4}$.

6. $\sqrt{90}:\sqrt{2}=\sqrt{90:2}=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=\boxed{3\sqrt{5}}$.

7. $\frac{8\sqrt{6}}{2}=\frac{8}{2}\cdot \sqrt{6}=\boxed{4\sqrt{6}}$. Aici $6$ nu se atinge, doar coeficientul se împarte.

8. $\frac{15\sqrt{20}}{5\sqrt{5}}=\frac{15}{5}\cdot \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}=3\cdot \sqrt{\frac{20}{5}}=3\cdot \sqrt{4}=3\cdot 2=\boxed{6}$.

9. $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{54}{6}}=\sqrt{9}=\boxed{3}$.

10. $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{50}}=\sqrt{\frac{200}{50}}=\sqrt{4}=\boxed{2}$.

11. $\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{28}}=\sqrt{\frac{63}{28}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\boxed{\frac{3}{2}}$. Fracția $\frac{63}{28}$ s-a redus prin $7$.

12. Fals. Membrul stâng: $\sqrt{36}:\sqrt{4}=6:2=3$. Membrul drept: $\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5,66$. Cum $3\ne 4\sqrt{2}$, egalitatea este falsă. Regula $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}$ e pentru împărțire, nu pentru scădere; $\sqrt{a-b}\ne \sqrt{a}-\sqrt{b}$ și nici nu are legătură cu împărțirea.

13. $\frac{\sqrt{12}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=\boxed{6}$.

14. $\frac{6\sqrt{75}}{3\sqrt{3}}=\frac{6}{3}\cdot \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=2\cdot \sqrt{\frac{75}{3}}=2\cdot \sqrt{25}=2\cdot 5=\boxed{10}$.

15. $\sqrt{x}:\sqrt{3}=4$ înseamnă $\sqrt{\frac{x}{3}}=4$. Ridicăm la pătrat: $\frac{x}{3}=16$, deci $x=48$. Verificare: $\sqrt{48}:\sqrt{3}=\sqrt{16}=4$. Corect. $\boxed{x=48}$.

16. Cealaltă latură = aria $:$ latura cunoscută $=\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{200}{8}}=\sqrt{25}=5$. Deci latura măsoară $\boxed{5\text{cm}}$.

17. Adevărat. $\sqrt{27}:\sqrt{3}=\sqrt{27:3}=\sqrt{9}=3$, care este un număr rațional (chiar natural). Rezultatul iese rațional pentru că sub radical a rămas pătratul perfect $9$.

18. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{50}}=\sqrt{\frac{2}{50}}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\boxed{\frac{1}{5}}$. Fracția $\frac{2}{50}$ s-a redus prin $2$.

19. $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{150}{6}}=\sqrt{25}=\boxed{5}$.

20. Calculăm fiecare: $\sqrt{32}:\sqrt{2}=\sqrt{16}=4$; $\sqrt{45}:\sqrt{5}=\sqrt{9}=3$; $\sqrt{180}:\sqrt{5}=\sqrt{36}=6$. Ordonate crescător: $3<4<6$, adică $\boxed{\sqrt{45}:\sqrt{5}<\sqrt{32}:\sqrt{2}<\sqrt{180}:\sqrt{5}}$.

21. $\frac{\sqrt{50}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{50\cdot 6}{3}}=\sqrt{\frac{300}{3}}=\sqrt{100}=\boxed{10}$.

22. $\frac{20\sqrt{98}}{4\sqrt{2}}=\frac{20}{4}\cdot \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=5\cdot \sqrt{\frac{98}{2}}=5\cdot \sqrt{49}=5\cdot 7=\boxed{35}$.

23. $\sqrt{75}:\sqrt{x}=5$ înseamnă $\sqrt{\frac{75}{x}}=5$. Ridicăm la pătrat: $\frac{75}{x}=25$, deci $x=\frac{75}{25}=3$. Verificare: $\sqrt{75}:\sqrt{3}=\sqrt{25}=5$. Corect. $\boxed{x=3}$.

24. Adevărat. $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$, iar $10$ este număr natural. Câtul de sub radical a ieșit pătrat perfect, de aceea rezultatul este întreg.

25. $\frac{\sqrt{242}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{242}{2}}=\sqrt{121}=\boxed{11}$.

26. Mai mare decât $1$. Fiindcă $\sqrt{40}:\sqrt{13}=\sqrt{\frac{40}{13}}$ și $40>13$, câtul de sub radical este supraunitar, deci și rădăcina lui este mai mare decât $1$. Nu a fost nevoie de nicio valoare exactă. $\boxed{>1}$

27. $\frac{\sqrt{24}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{24\cdot 3}{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=\boxed{6}$.

28. $\frac{\sqrt{338}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{338}{2}}=\sqrt{169}=\boxed{13}$.

De reținut

• Regula de aur: $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}$, adică $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$, valabilă pentru $a\ge 0$ și $b>0$ (numitor nenul).
• Împărțirea este scriere sub formă de fracție: $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$; poți reduce fracția de sub radical înainte de a extrage rădăcina.
• Când ai coeficienți, împarți separat: coeficient cu coeficient și radical cu radical, apoi le combini.
• Dacă sub radical rămâne un pătrat perfect, rezultatul e rațional; altfel scoți factorii pătrate pentru forma cea mai simplă.
• Regula merge doar pentru înmulțire și împărțire, niciodată pentru adunare sau scădere.

Greșeli frecvente

• „Împart radicalul pe scădere." Mulți scriu greșit $\sqrt{a-b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$. Nu! Radicalul se comportă frumos doar la înmulțire și împărțire. Verifică oricând pe numere mici ($\sqrt{25-9}=4$, dar $\sqrt{25}-\sqrt{9}=2$).
• Uit condiția numitorul nenul. Nu poți împărți la $\sqrt{0}=0$. Cere mereu $b>0$ la numitor.
• Împart și coeficientul cu ce e sub radical. La $\frac{6\sqrt{5}}{2}$, unii fac greșit $6:2$ „amestecat" cu $5$. Corect: $6:2=3$ rămâne coeficient, iar $\sqrt{5}$ nu se atinge, deci $3\sqrt{5}$.
• Las rezultatul nesimplificat. După împărțire, verifică dacă sub radical mai există un pătrat perfect. $\sqrt{20}$ nu e forma finală; corect este $2\sqrt{5}$.
• Declar prea repede „e irațional". Dacă vezi $\sqrt{\frac{50}{18}}$ și fracția nu e pătrat perfect, nu te grăbi: mai întâi reduce fracția. Aici $\frac{50}{18}=\frac{25}{9}$, iar $\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$ este perfect rațional. Un pătrat perfect se poate ascunde după o simplificare.

Aplică acasă

• Terenuri pătrate. Măsoară (sau alege) ariile a două suprafețe pătrate din jurul tău — de exemplu o dală de gresie și o cameră. Împarte $\sqrt{A_1}:\sqrt{A_2}$ ca să afli de câte ori este mai lungă latura uneia față de a celeilalte. Compară cu raportul real al laturilor.
• Fabrică de exerciții. Pornește de la un rezultat frumos și construiește invers un exercițiu: alege $\sqrt{c}$ (de exemplu $\sqrt{5}$) și un număr $b$ (de exemplu $2$), calculează $a=c\cdot b=10$; atunci $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{10}:\sqrt{2}=\sqrt{5}$. Creează 5 astfel de exerciții și dă-le unui coleg să le rezolve.
• Verificator cu calculatorul. Ia trei împărțiri de radicali, calculează-le pe caiet cu regula, apoi verifică pe telefon cu valorile zecimale (de exemplu $\sqrt{18}\approx 4,243$, $\sqrt{2}\approx 1,414$; câtul $\approx 3$). Confirmă că metoda exactă și cea zecimală dau același număr.
• Detectiv de dreptunghiuri. Desenează pe caiet câteva dreptunghiuri și scrie pentru fiecare o arie „cu radical" (de exemplu $\sqrt{192}{\text{cm}}^2$) și una dintre laturi (de exemplu $\sqrt{3}\text{cm}$). Află de fiecare dată cealaltă latură împărțind aria la latura cunoscută și verifică apoi că, înmulțind cele două laturi, obții exact aria de la care ai plecat. Este cel mai bun mod de a lega împărțirea radicalilor de o situație reală, cu figuri.

Pentru părinți și profesori

Această lecție încheie „trilogia" operațiilor cu radicali (înmulțire, adunare/scădere, împărțire) și se sprijină pe scoaterea factorilor de sub radical. Pentru a-l ajuta pe elev, cereți-i să spună cu voce tare regula de aur și condiția ($b>0$): dacă o poate enunța corect, a înțeles esența. Bune întrebări de verificare: „De ce nu putem împărți la $\sqrt{0}$?", „Cum transformi o împărțire într-o fracție?", „Când iese rezultatul un număr rațional și când rămâne radical?". Un semn clar de înțelegere este că elevul recunoaște singur pătratele perfecte de sub radical și că nu confundă regula cu adunarea/scăderea. Dacă greșește, puneți-l să verifice pe numere mici — auto-corectarea prin exemplu este cel mai puternic instrument la această vârstă. Încurajați și strategia dublă (împart întâi / simplific întâi), pentru flexibilitate în calcul.

Un exercițiu simplu, dar foarte eficient acasă, este „construcția inversă": porniți de la un rezultat frumos (de exemplu $6$) și un numitor (de exemplu $\sqrt{2}$), înmulțiți-le înapoi ca să obțineți numărătorul ($6\sqrt{2}=\sqrt{72}$) și cereți-i copilului să refacă împărțirea $\sqrt{72}:\sqrt{2}$ ca să regăsească $6$. Acest du-te-vino între împărțire și înmulțire îi fixează faptul că cele două operații sunt inverse și îi dă siguranță în calcul. Dacă vă blocați undeva, reveniți la întrebarea-cheie: „cât dă împărțirea numerelor de sub radical — și este rezultatul un pătrat perfect?".

Întrebări frecvente

Cum se împart doi radicali la clasa a 7-a? Folosești regula $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}$: bagi totul sub un singur radical, împarți numerele de sub radical, apoi simplifici rezultatul. De exemplu, $\sqrt{18}:\sqrt{2}=\sqrt{9}=3$. Condiția este ca $a\ge 0$ și $b>0$.

Care este regula pentru radical împărțit la radical? Regula este $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$, adică radicalul câtului este egal cu câtul radicalilor. Ea funcționează pentru numere pozitive, cu numitorul strict pozitiv (nenul), pentru că împărțirea la zero nu este permisă.

De ce nu putem avea $0$ la numitor când împărțim radicali? Pentru că a împărți la $\sqrt{b}$ înseamnă a împărți la un număr, iar împărțirea la $0$ nu are sens în matematică. Dacă $b=0$, atunci $\sqrt{b}=0$ și operația devine imposibilă. De aceea cerem mereu $b>0$.

Cum simplific un cât de radicali de forma $\sqrt{18}:\sqrt{2}$? Împarți întâi numerele de sub radical: $18:2=9$. Apoi extragi rădăcina: $\sqrt{9}=3$. Dacă rezultatul de sub radical nu e pătrat perfect, scoți factorii pătrate, ca la $\sqrt{40}:\sqrt{5}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Ce fac dacă rezultatul împărțirii nu este un pătrat perfect? Lași rezultatul sub radical, dar în forma cea mai simplă. De exemplu $\sqrt{54}:\sqrt{2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. Scoți factorii pătrate, iar dacă sub radical rămâne un număr fără factori pătrate (ca $3$ sau $5$), acela este răspunsul final.

Împărțirea radicalilor este la fel cu scrierea sub formă de fracție? Da, sunt exact același lucru: $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Forma de fracție este adesea mai comodă, pentru că poți reduce fracția de sub radical înainte de a calcula, ca la $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$.

Se poate aplica regula și la $\sqrt{a-b}$ sau $\sqrt{a+b}$? Nu. Regula funcționează doar pentru înmulțire și împărțire, nu pentru adunare sau scădere. De exemplu, $\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$, dar $\sqrt{25}-\sqrt{9}=2$, deci cele două nu sunt egale.

Cum împart un radical la un număr obișnuit, de exemplu $\frac{6\sqrt{5}}{2}$? Împarți doar coeficientul din fața radicalului la acel număr și lași radicalul neschimbat: $\frac{6\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}$. Gândește-te la $\sqrt{5}$ ca la o literă $x$; atunci $\frac{6x}{2}=3x$.

Ce este mai bine: să împart întâi numerele de sub radical sau să scot factorii? Ambele metode sunt corecte și dau același rezultat. Când numărul mare se împarte exact la cel mic (de exemplu $200:8=25$), e mai rapid să împarți întâi sub radical. Când numerele sunt greu de împărțit din cap, dar au factori comuni evidenți, e mai comod să scoți factorii pătrate și să reduci fracția. Cu exercițiul te vei prinde repede care drum e mai scurt.

Rezultatul împărțirii a doi radicali poate fi un număr întreg? Da, foarte des. Rezultatul iese întreg atunci când câtul numerelor de sub radical este un pătrat perfect. De exemplu, $\sqrt{72}:\sqrt{8}=\sqrt{9}=3$. Dacă câtul nu e pătrat perfect, rezultatul rămâne irațional, cum ar fi $\sqrt{6}:\sqrt{2}=\sqrt{3}$.