Scoaterea factorilor de sub radical

Ai întâlnit deja radicali „urâți”, precum $\sqrt{50}$ sau $\sqrt{72}$, și te-ai întrebat dacă se pot scrie mai simplu. Răspunsul este da: printr-o operație numită scoaterea factorilor de sub radical, transformi un radical mare într-o formă mai scurtă și mai ușor de folosit, de exemplu $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Este exact ceea ce fac inginerii, informaticienii sau tehnicienii când vor un rezultat „curat”: în loc de un număr greoi sub radical, îl aduc la cea mai simplă formă. În această lecție despre scoaterea factorilor de sub radical la clasa 7 înveți algoritmul pas cu pas, îl exersezi pe zeci de exemple și scapi de greșelile tipice.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici pătratele perfecte ascunse într-un radical.
• Vei ști să folosești proprietatea produsului $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ pentru numere pozitive.
• Vei ști să scoți corect un factor de sub radical, de exemplu $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
• Vei ști să simplifici radicali de forma $\sqrt{50}$, $\sqrt{72}$, $\sqrt{200}$ până la cea mai simplă formă.
• Vei ști să scoți factori din radicali cu variabile pozitive, de tipul $\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}$.

Hai să descoperim împreună

Punctul de plecare: ce știm deja despre radicali

În lecțiile anterioare ai învățat că rădăcina pătrată a unui număr pozitiv $x$, notată $\sqrt{x}$, este acel număr pozitiv care ridicat la pătrat dă $x$. De exemplu $\sqrt{9}=3$, fiindcă $3^2=9$, și $\sqrt{25}=5$, fiindcă $5^2=25$. Ai reținut și că $\sqrt{a^2}=|a|$ (vezi lecția Relația dintre puterea cu exponent 2 și rădăcină).

Numerele $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,\dots$ se numesc pătrate perfecte, pentru că sunt pătratele unor numere naturale. Pentru ele, rădăcina pătrată „iese perfect”, fără rest:

$$\sqrt{4}=2,\sqrt{36}=6,\sqrt{100}=10,\sqrt{144}=12.$$

Problema apare la numere care nu sunt pătrate perfecte, cum ar fi $50$. Aici $\sqrt{50}$ este un număr irațional (nu se scrie ca fracție și nu iese „rotund”). Nu putem elimina complet radicalul, dar putem să-l aducem la o formă mult mai simplă. Aici intervine scoaterea factorilor de sub radical.

De ce ne trebuie „forma cea mai simplă” a unui radical

Poate te întrebi de ce ne obosim să transformăm $\sqrt{50}$ în $5\sqrt{2}$, dacă valoarea rămâne aceeași ($\approx 7,07$). Sunt trei motive practice, pe care le vei simți în lecțiile următoare:

• Compari mai ușor. Este greu să compari „din ochi” $\sqrt{50}$ cu $\sqrt{72}$, dar $5\sqrt{2}$ și $6\sqrt{2}$ se compară imediat: amândouă sunt „ceva $\times \sqrt{2}$”, iar $6\sqrt{2}$ e mai mare pentru că $6>5$.
• Aduni și scazi radicali. Nu poți aduna $\sqrt{50}+\sqrt{8}$ până nu-i simplifici. După ce scoți factorii, devin $5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}$, adică termeni „de același fel”, exact ca $5x+2x=7x$. Vezi lecția despre adunarea și scăderea numerelor reale.
• Rezultat îngrijit. Un răspuns scris $5\sqrt{2}$ arată clar și profesionist; unul lăsat $\sqrt{50}$ pare „nefinisat”. La teze și evaluări, forma simplificată este forma corectă a răspunsului.

Cu alte cuvinte, scoaterea factorilor de sub radical nu e un moft: e „limba curată” în care se scriu radicalii în matematică.

Regula de aur: proprietatea produsului

Totul se bazează pe o singură proprietate, valabilă pentru numere pozitive $a$ și $b$:

$$\boxed{\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}}$$

În cuvinte: rădăcina dintr-un produs este egală cu produsul rădăcinilor. Radicalul „se împarte” peste înmulțire.

De ce este adevărat? Să verificăm pe un exemplu simplu. Luăm $a=4$ și $b=9$:

• Membrul stâng: $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$.
• Membrul drept: $\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6$.

Ambele dau $6$, deci egalitatea funcționează. Ideea generală: dacă $\sqrt{a}$ este numărul care ridicat la pătrat dă $a$, iar $\sqrt{b}$ este numărul care ridicat la pătrat dă $b$, atunci produsul $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ ridicat la pătrat dă $a\cdot b$ (fiindcă $(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}{)}^2=(\sqrt{a}{)}^2\cdot (\sqrt{b}{)}^2=a\cdot b$). Deci $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ este chiar $\sqrt{a\cdot b}$.

Atenție! Proprietatea funcționează pentru înmulțire (și pentru împărțire), dar NU pentru adunare sau scădere. Adică $\sqrt{a+b}$ nu este egal cu $\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Verifică singur: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, dar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$. Cum $5\ne 7$, egalitatea este falsă. Reține bine: radicalul se desface doar peste produs, nu peste sumă.

Ideea centrală: căutăm un pătrat perfect ascuns

Cum folosim proprietatea de mai sus ca să simplificăm $\sqrt{50}$? Ideea este să scriem numărul de sub radical ca un produs în care unul dintre factori este un pătrat perfect. Apoi radicalul se desface, iar din pătratul perfect scoatem rădăcina „curat”.

Să vedem la $\sqrt{50}$. Ce pătrat perfect „se ascunde” în $50$? Observăm că $50=25\cdot 2$, iar $25$ este pătrat perfect. Atunci:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}.$$

Gata! Am scos factorul $5$ de sub radical. Numărul $\sqrt{50}$ (greu de lucrat cu el) a devenit $5\sqrt{2}$ (mult mai simplu). Sub radical a rămas doar $2$, care nu mai are niciun pătrat perfect ascuns, deci am ajuns la cea mai simplă formă.

Așa se citește rezultatul $5\sqrt{2}$: „cinci ori radical din doi”. Cifra $5$ scrisă în fața radicalului îl înmulțește pe $\sqrt{2}$.

Algoritmul pas cu pas

Pentru orice radical dintr-un număr natural, urmează acești pași:

1. Descompune numărul de sub radical într-un produs care conține cel mai mare pătrat perfect posibil.
2. Desparte radicalul folosind proprietatea $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$.
3. Extrage rădăcina din pătratul perfect (îl scoți în fața radicalului).
4. Verifică dacă sub radical a mai rămas vreun pătrat perfect. Dacă nu, ai terminat — ai forma cea mai simplă.

De ce spunem „cel mai mare pătrat perfect”? Ca să termini din prima. Uite ce se întâmplă dacă nu alegi cel mai mare. La $\sqrt{72}$ ai putea scrie $72=4\cdot 18$:

$$\sqrt{72}=\sqrt{4\cdot 18}=2\sqrt{18}.$$

Corect, dar nu ai terminat! Sub radical, în $18$, se mai ascunde un pătrat perfect: $18=9\cdot 2$. Deci $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ și atunci $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$. Dacă de la început observai că $72=36\cdot 2$ cu $36$ pătrat perfect, ajungeai direct:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}.$$

Concluzia: dacă nu ești sigur care e cel mai mare pătrat perfect, nu-i nimic — poți scoate în mai mulți pași. Doar verifică la final că sub radical nu mai există niciun pătrat perfect.

Un truc de căutare rapidă

Ca să găsești repede pătratul perfect ascuns, ia pe rând pătratele perfecte de la cel mare la cel mic și întreabă-te: „se împarte oare numărul meu la $144$? Dar la $121$? Dar la $100$?” și așa mai departe, până dai de unul care se împarte exact. Primul care „intră” fără rest, luat de sus în jos, este chiar cel mai mare pătrat perfect — și cu el termini din prima.

Să exersăm trucul pe $\sqrt{108}$. Se împarte $108$ la $144$? Nu, e prea mare. La $121$? Nu. La $100$? Nu ($108:100$ nu e întreg). La $81$? Nu. La $64$? Nu. La $49$? Nu. La $36$? Da! $108=36\cdot 3$. Deci:

$$\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}.$$

Încă unul, $\sqrt{32}$: se împarte la $16$? Da, $32=16\cdot 2$, deci $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$. Cu puțin exercițiu, vei „vedea” pătratul perfect dintr-o privire.

Ce înseamnă „cea mai simplă formă”

Spunem că un radical este adus la cea mai simplă formă atunci când numărul rămas sub radical nu mai are niciun divizor care să fie pătrat perfect (în afară de $1$). De exemplu, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{10}$ sunt deja în forma cea mai simplă — nu mai ai ce scoate din ele. În schimb, $\sqrt{12}$ nu este simplificat, pentru că $12$ se împarte la $4$, un pătrat perfect: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

Micul semnal de alarmă: dacă sub radical îți rămâne un număr par „mare” sau un multiplu de $9$, de $25$ etc., mai verifică o dată — probabil se mai poate scoate ceva.

Metoda sigură: descompunerea în factori primi

Uneori nu vezi imediat pătratul perfect. Atunci folosește o metodă care merge întotdeauna: descompui numărul în factori primi și grupezi câte doi. Fiecare pereche de factori egali formează un pătrat perfect și iese de sub radical ca un singur factor.

Să luăm $\sqrt{200}$. Descompunem $200$:

$$200=2\cdot 100=2\cdot 2\cdot 50=2\cdot 2\cdot 2\cdot 25=2^3\cdot 5^2.$$

Acum grupăm câte doi factori egali. Avem $2^2$ (o pereche de doiuri) și $5^2$ (o pereche de cinciuri), iar mai rămâne un $2$ singur:

$$\sqrt{200}=\sqrt{2^2\cdot 5^2\cdot 2}=\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{5^2}\cdot \sqrt{2}=2\cdot 5\cdot \sqrt{2}=10\sqrt{2}.$$

Regula practică: din fiecare pereche de factori egali scoți un singur factor în fața radicalului; factorii rămași singuri stau sub radical. Este ca la formarea echipelor de câte doi: cine are pereche „iese”, cine rămâne fără pereche „stă”.

Cazul cu variabile pozitive

Aceeași idee funcționează și când sub radical apar litere (variabile), cu condiția ca ele să fie pozitive. Reține din lecția despre modul că $\sqrt{a^2}=|a|$; dacă $a\ge 0$, atunci pur și simplu $\sqrt{a^2}=a$. La clasa a VII-a, în aceste exerciții, se precizează de obicei că variabilele sunt pozitive, deci putem scrie:

$$\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b},\text{unde }a\ge 0,b\ge 0.$$

Exemple:

• $\sqrt{9a^2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{a^2}=3a$ (aici sub radical nu mai rămâne nimic, e pătrat perfect complet).
• $\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}$ direct.
• $\sqrt{12x^2}=\sqrt{4x^2\cdot 3}=\sqrt{4x^2}\cdot \sqrt{3}=2x\sqrt{3}$.

Pentru puteri mai mari, ține minte că $a^2$ este pătrat perfect, la fel $a^4=(a^2{)}^2$, iar puterile impare le desparți lăsând un factor sub radical:

$$\sqrt{a^3}=\sqrt{a^2\cdot a}=a\sqrt{a}(a\ge 0).$$

Important: fără precizarea că variabila e pozitivă, ai scrie corect $\sqrt{a^2}=|a|$. La această lecție lucrăm cu variabile pozitive, deci renunțăm la modul. Vei folosi mult scoaterea factorilor mai departe: la adunarea și scăderea numerelor reale, unde aduni radicali „de același fel”, și la raționalizarea numitorului. Operația inversă, de a băga un factor înapoi sub radical, o studiezi în lecția Introducerea factorilor sub radical.

O „hartă” a radicalilor des întâlniți

Iată câțiva radicali care apar foarte des în probleme, deja aduși la forma cea mai simplă. Nu-i memora pe de rost, ci exersează până îi obții singur — dar poți folosi lista ca să te verifici:

Observă un tipar frumos: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$, $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$, $\sqrt{200}=10\sqrt{2}$ — toate au sub radical același $2$, doar factorul din față crește. De aceea se pot aduna ușor între ei: sunt „rude apropiate”, toate din familia lui $\sqrt{2}$.

De unde apar radicalii în geometrie

Poate te întrebi de unde vin, în viața reală, numere precum $\sqrt{50}$ sau $\sqrt{2}$. Cel mai des îi întâlnești în teorema lui Pitagora, pe care o studiezi tot în clasa a VII-a. Într-un triunghi dreptunghic cu catetele $b$ și $c$ și ipotenuza $a$, are loc relația $a^2=b^2+c^2$, de unde ipotenuza este $a=\sqrt{b^2+c^2}$.

Să luăm un pătrat cu latura de $5\text{cm}$ și să-i calculăm diagonala. Diagonala împarte pătratul în două triunghiuri dreptunghice, fiecare cu catetele de $5\text{cm}$. Atunci:

$$d=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\text{cm}.$$

Iată cum $\sqrt{50}$ apare în mod natural, iar forma $5\sqrt{2}$ este mult mai grăitoare: diagonala este de $\sqrt{2}\approx 1,41$ ori mai lungă decât latura. Lăsat ca $\sqrt{50}$, rezultatul ar fi fost greu de interpretat. De aceea operația din această lecție nu e doar „de manual”: o vei folosi la aproape fiecare problemă de geometrie cu triunghiuri dreptunghice.

Cum comparăm doi radicali după ce îi simplificăm

Forma simplă e de mare ajutor și când vrem să ordonăm radicali. Când doi radicali simplificați au același număr sub radical, îi compari uitându-te doar la factorul din față: din $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ și $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ vezi imediat că $\sqrt{72}>\sqrt{50}$, fiindcă $6>5$.

Dar dacă numerele de sub radical diferă? Atunci un truc sigur este să ridici fiecare la pătrat și să compari rezultatele obținute. De pildă, cine e mai mare, $2\sqrt{7}$ sau $3\sqrt{3}$? Calculăm:

$$(2\sqrt{7}{)}^2=4\cdot 7=28,(3\sqrt{3}{)}^2=9\cdot 3=27.$$

Cum $28>27$ și amândouă numerele sunt pozitive, rezultă $2\sqrt{7}>3\sqrt{3}$. Ridicarea la pătrat păstrează ordinea pentru numere pozitive, deci metoda e mereu sigură.

Cât de mare e, de fapt, radicalul simplificat?

Forma simplă te ajută și să estimezi rapid valoarea unui radical, fără calculator. Trebuie doar să reții câteva valori aproximative de bază: $\sqrt{2}\approx 1,41$, $\sqrt{3}\approx 1,73$, $\sqrt{5}\approx 2,24$. Odată ce ai scos factorul, înmulțești pur și simplu.

De exemplu, cât face aproximativ $\sqrt{72}$? Îl aducem la $6\sqrt{2}$, apoi $6\cdot 1,41=8,46$. Verificare: $8,46^2\approx 71,6$, foarte aproape de $72$. La fel, $\sqrt{75}=5\sqrt{3}\approx 5\cdot 1,73=8,65$. Fără scoaterea factorului, ar fi trebuit să „ghicești” între ce numere întregi se află $\sqrt{72}$; cu forma simplă, estimarea vine dintr-o singură înmulțire.

Un beneficiu ascuns: dacă înveți valorile lui $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ și $\sqrt{5}$, poți estima aproape orice radical de la clasa a VII-a, fiindcă, după simplificare, sub radical rămâne mai mereu $2$, $3$, $5$, $6$, $7$ sau $10$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — $\sqrt{18}$

Căutăm cel mai mare pătrat perfect care divide $18$. Avem $18=9\cdot 2$, iar $9$ e pătrat perfect.

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}.$$

Sub radical a rămas $2$, care nu are pătrate perfecte. Forma finală: $\boxed{3\sqrt{2}}$.

Exemplul 2 — $\sqrt{72}$

Cel mai mare pătrat perfect care divide $72$ este $36$, pentru că $72=36\cdot 2$.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}.$$

Rezultat: $\boxed{6\sqrt{2}}$. (Dacă alegeai $72=4\cdot 18$, ajungeai la $2\sqrt{18}$ și trebuia să mai simplifici o dată; alegerea celui mai mare pătrat scurtează munca.)

Exemplul 3 — $\sqrt{200}$ prin factori primi

Descompunem: $200=2^3\cdot 5^2$. Grupăm perechile:

$$\sqrt{200}=\sqrt{2^2\cdot 5^2\cdot 2}=2\cdot 5\cdot \sqrt{2}=10\sqrt{2}.$$

Rezultat: $\boxed{10\sqrt{2}}$. Verificare rapidă cu aproximare: $\sqrt{200}\approx 14,14$ și $10\sqrt{2}\approx 10\cdot 1,414=14,14$. Se potrivește.

Exemplul 4 — $\sqrt{288}$ (număr mai mare)

Căutăm cel mai mare pătrat perfect din $288$. Încercăm $144$: $288=144\cdot 2$, iar $144=12^2$.

$$\sqrt{288}=\sqrt{144\cdot 2}=\sqrt{144}\cdot \sqrt{2}=12\sqrt{2}.$$

Rezultat: $\boxed{12\sqrt{2}}$. Dacă nu-ți venea în minte $144$, mergeai cu factori primi: $288=2^5\cdot 3^2$, deci scoți două perechi de $2$ și o pereche de $3$ (adică $2\cdot 2\cdot 3=12$) și rămâne un $2$ sub radical — același rezultat.

Exemplul 5 — $\sqrt{75}$

Avem $75=25\cdot 3$, iar $25$ e pătrat perfect.

$$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{3}=5\sqrt{3}.$$

Rezultat: $\boxed{5\sqrt{3}}$. Sub radical rămâne $3$, deci am terminat.

Exemplul 6 — cu variabile: $\sqrt{50a^2}$ (cu $a\ge 0$)

Separăm partea numerică de cea cu literă. La numere, $50=25\cdot 2$; la litere, $a^2$ e pătrat perfect.

$$\sqrt{50a^2}=\sqrt{25\cdot 2\cdot a^2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{a^2}\cdot \sqrt{2}=5\cdot a\cdot \sqrt{2}=5a\sqrt{2}.$$

Rezultat: $\boxed{5a\sqrt{2}}$. Factorul scos în față este $5a$, iar sub radical rămâne $2$.

Exemplul 7 — un radical deja parțial simplificat: $2\sqrt{18}$

Uneori radicalul are deja un factor în față, dar sub radical încă se poate scoate ceva. Nu-l ignora! Simplifică întâi radicalul, apoi înmulțește factorii din față.

$$2\sqrt{18}=2\cdot \sqrt{9\cdot 2}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}.$$

Rezultat: $\boxed{6\sqrt{2}}$. Ideea: factorul $2$ din față se înmulțește cu factorul $3$ scos din $\sqrt{18}$, dând $6$.

Exemplul 8 — verificarea prin ridicare la pătrat: $\sqrt{45}$

Simplificăm: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$. Cum verificăm că e corect? Ridicăm rezultatul la pătrat și trebuie să obținem numărul de sub radicalul inițial:

$$(3\sqrt{5}{)}^2=3^2\cdot (\sqrt{5}{)}^2=9\cdot 5=45.$$ ✓

Am obținut $45$, exact ce era sub radical. Deci $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ este corect. Acesta este cel mai bun test de autocontrol: ridică rezultatul la pătrat și vezi dacă îți dă numărul de la care ai plecat.

Exemplul 9 — un număr „urât” rezolvat cu factori primi: $\sqrt{360}$

La numere mari, unde nu vezi imediat pătratul perfect, metoda factorilor primi te scoate mereu la liman. Descompunem pas cu pas:

$$360=2\cdot 180=2\cdot 2\cdot 90=2\cdot 2\cdot 2\cdot 45=2^3\cdot 3^2\cdot 5.$$

Acum grupăm câte doi factori egali. Avem o pereche de doiuri ($2^2$) și o pereche de treiuri ($3^2$); mai rămân un $2$ și un $5$ singuri, care se înmulțesc și stau sub radical:

$$\sqrt{360}=\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 2\cdot 5}=2\cdot 3\cdot \sqrt{2\cdot 5}=6\sqrt{10}.$$

Rezultat: $\boxed{6\sqrt{10}}$. Verificăm ridicând la pătrat: $(6\sqrt{10}{)}^2=36\cdot 10=360$. ✓ Observă că sub radical a rămas $10=2\cdot 5$, care nu mai are niciun pătrat perfect, deci forma este cea mai simplă.

Exemplul 10 — numeric și literă cu putere impară: $\sqrt{48x^3}$ (cu $x\ge 0$)

Tratăm separat partea numerică și puterea literei. La numere, $48=16\cdot 3$, iar $16$ e pătrat perfect; la litere, $x^3=x^2\cdot x$, iar $x^2$ e pătrat perfect, dar rămâne un $x$ nepereche.

$$\sqrt{48x^3}=\sqrt{16\cdot 3\cdot x^2\cdot x}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{x^2}\cdot \sqrt{3x}=4x\sqrt{3x}.$$

Rezultat: $\boxed{4x\sqrt{3x}}$. În față iese $4x$, iar sub radical rămân $3$ și un $x$ (puterea impară lasă mereu un factor dedesubt).

Exemplul 11 — geometrie: diagonala unui dreptunghi

Un dreptunghi are laturile de $6\text{cm}$ și $9\text{cm}$. Cât măsoară diagonala? Diagonala este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $6$ și $9$, deci aplicăm teorema lui Pitagora:

$$d=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=\sqrt{9\cdot 13}=3\sqrt{13}\text{cm}.$$

Rezultat: $\boxed{3\sqrt{13}\text{cm}}$. Sub radical rămâne $13$, număr prim, fără pătrate perfecte, deci $3\sqrt{13}$ este forma finală — aproximativ $3\cdot 3,61=10,83\text{cm}$.

Să exersăm

Scoate factorii de sub radical, aducând fiecare radical la cea mai simplă formă. La exercițiile cu variabile, consideră literele pozitive.

1. $\sqrt{8}$
2. $\sqrt{27}$
3. $\sqrt{45}$
4. $\sqrt{48}$
5. $\sqrt{98}$
6. $\sqrt{80}$
7. $\sqrt{300}$
8. $\sqrt{147}$
9. $\sqrt{500}$
10. $\sqrt{242}$
11. $\sqrt{9a^2}$ (cu $a\ge 0$)
12. $\sqrt{18b^2}$ (cu $b\ge 0$)
13. $\sqrt{12x^2}$ (cu $x\ge 0$)
14. $\sqrt{y^3}$ (cu $y\ge 0$)
15. Adevărat sau fals, cu justificare: $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}$.
16. Adevărat sau fals, cu justificare: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
17. Un pătrat are aria de $50{\text{cm}}^2$. Ce lungime are latura lui? Scrie rezultatul cu radicalul adus la cea mai simplă formă. (Latura unui pătrat de arie $A$ este $\sqrt{A}$.)
18. Ordonează crescător, folosind aproximări: $\sqrt{72}$ și $8$. (Indicație: simplifică $\sqrt{72}$ și folosește $\sqrt{2}\approx 1,41$.)
19. $\sqrt{32}$
20. $\sqrt{180}$
21. $\sqrt{162}$
22. Simplifică și apoi adună radicalii „de același fel”: $\sqrt{8}+\sqrt{50}$. (Indicație: scoate factorii din fiecare, apoi adună ca la $2x+5x$.)
23. Scoate factorii de sub radical (cu $m\ge 0$): $\sqrt{75m^2}$.
24. Adevărat sau fals, cu justificare: după simplificare, $\sqrt{48}=2\sqrt{12}$ este forma cea mai simplă.
25. $\sqrt{50x^2}$ (cu $x\ge 0$)
26. Un pătrat are latura de $7\text{cm}$. Cât măsoară diagonala lui? Scrie rezultatul cu radicalul adus la forma cea mai simplă. (Indicație: folosește teorema lui Pitagora în triunghiul format de două laturi și diagonală.)
27. $\sqrt{75a^3}$ (cu $a\ge 0$)
28. Simplifică și scade radicalii „de același fel”: $\sqrt{200}-\sqrt{18}$.
29. Estimează valoarea lui $\sqrt{48}$ după ce îl simplifici, folosind $\sqrt{3}\approx 1,73$.
30. Care e mai mare: $3\sqrt{5}$ sau $5\sqrt{2}$? (Indicație: ridică fiecare la pătrat.)

Răspunsuri și explicații

1. $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$. Cel mai mare pătrat perfect din $8$ este $4$.
2. $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$. Aici $9$ e pătratul perfect, rămâne $3$ sub radical.
3. $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$. Pătratul perfect este $9$.
4. $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$. Cel mai mare pătrat perfect din $48$ este $16$.
5. $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$. Pătratul perfect este $49$.
6. $\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$. Alegem $16$, cel mai mare pătrat perfect din $80$.
7. $\sqrt{300}=\sqrt{100\cdot 3}=10\sqrt{3}$. Pătratul perfect este $100$.
8. $\sqrt{147}=\sqrt{49\cdot 3}=7\sqrt{3}$. Din $147=49\cdot 3$, scoatem $7$.
9. $\sqrt{500}=\sqrt{100\cdot 5}=10\sqrt{5}$. Pătratul perfect este $100$.
10. $\sqrt{242}=\sqrt{121\cdot 2}=11\sqrt{2}$. Din $242=121\cdot 2$, iar $121=11^2$.
11. $\sqrt{9a^2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{a^2}=3a$. Totul iese, sub radical nu rămâne nimic.
12. $\sqrt{18b^2}=\sqrt{9\cdot 2\cdot b^2}=3b\sqrt{2}$. Scoatem $3$ din $9$ și $b$ din $b^2$; rămâne $2$.
13. $\sqrt{12x^2}=\sqrt{4\cdot 3\cdot x^2}=2x\sqrt{3}$. Scoatem $2$ din $4$ și $x$ din $x^2$; rămâne $3$.
14. $\sqrt{y^3}=\sqrt{y^2\cdot y}=y\sqrt{y}$. Din $y^3=y^2\cdot y$, iese $y$, rămâne $y$ sub radical.
15. Fals. $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, dar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$. Cum $5\ne 7$, egalitatea nu e adevărată: radicalul nu se desface peste sumă.
16. Adevărat. $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Este exact exemplul-cheie al lecției.
17. Latura este $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\text{cm}$. Aproximativ $5\cdot 1,41=7,05\text{cm}$.
18. $\sqrt{72}=6\sqrt{2}\approx 6\cdot 1,41=8,46$. Cum $8<8,46$, avem $8<\sqrt{72}$. Ordinea crescătoare: $8<\sqrt{72}$.
19. $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$. Cel mai mare pătrat perfect din $32$ este $16$.
20. $\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$. Din $180=36\cdot 5$, scoatem $6$; rămâne $5$.
21. $\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}$. Cel mai mare pătrat perfect din $162$ este $81$.
22. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ și $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, deci $\sqrt{8}+\sqrt{50}=2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=7\sqrt{2}$. Sunt termeni de același fel (ambii cu $\sqrt{2}$), la fel ca $2x+5x=7x$.
23. $\sqrt{75m^2}=\sqrt{25\cdot 3\cdot m^2}=5m\sqrt{3}$. Scoatem $5$ din $25$ și $m$ din $m^2$; rămâne $3$.
24. Fals. $2\sqrt{12}$ nu este forma cea mai simplă, fiindcă $12=4\cdot 3$ mai are un pătrat perfect: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$. Forma corectă și complet simplificată este $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.
25. $\sqrt{50x^2}=\sqrt{25\cdot 2\cdot x^2}=5x\sqrt{2}$. Scoatem $5$ din $25$ și $x$ din $x^2$; rămâne $2$ sub radical.
26. Diagonala este $d=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}\text{cm}$. Aproximativ $7\cdot 1,41=9,87\text{cm}$.
27. $\sqrt{75a^3}=\sqrt{25\cdot 3\cdot a^2\cdot a}=5a\sqrt{3a}$. Scoatem $5$ din $25$ și $a$ din $a^2$; rămân $3$ și un $a$ sub radical.
28. $\sqrt{200}=10\sqrt{2}$ și $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, deci $\sqrt{200}-\sqrt{18}=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}=7\sqrt{2}$. Sunt termeni de același fel, exact ca $10x-3x=7x$.
29. $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\approx 4\cdot 1,73=6,92$. (Verificare: $6,92^2\approx 47,9$, aproape de $48$.)
30. $(3\sqrt{5}{)}^2=9\cdot 5=45$, iar $(5\sqrt{2}{)}^2=25\cdot 2=50$. Cum $50>45$ și ambele sunt pozitive, rezultă $5\sqrt{2}>3\sqrt{5}$.

De reținut

• Proprietatea produsului: pentru $a,b\ge 0$, $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$. Radicalul se desface peste înmulțire (și împărțire), nu peste adunare/scădere.
• Algoritmul: scrii numărul ca produs cu cel mai mare pătrat perfect, desparți radicalul, extragi rădăcina din pătratul perfect și verifici că sub radical nu mai rămâne niciun pătrat perfect.
• Exemplul-far: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$, $\sqrt{200}=10\sqrt{2}$.
• Metoda sigură: descompunere în factori primi — din fiecare pereche de factori egali scoți un factor, ce rămâne singur stă sub radical.
• Cu variabile pozitive: $\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}$ (dacă $a\ge 0$); reamintește-ți că, în general, $\sqrt{a^2}=|a|$.
• În geometrie: prin teorema lui Pitagora, laturile ies adesea ca radicali (de exemplu diagonala unui pătrat de latură $\ell$ este $\ell \sqrt{2}$), pe care îi aduci la forma cea mai simplă.

Greșeli frecvente

• Desfacerea radicalului peste sumă. Mulți scriu greșit $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Este fals! Proprietatea merge doar peste produs. Testează mereu pe numere dacă nu ești sigur.
• Nu scoți cel mai mare pătrat perfect și te oprești prea devreme. Dacă scrii $\sqrt{72}=2\sqrt{18}$ și te oprești, ai greșit: sub radical, în $18$, se mai ascunde $9$. Verifică întotdeauna dacă mai rămâne un pătrat perfect.
• Uiți să înmulțești factorii scoși. La $\sqrt{200}=\sqrt{2^2\cdot 5^2\cdot 2}$, factorul din față este $2\cdot 5=10$, nu $2$ și $5$ scrise separat. Scoși din radical, factorii se înmulțesc.
• Confunzi factorul scos cu numărul rămas. În $5\sqrt{2}$, cifra $5$ a ieșit de sub radical (era $\sqrt{25}$), iar $2$ a rămas dedesubt. Nu inversa rolurile scriind, de pildă, $2\sqrt{5}$.

Aplică acasă

• Latura din arie. Măsoară aria unei suprafețe pătrate din casă (o dală, o față de cutie). Dacă aria nu e pătrat perfect (de exemplu $18{\text{cm}}^2$ sau $50{\text{cm}}^2$), calculează latura ca radical și adu-l la forma simplă (de exemplu $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$). Compară apoi cu măsurătoarea reală cu rigla.
• Provocarea „cel mai mare pătrat”. Scrie pe o foaie numerele $32,12,75,108,180$ și, pentru fiecare, găsește rapid cel mai mare pătrat perfect care îl divide, apoi simplifică radicalul. Cronometrează-te și încearcă să bați timpul zi de zi.
• Verifică cu calculatorul. După ce simplifici un radical (de exemplu $\sqrt{288}=12\sqrt{2}$), calculează ambele forme la calculator și confirmă că dau aceeași valoare (aici $\approx 16,97$). Așa prinzi imediat orice greșeală.

Pentru părinți și profesori

Această lecție se sprijină pe un singur „truc” repetat: găsirea unui pătrat perfect ascuns în numărul de sub radical. Ajută copilul să memoreze pătratele perfecte până la $144$ ($1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144$) — fără ele, algoritmul devine greoi. Dacă un pas nu iese, arătați-i metoda sigură, descompunerea în factori primi, care nu cere „inspirație”.

Întrebări bune de verificare: „De ce $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ și nu $2\sqrt{18}$?” (răspunsul corect arată că a înțeles ideea de cel mai mare pătrat), „Este $\sqrt{9+16}$ egal cu $\sqrt{9}+\sqrt{16}$?” (dacă spune „da”, are exact confuzia clasică). Vedeți că a înțeles cu adevărat când poate verifica singur rezultatul, fie prin aproximare, fie ridicând la pătrat: $(5\sqrt{2}{)}^2=25\cdot 2=50$, deci $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$. Autoverificarea este semnul înțelegerii solide.

Arătați-i și la ce folosește, ca să nu pară un exercițiu gratuit. Cea mai frecventă întâlnire reală cu radicalii este teorema lui Pitagora, studiată tot în clasa a VII-a: diagonala unui televizor, a unui teren, ipotenuza unei scări sprijinite de perete — toate ies ca radicali, iar forma simplificată (de exemplu $5\sqrt{2}$ în loc de $\sqrt{50}$) le face imediat interpretabile și mai ușor de estimat. Legați lecția de aceste situații și motivația crește vizibil.

Un ultim sfat pentru acasă: rugați copilul să vă „predea” el algoritmul, cu propriile cuvinte, pe un exemplu la alegere, de pildă $\sqrt{200}$. Dacă poate explica clar de ce alege $100$, de ce desface radicalul și de ce rămâne $\sqrt{2}$ la final, atunci a interiorizat cu adevărat metoda, nu doar a memorat pași. Explicarea către altcineva este cel mai bun test de stăpânire a temei. Dacă greșește, nu-i dați direct răspunsul, ci întrebați-l „cum poți verifica singur?” — reflexul ridicării la pătrat ($(5\sqrt{2}{)}^2=50$) îl transformă din elev care așteaptă confirmarea profesorului în elev care își controlează singur munca.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă „scoaterea factorilor de sub radical” la clasa a 7-a? Înseamnă să rescrii un radical într-o formă mai simplă, mutând în fața radicalului factorii care provin din pătrate perfecte. De exemplu, $\sqrt{50}$ devine $5\sqrt{2}$. Valoarea numărului nu se schimbă, doar forma lui devine mai ușor de folosit.

Cum scot factorul de sub radical pas cu pas? Scrie numărul ca produs în care un factor este cel mai mare pătrat perfect posibil, desparte radicalul cu regula $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, extrage rădăcina din pătratul perfect și lasă restul sub radical. La final verifică să nu mai fi rămas vreun pătrat perfect dedesubt.

Cât face radical din 50? $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Aceasta este forma cea mai simplă. Ca valoare aproximativă, $\sqrt{50}\approx 7,07$.

Cât face radical din 72? $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$, fiindcă $36$ este cel mai mare pătrat perfect care divide $72$. Aproximativ, $\sqrt{72}\approx 8,49$.

Ce fac dacă nu găsesc pătratul perfect? Folosește metoda sigură: descompune numărul în factori primi și grupează factorii egali câte doi. Din fiecare pereche scoți un singur factor în fața radicalului, iar factorii rămași singuri stau sub radical. Metoda funcționează la orice număr.

Se poate desface radicalul peste adunare, ca $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$? Nu. Proprietatea funcționează doar pentru înmulțire și împărțire, nu pentru sumă sau diferență. Contraexemplu: $\sqrt{9+16}=5$, dar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.

Cum scot factori dintr-un radical cu litere, de exemplu $\sqrt{a^2\cdot b}$? Dacă variabilele sunt pozitive, $\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}$, pentru că $\sqrt{a^2}=a$ când $a\ge 0$. De exemplu, $\sqrt{12x^2}=2x\sqrt{3}$. În general, fără condiția de pozitivitate, ai scrie $\sqrt{a^2}=|a|$.

Care este operația inversă scoaterii factorilor de sub radical? Este introducerea factorilor sub radical, unde bagi un factor din fața radicalului înapoi dedesubt, ridicându-l la pătrat: de exemplu $5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}$. O studiezi în lecția următoare, Introducerea factorilor sub radical.

Cum știu că am terminat de simplificat un radical? Ai terminat când numărul rămas sub radical nu mai are niciun divizor pătrat perfect în afară de $1$. Practic, verifică dacă se mai împarte exact la $4$, $9$, $16$, $25$ etc. Dacă niciunul nu intră, radicalul este în forma cea mai simplă.

De ce e greșit să mă opresc la $\sqrt{72}=2\sqrt{18}$? Pentru că sub radical a rămas $18$, care încă se împarte la $9$, un pătrat perfect. Un radical „pe jumătate simplificat” nu este considerat răspuns corect. Mergi mai departe: $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Pot verifica un rezultat fără calculator? Da, ridicând rezultatul la pătrat. Dacă $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, atunci $(5\sqrt{3}{)}^2=25\cdot 3=75$, exact numărul de la care ai plecat — deci simplificarea e corectă. Este cea mai sigură metodă de autocontrol.

De ce apar radicali ca $\sqrt{2}$ în problemele de geometrie? Pentru că, prin teorema lui Pitagora, ipotenuza se calculează ca $\sqrt{b^2+c^2}$, iar suma a două pătrate rareori este ea însăși un pătrat perfect. De exemplu, diagonala unui pătrat de latură $\ell$ este $\ell \sqrt{2}$. Scoaterea factorilor de sub radical îți dă imediat răspunsul în forma cea mai îngrijită.

Contează în ce ordine scriu, $5\sqrt{2}$ sau $\sqrt{2}\cdot 5$? Ca valoare sunt egale, dar prin convenție factorul întreg se scrie în fața radicalului: $5\sqrt{2}$. Forma $\sqrt{2}\cdot 5$ nu e greșită, dar e nestandard; la teze și examene scrie $5\sqrt{2}$.

Cum compar doi radicali dacă au numere diferite sub radical? Ridică fiecare la pătrat și compară rezultatele (metoda merge fiindcă radicalii sunt numere pozitive). De exemplu, pentru $2\sqrt{7}$ și $3\sqrt{3}$: $(2\sqrt{7}{)}^2=28$ și $(3\sqrt{3}{)}^2=27$, iar cum $28>27$, rezultă $2\sqrt{7}>3\sqrt{3}$.