Introducerea factorilor sub radical

Imaginează-ți că vrei să compari două numere: $5\sqrt{2}$ și $3\sqrt{6}$. Care e mai mare? Fără calculator pare imposibil de spus dintr-o privire, pentru că fiecare este un produs între un număr întreg și un radical „urât". Vestea bună este că există un truc simplu și elegant: dacă „bagi" factorul din față sub radical, ambele numere devin niște radicali simpli, iar între doi radicali câștigă întotdeauna cel cu numărul mai mare sub semnul rădăcinii. Această operație se numește introducerea factorilor sub radical și este exact operația inversă a celei din lecția anterioară. Este o unealtă folosită zilnic în calcule cu numere reale, în geometrie (la teorema lui Pitagora) și ori de câte ori trebuie să ordonezi rapid numere iraționale.

Ce vei învăța

• Vei ști să introduci un factor pozitiv sub radical folosind regula $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$.
• Vei ști să transformi un număr de forma $a\sqrt{b}$ într-un singur radical și invers.
• Vei ști să compari două numere iraționale de forma $a\sqrt{b}$ fără calculator.
• Vei ști să ordonezi crescător sau descrescător mai mulți radicali.
• Vei înțelege de ce introducerea și scoaterea factorilor sunt operații inverse una alteia.

Hai să descoperim împreună

Reamintire scurtă: ce am făcut la scoaterea factorilor

În lecția Scoaterea factorilor de sub radical ai învățat să iei un radical „mare" și să scoți afară partea care este pătrat perfect. De exemplu:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}.$$

Am pornit de la $\sqrt{50}$ și am ajuns la $5\sqrt{2}$. Acum vom face exact drumul invers: pornim de la $5\sqrt{2}$ și vrem să ajungem înapoi la $\sqrt{50}$. Cu alte cuvinte, vrem să „ascundem" numărul $5$ sub semnul radicalului.

Reține ideea centrală de la început: introducerea factorilor este operația inversă scoaterii factorilor. Sunt ca „îmbracă" și „dezbracă", ca „adună" și „scade" — două acțiuni care se anulează reciproc.

De unde vine regula

Ne bazăm pe o proprietate a radicalilor pe care o știi deja: rădăcina unui produs de numere pozitive este egală cu produsul rădăcinilor. Adică, pentru $x\ge 0$ și $y\ge 0$:

$$\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}.$$

Citită de la dreapta la stânga, această egalitate ne spune că putem strânge un produs de doi radicali într-un singur radical: $\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}=\sqrt{x\cdot y}$.

Acum, cheia întregii lecții. Ne amintim un lucru esențial despre rădăcina pătrată, tratat în lecția Relația dintre puterea cu exponent 2 și rădăcină: dacă $a$ este un număr pozitiv (sau zero), atunci

$$a=\sqrt{a^2}.$$

De ce? Pentru că a ridica la pătrat și a extrage rădăcina pătrată sunt operații inverse, iar când $a\ge 0$ nu apar complicații cu semnul. De exemplu $5=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}$, iar $7=\sqrt{49}=\sqrt{7^2}$. Orice număr pozitiv poate fi scris ca radicalul pătratului său.

Punem acum cele două idei împreună. Fie $a\ge 0$ și $b\ge 0$. Vrem să transformăm produsul $a\sqrt{b}$. Înlocuim pe $a$ cu $\sqrt{a^2}$:

$$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{b}.$$

Iar acum strângem cei doi radicali într-unul singur, folosind proprietatea produsului:

$$\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}.$$

Am obținut regula de aur a acestei lecții:

$$\boxed{a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b},\text{pentru }a\ge 0,b\ge 0.}$$

În cuvinte: ca să introduci un factor pozitiv sub radical, îl ridici la pătrat și îl înmulțești cu numărul care era deja sub radical. Factorul din față „intră" sub rădăcină, dar plătește un preț: se ridică la pătrat.

De ce se ridică la pătrat, și nu rămâne la fel

Este întrebarea care apare cel mai des, așa că merită să ne oprim aici. Un elev grăbit ar putea crede că $5\sqrt{2}=\sqrt{5\cdot 2}=\sqrt{10}$. Este greșit! Hai să verificăm cu numere aproximative de ce.

Știm că $\sqrt{2}\approx 1,41$. Atunci $5\sqrt{2}\approx 5\cdot 1,41=7,05$. Dar $\sqrt{10}\approx 3,16$. Sunt complet diferite! În schimb, $\sqrt{50}\approx 7,07$, ceea ce se potrivește foarte bine cu $7,05$ (mica diferență vine din rotunjire). Deci corect este $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$, nu $\sqrt{10}$.

Motivul profund: sub radical, numerele „valorează" mai puțin, pentru că rădăcina le micșorează. Ca să compensezi și să păstrezi valoarea egală, factorul care intră trebuie mărit — iar mărirea potrivită este chiar ridicarea la pătrat, deoarece rădăcina și pătratul se anulează reciproc.

O analogie care te ajută să nu uiți

Gândește-te la radical ca la o „cutie" care micșorează tot ce pui înăuntru: un număr pus în cutie iese mai mic (rădăcina lui). Factorul $a$ stă afară, „la mărime naturală". Dacă vrei să-l muți în cutie fără să-i schimbi valoarea reală, trebuie să-l faci mai mare înainte să intre, ca să compenseze micșorarea. Cu cât? Exact atât cât să reziste rădăcinii — adică îl ridici la pătrat, pentru că pătratul și rădăcina se anulează unul pe altul. Așa, $5$ care intră devine $25$ sub radical, iar $\sqrt{25}$ redă tocmai $5$. Valoarea totală rămâne neschimbată; s-a schimbat doar forma de scriere.

Este ca și cum ai converti bani dintr-o monedă în alta: suma reală rămâne aceeași, dar numărul de pe bancnotă arată diferit. $5\sqrt{2}$ și $\sqrt{50}$ sunt „aceiași bani", scriși în două monede diferite.

Verificarea instantanee: scoate ce ai introdus

Cel mai frumos lucru este că poți verifica singur, mereu. După ce ai introdus un factor, fă operația inversă (scoaterea) și trebuie să ajungi înapoi de unde ai plecat. Am scris $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$. Verificăm scoțând:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}.✓$$

Am revenit la $5\sqrt{2}$, deci transformarea a fost corectă. Ține minte acest obicei: orice introducere se verifică printr-o scoatere.

Pași concreți pentru orice exercițiu

Ori de câte ori ai de introdus un factor sub radical, urmează acești trei pași simpli:

1. Identifică factorul din față (numărul $a$, care înmulțește radicalul) și numărul de sub radical (numărul $b$).
2. Ridică factorul la pătrat: calculează $a^2$.
3. Înmulțește $a^2$ cu $b$ și pune totul sub același radical: rezultatul este $\sqrt{a^2\cdot b}$.

Să aplicăm pe câteva sub-exemple din ce în ce mai variate.

Sub-exemplul 1. Introdu factorul: $3\sqrt{5}$. Factorul este $a=3$, numărul de sub radical este $b=5$. Ridicăm: $3^2=9$. Înmulțim: $9\cdot 5=45$. Deci $$3\sqrt{5}=\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}.$$

Sub-exemplul 2. Introdu factorul: $4\sqrt{3}$. Avem $a=4$, deci $a^2=16$, iar $16\cdot 3=48$: $$4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}.$$

Sub-exemplul 3. Introdu factorul: $2\sqrt{7}$. $a=2\Rightarrow a^2=4$, iar $4\cdot 7=28$: $$2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{28}.$$

Sub-exemplul 4. Un caz aparent ciudat: $\sqrt{6}$ — dar aici nu există niciun factor în față! De fapt, în față este un $1$ nescris: $\sqrt{6}=1\cdot \sqrt{6}$. Dacă îl introducem, $1^2=1$, deci $\sqrt{6}=\sqrt{1\cdot 6}=\sqrt{6}$. Nu se schimbă nimic — și e normal, pentru că $1$ nu modifică valoarea.

Sub-exemplul 5. Un întreg fără radical vizibil: cât face $7$ scris ca radical? Aici $b=1$, pentru că $7=7\sqrt{1}$. Introducem: $7^2=49$, deci $7=\sqrt{49}$. Este util să știi să scrii un număr întreg sub formă de radical, mai ales când vrei să-l compari cu un radical.

Sub-exemplul 6. Un factor mai mare, ca să vezi cât de repede crește numărul de sub radical: $12\sqrt{2}$. Avem $a=12$, deci $a^2=144$, iar $144\cdot 2=288$: $$12\sqrt{2}=\sqrt{144\cdot 2}=\sqrt{288}.$$ Nu te speria de numărul mare de sub radical — el este forma corectă și este exact ce ai nevoie pentru comparări.

Sub-exemplul 7. Un factor și un număr de sub radical amândouă „prietenoase": $5\sqrt{3}$. Ridicăm $5^2=25$ și înmulțim cu $3$: $5\sqrt{3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}$. Observă că nu ne interesează dacă $75$ este pătrat perfect sau nu; forma $\sqrt{75}$ este perfect corectă și utilă.

La ce ne folosește de fapt: compararea radicalilor

Acum vine partea cu adevărat puternică. Amintește-ți din lecția Compararea și ordonarea numerelor reale o regulă simplă despre radicali: cu cât numărul de sub radical este mai mare, cu atât valoarea radicalului este mai mare (pentru numere pozitive). Adică, dacă $0\le m<n$, atunci $\sqrt{m}<\sqrt{n}$. De exemplu $\sqrt{9}<\sqrt{16}$, adică $3<4$. Firesc.

Problema e că această regulă funcționează direct numai când comparăm doi radicali „puri", ca $\sqrt{m}$ și $\sqrt{n}$. Dar cum comparăm $5\sqrt{2}$ cu $3\sqrt{6}$, când fiecare are un factor în față? Le transformăm pe amândouă în radicali puri, introducând factorii sub radical! Apoi comparăm doar numerele de sub radical.

Hai să vedem exact pe acest exemplu. Introducem factorii: $$5\sqrt{2}=\sqrt{5^2\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50},$$ $$3\sqrt{6}=\sqrt{3^2\cdot 6}=\sqrt{9\cdot 6}=\sqrt{54}.$$

Acum comparăm $\sqrt{50}$ cu $\sqrt{54}$. Cum $50<54$, rezultă $\sqrt{50}<\sqrt{54}$, deci

$$5\sqrt{2}<3\sqrt{6}.$$

Surprinzător, nu-i așa? La prima vedere, $5$ e mai mare decât $3$, așa că ai fi crezut că $5\sqrt{2}$ e mai mare. Dar radicalul $\sqrt{6}$ „trage" atât de tare în sus încât $3\sqrt{6}$ îl întrece. Fără metoda introducerii factorilor, ai fi putut greși ușor.

Metoda completă de ordonare a mai multor radicali

Când ai de ordonat mai multe numere de forma $a\sqrt{b}$ (crescător sau descrescător), procedeul este mereu același:

1. Introdu factorul sub radical la fiecare număr, aducându-le pe toate la forma $\sqrt{\text{ceva}}$.
2. Compară numerele de sub radical (numere naturale obișnuite — știi să le ordonezi de la clasa a V-a).
3. Așază radicalii în ordinea cerută, apoi rescrie răspunsul cu numerele în forma inițială $a\sqrt{b}$.

Această metodă funcționează întotdeauna, e curată și nu are nevoie de calculator. O vom folosi din plin la exemple.

Un caz special util: factor și număr sub radical „amestecate"

Uneori factorul din față este el însuși un număr mai mic, iar sub radical avem un număr care ar putea fi și el simplificat. Regula rămâne aceeași, dar merită atenție. De pildă, la $2\sqrt{18}$ ai două opțiuni: fie introduci direct ($2\sqrt{18}=\sqrt{4\cdot 18}=\sqrt{72}$), fie mai întâi simplifici radicalul ($\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, deci $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$, apoi $\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}$). Ambele drumuri duc la același $\sqrt{72}$ — o dovadă în plus că regulile sunt consistente. Pentru comparări e cel mai simplu să introduci direct totul sub radical.

O aplicație în geometrie: de ce ai nevoie de comparări

Poate te întrebi unde vei folosi vreodată compararea a doi radicali în viața reală. Un răspuns îl găsești chiar în geometrie, la teorema lui Pitagora, pe care o vei studia mai târziu în acest an. Lungimile care apar acolo sunt aproape întotdeauna radicali. De exemplu, diagonala unui pătrat cu latura $a$ are lungimea $a\sqrt{2}$, iar înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $a$ are lungimea $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Să spunem că vrei să afli care este mai lungă: diagonala unui pătrat cu latura $4$, adică $4\sqrt{2}$, sau o bară de $\sqrt{35}$. Introduci factorul: $4\sqrt{2}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{32}$. Compari cu $\sqrt{35}$: cum $32<35$, rezultă că bara de $\sqrt{35}$ este mai lungă. Fără metoda introducerii factorilor, ai fi rămas blocat, pentru că nu poți compara direct $4\sqrt{2}$ cu $\sqrt{35}$.

Vei folosi această comparare și când calculezi perimetre, distanțe pe axă sau când trebuie să spui care dintre două traiectorii este mai scurtă. Introducerea factorilor este, așadar, mult mai mult decât un truc de calcul — este o unealtă de decizie.

Încă un exemplu de ordonare, ca să prinzi ritmul

Hai să ordonăm descrescător numerele $2\sqrt{6}$, $4\sqrt{1}$ (adică $4$) și $3\sqrt{2}$. Introducem factorii peste tot, inclusiv la întreg: $$2\sqrt{6}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{24},4=\sqrt{16},3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}.$$ Numerele de sub radical, în ordine descrescătoare, sunt $24>18>16$. Deci ordinea descrescătoare a numerelor este: $$2\sqrt{6}>3\sqrt{2}>4.$$ Observă cât de mecanic devine totul odată ce ai transformat fiecare număr într-un radical pur: comparăm numere naturale, ceva ce știi să faci de ani buni.

Ce se întâmplă cu factorul $1$ și cu factorul $0$

Merită să lămurim două cazuri de la margine, pentru că apar în teste tocmai ca să te încurce. Dacă factorul din față este $1$, introducerea nu schimbă nimic: $1\sqrt{b}=\sqrt{1^2\cdot b}=\sqrt{b}$. Are sens, pentru că înmulțirea cu $1$ nu modifică valoarea. De aceea un radical „pur", ca $\sqrt{7}$, este deja în forma finală și nu mai are ce factor să intre. Dacă factorul din față este $0$, atunci întregul produs este $0$: $0\sqrt{b}=0$, indiferent ce este sub radical. Nu apar surprize, dar e bine să recunoști aceste situații ca să nu pierzi timp căutând un calcul acolo unde nu e cazul.

Cât de repede „crește" numărul de sub radical

Un lucru care sperie mulți elevi este că, după introducere, numărul de sub radical devine mare — uneori foarte mare. La $12\sqrt{2}$ am obținut $\sqrt{288}$, iar $10\sqrt{3}$ devine $\sqrt{300}$. Este perfect normal și nu înseamnă că ai greșit. Motivul e simplu: factorul se ridică la pătrat, iar pătratele cresc repede ($10^2=100$, $12^2=144$, $20^2=400$). Nu trebuie să simplifici înapoi acest număr; forma $\sqrt{288}$ este un răspuns corect și complet. De fapt, tocmai pentru comparări ai nevoie de numărul mare, întreg, sub radical — el este „eticheta de preț" pe care o compari direct cu a celuilalt număr. Reține deci: un număr mare sub radical nu e un semn de eroare, ci exact ceea ce ți-ai propus să obții.

Legătura cu ordonarea de la clasele mici

Observă un lucru frumos despre metoda de ordonare: după ce ai introdus factorii, întreaga problemă se transformă într-una pe care o rezolvi de ani buni — ordonarea unor numere naturale. Nu mai contează că numerele erau iraționale și „urâte"; sub radical stau doar numere naturale, iar pe acelea știi să le compari încă din clasa a V-a. Așa se întâmplă des în matematică: o problemă nouă și grea se reduce, printr-o transformare inteligentă, la una veche și cunoscută. Introducerea factorilor este exact o astfel de „punte": ea îți permite să folosești o pricepere veche (compararea numerelor naturale) ca să rezolvi o problemă nouă (compararea numerelor iraționale).

Rezumatul ideii, pe scurt

Ține minte trei propoziții și ai stăpânit lecția: (1) introducerea factorilor este inversa scoaterii; (2) factorul care intră sub radical se ridică la pătrat; (3) transformarea în radicali puri este cheia comparării și ordonării numerelor de forma $a\sqrt{b}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Introducere simplă

Cerință: Scrie sub forma unui singur radical: $6\sqrt{2}$.

Rezolvare: Factorul este $a=6$, iar sub radical avem $b=2$. Ridicăm factorul la pătrat: $6^2=36$. Îl înmulțim cu $2$: $$6\sqrt{2}=\sqrt{6^2\cdot 2}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}.$$ Verificare (prin scoatere): $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$. ✓

Exemplul 2 — Un factor mai mare

Cerință: Introdu factorul sub radical: $10\sqrt{3}$.

Rezolvare: Aici $a=10$, deci $a^2=100$, iar $b=3$: $$10\sqrt{3}=\sqrt{100\cdot 3}=\sqrt{300}.$$ Observă cât de mult „crește" numărul de sub radical — de aceea $10\sqrt{3}$ este destul de mare (aproximativ $17,3$), iar $\sqrt{300}\approx 17,32$. Se potrivește.

Exemplul 3 — Compararea a doi radicali

Cerință: Compară numerele $4\sqrt{5}$ și $7\sqrt{2}$.

Rezolvare: Introducem factorii sub radical la ambele. $$4\sqrt{5}=\sqrt{4^2\cdot 5}=\sqrt{16\cdot 5}=\sqrt{80},$$ $$7\sqrt{2}=\sqrt{7^2\cdot 2}=\sqrt{49\cdot 2}=\sqrt{98}.$$ Comparăm numerele de sub radical: $80<98$, deci $\sqrt{80}<\sqrt{98}$. Prin urmare $$4\sqrt{5}<7\sqrt{2}.$$

Exemplul 4 — Compararea unui întreg cu un radical

Cerință: Care este mai mare, $9$ sau $4\sqrt{5}$?

Rezolvare: Scriem și pe $9$ sub formă de radical: $9=\sqrt{9^2}=\sqrt{81}$. Pe $4\sqrt{5}$ îl aducem la radical pur: $4\sqrt{5}=\sqrt{16\cdot 5}=\sqrt{80}$. Comparăm: $81>80$, deci $\sqrt{81}>\sqrt{80}$, adică $$9>4\sqrt{5}.$$ Aproape la egalitate, dar întregul câștigă la limită. Fără metodă, ar fi fost greu de ghicit.

Exemplul 5 — Ordonarea crescătoare a trei radicali

Cerință: Ordonează crescător numerele: $3\sqrt{3}$, $2\sqrt{7}$, $5\sqrt{2}$.

Rezolvare: Introducem factorul la fiecare. $$3\sqrt{3}=\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{27},$$ $$2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{28},$$ $$5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}.$$ Comparăm numerele de sub radical: $27<28<50$. Deci ordinea crescătoare este $$3\sqrt{3}<2\sqrt{7}<5\sqrt{2}.$$

Exemplul 6 — Ordonarea descrescătoare cu un întreg în amestec

Cerință: Ordonează descrescător: $2\sqrt{7}$, $5$, $3\sqrt{3}$.

Rezolvare: Aducem toate cele trei numere la radicali puri, inclusiv întregul. $$2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{28},5=\sqrt{25},3\sqrt{3}=\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{27}.$$ Comparăm numerele de sub radical, descrescător: $28>27>25$. Prin urmare $$2\sqrt{7}>3\sqrt{3}>5.$$ Reține trucul: întregul se transformă și el în radical ($5=\sqrt{25}$), ca să poată intra în competiție cu ceilalți.

Exemplul 7 — Determinarea unui număr de sub radical

Cerință: Găsește numărul natural $n$ pentru care $3\sqrt{n}=\sqrt{63}$.

Rezolvare: Introducem factorul din stânga: $3\sqrt{n}=\sqrt{9\cdot n}=\sqrt{9n}$. Egalitatea devine $\sqrt{9n}=\sqrt{63}$, deci $9n=63$, de unde $n=7$. Verificare: $3\sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{63}$. ✓ Acest tip de exercițiu, în care trebuie să găsești numărul „ascuns", apare des la teste.

Exemplul 8 — Transformare în ambele sensuri

Cerință: a) Introdu factorul: $8\sqrt{2}$. b) Verifică scoțând factorul din rezultat.

Rezolvare: a) $a=8\Rightarrow a^2=64$, iar $64\cdot 2=128$, deci $8\sqrt{2}=\sqrt{128}$. b) Scoatem factorii din $\sqrt{128}$: căutăm cel mai mare pătrat perfect care divide $128$. Cum $128=64\cdot 2$ și $64=8^2$, avem $\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot 2}=8\sqrt{2}$. ✓ Am revenit la numărul de plecare, deci transformarea de la a) e corectă.

Exemplul 9 — Când numerele de sub radical ies egale

Cerință: Compară numerele $6\sqrt{2}$ și $3\sqrt{8}$.

Rezolvare: Introducem factorii la ambele. $$6\sqrt{2}=\sqrt{6^2\cdot 2}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72},$$ $$3\sqrt{8}=\sqrt{3^2\cdot 8}=\sqrt{9\cdot 8}=\sqrt{72}.$$ Numerele de sub radical sunt egale: amândouă dau $\sqrt{72}$. Prin urmare $$6\sqrt{2}=3\sqrt{8}.$$ Este un rezultat important: două numere care arată complet diferit ($6\sqrt{2}$ și $3\sqrt{8}$) pot fi, de fapt, egale. Introducerea factorilor este singura metodă sigură de a descoperi asta fără calculator. Ori de câte ori numerele de sub radical ies identice, numerele sunt egale, indiferent cât de diferit arătau la început.

Exemplul 10 — Aplicație: perimetrul unui triunghi

Cerință: Un triunghi are laturile de $\sqrt{20}$ cm, $2\sqrt{5}$ cm și $3\sqrt{5}$ cm. Sunt două dintre laturi egale? Care este cea mai lungă latură?

Rezolvare: Aducem fiecare latură la forma cu factor scos sau la un radical pur, ca să le putem compara. Observăm că $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$. Deci prima latură ($\sqrt{20}$) și a doua ($2\sqrt{5}$) sunt egale — triunghiul este isoscel. Pentru cea mai lungă latură, introducem factorii la toate trei: $$\sqrt{20}=\sqrt{20},2\sqrt{5}=\sqrt{20},3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}.$$ Cum $45>20$, latura $3\sqrt{5}$ cm este cea mai lungă. Iată cum aceeași unealtă îți spune și când două lungimi sunt egale, și care este cea mai mare.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. La comparări, arată transformările, nu doar răspunsul final.

1. Introdu factorul sub radical: $2\sqrt{5}$.

2. Introdu factorul sub radical: $3\sqrt{2}$.

3. Introdu factorul sub radical: $6\sqrt{3}$.

4. Introdu factorul sub radical: $5\sqrt{5}$.

5. Scrie ca un singur radical: $9\sqrt{2}$.

6. Scrie numărul $8$ sub formă de radical (adică $\sqrt{?}$).

7. Scrie numărul $12$ sub formă de radical.

8. Compară numerele $3\sqrt{2}$ și $2\sqrt{5}$.

9. Compară numerele $4\sqrt{3}$ și $5\sqrt{2}$.

10. Compară numerele $6$ și $2\sqrt{10}$.

11. Compară numerele $2\sqrt{6}$ și $3\sqrt{3}$.

12. Adevărat sau fals, cu justificare: „$4\sqrt{2}=\sqrt{8}$".

13. Adevărat sau fals, cu justificare: „$5\sqrt{3}>9$".

14. Ordonează crescător: $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{2}$, $\sqrt{21}$.

15. Ordonează descrescător: $4\sqrt{2}$, $3\sqrt{3}$, $2\sqrt{7}$.

16. Găsește un număr natural $n$ astfel încât $\sqrt{n}=7\sqrt{2}$.

17. Problemă aplicată: Diagonala unui pătrat cu latura $5$ cm are lungimea $5\sqrt{2}$ cm, iar o bară metalică are lungimea $\sqrt{51}$ cm. Care este mai lungă? (Indicație: adu $5\sqrt{2}$ la un singur radical.)

18. Găsește un număr natural $a$ astfel încât $a\sqrt{3}=\sqrt{75}$.

19. Adevărat sau fals, cu justificare: „$2\sqrt{5}<\sqrt{21}$".

20. Problemă aplicată: Doi elevi aleargă pe trasee diferite. Primul parcurge $6\sqrt{2}$ km, al doilea $\sqrt{70}$ km. Care aleargă mai mult și cu ce metodă compari?

21. Provocare: Ordonează crescător patru numere: $5\sqrt{2}$, $4\sqrt{3}$, $3\sqrt{5}$, $2\sqrt{11}$.

22. Provocare: Așază între cele două numere semnul potrivit ($<$, $>$ sau $=$): $10\sqrt{2}$ și $\sqrt{200}$.

23. Arată că numerele $4\sqrt{3}$ și $2\sqrt{12}$ sunt egale, introducând factorii la amândouă.

24. Provocare: Un dreptunghi are lungimea de $3\sqrt{7}$ cm și lățimea de $\sqrt{60}$ cm. Care dimensiune este mai mare, lungimea sau lățimea?

Răspunsuri și explicații

1. $2\sqrt{5}=\sqrt{2^2\cdot 5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}$.

2. $3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$.

3. $6\sqrt{3}=\sqrt{36\cdot 3}=\sqrt{108}$.

4. $5\sqrt{5}=\sqrt{25\cdot 5}=\sqrt{125}$.

5. $9\sqrt{2}=\sqrt{81\cdot 2}=\sqrt{162}$.

6. $8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}$.

7. $12=\sqrt{12^2}=\sqrt{144}$.

8. $3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$ și $2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}$. Cum $18<20$, avem $3\sqrt{2}<2\sqrt{5}$.

9. $4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}$ și $5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}$. Cum $48<50$, rezultă $4\sqrt{3}<5\sqrt{2}$.

10. $6=\sqrt{36}$ și $2\sqrt{10}=\sqrt{4\cdot 10}=\sqrt{40}$. Cum $36<40$, avem $6<2\sqrt{10}$.

11. $2\sqrt{6}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{24}$ și $3\sqrt{3}=\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{27}$. Cum $24<27$, rezultă $2\sqrt{6}<3\sqrt{3}$.

12. Fals. Introducând corect: $4\sqrt{2}=\sqrt{4^2\cdot 2}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{32}$, nu $\sqrt{8}$. Greșeala tipică este să înmulțești $4\cdot 2$ fără a ridica întâi factorul la pătrat. Verificare: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$.

13. Fals. $5\sqrt{3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}$ și $9=\sqrt{81}$. Cum $75<81$, avem $5\sqrt{3}<9$, deci afirmația „$5\sqrt{3}>9$" este falsă. Corect este $5\sqrt{3}<9$.

14. Aducem la radicali puri: $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$, $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$, iar $\sqrt{21}$ este deja pur. Ordinea numerelor de sub radical: $18<20<21$. Deci crescător: $3\sqrt{2}<2\sqrt{5}<\sqrt{21}$.

15. $4\sqrt{2}=\sqrt{32}$, $3\sqrt{3}=\sqrt{27}$, $2\sqrt{7}=\sqrt{28}$. Descrescător după numărul de sub radical: $32>28>27$, deci $4\sqrt{2}>2\sqrt{7}>3\sqrt{3}$.

16. $7\sqrt{2}=\sqrt{49\cdot 2}=\sqrt{98}$, deci $n=98$.

17. $5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}$. Comparăm cu $\sqrt{51}$: cum $50<51$, avem $\sqrt{50}<\sqrt{51}$, deci diagonala pătratului ($5\sqrt{2}$ cm) este mai scurtă, iar bara metalică ($\sqrt{51}$ cm) este mai lungă.

18. Scoatem factorii din $\sqrt{75}$: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$. Deci $a\sqrt{3}=5\sqrt{3}$, de unde $a=5$. Verificare: $5\sqrt{3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}$. ✓

19. Adevărat. $2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}$, iar $\sqrt{21}$ este deja pur. Cum $20<21$, avem $\sqrt{20}<\sqrt{21}$, deci $2\sqrt{5}<\sqrt{21}$.

20. $6\sqrt{2}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}$, iar $\sqrt{70}$ este deja pur. Cum $72>70$, avem $6\sqrt{2}>\sqrt{70}$, deci primul elev aleargă mai mult. Metoda: introducerea factorului sub radical, apoi compararea numerelor de sub radical.

21. $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$, $4\sqrt{3}=\sqrt{48}$, $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$, $2\sqrt{11}=\sqrt{44}$. Ordinea sub radical: $44<45<48<50$. Deci crescător: $2\sqrt{11}<3\sqrt{5}<4\sqrt{3}<5\sqrt{2}$.

22. $10\sqrt{2}=\sqrt{100\cdot 2}=\sqrt{200}$. Numerele de sub radical sunt egale, deci $10\sqrt{2}=\sqrt{200}$ (semnul $=$).

23. $4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}$ și $2\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 12}=\sqrt{48}$. Ambele dau $\sqrt{48}$, deci $4\sqrt{3}=2\sqrt{12}$. Numerele sunt egale, deși arătau diferit.

24. $3\sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{63}$, iar $\sqrt{60}$ este deja radical pur. Cum $63>60$, avem $\sqrt{63}>\sqrt{60}$, deci lungimea ($3\sqrt{7}$ cm) este mai mare decât lățimea ($\sqrt{60}$ cm). (Firesc, la un dreptunghi lungimea este latura mai mare.)

De reținut

• Regula de aur: $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$ pentru $a\ge 0$ și $b\ge 0$. Factorul care intră sub radical se ridică la pătrat.
• Introducerea factorilor este operația inversă scoaterii factorilor; o poți verifica mereu scoțând înapoi.
• Un număr întreg pozitiv se scrie ca radical prin ridicare la pătrat: $c=\sqrt{c^2}$ (de exemplu $7=\sqrt{49}$).
• Pentru a compara sau ordona numere de forma $a\sqrt{b}$, transformă-le pe toate în radicali puri, apoi compară numerele de sub radical: cel mai mare număr sub radical dă cea mai mare valoare.

Greșeli frecvente

• Uiți să ridici factorul la pătrat. Scrii $5\sqrt{2}=\sqrt{10}$ în loc de $\sqrt{50}$. Corect: factorul intră ridicat la pătrat, $5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}$.
• Compari doar factorii din față. Crezi că $5\sqrt{2}>3\sqrt{6}$ pentru că $5>3$. Greșit — trebuie să introduci factorii: $\sqrt{50}<\sqrt{54}$, deci de fapt $5\sqrt{2}<3\sqrt{6}$.
• Ridici la pătrat și numărul de sub radical. Scrii $5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}$. Greșit — doar factorul din față se ridică la pătrat; numărul de sub radical rămâne neschimbat: $\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}$.
• Introduci un factor negativ ca și cum ar fi pozitiv. Regula $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$ este pentru $a\ge 0$. La clasa a VII-a lucrăm cu factori pozitivi; un semn minus din față rămâne în afara radicalului (de exemplu $-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$).
• Compari doar factorii, când numerele de sub radical sunt diferite. Nu poți spune direct că $3\sqrt{5}>2\sqrt{7}$ „pentru că $3>2$". Trebuie să transformi: $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$ și $2\sqrt{7}=\sqrt{28}$; abia acum, din $45>28$, tragi concluzia corectă $3\sqrt{5}>2\sqrt{7}$. Sari peste transformare doar dacă numerele de sub radical sunt deja identice.

Aplică acasă

• Cursa radicalilor. Scrie pe câte un bilețel numerele $3\sqrt{2}$, $2\sqrt{5}$, $\sqrt{19}$, $4\sqrt{1}$ (adică $4$). Transformă fiecare într-un radical pur introducând factorul, apoi așază bilețelele în ordine crescătoare pe masă. Verifică-te cu un calculator la final — ar trebui să iasă aceeași ordine.
• Detectivul de greșeli. Roagă un părinte sau un coleg să-ți scrie 5 introduceri de factori, unele corecte și unele greșite intenționat (de exemplu $6\sqrt{3}=\sqrt{18}$). Tu descoperi care sunt greșite, folosind verificarea prin scoaterea factorilor.
• Diagonale reale. Măsoară latura unei plăci pătrate din casă (de exemplu o gresie). Diagonala ei este $l\sqrt{2}$. Scrie această diagonală ca un singur radical și compar-o cu o riglă reală (măsurând diagonala plăcii). Vezi cât de aproape ești.
• Perechea ascunsă. Scrie cinci numere de forma $a\sqrt{b}$ (de exemplu $2\sqrt{3}$, $4\sqrt{2}$, $3\sqrt{2}$, $\sqrt{12}$, $6\sqrt{1}$) și introdu factorii la toate. Caută printre ele o pereche de numere egale, adică două care dau același radical pur. (Aici $2\sqrt{3}$ și $\sqrt{12}$ dau amândouă $\sqrt{12}$.) Este un joc bun pentru a exersa că forma diferită nu înseamnă neapărat valoare diferită.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este perechea inversă a scoaterii factorilor, iar cel mai bun mod de a-l sprijini pe elev este să insistați pe legătura dintre cele două operații: orice introducere corectă se verifică scoțând factorul înapoi. Dacă elevul greșește, cereți-i să facă verificarea și va descoperi singur eroarea.

Întrebări de verificare a înțelegerii: „De ce factorul se ridică la pătrat când intră sub radical, și nu rămâne la fel?" (răspuns: pentru că $a=\sqrt{a^2}$); „Cum ai putea compara $4\sqrt{3}$ cu $5\sqrt{2}$ fără calculator?" (răspuns: introduci factorii și compari $\sqrt{48}$ cu $\sqrt{50}$); „Scrie numărul $9$ ca un radical." (răspuns: $\sqrt{81}$).

Semne că a înțeles: introduce factorul fără să uite ridicarea la pătrat, ordonează corect trei radicali motivând prin numerele de sub radical și sesizează capcana comparării doar a factorilor din față. Dacă elevul confundă în ce sens se face transformarea, recitiți împreună lecția conexă Scoaterea factorilor de sub radical.

Întrebări frecvente

Cum introduci un factor sub radical la clasa a 7-a? Ridici factorul din față la pătrat și îl înmulțești cu numărul care era deja sub radical. Regula este $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$ pentru $a$ pozitiv. De exemplu, $3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$.

De ce se ridică factorul la pătrat când intră sub radical? Pentru că orice număr pozitiv $a$ se poate scrie ca $a=\sqrt{a^2}$. Când strângi $\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{b}$ într-un singur radical, obții $\sqrt{a^2\cdot b}$. Ridicarea la pătrat compensează micșorarea produsă de rădăcină, ca valoarea să rămână egală.

Care este diferența dintre scoaterea și introducerea factorilor sub radical? Sunt operații inverse. La scoatere, pornești de la un radical mare și scoți afară partea pătrat perfect ($\sqrt{50}=5\sqrt{2}$). La introducere, faci drumul invers și bagi factorul din față sub radical ($5\sqrt{2}=\sqrt{50}$). Rezultatul uneia se verifică prin cealaltă.

Cum compari doi radicali de forma a√b fără calculator? Introduci factorul sub radical la ambele numere, ca să devină radicali „puri", apoi compari numerele de sub radical. Cel cu numărul mai mare sub radical este mai mare. De exemplu, $4\sqrt{5}=\sqrt{80}$ și $7\sqrt{2}=\sqrt{98}$, deci $4\sqrt{5}<7\sqrt{2}$.

Cum ordonez crescător mai mulți radicali de forma a√b? Transformi fiecare număr într-un radical pur introducând factorul, compari numerele de sub radical (care sunt numere naturale obișnuite) și le așezi în ordine crescătoare, apoi rescrii răspunsul în forma inițială. Metoda merge fără calculator.

Este adevărat că $5\sqrt{2}=\sqrt{10}$? Nu, este greșit. Corect este $5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}$, pentru că factorul $5$ se ridică la pătrat, nu se înmulțește direct. Verificare aproximativă: $5\sqrt{2}\approx 7,07$, iar $\sqrt{10}\approx 3,16$ — complet diferite.

Cum scriu un număr întreg sub formă de radical? Îl ridici la pătrat și îl pui sub radical: $c=\sqrt{c^2}$. De exemplu, $6=\sqrt{36}$, iar $10=\sqrt{100}$. E util când vrei să compari un întreg cu un radical.

Ce fac dacă în fața radicalului este semnul minus? La clasa a VII-a introduci sub radical doar factorul pozitiv, iar semnul minus rămâne în afara radicalului. De exemplu, $-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$. Regula $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$ se aplică pentru $a$ pozitiv.

Cum aflu numărul de sub radical dacă știu rezultatul, de exemplu $a\sqrt{b}=\sqrt{n}$? Introduci factorul în stânga și obții $\sqrt{a^2\cdot b}=\sqrt{n}$, de unde $n=a^2\cdot b$. De exemplu, la $3\sqrt{n}=\sqrt{63}$ ai $9n=63$, deci $n=7$. Poți verifica mereu refăcând calculul în sens invers.

Numărul de sub radical iese foarte mare după introducere — am greșit? Nu, este normal. Factorul se ridică la pătrat, iar pătratele cresc repede, așa că sub radical apar numere mari, ca $\sqrt{288}$ sau $\sqrt{300}$. Nu trebuie să le simplifici înapoi; forma cu radical pur este exact ce ai nevoie, mai ales pentru comparări.

Pot exista două numere de forma a√b care sunt egale, deși arată diferit? Da. De exemplu, $6\sqrt{2}$ și $3\sqrt{8}$ par diferite, dar introducând factorii obții în ambele cazuri $\sqrt{72}$, deci sunt egale. Ori de câte ori numerele de sub radical ies identice, cele două numere sunt egale.

Introducerea factorilor sub radical intră la teste și la evaluarea de clasa a VII-a? Da, este o temă de bază din unitatea „Operații cu numere reale și radicali" și apare frecvent la compararea și ordonarea numerelor iraționale. Exersează atât transformarea în sine, cât și aplicarea ei la comparări, pentru că exact acolo se dau punctele.