La extragerea lui $$\sqrt{6241}$$, după prima cifră $$7$$ (rest $$13$$), cobori grupa $$41$$ și obții numărul de lucru $$1341$$. Ce reprezintă „cheia" cu care cauți a doua cifră?

Dublul rădăcinii de până acum ($$14$$), urmat de un loc liber pentru cifra nouă

Numărul $$7$$, înmulțit cu cifra nouă

Numărul de lucru însuși, $$1341$$

Cum se extrage rădăcina pătrată în coloană?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Cum extragem rădăcina pătrată

Se lucrează cifră cu cifră, ca la împărțirea în coloană. Împarți numărul în grupe de câte două cifre, pornind de la virgulă, iar fiecare grupă dă o cifră a rezultatului. Prima cifră este cea mai mare al cărei pătrat încape în prima grupă. Apoi cobori grupa următoare, dublezi ce ai găsit până atunci și cauți cifra care, alipită dublului și înmulțită cu ea însăși, încape în numărul de lucru.

Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate găsește rădăcina cifră cu cifră, la fel ca împărțirea în coloană. Pașii:

Grupezi numărul câte două cifre, pornind de la virgulă: spre stânga pentru partea întreagă, spre dreapta pentru zecimale. Fiecare grupă dă exact o cifră a rădăcinii.
Prima cifră a rădăcinii: cea mai mare cifră al cărei pătrat nu depășește prima grupă. Scazi pătratul ei și obții un rest.
La fiecare pas următor: cobori grupa următoare lângă rest, dublezi rădăcina găsită până acum și cauți cea mai mare cifră $d$ pentru care $\overline{(dublu) d} \cdot d$ nu depășește numărul de lucru.

Exemplu: $576$ . Grupăm $5 ∣ 76$ . Prima cifră: $2$ (căci $2^{2} = 4 \leq 5$ ; rest $1$ ). Coborâm $76$ → avem $176$ ; dublul lui $2$ este $4$ , căutăm $\overline{4 d} \cdot d \leq 176$ : merge $d = 4$ , căci $44 \cdot 4 = 176$ . Rădăcina este $24$ .

Capcana tipică: gruparea începe de la virgulă, nu de la prima cifră din stânga. Verifică mereu prin ridicare la pătrat!

De reținut

grupele de câte două cifre se fac pornind de la virgulă
o grupă înseamnă o cifră a rezultatului
la fiecare pas dublezi tot ce ai găsit, nu doar ultima cifră
proba: rezultatul ridicat la pătrat

Greșeala tipică

Se dublează numai ultima cifră aflată. Se dublează întregul număr obținut până în acel moment, deci dublul lui 23 este 46, nu 6.

Exerciții din această mini-lecție

Grupăm numărul $46225$ câte două cifre, pornind de la dreapta spre stânga. Câte cifre va avea rădăcina lui pătrată?
- a) $2$ cifre
- b) $3$ cifre
- c) $4$ cifre
- d) $5$ cifre
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$ cifre

Gruparea este $4 ∣ 62 ∣ 25$ , adică $3$ grupe, iar fiecare grupă produce exact o cifră a rădăcinii, deci rădăcina are $3$ cifre (de fapt $46225 = 215$ ).
La extragerea lui $6241$ , după prima cifră $7$ (rest $13$ ), cobori grupa $41$ și obții numărul de lucru $1341$ . Ce reprezintă „cheia" cu care cauți a doua cifră?
- a) Numărul $7$ , înmulțit cu cifra nouă
- b) Dublul rădăcinii de până acum ( $14$ ), urmat de un loc liber pentru cifra nouă
- c) Numărul de lucru însuși, $1341$
- d) Pătratul primei cifre, $49$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Dublul rădăcinii de până acum ( $14$ ), urmat de un loc liber pentru cifra nouă

Cheia se obține dublând întreaga rădăcină găsită până atunci ( $2 \times 7 = 14$ ) și lăsând un loc pentru cifra nouă $d$ : $\overline{14 d}$ . Aici $d = 9$ funcționează ( $149 \cdot 9 = 1341$ ), deci $6241 = 79$ .
Grupăm numărul $66049$ câte două cifre, pornind de la dreapta spre stânga. Câte cifre va avea rădăcina lui pătrată?
- a) $2$ cifre
- b) $4$ cifre
- c) $3$ cifre
- d) $5$ cifre
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3$ cifre

Gruparea este $6 ∣ 60 ∣ 49$ , adică $3$ grupe, iar fiecare grupă produce exact o cifră a rădăcinii, deci rădăcina are $3$ cifre (de fapt $66049 = 257$ ).

Întrebări conexe

Cum extrag rădăcina din 576 pas cu pas?

Grupezi ca 5 și 76. Prima cifră este 2, fiindcă $2^{2} = 4$ încape în 5, iar restul este 1. Cobori 76 și obții 176; dublul lui 2 este 4, iar cifra căutată este tot 4, fiindcă $44 \cdot 4 = 176$ . Rezultatul este 24.

Cum extrag rădăcina dintr-un număr cu zecimale?

Grupezi cifrele câte două pornind de la virgulă, în amândouă direcțiile, și completezi cu zerouri grupa incompletă din partea zecimală. Algoritmul merge apoi la fel, iar virgula se pune la rezultat exact când treci de grupa unităților.

Câte cifre are rădăcina unui număr de cinci cifre?

Are trei, fiindcă cinci cifre se împart în trei grupe: una singură la stânga și două perechi. Regula este că numărul de grupe dă numărul de cifre al rezultatului, ceea ce ajută la verificarea rapidă a mărimii răspunsului.

De unde încep gruparea cifrelor la un număr fără virgulă?

De la dreapta, fiindcă acolo se subînțelege virgula. La 54756 rămân grupele 5, 47 și 56, cu o grupă de o singură cifră la stânga. Începerea din stânga este greșeala care strică tot calculul.

Ce metodă mai rapidă am la pătratele perfecte cunoscute?

Recunoașterea directă: dacă știi pe de rost pătratele până la 25, vezi imediat că 576 este $2 4^{2}$ sau că 961 este $3 1^{2}$ . Ultima cifră ajută mult, fiindcă un pătrat nu se poate termina în 2, 3, 7 sau 8.

Cum arată schema de calcul pe foaie la extragerea rădăcinii?

Numărul stă în stânga, cu grupele despărțite prin bare, iar rezultatul se scrie deasupra sau în dreapta, ca la împărțire. Sub număr cobori resturile, iar într-o coloană laterală ții socoteala dublurilor și a cifrelor încercate.

Oamenii mai întreabă și: extragerea rădăcinii pătrate · rădăcina pătrată în coloană · algoritmul rădăcinii pătrate · cum calculez rădăcina fără calculator · radical din 576