Cum fac o fracție ireductibilă cu cmmdc?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Fracții ireductibile și numitor comun

Împarți numărătorul și numitorul prin cel mai mare divizor comun al lor și ajungi din prima la forma cerută. Pentru $\frac{36}{48}$ , cel mai mare divizor comun este 12, deci fracția devine $\frac{3}{4}$ . Rezultatul se recunoaște după faptul că cele două numere rămase nu mai au niciun divizor comun în afară de 1. Simplificările mărunte, cu 2 sau cu 3, duc în același loc, dar cer mai mulți pași.

O fracție poate fi scrisă în mai multe forme fără să-și schimbe valoarea: prin amplificare (înmulțim numărătorul și numitorul cu același număr) sau simplificare (îi împărțim prin același divizor comun). O fracție $\frac{a}{b}$ este ireductibilă dacă $(a, b) = 1$ , adică numărătorul și numitorul sunt prime între ele. Cel mai sigur mod de a ajunge direct la forma ireductibilă, dintr-un singur pas, este să împarți numărătorul și numitorul prin c.m.m.d.c.-ul lor.

Când vrei să aduni, scazi sau compari fracții cu numitori diferiți, le aduci întâi la același numitor, luând c.m.m.m.c.-ul numitorilor — cel mai mic numitor comun posibil — apoi amplifici fiecare fracție cu factorul $(numitor comun) : (numitor vechi)$ .

Exemplu. Pentru $\frac{36}{48}$ : $(36, 48) = 12$ , deci $\frac{36}{48} = \frac{3}{4}$ , formă ireductibilă. Pentru $\frac{5}{12}$ și $\frac{7}{18}$ : $[12, 18] = 36$ , deci ele devin $\frac{15}{36}$ și $\frac{14}{36}$ , gata de comparat sau adunat.

De reținut

$\frac{a}{b}$ este ireductibilă când $(a, b) = 1$
împărțirea prin cel mai mare divizor comun dă forma ireductibilă dintr-un pas
numitorul comun se ia cel mai mic multiplu comun al numitorilor
amplificarea și simplificarea nu schimbă valoarea fracției

Greșeala tipică

Se folosește cel mai mic multiplu comun la simplificare și cel mai mare divizor comun la numitorul comun, adică exact pe dos. Divizorii micșorează fracția, multiplii o aduc la un numitor mai mare.

Exerciții din această mini-lecție

Adu fracția $\frac{42}{56}$ la forma ireductibilă, folosind c.m.m.d.c.-ul numărătorului și numitorului.
- a) $\frac{3}{4}$
- b) $\frac{6}{8}$
- c) $\frac{21}{28}$
- d) $\frac{7}{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{4}$

Descompunem: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ și $56 = 2^{3} \cdot 7$ . C.m.m.d.c. ia factorii comuni la puterea cea mai mică: $(42, 56) = 2 \cdot 7 = 14$ . Împărțim: $\frac{42 : 14}{56 : 14} = \frac{3}{4}$ . Verificăm: $(3, 4) = 1$ , deci $\frac{3}{4}$ este ireductibilă. Variantele b și c reprezintă aceeași valoare, dar nu sunt forma ireductibilă cerută.
Care dintre fracțiile de mai jos este deja ireductibilă?
- a) $\frac{16}{24}$
- b) $\frac{9}{16}$
- c) $\frac{20}{30}$
- d) $\frac{14}{21}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{9}{16}$

Pentru $\frac{9}{16}$ : $9 = 3^{2}$ și $16 = 2^{4}$ , nu au niciun factor comun, deci $(9, 16) = 1$ → ireductibilă. La celelalte: $(16, 24) = 8$ , $(20, 30) = 10$ , $(14, 21) = 7$ , toate mai mari decât 1, deci se mai pot simplifica.
Adu fracția $\frac{36}{84}$ la forma ireductibilă, folosind c.m.m.d.c.-ul numărătorului și numitorului.
- a) $\frac{3}{7}$
- b) $\frac{6}{14}$
- c) $\frac{9}{21}$
- d) $\frac{4}{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{7}$

Descompunem: $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ și $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ . C.m.m.d.c. ia factorii comuni la puterea cea mai mică: $(36, 84) = 2^{2} \cdot 3 = 12$ . Împărțim: $\frac{36 : 12}{84 : 12} = \frac{3}{7}$ . Verificăm: $(3, 7) = 1$ , deci $\frac{3}{7}$ este ireductibilă. Variantele b) și c) sunt simplificări parțiale (cu $6$ , respectiv cu $4$ ), nu cu c.m.m.d.c.-ul.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă simplific cu un număr care nu îi divide pe amândoi?

Rezultatul nu mai este egal cu fracția de la început, deci calculul se strică. Simplificarea cere ca împărțirea să iasă exactă și sus, și jos. Din $\frac{9}{12}$ se poate ieși cu 3, dar nu cu 2, fiindcă 9 nu se împarte la 2.

Ce numitor comun aleg dacă numitorii nu au factori comuni?

Iei produsul lor, fiindcă acela este chiar cel mai mic multiplu comun. La numitorii 5 și 7 lucrezi cu 35, amplificând prima fracție cu 7 și pe a doua cu 5. Când numitorii au factori comuni, produsul iese mai mare decât e nevoie.

Cum aflu cu ce factor amplific o fracție?

Împarți numitorul comun ales la numitorul fracției. Dacă lucrezi cu numitorul 36, iar fracția are numitorul 9, factorul este $36 : 9 = 4$ . Cu el se înmulțesc amândoi termenii, altfel valoarea fracției s-ar schimba.

Ce înseamnă notațiile $(a, b)$ și $[a, b]$ ?

Prima notează cel mai mare divizor comun al numerelor, a doua cel mai mic multiplu comun. Astfel $(12, 18) = 6$ , iar $[12, 18] = 36$ . Parantezele rotunde se folosesc la simplificare, cele drepte la aducerea fracțiilor la același numitor.

De ce simplificarea în pași mici duce tot la forma ireductibilă?

Fiindcă fiecare împărțire scoate câte un factor comun, iar la capăt nu mai rămâne niciunul. Din $\frac{36}{48}$ , împărțind pe rând cu 2, cu 2 și cu 3, se ajunge tot la $\frac{3}{4}$ . Diferența este doar numărul de pași, nu rezultatul.

Oamenii mai întreabă și: fracție ireductibilă cu cmmdc · cum simplific o fracție · forma ireductibilă a unei fracții · simplificare cu cel mai mare divizor comun