Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime

Imaginează-ți că orice număr natural mai mare ca 1 este construit din „cărămizi". Cărămizile acestea sunt numerele prime — numerele pe care le-ai cunoscut în lecția despre numere prime și numere compuse. În lecția de astăzi vei învăța să spargi orice număr în cărămizile lui și să le strângi frumos sub formă de puteri. Această „rețetă secretă" a unui număr îți va deschide ușa către c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și multe alte lucruri care vin în lecțiile următoare. E una dintre cele mai folositoare deprinderi din toată divizibilitatea!

Ce vei învăța

• Vei ști să descompui un număr natural în produs de factori primi folosind algoritmul împărțirilor succesive.
• Vei ști să scrii descompunerea sub formă de puteri de numere prime, ordonate crescător.
• Vei înțelege intuitiv de ce descompunerea este unică pentru fiecare număr.
• Vei ști să folosești descompunerea pentru a găsi divizorii unui număr.
• Vei recunoaște greșelile tipice și vei verifica singur dacă descompunerea ta este corectă.

Hai să descoperim împreună

Reamintim cărămizile: numerele prime

Un număr prim este un număr natural mai mare ca 1 care are exact doi divizori: pe 1 și pe el însuși. Primele numere prime sunt:

$$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots$$

Un număr compus este un număr natural mai mare ca 1 care are și alți divizori în afară de 1 și el însuși. De exemplu, 12 este compus, pentru că în afară de 1 și 12 se mai împarte exact la 2, 3, 4 și 6.

Numerele 0 și 1 sunt speciale: nu sunt nici prime, nici compuse. Reține bine acest lucru, pentru că vom avea nevoie de el imediat.

Ideea cea mare: orice număr compus este un produs de prime

Hai să ne jucăm cu numărul 12. Putem să-l scriem ca un produs?

$$12=2\cdot 6$$

Dar 6 nu este prim, el este tot compus: $6=2\cdot 3$. Așadar:

$$12=2\cdot 2\cdot 3$$

Acum toate „cărămizile" sunt prime: 2, 2 și 3. Nu mai putem sparge nimic. Am descoperit rețeta numărului 12: este făcut din două numere de 2 și un număr de 3.

Aceasta este ideea centrală a lecției:

Orice număr natural mai mare ca 1 sau este prim, sau se poate scrie ca un produs de numere prime. Această scriere se numește descompunerea în factori primi.

„Factor" înseamnă pur și simplu un număr care se înmulțește. În produsul $2\cdot 2\cdot 3$, factorii sunt 2, 2 și 3. Pentru că toți sunt prime, îi numim factori primi.

Problema: cum spargem corect un număr mare?

La 12 a fost ușor, am ghicit din cap. Dar dacă te-aș întreba de 360 sau de 2520? Aici avem nevoie de o metodă sigură, care funcționează mereu și nu te lasă niciodată baltă. Această metodă se numește algoritmul împărțirilor succesive (sau „metoda cu linia verticală").

Algoritmul împărțirilor succesive — pas cu pas

Iată rețeta. O vom aplica pe numărul 60.

Pasul 1. Tragi o linie verticală. În stânga liniei scrii numărul de descompus; în dreapta vei scrie factorii primi, unul sub altul.

Pasul 2. Împarți numărul din stânga la cel mai mic număr prim la care se împarte exact. Începi mereu de la cel mai mic: întâi încerci 2, apoi 3, apoi 5, apoi 7 și așa mai departe.

Pasul 3. Rezultatul împărțirii îl scrii dedesubt, în stânga, și repeți operația.

Pasul 4. Te oprești când în stânga ai ajuns la 1.

Hai să vedem pentru 60:

60 | 2
30 | 2
15 | 3
 5 | 5
 1 |

Citim ce am făcut, rând cu rând:

• 60 se împarte la 2 (e număr par) → $60:2=30$. Scriem 2 în dreapta, 30 în stânga.
• 30 se împarte la 2 → $30:2=15$. Scriem 2 în dreapta, 15 în stânga.
• 15 nu se mai împarte la 2 (e impar). Încercăm 3: $15:3=5$. Scriem 3 în dreapta, 5 în stânga.
• 5 nu se împarte la 3. Încercăm 5: $5:5=1$. Scriem 5 în dreapta, 1 în stânga.
• Am ajuns la 1 → stop.

Factorii primi sunt toți cei din coloana din dreapta: 2, 2, 3, 5. Deci:

$$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$$

De ce începem mereu cu cel mai mic prim?

Pentru ordine și siguranță. Dacă încerci mereu de la cel mai mic prim spre cel mai mare (2, apoi 3, apoi 5, apoi 7...), nu sari niciun factor și nu te încurci. Folosești pe drum și criteriile de divizibilitate pe care le știi din lecția cu criteriile de divizibilitate:

• la 2 se împart numerele pare (ultima cifră 0, 2, 4, 6, 8);
• la 3 se împart numerele cu suma cifrelor divizibilă cu 3;
• la 5 se împart numerele care se termină în 0 sau 5;
• la 9 se împart numerele cu suma cifrelor divizibilă cu 9.

Aceste criterii sunt „ochelarii" tăi: te ajută să vezi rapid la ce prim se împarte numărul fără să faci împărțirea pe hârtie.

Strângem factorii: scrierea cu puteri

Uită-te din nou la 60:

$$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$$

Avem doi de 2. În loc să-i scriem de două ori, folosim puterea, exact cum ai învățat la puteri în clasa a V-a:

$$2\cdot 2=2^2$$

Așadar, forma frumoasă, ordonată a descompunerii este:

$$60=2^2\cdot 3\cdot 5$$

Aceasta se numește scrierea ca produs de puteri de numere prime. Regulile de aur ale scrierii corecte sunt:

1. Numerele prime se scriu o singură dată fiecare, cu un exponent care arată de câte ori apar.
2. Factorii se scriu în ordine crescătoare (întâi 2, apoi 3, apoi 5, apoi 7...).
3. Un factor care apare o singură dată se scrie fără exponent (de fapt are exponentul 1, dar nu îl mai scriem: $3^1=3$).

Un al doilea exemplu, mai mare: 360

Hai să descompunem 360, ca să prinzi ritmul.

360 | 2
180 | 2
 90 | 2
 45 | 3
 15 | 3
  5 | 5
  1 |

Pas cu pas:

• 360 par → $:2=180$
• 180 par → $:2=90$
• 90 par → $:2=45$
• 45 impar, nu mai merge la 2. Suma cifrelor lui 45 este $4+5=9$, divizibilă cu 3 → $45:3=15$
• 15: suma cifrelor $1+5=6$, divizibilă cu 3 → $15:3=5$
• 5 → $:5=1$. Stop.

Coloana din dreapta: 2, 2, 2, 3, 3, 5. Avem trei de 2 și doi de 3. Strângem:

$$360=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=2^3\cdot 3^2\cdot 5$$

Cum verifici că ai descompus corect

Foarte simplu: înmulțești la loc factorii și trebuie să obții numărul de la care ai pornit. Pentru 360:

$$2^3\cdot 3^2\cdot 5=8\cdot 9\cdot 5=72\cdot 5=360✓$$

Dacă obții alt număr, undeva ai greșit o împărțire. Verificarea aceasta ar trebui să devină un obicei: o faci de fiecare dată, durează doar câteva secunde.

Unicitatea descompunerii (intuitiv)

Poate te întrebi: dacă încep cu alt factor, oare obțin altă rețetă? Hai să încercăm la 60, pornind „greșit" cu 6:

$$60=6\cdot 10=(2\cdot 3)\cdot (2\cdot 5)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=2^2\cdot 3\cdot 5$$

Exact aceeași rețetă! Indiferent pe ce drum o iei, ajungi mereu la aceiași factori primi, cu aceiași exponenți. Acest fapt minunat se numește unicitatea descompunerii în factori primi:

Fiecare număr natural mai mare ca 1 are o singură descompunere în factori primi (dacă nu ținem cont de ordinea în care îi scriem).

Este ca un cod de bare sau ca amprenta numărului: $60$ este singurul număr care are amprenta $2^2\cdot 3\cdot 5$, iar $2^2\cdot 3\cdot 5$ este singura amprentă a lui 60. De aceea putem începe descompunerea oricum vrem (cu cel mai mic prim sau ghicind un produs) — rezultatul final e mereu același. Tocmai pentru că nu te lasă niciodată baltă, recomandăm algoritmul împărțirilor succesive.

La ce ne ajută? Găsirea divizorilor

Acum vine partea cu adevărat utilă. Din lecția despre divizori și multipli știi că un divizor al unui număr este un număr care îl împarte exact. Descompunerea în factori primi ne ajută să găsim toți divizorii fără să-i căutăm pe ghicite.

Ideea: un divizor al numărului se construiește doar din cărămizile lui, luate „cu măsură". Adică un divizor poate folosi factorii primi ai numărului, dar fiecare cel mult de câte ori apare în descompunere.

Să luăm $12=2^2\cdot 3$. Cărămizile sunt: cel mult doi de 2 (adică $2^0$, $2^1$ sau $2^2$) și cel mult un 3 (adică $3^0$ sau $3^1$). Reține: orice număr la puterea 0 este 1, deci $2^0=1$ și $3^0=1$.

Combinăm:

Citind din tabel, toți divizorii lui 12 sunt:

$$D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$$

Sunt exact 6 divizori — și i-am găsit ordonat, fără să sărim niciunul! Această metodă este foarte puternică și o vom dezvolta complet în lecția următoare, despre numărul și mulțimea divizorilor. Pentru azi, reține ideea: divizorii unui număr se construiesc din factorii lui primi.

O poveste scurtă ca să nu uiți

Gândește-te la un număr ca la o construcție din piese LEGO. Numerele prime sunt piesele de bază, care nu se mai pot rupe. Numerele compuse sunt construcții făcute din mai multe piese. Când descompui un număr, „dezasamblezi" construcția până rămâi doar cu piese de bază. Și, exact ca la LEGO, fiecare construcție are o listă unică de piese — dacă cineva îți spune lista de piese ($2^3\cdot 3^2\cdot 5$), tu poți reconstrui exact și fără greșeală numărul (360). Asta e magia descompunerii: rețeta este și ascunsă, și unică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — un număr par mic: 84

Descompunem 84 în factori primi.

84 | 2
42 | 2
21 | 3
 7 | 7
 1 |

• 84 par → $:2=42$
• 42 par → $:2=21$
• 21 impar; suma cifrelor $2+1=3$ → $:3=7$
• 7 este prim → $:7=1$. Stop.

Factori: 2, 2, 3, 7. Strângem cei doi de 2:

$$84=2^2\cdot 3\cdot 7$$

Verificare: $4\cdot 3\cdot 7=12\cdot 7=84✓$

Exemplul 2 — un număr care folosește criteriul lui 5: 1000

1000 | 2
 500 | 2
 250 | 2
 125 | 5
  25 | 5
   5 | 5
   1 |

• 1000, 500, 250 sunt pare → împărțim de trei ori la 2, ajungem la 125
• 125 este impar, dar se termină în 5 → divizibil cu 5; $125:5=25$, apoi $25:5=5$, apoi $5:5=1$.

Factori: trei de 2 și trei de 5:

$$1000=2^3\cdot 5^3$$

Verificare: $8\cdot 125=1000✓$. Observă cât de elegant arată: $1000=10^3=(2\cdot 5{)}^3=2^3\cdot 5^3$.

Exemplul 3 — un număr impar: 225

Atenție, 225 este impar, deci 2 nu este factor. Sărim direct la 3.

225 | 3
 75 | 3
 25 | 5
  5 | 5
  1 |

• 225: suma cifrelor $2+2+5=9$, divizibilă cu 3 → $225:3=75$
• 75: suma cifrelor $7+5=12$, divizibilă cu 3 → $75:3=25$
• 25 se termină în 5 → $:5=5$, apoi $:5=1$.

$$225=3^2\cdot 5^2$$

Verificare: $9\cdot 25=225✓$

Exemplul 4 — un număr mai mare: 2520

2520 | 2
1260 | 2
 630 | 2
 315 | 3
 105 | 3
  35 | 5
   7 | 7
   1 |

• 2520, 1260, 630 pare → de trei ori la 2, ajungem la 315
• 315: suma cifrelor $3+1+5=9$ → $:3=105$
• 105: suma cifrelor $1+0+5=6$ → $:3=35$
• 35 se termină în 5 → $:5=7$
• 7 prim → $:7=1$.

$$2520=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$$

Verificare: $8\cdot 9\cdot 5\cdot 7=72\cdot 35=2520✓$

Exemplul 5 — un număr prim „ascuns": 97

Încercăm să descompunem 97.

• Nu e par, deci nu merge la 2.
• Suma cifrelor $9+7=16$, nu e divizibilă cu 3.
• Nu se termină în 0 sau 5, deci nu merge la 5.
• $97:7=13$ rest $6$ → nu merge.
• Următorul prim este 11, dar $11\cdot 11=121>97$, deci nu mai are rost să încercăm prime mai mari (un truc: te oprești când pătratul primului depășește numărul).

Concluzie: 97 nu se împarte la niciun prim mai mic decât el. Deci 97 este număr prim și descompunerea lui este chiar el însuși:

$$97=97$$

Un număr prim este propria sa descompunere — nu se mai poate sparge în nimic.

Exemplul 6 — folosim descompunerea pentru divizori: 45

Descompunem mai întâi:

45 | 3
15 | 3
 5 | 5
 1 |

$$45=3^2\cdot 5$$

Construim divizorii din cărămizi: putem lua $3^0,3^1,3^2$ (adică 1, 3, 9) și $5^0,5^1$ (adică 1, 5).

$$D_{45}=\{1,3,5,9,15,45\}$$

Are 6 divizori. Observă un mic truc, pe care îl vom demonstra în lecția următoare: la $3^2\cdot 5^1$, înmulțim exponenții măriți cu 1: $(2+1)\cdot (1+1)=3\cdot 2=6$. Tocmai 6 divizori!

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare descompunere, verifică prin înmulțire la loc.

1. Completează: un număr prim are exact ......... divizori, iar numerele 0 și 1 nu sunt nici ........., nici .........

2. Adevărat sau fals? $18=2\cdot 3^2$.

3. Adevărat sau fals? $2^2\cdot 5=30$.

4. Scrie sub formă de puteri produsul $2\cdot 2\cdot 2\cdot 7\cdot 7$.

5. Descompune în factori primi numărul 24.

6. Descompune în factori primi numărul 50.

7. Descompune în factori primi numărul 72.

8. Descompune în factori primi numărul 189 (este impar — începe cu 3!).

9. Descompune în factori primi numărul 440.

10. Încercuiește numerele care sunt deja numere prime (nu se pot descompune): $13,21,29,51,47,63$.

11. Potrivește fiecare număr din coloana stângă cu descompunerea lui din coloana dreaptă:

12. Calculează numărul care are descompunerea $2^3\cdot 3\cdot 5^2$.

13. Numărul $N=2^2\cdot 3\cdot 7$. Fără să-l calculezi întreg, spune dacă $N$ se împarte la 2, la 3, la 5, la 7 și la 14. Justifică pe scurt.

14. Folosind descompunerea, scrie mulțimea tuturor divizorilor numărului 28.

15. Folosind descompunerea, scrie mulțimea tuturor divizorilor numărului 63.

16. Descompune numărul 3600. (Indiciu: $3600=36\cdot 100$.)

17. Un număr are descompunerea $2^a\cdot 3^2$. Știind că numărul este 36, află exponentul $a$.

18. Problemă. La un atelier, piesele se ambalează în cutii. Numărul total de piese este $2^3\cdot 3\cdot 5=120$. Vrei să le împarți în cutii egale, complet pline. Numește patru mărimi posibile de cutie (adică patru divizori ai lui 120), altele decât 1 și 120.

Răspunsuri și explicații

1. Un număr prim are exact doi divizori (pe 1 și pe el însuși). Numerele 0 și 1 nu sunt nici prime, nici compuse.

2. Adevărat. $2\cdot 3^2=2\cdot 9=18$.

3. Fals. $2^2\cdot 5=4\cdot 5=20$, nu 30. (30 ar fi $2\cdot 3\cdot 5$.)

4. $2\cdot 2\cdot 2\cdot 7\cdot 7=2^3\cdot 7^2$.

5. $24=2^3\cdot 3$. Drum: $24:2=12$, $12:2=6$, $6:2=3$, $3:3=1$. Verificare: $8\cdot 3=24$. ✓

6. $50=2\cdot 5^2$. Drum: $50:2=25$, $25:5=5$, $5:5=1$. Verificare: $2\cdot 25=50$. ✓

7. $72=2^3\cdot 3^2$. Drum: $72:2=36$, $36:2=18$, $18:2=9$, $9:3=3$, $3:3=1$. Verificare: $8\cdot 9=72$. ✓

8. $189=3^3\cdot 7$. Drum: 189 impar; suma cifrelor $1+8+9=18$, divizibilă cu 3 → $189:3=63$, $63:3=21$, $21:3=7$, $7:7=1$. Verificare: $27\cdot 7=189$. ✓

9. $440=2^3\cdot 5\cdot 11$. Drum: $440:2=220$, $220:2=110$, $110:2=55$, $55:5=11$, $11:11=1$. Verificare: $8\cdot 5\cdot 11=40\cdot 11=440$. ✓

10. Prime: 13, 29, 47. (21 = 3·7, 51 = 3·17, 63 = 7·9 sunt compuse.)

11. a) – II ($100=2^2\cdot 5^2$); b) – I ($48=2^4\cdot 3$); c) – IV ($98=2\cdot 7^2$); d) – III ($135=3^3\cdot 5$).

12. $2^3\cdot 3\cdot 5^2=8\cdot 3\cdot 25=24\cdot 25=600$.

13. $N$ se împarte la 2 (apare $2^2$), la 3 (apare 3), la 7 (apare 7) și la 14 (pentru că $14=2\cdot 7$, iar $N$ are și 2, și 7 în descompunere). Nu se împarte la 5, fiindcă 5 nu apare deloc în descompunere.

14. $28=2^2\cdot 7$. Divizori: din $2^0,2^1,2^2$ și $7^0,7^1$ → $D_{28}=\{1,2,4,7,14,28\}$.

15. $63=3^2\cdot 7$. Divizori: din $3^0,3^1,3^2$ și $7^0,7^1$ → $D_{63}=\{1,3,9,7,21,63\}$, adică ordonat $\{1,3,7,9,21,63\}$.

16. $3600=2^4\cdot 3^2\cdot 5^2$. Drum: $36=2^2\cdot 3^2$ și $100=2^2\cdot 5^2$, deci $3600=2^2\cdot 3^2\cdot 2^2\cdot 5^2=2^4\cdot 3^2\cdot 5^2$. Verificare: $16\cdot 9\cdot 25=144\cdot 25=3600$. ✓

17. $36=2^2\cdot 3^2$, deci $a=2$.

18. $120=2^3\cdot 3\cdot 5$. Patru divizori potriviți (în afară de 1 și 120) pot fi, de exemplu: 2, 4, 5, 6 (sau 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60). Orice patru divizori ai lui 120, diferiți de 1 și 120, sunt corecți.

De reținut

• Descompunerea în factori primi scrie un număr natural ca produs de numere prime; algoritmul sigur este al împărțirilor succesive (linia verticală, începem cu cel mai mic prim).
• Forma cu puteri strânge factorii repetați: fiecare prim apare o dată, cu un exponent, iar primele se scriu crescător: de exemplu $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$.
• Descompunerea este unică pentru fiecare număr — e ca o amprentă: indiferent pe ce drum o iei, ajungi la aceiași factori.
• Verifici mereu înmulțind factorii la loc; trebuie să obții numărul de plecare.
• Din descompunere poți construi toți divizorii: combini puterile factorilor primi (inclusiv exponentul 0, care dă 1).

Greșeli frecvente

• Confunzi puterea cu înmulțirea. $2^3$ înseamnă $2\cdot 2\cdot 2=8$, NU $2\cdot 3=6$. Exponentul spune de câte ori apare factorul în produs, nu cu ce se înmulțește baza. Recitește puterile dacă te încurci.
• Lași factori necompletați. Te oprești prea devreme și scrii, de pildă, $24=2\cdot 12$, dar 12 nu e prim! Continuă până când toți factorii sunt prime și ajungi la 1 pe linia verticală.
• Folosești 1 ca factor prim. Scrierea $12=1\cdot 2^2\cdot 3$ este greșită ca formă — 1 nu este număr prim și nu se pune niciodată în descompunere. Sări peste el.
• Nu ordonezi crescător sau uiți să strângi puterile. Forma corectă este $2^2\cdot 3\cdot 5$, nu $3\cdot 2\cdot 2\cdot 5$ sau $5\cdot 3\cdot 2^2$. Scrie întâi 2, apoi 3, apoi 5 etc. și grupează factorii egali în puteri.

Joc acasă

1. Atelierul de cărămizi. Scrie pe bilețele numerele prime 2, 3, 5, 7 (mai multe copii din fiecare). Alege un număr de pe ambalajul unui produs (ex.: 60 g, 36 buc.). „Construiește" numărul așezând bilețelele prime al căror produs dă numărul ales. Apoi scrie pe caiet rezultatul cu puteri și verifică prin înmulțire.

2. Detectivul de divizori. Ia numărul de încălțăminte sau vârsta cuiva din familie. Descompune-l în factori primi, apoi construiește toți divizorii folosind tabelul cu puteri. Verifică numărând: cine din familie ghicește primul câți divizori are numărul, câștigă.

3. Cursa amprentelor. Doi jucători. Fiecare primește același număr (de exemplu 540). Pe rând, faceți descompunerea, dar pornind de la produse diferite (unul de la $540=4\cdot 135$, altul de la $540=10\cdot 54$). Comparați rezultatele: trebuie să iasă aceeași amprentă $2^2\cdot 3^3\cdot 5$. Așa „simțiți" unicitatea descompunerii.

Pentru părinți și învățători

Ce urmărim. Elevul trebuie să stăpânească algoritmul împărțirilor succesive ca o procedură fiabilă și să scrie corect descompunerea cu puteri (factori ordonați crescător, fără 1). Apoi să facă primul pas către utilizarea descompunerii — construirea divizorilor — care va fi aprofundat în lecția 15.

Cum sprijiniți. Lăsați copilul să folosească criteriile de divizibilitate ca filtru rapid („e par? suma cifrelor e divizibilă cu 3? se termină în 0 sau 5?"). Insistați pe verificarea prin înmulțire după fiecare descompunere — devine plasa de siguranță care prinde aproape toate greșelile de calcul.

Întrebări bune de pus:

• „De ce te-ai oprit aici? Mai poți sparge vreun factor?" (verifică dacă a ajuns la prime)
• „Câți de 2 ai? Atunci ce exponent pui?" (consolidează trecerea la puteri)
• „Dacă porneai de la alt produs, obțineai altceva?" (intuiția unicității)
• „Cum afli din descompunere dacă numărul se împarte la 7?" (legătura cu divizibilitatea)

Cum verificați înțelegerea. Dați-i un număr nou (ex. 198) și cereți-i descompunerea + verificarea, apoi un număr prim „capcană" (ex. 83) ca să vadă că răspunsul corect este chiar numărul. Dacă rezolvă ambele fără ajutor, a înțeles lecția.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă descompunerea în factori primi la clasa a 6-a? Înseamnă să scrii un număr natural ca produs de numere prime. De exemplu, $60=2^2\cdot 3\cdot 5$. Este ca și cum ai dezasambla numărul în „cărămizile" lui de bază, care sunt numerele prime.

Care este algoritmul de descompunere prin împărțiri succesive? Tragi o linie verticală, scrii numărul în stânga și îl împarți succesiv la cel mai mic număr prim posibil (întâi 2, apoi 3, apoi 5, apoi 7...). Rezultatul îl scrii dedesubt și repeți, până ajungi la 1. Factorii primi sunt toate numerele din coloana din dreapta.

De ce începem descompunerea cu cel mai mic număr prim? Pentru ordine și siguranță: dacă mergi mereu de la cel mai mic prim spre cel mai mare, nu sari niciun factor și nu te încurci. Rezultatul final ar fi același și dacă ai porni altfel, datorită unicității, dar metoda cu cel mai mic prim e cea mai sigură.

Cum scriu descompunerea sub formă de puteri de numere prime? Grupezi factorii primi care se repetă și îi scrii ca putere. Dacă 2 apare de trei ori, scrii $2^3$. Apoi ordonezi factorii crescător: de pildă $72=2^3\cdot 3^2$. Un factor care apare o singură dată se scrie fără exponent.

De ce descompunerea în factori primi este unică? Pentru că, indiferent de drumul ales, ajungi mereu la aceiași factori primi, cu aceiași exponenți. Este „amprenta" numărului: fiecare număr are exact o singură descompunere, și fiecare descompunere corespunde unui singur număr.

Cum verific dacă am descompus corect un număr? Înmulțești la loc toți factorii primi (calculând întâi puterile). Dacă obții exact numărul de la care ai pornit, descompunerea e corectă. De exemplu, pentru 360: $2^3\cdot 3^2\cdot 5=8\cdot 9\cdot 5=360$.

Cum folosesc descompunerea ca să găsesc divizorii unui număr? Construiești divizorii combinând puterile factorilor primi, fiecare luat de la exponentul 0 până la exponentul din descompunere. De exemplu, pentru $12=2^2\cdot 3$, divizorii sunt 1, 2, 3, 4, 6, 12. Această metodă o aprofundezi în lecția despre numărul și mulțimea divizorilor.

Un număr prim are descompunere în factori primi? Da, dar foarte simplă: descompunerea unui număr prim este chiar el însuși. De exemplu, $97=97$, pentru că nu se poate sparge în alți factori. Numerele 0 și 1 însă nu se descompun, fiindcă nu sunt nici prime, nici compuse.