Criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9 — consolidare și aplicații

Imaginează-ți că ai în față un număr uriaș, cu zece sau cincisprezece cifre, și cineva te întreabă: „Se împarte exact la 9?". Ai putea să faci împărțirea pe o foaie întreagă... sau ai putea răspunde în trei secunde, fără să împarți nimic. Exact asta îți oferă criteriile de divizibilitate: niște „trucuri" rapide și sigure prin care afli dacă un număr se divide cu altul, doar privindu-i cifrele. În lecția aceasta nu învățăm criteriile de la zero — le-ai cunoscut deja — ci le consolidăm și învățăm să le folosim în probleme inteligente, mai ales pentru a descoperi cifre necunoscute ale unui număr.

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici rapid criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9 și să recunoști când un număr se divide cu fiecare dintre acestea.
• Vei ști să selectezi dintr-o mulțime exact numerele care se divid cu un număr dat.
• Vei ști să determini cifre necunoscute dintr-un număr (de tipul $\overline{2a5b}$) folosind unul sau mai multe criterii combinate.
• Vei ști să rezolvi probleme în care un număr trebuie să fie divizibil simultan cu mai multe numere (de exemplu cu 2 și cu 9 în același timp).
• Vei ști să verifici singur dacă răspunsul tău este corect, fără să faci împărțirea efectivă.

Hai să descoperim împreună

O scurtă reamintire: ce înseamnă „se divide cu"

Spunem că un număr natural $n$ se divide cu $d$ (sau că $d$ îl divide pe $n$) dacă împărțirea lui $n$ la $d$ se face exact, adică restul este 0. Scriem $d\mid n$ (citim „$d$ divide pe $n$"). De exemplu, $5\mid 30$ pentru că $30:5=6$ rest $0$. Dacă rămâne rest, atunci numărul nu se divide.

Despre relația de divizibilitate și proprietățile ei ai învățat în lecțiile Relația de divizibilitate. Divizori și multipli și Proprietățile relației de divizibilitate în ℕ. Acum mergem mai departe: în loc să facem împărțiri lungi, ne uităm la cifrele numărului.

De ce funcționează criteriile? (ideea ascunsă)

Înainte de reguli, să înțelegem de ce merg. Orice număr îl putem „desface" pe ranguri. De exemplu:

$$3548=3\cdot 1000+5\cdot 100+4\cdot 10+8.$$

Observă un lucru frumos: $10$, $100$, $1000$ se divid toate cu 2 și cu 5. De aceea, când verificăm divizibilitatea cu 2 sau cu 5, toate rangurile mai mari de unu „dispar" (sunt deja divizibile), și contează doar ultima cifră. Iar $9,99,999,\dots$ se divid cu 9 (și cu 3), de aceea la 3 și la 9 contează suma cifrelor. Nu trebuie să demonstrezi asta acum, dar e bine să simți că regulile nu sunt magie — vin din modul în care e construit sistemul nostru zecimal.

Criteriul divizibilității cu 2

Un număr se divide cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este pară, adică una dintre cifrele $0,2,4,6,8$.

Aceste numere se numesc numere pare. Cele care se termină în $1,3,5,7,9$ sunt impare și nu se divid cu 2.

• $1274$ se termină în 4 → par → $2\mid 1274$. ✓
• $30851$ se termină în 1 → impar → nu se divide cu 2. ✗

Nu contează cât de mare este numărul: privești doar ultima cifră. Un număr cu o sută de cifre care se termină în 6 este par, gata.

Criteriul divizibilității cu 5

Un număr se divide cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.

• $4860$ se termină în 0 → $5\mid 4860$. ✓
• $7235$ se termină în 5 → $5\mid 7235$. ✓
• $7232$ se termină în 2 → nu se divide cu 5. ✗

Un truc de memorat: la 5 „ai voie" doar cu zero sau cinci la coadă.

Criteriul divizibilității cu 10ⁿ (cu 10, 100, 1000, ...)

Aici e cel mai vizual criteriu, pentru că se vede „cu ochiul liber":

• Un număr se divide cu 10 dacă și numai dacă se termină în 0 (o cifră de zero).
• Un număr se divide cu 100 ($=10^2$) dacă și numai dacă se termină în două zerouri: $00$.
• Un număr se divide cu 1000 ($=10^3$) dacă și numai dacă se termină în trei zerouri: $000$.

În general, un număr se divide cu $10^n$ dacă și numai dacă se termină în cel puțin $n$ zerouri (exact $n$ cifre de 0 la coadă, sau mai multe).

• $52400$ se termină în două zerouri → se divide cu $10$ și cu $100$. Dar nu cu $1000$, fiindcă nu are trei zerouri.
• $9000$ se termină în trei zerouri → se divide cu $10$, cu $100$ și cu $1000$.

Observă o legătură importantă: dacă un număr se divide cu $100$, atunci sigur se divide și cu $10$ (orice număr care se termină în două zerouri se termină automat și într-un zero). Cu cât $n$ e mai mare, cu atât cerința e mai „grea".

Criteriul divizibilității cu 3

Acum trecem la cele două criterii „cu sumă", puțin mai interesante.

Un număr se divide cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3.

Procedura, pas cu pas:

1. Aduni toate cifrele numărului.
2. Verifici dacă suma obținută se divide cu 3.
3. Dacă da → numărul se divide cu 3. Dacă nu → nu se divide.

Exemplu: $2514$. Suma cifrelor: $2+5+1+4=12$. Cum $12:3=4$ (exact), $12$ se divide cu 3, deci $3\mid 2514$. ✓

Dacă suma e tot mare și nu-ți dai seama imediat, poți repeta procedeul: aduni din nou cifrele sumei. Pentru $12$: $1+2=3$, iar $3$ se divide cu 3. Funcționează la fel.

Criteriul divizibilității cu 9

Foarte asemănător cu cel cu 3:

Un număr se divide cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 9.

Exemplu: $5832$. Suma: $5+8+3+2=18$. Cum $18:9=2$, suma se divide cu 9, deci $9\mid 5832$. ✓

Atenție la o legătură utilă: orice număr divizibil cu 9 este automat divizibil și cu 3 (pentru că dacă suma cifrelor se divide cu 9, ea se divide și cu 3). Invers nu e adevărat! De exemplu $2514$ are suma cifrelor $12$: se divide cu 3, dar nu cu 9 (fiindcă $12$ nu se divide cu 9). Deci „cu 9" e o condiție mai pretențioasă decât „cu 3".

Tabel-rezumat al criteriilor

Memorează „familia": 2, 5, 10ⁿ privesc coada numărului; 3 și 9 privesc suma cifrelor. Dacă reții doar atât, ai jumătate din bătălie câștigată.

Cum scriem un număr cu cifre necunoscute

În clasa a VI-a apar des numere de forma $\overline{2a5b}$. Bara de deasupra ne spune că este un singur număr, nu un produs. Literele $a$ și $b$ sunt cifre necunoscute, fiecare putând lua valori de la $0$ la $9$. Citim: număr de patru cifre, prima cifră $2$, a doua $a$, a treia $5$, a patra (cifra unităților) $b$.

Atenție la o regulă de bun-simț: prima cifră a unui număr nu poate fi 0 (altfel nu mai e număr „de atâtea cifre"). De exemplu, în $\overline{a35}$, cifra $a$ nu poate fi $0$, deci $a\in \{1,2,\dots ,9\}$. Dar o cifră din interior sau de la coadă poate fi $0$ liniștit.

Strategia pentru a afla cifre necunoscute

Aici e inima lecției. Când ți se cere o cifră ascunsă, gândește în această ordine:

1. Pleacă de la criteriul „de coadă" (cu 2, 5 sau 10), dacă apare. Acesta îți fixează adesea ultima cifră, deci elimină multe variante dintr-o lovitură.
2. Apoi folosește criteriul „de sumă" (cu 3 sau 9) pentru cifrele rămase.
3. Scrie clar toate valorile posibile și verifică-le pe rând dacă mai e nevoie.

Această „ordine inteligentă" te scapă de încercări inutile. Vom vedea în exemple cum, fixând întâi cifra unităților, problema cu 9 devine ușoară.

Un truc puternic: mărginirea sumei cifrelor

Există un detaliu mic care transformă problemele cu „cu 9" din grele în banale. Atunci când o singură cifră $a$ este necunoscută, suma cifrelor are forma „un număr fix plus $a$", de exemplu $7+a$. Cum $a$ este o cifră, ea poate fi cel puțin $0$ și cel mult $9$, deci suma este prinsă între $7+0=7$ și $7+9=16$. În acest interval închis $[7,16]$ există un singur multiplu de 9, anume $9$. Concluzia vine singură: $7+a=9$, deci $a=2$.

De ce e atât de util? Pentru că nu mai încerci la întâmplare zece valori. Tu scrii intervalul în care se află suma și cauți care multiplu de 9 (sau de 3) încape acolo. De multe ori încape exact unul, și atunci cifra este unic determinată. Alteori încap doi multipli — atunci ai două soluții, și e perfect normal. Reține propoziția-cheie pe care o vei folosi mereu: „Suma este între cutare și cutare; ce multiplu de 9 se află în acest interval?".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Selectarea numerelor dintr-o mulțime

Enunț. Fie mulțimea $A=\{90,135,204,350,711,1000\}$. Scrie submulțimea numerelor din $A$ care se divid cu 5 și submulțimea celor care se divid cu 9.

Rezolvare. Mergem element cu element.

Cu 5 (ultima cifră $0$ sau $5$):

• $90\to 0$ ✓, $135\to 5$ ✓, $204\to 4$ ✗, $350\to 0$ ✓, $711\to 1$ ✗, $1000\to 0$ ✓.

Deci numerele divizibile cu 5 sunt $\{90,135,350,1000\}$.

Cu 9 (suma cifrelor divizibilă cu 9):

• $90:9+0=9$ ✓; $135:1+3+5=9$ ✓; $204:2+0+4=6$ ✗; $350:3+5+0=8$ ✗; $711:7+1+1=9$ ✓; $1000:1+0+0+0=1$ ✗.

Deci numerele divizibile cu 9 sunt $\{90,135,711\}$.

Observație frumoasă: $90$ și $135$ apar în ambele liste. Asta înseamnă că ele se divid și cu 5, și cu 9 în același timp.

Exemplul 2 — Divizibilitate cu 10ⁿ

Enunț. Care dintre numerele $3200$, $48000$, $570$ și $100000$ se divid cu $100$? Dar cu $1000$?

Rezolvare. Numărăm zerourile de la coadă.

• $3200$ — două zerouri → se divide cu $100$, dar nu cu $1000$.
• $48000$ — trei zerouri → se divide și cu $100$, și cu $1000$.
• $570$ — un singur zero → nu se divide cu $100$ (deci nici cu $1000$).
• $100000$ — cinci zerouri → se divide cu $100$ și cu $1000$ (chiar și cu $10^5$).

Răspuns. Cu $100$: $\{3200,48000,100000\}$. Cu $1000$: $\{48000,100000\}$.

Exemplul 3 — Aflarea unei cifre cu un singur criteriu (cu 3)

Enunț. Află cifrele $a$ pentru care numărul $\overline{4a1}$ se divide cu 3.

Rezolvare. Folosim criteriul cu 3: suma cifrelor trebuie să se dividă cu 3.

$$\text{suma}=4+a+1=5+a.$$

Avem nevoie ca $5+a$ să fie multiplu de 3, cu $a$ cifră ($0\le a\le 9$). Verificăm ce valori dau o sumă din șirul $3,6,9,12,15,\dots$:

• $a=1\Rightarrow 6$ ✓
• $a=4\Rightarrow 9$ ✓
• $a=7\Rightarrow 12$ ✓

(Pentru $a=0$ avem $5$ — nu; pentru $a=2$ avem $7$ — nu, și așa mai departe.)

Răspuns. $a\in \{1,4,7\}$. Numerele potrivite sunt $411$, $441$, $471$.

Exemplul 4 — Combinarea a două criterii (cu 2 și cu 9)

Enunț. Determină cifra $b$ astfel încât numărul $\overline{37b}$ să se dividă simultan cu 2 și cu 9.

Rezolvare. Aplicăm strategia: întâi criteriul de coadă, apoi cel de sumă.

Pasul 1 — cu 2. Numărul trebuie să fie par, deci $b\in \{0,2,4,6,8\}$.

Pasul 2 — cu 9. Suma cifrelor este $3+7+b=10+b$ și trebuie să fie multiplu de 9. Multiplii de 9 din apropiere sunt $9$ și $18$. Cum $b$ e cifră, $10+b$ este între $10$ și $19$, deci singura posibilitate este $10+b=18$, adică $b=8$.

Pasul 3 — verificăm compatibilitatea. $b=8$ este și par (din pasul 1).

Răspuns. $b=8$, iar numărul este $378$. Verificare: $378$ este par ✓, iar $3+7+8=18$ se divide cu 9 ✓ (de fapt $378:9=42$).

Exemplul 5 — Numărul de forma $\overline{2a5b}$

Enunț. Află toate cifrele $a$ și $b$ pentru care numărul $\overline{2a5b}$ se divide cu 10 și cu 9.

Rezolvare. Avem două condiții; le luăm pe rând.

Pasul 1 — cu 10. Un număr se divide cu 10 doar dacă se termină în $0$. Cifra unităților este $b$, deci $b=0$. Gata, $b$ e fixat!

Numărul devine $\overline{2a50}$.

Pasul 2 — cu 9. Suma cifrelor: $2+a+5+0=7+a$. Trebuie să fie multiplu de 9. Cu $a$ cifră, $7+a$ este între $7$ și $16$, deci singura posibilitate este $7+a=9$, adică $a=2$.

Răspuns. $a=2$, $b=0$, iar numărul este $2250$. Verificare: se termină în $0$ ✓ (divizibil cu 10), iar $2+2+5+0=9$ ✓ (divizibil cu 9). Într-adevăr $2250:90=25$.

Exemplul 6 — Mai multe soluții și raționament cu „cu 5"

Enunț. Câte numere de forma $\overline{1a5}$ se divid cu 5? Dar dintre acestea, câte se divid și cu 3?

Rezolvare.

Cu 5. Ultima cifră este deja $5$, deci orice valoare a lui $a$ dă un număr divizibil cu 5. Cum $a\in \{0,1,2,\dots ,9\}$, avem 10 numere: $105,115,125,\dots ,195$.

Și cu 3. Suma cifrelor: $1+a+5=6+a$, care trebuie să fie multiplu de 3. Cum $6$ e deja multiplu de 3, mai trebuie ca $a$ să fie multiplu de 3: $a\in \{0,3,6,9\}$ — adică 4 valori.

Răspuns. $10$ numere se divid cu 5; dintre ele, $4$ se divid și cu 3: $105$, $135$, $165$, $195$.

Exemplul 7 — Trei criterii deodată

Enunț. Determină cifrele $a$ și $b$ pentru care numărul $\overline{a37b}$ se divide simultan cu 2, cu 5 și cu 9.

Rezolvare. Avem trei cerințe, dar le tratăm în ordinea cea mai inteligentă: începem cu cele „de coadă", fiindcă ele fixează repede o cifră.

Pasul 1 — cu 2 și cu 5 în același timp. Un număr se divide cu 2 dacă se termină în cifră pară, iar cu 5 dacă se termină în $0$ sau $5$. Singura cifră care e și pară, și din mulțimea $\{0,5\}$, este $0$. Deci, pentru a respecta ambele condiții deodată, cifra unităților trebuie să fie $b=0$. Reține regula utilă: divizibil cu 2 și cu 5 înseamnă întotdeauna că numărul se termină în $0$.

Numărul devine $\overline{a370}$.

Pasul 2 — cu 9. Suma cifrelor este $a+3+7+0=a+10$. Aceasta trebuie să fie multiplu de 9. Cum $a$ este prima cifră a numărului, ea nu poate fi $0$, deci $a\in \{1,2,\dots ,9\}$, iar suma $a+10$ este prinsă între $11$ și $19$. Singurul multiplu de 9 din intervalul $[11,19]$ este $18$, deci $a+10=18$, adică $a=8$.

Răspuns. $a=8$, $b=0$, iar numărul este $8370$. Verificare: se termină în $0$ (deci e divizibil și cu 2, și cu 5) ✓, iar suma cifrelor $8+3+7+0=18$ se divide cu 9 ✓. Într-adevăr, $8370:90=93$.

Observă cum cele trei criterii au lucrat împreună: două dintre ele („de coadă") au fixat cifra unităților dintr-o singură mișcare, iar al treilea („de sumă") a determinat unic cifra rămasă. Aceasta este exact ordinea pe care ți-o recomandăm la orice problemă cu mai multe condiții.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. La fiecare exercițiu, scrie pe ce criteriu te-ai bazat.

1. Încercuiește numerele divizibile cu 2: $47$, $130$, $258$, $903$, $1116$, $2005$.

2. Încercuiește numerele divizibile cu 5: $40$, $52$, $175$, $300$, $619$, $805$.

3. Care dintre numerele $90$, $204$, $560$, $1300$ se divid cu 10? Care cu 100?

4. Adevărat sau fals: „Numărul $7000$ se divide cu $1000$." Justifică.

5. Calculează suma cifrelor și spune dacă numărul se divide cu 3: a) $216$; b) $4531$; c) $90003$.

6. Verifică divizibilitatea cu 9 pentru: a) $729$; b) $5040$; c) $111111$.

7. Din mulțimea $B=\{36,81,145,270,414,1000\}$, scrie submulțimea numerelor divizibile cu 9.

8. Adevărat sau fals: „Orice număr divizibil cu 9 este divizibil și cu 3." Dă și un exemplu.

9. Adevărat sau fals: „Orice număr divizibil cu 3 este divizibil și cu 9." Dă un contraexemplu.

10. Află cifrele $a$ pentru care $\overline{5a2}$ se divide cu 3.

11. Află cifra $b$ pentru care $\overline{83b}$ se divide cu 9.

12. Determină cifra $x$ astfel încât $\overline{6x4}$ să se dividă simultan cu 2 și cu 3.

13. Află toate perechile de cifre $(a,b)$ pentru care $\overline{4a7b}$ se divide cu 10 și cu 9.

14. Câte numere de forma $\overline{2a0}$ se divid cu 5? Dintre acestea, câte se divid și cu 9?

15. Potrivește fiecare număr cu proprietatea sa (poate avea mai multe):
Numere: $450$, $603$, $128$, $9000$.
Proprietăți: (I) divizibil cu 2; (II) divizibil cu 5; (III) divizibil cu 9; (IV) divizibil cu 1000.

16. Află cifra $a$ astfel încât numărul $\overline{a8a}$ (prima și ultima cifră egale) să se dividă cu 9.

17. Problemă. La un concurs sportiv, numerele de concurs sunt de forma $\overline{1c4}$. Organizatorii vor doar numere divizibile cu 3. Câte numere de concurs sunt valabile? Scrie-le.

18. Provocare. Determină cifrele $a$ și $b$ astfel încât numărul $\overline{a55b}$ să se dividă cu 2, cu 5 și cu 9 în același timp.

Răspunsuri și explicații

1. $130$, $258$, $1116$. (Se termină în $0,8,6$ — cifre pare. $47,903,2005$ se termină impar.)

2. $40$, $175$, $300$, $805$. (Se termină în $0$ sau $5$. $52$ se termină în 2, $619$ în 9.)

3. Cu 10 (un zero la coadă): $90$, $560$, $1300$. Cu 100 (două zerouri): $1300$. ($204$ nu se termină în 0.)

4. Adevărat. $7000$ se termină în trei zerouri, deci se divide cu $1000=10^3$ (de fapt $7000:1000=7$).

5. a) $2+1+6=9$ → se divide cu 3 ✓. b) $4+5+3+1=13$ → nu se divide cu 3 ✗. c) $9+0+0+0+3=12$ → se divide cu 3 ✓.

6. a) $7+2+9=18$ → se divide cu 9 ✓. b) $5+0+4+0=9$ → ✓. c) $1+1+1+1+1+1=6$ → nu se divide cu 9 ✗ (dar se divide cu 3).

7. Sume: $36\to 9$ ✓, $81\to 9$ ✓, $145\to 10$ ✗, $270\to 9$ ✓, $414\to 9$ ✓, $1000\to 1$ ✗. Submulțimea: $\{36,81,270,414\}$.

8. Adevărat. Dacă suma cifrelor se divide cu 9, atunci se divide și cu 3 (9 e multiplu de 3). Exemplu: $5832$ ($\text{suma˘}=18$) se divide și cu 9, și cu 3.

9. Fals. Contraexemplu: $24$ are suma $6$ (divizibilă cu 3), deci $3\mid 24$, dar $6$ nu se divide cu 9, deci $24$ nu se divide cu 9.

10. Suma $5+a+2=7+a$, multiplu de 3. Valori: $a=2(\to 9)$, $a=5(\to 12)$, $a=8(\to 15)$. Deci $a\in \{2,5,8\}$.

11. Suma $8+3+b=11+b$, multiplu de 9. Între $11$ și $20$, singurul multiplu de 9 este $18$, deci $b=7$. Numărul: $837$ ($837:9=93$).

12. Cu 2: $x$ liber, dar numărul e par datorită ultimei cifre $4$ — deci condiția cu 2 e deja îndeplinită pentru orice $x$. Cu 3: $6+x+4=10+x$ multiplu de 3 → $x\in \{2,5,8\}$. Răspuns: $x\in \{2,5,8\}$.

13. Cu 10 → ultima cifră $b=0$. Rămâne $\overline{4a70}$, sumă $4+a+7+0=11+a$ multiplu de 9 → $11+a=18\Rightarrow a=7$. O singură pereche: $(a,b)=(7,0)$, numărul $4770$.

14. Ultima cifră este $0$, deci toate cele 10 numere ($a$ de la 0 la 9) se divid cu 5. Cu 9: sumă $2+a+0=2+a$ multiplu de 9 → $2+a=9\Rightarrow a=7$. Deci 1 singur număr ($270$) se divide și cu 9.

15. $450$: (I) par ✓, (II) ✓, (III) sumă $9$ ✓, (IV) ✗. → I, II, III. $603$: (I) ✗, (II) ✗, (III) sumă $9$ ✓, (IV) ✗. → III. $128$: (I) ✓, restul ✗. → I. $9000$: (I) ✓, (II) ✓, (III) sumă $9$ ✓, (IV) trei zerouri ✓. → I, II, III, IV.

16. Numărul $\overline{a8a}$ are suma $a+8+a=2a+8$, multiplu de 9. Cu $a$ de la 1 la 9 (prima cifră $\ne 0$), $2a+8$ ia valori $10,12,\dots ,26$. Singurul multiplu de 9 este $18$ → $2a=10\Rightarrow a=5$. Numărul: $585$ ($585:9=65$).

17. Numere $\overline{1c4}$ divizibile cu 3: sumă $1+c+4=5+c$ multiplu de 3 → $c\in \{1,4,7\}$. Sunt 3 numere valabile: $114$, $144$, $174$.

18. Cu 2 și cu 5 simultan → ultima cifră este $0$, deci $b=0$. Rămâne $\overline{a550}$, sumă $a+5+5+0=a+10$ multiplu de 9 → $a+10=18\Rightarrow a=8$ (prima cifră, deci $\ne 0$, în regulă). Numărul: $8550$. Verificare: se termină în 0 (÷2, ÷5) și sumă $18$ (÷9). ✓

De reținut

• 2, 5 și 10ⁿ se verifică privind ultima/ultimele cifre: par pentru 2; $0$ sau $5$ pentru 5; $n$ zerouri la coadă pentru $10^n$.
• 3 și 9 se verifică prin suma cifrelor: dacă suma se divide cu 3 (respectiv cu 9), atunci și numărul se divide.
• Orice număr divizibil cu 9 este divizibil și cu 3, dar invers nu este garantat.
• Când cauți cifre necunoscute, fixează întâi cifra de la coadă (cu 2, 5 sau 10), apoi rezolvă cu suma cifrelor (3 sau 9).
• Verifică mereu răspunsul reînlocuind cifra găsită și recalculând suma — durează câteva secunde și îți dă siguranță.

Greșeli frecvente

• Confuzia 3 cu 9. Mulți cred că dacă un număr se divide cu 3, se divide automat și cu 9. Fals! $24$ se divide cu 3, dar nu cu 9. La 9, suma cifrelor trebuie să fie multiplu de 9, nu doar de 3.
• Numărarea greșită a zerourilor la 10ⁿ. Pentru $1000=10^3$ ai nevoie de trei zerouri la coadă, nu de „un zero undeva". $5070$ are un zero la mijloc, dar se termină într-un singur zero, deci se divide cu 10, nu cu 100.
• Uitarea regulii primei cifre. Când cauți cifre necunoscute, prima cifră a numărului nu poate fi 0. Verifică dacă soluția găsită respectă această condiție.
• Aplicarea criteriului de sumă la 2 sau 5. Suma cifrelor contează doar pentru 3 și 9. Pentru 2, 5 și 10 te uiți exclusiv la cifrele finale, nu aduni nimic.

Joc acasă

Jocul 1 — Detectivul de pe bonul de casă. Ia un bon de cumpărături sau scrie câteva prețuri/sume mari. Pentru fiecare număr, decide rapid (fără calculator): se divide cu 2? cu 5? cu 3? cu 9? Apoi verifică unul-două cu împărțirea, ca să-ți confirmi „superputerea". Câștigi un punct pentru fiecare verdict corect.

Jocul 2 — Cursa cifrei ascunse. Un jucător scrie un număr de 3–4 cifre cu o cifră acoperită cu degetul și anunță o regulă, de exemplu „acest număr se divide cu 9". Celălalt trebuie să ghicească ce cifră se ascunde, folosind suma cifrelor. Schimbați rolurile. Cine găsește mai repede cifra corectă câștigă runda.

Jocul 3 — Cel mai mare număr divizibil cu 9. Cu cifrele de la $1$ la $9$ scrise pe nouă bilețele, trageți la întâmplare patru bilețele. Provocarea: aranjați-le ca să formați cel mai mare număr de 4 cifre care se divide cu 9 (dacă se poate). Indiciu: ordinea cifrelor nu schimbă suma, deci întâi verificați dacă suma celor patru cifre se divide cu 9; dacă da, aranjați-le descrescător.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este de consolidare: copilul cunoaște deja criteriile, dar le folosește acum în raționamente cu cifre necunoscute, ceea ce cere ordine în gândire. Vă recomand să nu treceți direct la rezolvare, ci să întrebați mai întâi: „La ce te uiți ca să decizi dacă se divide cu 5? Dar cu 9?". Răspunsul corect — „la ultima cifră", respectiv „la suma cifrelor" — arată că strategia este înțeleasă, nu memorată mecanic.

Pentru problemele cu cifre ascunse de tipul $\overline{2a5b}$, încurajați ordinea: întâi criteriul de coadă (care fixează adesea o cifră), apoi criteriul de sumă. Întrebări utile: „Care criteriu îți spune ceva sigur despre o singură cifră?" și „Ce valori poate lua suma, dacă cifra e între 0 și 9?". Această ultimă întrebare (mărginirea sumei între două numere) este cheia prin care copilul găsește singur că „doar 18 merge".

Verificați înțelegerea cerând copilului să demonstreze că răspunsul e corect, nu doar să-l spună: să reînlocuiască cifra și să recalculeze. Dacă greșește, cea mai frecventă cauză este confuzia 3↔9 sau numărarea zerourilor — reluați exact acel punct cu un contraexemplu, nu cu o nouă regulă.

Întrebări frecvente

Care sunt criteriile de divizibilitate la clasa a 6-a?
Se studiază divizibilitatea cu 2, 5, 10ⁿ (10, 100, 1000...), 3 și 9. Cu 2, 5 și 10ⁿ verifici ultimele cifre; cu 3 și 9 verifici suma cifrelor. Acestea sunt criteriile cerute de programa de clasa a VI-a.

Cum știu dacă un număr se divide cu 9 fără să împart?
Aduni toate cifrele numărului. Dacă suma obținută se divide cu 9, atunci și numărul se divide cu 9. De exemplu, $5832$ are suma $5+8+3+2=18$, care se divide cu 9, deci numărul se divide cu 9.

Care e diferența dintre criteriul cu 3 și cel cu 9?
Procedura e aceeași (suma cifrelor), dar pragul diferă: la 3 suma trebuie să fie multiplu de 3, la 9 trebuie să fie multiplu de 9. De aceea orice număr divizibil cu 9 e și cu 3, dar nu invers: $24$ se divide cu 3, nu cu 9.

Cum aflu o cifră necunoscută dintr-un număr folosind divizibilitatea?
Aplici criteriile potrivite ca ecuații: cele cu 2, 5 sau 10 îți fixează adesea ultima cifră, iar cele cu 3 sau 9 îți dau o condiție pe suma cifrelor. Apoi cauți ce cifră (între 0 și 9) face suma să fie multiplul cerut.

Ce înseamnă scrierea $\overline{2a5b}$?
Înseamnă un singur număr de patru cifre, în care $a$ și $b$ sunt cifre necunoscute (de la 0 la 9). Bara de deasupra arată că este un număr, nu o înmulțire $2\cdot a\cdot 5\cdot b$.

Un număr se poate divide cu mai multe numere în același timp?
Da. De exemplu, $90$ se divide și cu 2, și cu 5, și cu 9, și cu 10. Când o problemă cere divizibilitate simultană, aplici toate criteriile cerute și păstrezi doar cifrele care le respectă pe toate.

Cum verific rapid divizibilitatea cu 100 sau cu 1000?
Numeri zerourile de la sfârșitul numărului: două zerouri înseamnă divizibil cu 100, trei zerouri înseamnă divizibil cu 1000. În general, $n$ zerouri la coadă înseamnă divizibil cu $10^n$.

De ce la divizibilitatea cu 5 nu adun cifrele?
Pentru că la 5 (ca și la 2 și la 10) contează doar ultima cifră a numărului, nu suma. Suma cifrelor este un criteriu doar pentru 3 și pentru 9. Confundarea celor două metode este o greșeală frecventă.