Numere prime și numere compuse. Ciurul lui Eratostene

Imaginează-ți că numerele naturale sunt ca niște cărămizi. Unele cărămizi sunt „indivizibile" — nu le poți construi din altele mai mici. Altele, în schimb, sunt făcute prin lipirea mai multor cărămizi mici. În matematică, „cărămizile indivizibile" se numesc numere prime, iar cele „construite" din ele se numesc numere compuse. În această lecție vei învăța să deosebești clar un număr prim de un număr compus și vei descoperi o metodă veche de peste 2200 de ani, ciurul lui Eratostene, care găsește toate numerele prime până la 100 fără să faci niciun calcul greu.

Ce vei învăța

Vei ști să spui exact ce înseamnă număr prim (un număr cu exact doi divizori) și număr compus.
Vei ști de ce 0 și 1 nu sunt nici prime, nici compuse și să explici acest lucru în cuvintele tale.
Vei ști să aplici pas cu pas ciurul lui Eratostene pentru a găsi toate numerele prime până la 100.
Vei ști să recunoști, dintr-o listă de numere, care sunt prime și care sunt compuse.
Vei ști să verifici rapid dacă un număr „de probă" este prim sau nu, folosind criteriile de divizibilitate învățate.

Hai să descoperim împreună

Reluăm pe scurt: ce este un divizor

În lecția despre relația de divizibilitate ai învățat că un număr natural $d$ este divizor al lui $n$ dacă $n$ se împarte exact la $d$ (adică restul împărțirii este 0). Scriem $d ∣ n$ și citim „ $d$ divide pe $n$ ".

Hai să găsim divizorii câtorva numere mici. Verificăm pe rând la ce numere se împarte exact fiecare:

Divizorii lui 6: 1, 2, 3, 6. (Pentru că $6 = 1 \cdot 6 = 2 \cdot 3$ .) Sunt patru divizori.
Divizorii lui 7: 1, 7. (Doar atât: 7 nu se împarte exact nici la 2, nici la 3, nici la 4, nici la 5, nici la 6.) Sunt doi divizori.
Divizorii lui 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Sunt șase divizori.
Divizorii lui 5: 1, 5. Sunt doi divizori.

Observă ceva interesant: orice număr natural mai mare ca 1 are cel puțin doi divizori — pe 1 (pentru că 1 divide orice număr) și pe el însuși (pentru că orice număr se împarte exact la el însuși). Aceștia doi se cheamă divizori improprii sau „divizori banali". Întrebarea cea mare este: mai are numărul și ALȚI divizori, pe lângă 1 și el însuși?

Aici se ascunde toată ideea lecției.

Definiția numărului prim

Gândește-te la divizori ca la niște chei care „deschid" un număr (îl împart exact). Unele numere au doar două chei: 1 și ele însele. Altele au mai multe.

Un număr natural este PRIM dacă are exact doi divizori: pe 1 și pe el însuși.

Cu alte cuvinte, un număr prim este „închis cu două chei și atât". Nimeni altcineva nu îl mai poate deschide.

Exemple de numere prime:

2 are divizorii 1 și 2. Exact doi. → 2 este prim. (Și e singurul număr prim par!)
3 are divizorii 1 și 3. Exact doi. → 3 este prim.
5 are divizorii 1 și 5. → 5 este prim.
7 are divizorii 1 și 7. → 7 este prim.
11 are divizorii 1 și 11. → 11 este prim.
13 are divizorii 1 și 13. → 13 este prim.

Reține expresia magică: „exact doi divizori". Nu „doi sau mai mulți", nu „cel puțin doi", ci exact doi. Această precizie face toată diferența.

Definiția numărului compus

Acum partea cealaltă.

Un număr natural este COMPUS dacă are mai mult de doi divizori (adică, pe lângă 1 și el însuși, mai are cel puțin un alt divizor).

„Compus" vine de la faptul că un astfel de număr poate fi compus (construit) prin înmulțirea a două numere mai mici, ambele diferite de 1. De exemplu:

6 are divizorii 1, 2, 3, 6 — patru divizori, deci mai mult de doi. → 6 este compus. Îl putem scrie $6 = 2 \cdot 3$ .
8 are divizorii 1, 2, 4, 8. → 8 este compus. ( $8 = 2 \cdot 4$ .)
9 are divizorii 1, 3, 9. Trei divizori (a apărut și 3!). → 9 este compus. ( $9 = 3 \cdot 3$ .)
10 are divizorii 1, 2, 5, 10. → 10 este compus. ( $10 = 2 \cdot 5$ .)
15 are divizorii 1, 3, 5, 15. → 15 este compus. ( $15 = 3 \cdot 5$ .)

O imagine care ajută mult: un număr compus poate fi aranjat ca un dreptunghi adevărat (cu mai mult de o linie și mai mult de o coloană). Un număr prim poate fi aranjat doar într-o singură linie — nu se lasă rupt în niciun dreptunghi „gras". De aceea 7 bile pot sta doar 1×7, dar 6 bile pot sta 2×3.

Statutul special al lui 1 — atenție mare aici!

Acum vine cea mai frecventă capcană din toată lecția. Mulți elevi cred că 1 este prim. Nu este! Hai să vedem de ce.

Numărul 1 are un singur divizor: pe el însuși, adică pe 1. Atât. „1 și el însuși" sunt același număr, deci nu sunt doi divizori, ci unul singur.

Numărul prim trebuie să aibă exact DOI divizori. → 1 are doar unul. → 1 NU este prim.
Numărul compus trebuie să aibă mai mult de doi divizori. → 1 are doar unul. → 1 NU este compus.

Concluzie: 1 nu este nici prim, nici compus. Este un număr special, „unic în felul lui".

De ce e atât de important să-l excludem pe 1? Pentru că în lecția următoare, descompunerea în factori primi, vei vedea că fiecare număr se scrie în mod unic ca produs de numere prime. Dacă 1 ar fi prim, am putea scrie $6 = 2 \cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$ și așa la nesfârșit — descompunerea nu ar mai fi unică. Așa că matematicienii au hotărât, cu temei serios, că 1 nu este prim.

Statutul special al lui 0

Și 0 este aparte. Numărul 0 se împarte exact la orice număr natural diferit de zero (pentru că $0 : 5 = 0$ , rest 0; $0 : 17 = 0$ , rest 0; și așa mai departe). Asta înseamnă că 0 are o infinitate de divizori!

0 nu are exact doi divizori → 0 NU este prim.
Despre 0 spunem că nu este nici prim, nici compus; este, ca și 1, un caz special pe care îl ținem deoparte.

Reține clar regula de aur:

Numerele prime și compuse se discută doar pentru numerele naturale mai mari sau egale cu 2. Numerele 0 și 1 nu intră în clasificare.

Cum verificăm dacă un număr este prim — metoda probelor

Cum decidem, pentru un număr dat, dacă este prim sau compus? Foarte simplu: căutăm un divizor diferit de 1 și de numărul însuși. Dacă găsim măcar unul → numărul este compus. Dacă, oricât căutăm, nu găsim niciunul → numărul este prim.

Aici ne ajută enorm criteriile de divizibilitate învățate:

Se împarte la 2? (Dacă ultima cifră e 0, 2, 4, 6 sau 8.)
Se împarte la 3? (Dacă suma cifrelor se împarte la 3.)
Se împarte la 5? (Dacă ultima cifră e 0 sau 5.)

Hai să testăm numărul 51. Pare prim la prima vedere, nu-i așa? Să verificăm cu grijă:

Se împarte la 2? Ultima cifră e 1 (impar) → nu.
Se împarte la 3? Suma cifrelor: $5 + 1 = 6$ , iar $6$ se împarte la 3 → DA!

Am găsit un divizor diferit de 1 și de 51 (anume 3). Deci $51 = 3 \cdot 17$ . 51 este compus, chiar dacă „arăta" a prim. Vezi cât de utile sunt criteriile?

Un truc puternic: până unde merită să cauți

Nu trebuie să încerci toți divizorii posibili. Există o regulă de aur care îți economisește timp:

Dacă un număr $n$ nu se împarte la niciun număr prim mai mic sau egal cu $n$ , atunci $n$ este prim.

Ce înseamnă asta pe înțelesul tău? Dacă vrei să verifici, de exemplu, numărul 97, observă că $10 \cdot 10 = 100 > 97$ , deci $97$ este puțin sub 10. Înseamnă că e suficient să verifici doar numerele prime mai mici sau egale cu 9: adică 2, 3, 5 și 7. Dacă 97 nu se împarte la niciunul dintre acestea, atunci 97 este prim — și chiar este!

De ce funcționează? Pentru că dacă un număr $n$ ar avea un divizor mai mare decât $n$ , atunci el ar trebui să aibă obligatoriu și un divizor pereche mai mic decât $n$ (cei doi se înmulțesc și dau $n$ ). Așadar, dacă n-am găsit niciun divizor mic, nu mai are rost să căutăm divizori mari — nu există.

Ciurul lui Eratostene — povestea unei idei geniale

Acum 2200 de ani, în orașul Alexandria din Egiptul antic, a trăit un savant grec pe nume Eratostene. Era bibliotecar-șef la cea mai mare bibliotecă a lumii și un om curios peste măsură: a măsurat chiar circumferința Pământului folosind umbre și o fântână! Tot el a inventat o metodă simplă și elegantă de a găsi toate numerele prime până la un număr dat, fără să facă vreo împărțire grea. Metoda se numește ciurul lui Eratostene.

De ce „ciur"? Un ciur este o sită prin care cernem făina: ce e bun rămâne, ce nu ne trebuie cade. La fel, „cernem" numerele și aruncăm afară pe toate cele compuse; rămân doar numerele prime, ca niște boabe curate.

Hai să facem ciurul împreună, pas cu pas, pentru numerele de la 2 la 100. Imaginează-ți un tablou cu numerele de la 1 la 100 (10 rânduri a câte 10 numere).

Pasul 0 — pregătirea. Scriem toate numerele de la 1 la 100. Pe 1 îl tăiem imediat sau îl colorăm aparte: știm deja că nu e nici prim, nici compus.

Pasul 1 — primul număr neîncercuit este 2. Îl încercuim (2 este prim, e cel mai mic). Apoi tăiem toți multiplii lui 2 mai mari decât 2: 4, 6, 8, 10, 12, …, 100. Toate numerele pare (mai mari ca 2) zboară din ciur, pentru că toate se împart la 2, deci sunt compuse.

Pasul 2 — următorul număr netăiat este 3. Îl încercuim (3 este prim). Apoi tăiem toți multiplii lui 3 care au mai rămas: 6 (deja tăiat), 9, 12 (deja tăiat), 15, 18 (deja tăiat), 21, … Practic tăiem 9, 15, 21, 27, 33, … (cei care nu erau deja tăiați).

Pasul 3 — următorul număr netăiat este 5. (Atenție: 4 a fost deja tăiat la pasul 1!) Îl încercuim (5 este prim). Apoi tăiem multiplii lui 5: 10, 15, 20, 25, 30, … (mulți erau deja tăiați; tăiem ce a rămas, ca 25, 35, 55, 65, 85, 95).

Pasul 4 — următorul număr netăiat este 7. (6 a fost tăiat de mult.) Îl încercuim (7 este prim). Tăiem multiplii lui 7 rămași: 49, 77, 91 (numerele 14, 21, 28, 35, 42, 56, 63, 70, 84, 98 erau deja tăiate).

STOP! Aici se oprește treaba grea. De ce ne oprim după 7? Pentru că $100 = 10$ , iar următorul prim ar fi 11, dar $11 \cdot 11 = 121 > 100$ . Toate numerele compuse până la 100 au fost deja tăiate de un divizor mic ( $\leq 7$ ). Așadar:

Toate numerele rămase neîncercuite și netăiate sunt automat PRIME. Le încercuim pe toate.

Rezultatul: numerele prime până la 100

După ce am cernut tot, rămân exact 25 de numere prime mai mici decât 100:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.$

Merită să le cunoști bine pe cele mici — îți vor fi de mare ajutor în lecțiile următoare despre descompunerea în factori primi, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c..

Câteva observații frumoase despre această listă:

2 este singurul număr prim par. Orice alt număr par se împarte la 2, deci e compus. Toate celelalte numere prime sunt impare.
Numerele prime nu apar după o regulă simplă: uneori sunt apropiate (11 și 13, 17 și 19 — se numesc „prime gemene"), alteori sunt mai rare. E unul dintre cele mai fascinante mistere ale matematicii.
Numerele prime sunt infinite — oricât de departe ai merge pe axă, mereu vei mai găsi unul (acest lucru l-a demonstrat un alt grec, Euclid, acum peste 2300 de ani).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Prim sau compus: numărul 23

Cerință: Stabilește dacă 23 este prim sau compus.

Rezolvare. Verificăm dacă 23 are vreun divizor în afară de 1 și 23. Cum $23$ este între 4 și 5 (fiindcă $4^{2} = 16$ și $5^{2} = 25$ ), e de ajuns să încercăm primele numere prime $\leq 4$ : adică 2 și 3.

La 2? Ultima cifră, 3, e impară → nu.
La 3? Suma cifrelor $2 + 3 = 5$ , nu se împarte la 3 → nu.

Nu am găsit niciun divizor mic. Deci 23 are doar divizorii 1 și 23. 23 este număr prim.

Exemplul 2 — Prim sau compus: numărul 91

Cerință: Stabilește dacă 91 este prim sau compus.

Rezolvare. $91$ este puțin sub 10 (fiindcă $9^{2} = 81$ și $1 0^{2} = 100$ ), deci verificăm primele prime $\leq 9$ : 2, 3, 5, 7.

La 2? Ultima cifră 1 (impar) → nu.
La 3? $9 + 1 = 10$ , nu se împarte la 3 → nu.
La 5? Ultima cifră nu e 0 sau 5 → nu.
La 7? Încercăm: $7 \cdot 13 = 91$ → DA!

Am găsit divizorul 7 (și perechea lui, 13). Deci $91 = 7 \cdot 13$ . 91 este număr compus.

Lecția ascunsă: 91 „pare" prim, dar nu este. Nu te încrede în aparențe — verifică mereu și pe 7!

Exemplul 3 — Cerne numerele de la 30 la 40

Cerință: Folosind ideea ciurului, găsește numerele prime dintre 30 și 40.

Rezolvare. Luăm pe rând numerele 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 și aruncăm pe cele care au un divizor mic (2, 3 sau 5 — suficient, fiindcă $40 < 7$ ).

31: la 2? nu. La 3? $3 + 1 = 4$ , nu. La 5? nu. → prim.
32: par → compus.
33: $3 + 3 = 6$ , se împarte la 3 → compus.
34: par → compus.
35: ultima cifră 5 → compus.
36: par → compus.
37: la 2? nu. La 3? $3 + 7 = 10$ , nu. La 5? nu. → prim.
38: par → compus.
39: $3 + 9 = 12$ , se împarte la 3 → compus.
40: par → compus.

Numerele prime dintre 30 și 40 sunt 31 și 37.

Exemplul 4 — Câți divizori și ce concluzie

Cerință: Scrie toți divizorii numărului 14 și ai numărului 17, apoi spune care e prim și care compus.

Rezolvare.

Divizorii lui 14: căutăm la ce se împarte 14. $14 = 1 \cdot 14 = 2 \cdot 7$ . Divizorii sunt 1, 2, 7, 14 — patru divizori, deci mai mult de doi → 14 este compus.
Divizorii lui 17: $17 = 1 \cdot 17$ și atât (nu se împarte la 2, 3, 4). Divizorii sunt 1, 17 — exact doi → 17 este prim.

Exemplul 5 — Cel mai mic divizor prim

Cerință: Care este cel mai mic număr prim care divide pe 105? Este 105 prim sau compus?

Rezolvare. Verificăm primele prime în ordine crescătoare:

La 2? Ultima cifră 5 (impar) → nu.
La 3? $1 + 0 + 5 = 6$ , se împarte la 3 → DA.

Cel mai mic divizor prim al lui 105 este 3. Cum am găsit un divizor diferit de 1 și 105, numărul 105 este compus ( $105 = 3 \cdot 35$ ).

Exemplul 6 — Adevărat sau fals, cu justificare

Cerință: Adevărat sau fals? „Toate numerele impare sunt prime."

Rezolvare. Căutăm un contraexemplu — un singur număr impar care să nu fie prim. Luăm 9: este impar, dar $9 = 3 \cdot 3$ , deci are divizorul 3, prin urmare e compus. Am găsit un impar care nu e prim. → Afirmația este FALSĂ.

(Alte contraexemple: 15, 21, 25, 27, 33 — toate impare și compuse.)

Să exersăm

1. Completează: un număr prim are exact ___ divizori, iar un număr compus are ___ divizori.

2. Încercuiește numerele prime din lista: 2, 4, 7, 9, 11, 14, 19, 21.

3. Adevărat sau fals: „1 este cel mai mic număr prim." Justifică.

4. Scrie toți divizorii numerelor 13 și 18. Care e prim și care compus?

5. Stabilește, cu criteriile de divizibilitate, dacă numărul 57 este prim sau compus.

6. Găsește toate numerele prime cuprinse între 40 și 50.

7. Adevărat sau fals: „2 este singurul număr prim par." Explică.

8. Care este cel mai mic număr prim mai mare decât 20?

9. Potrivește fiecare număr cu eticheta corectă (prim / compus / nici-nici): 0, 1, 19, 24, 29, 40.

10. Completează lista numerelor prime de la 2 la 30: 2, 3, 5, 7, ___, ___, ___, ___, ___, ___.

11. Stabilește dacă 89 este prim. Până la ce divizor e suficient să verifici și de ce?

12. Găsește o pereche de „prime gemene" (două prime care diferă prin 2) mai mare decât 50.

13. Adevărat sau fals: „Suma a două numere prime este întotdeauna un număr par." (Indiciu: gândește-te la 2.) Justifică.

14. Mică problemă. Ana are 23 de bomboane și vrea să le împartă în pungi egale, cu mai mult de o bomboană în fiecare pungă și mai mult de o pungă. Poate? De ce?

15. Scrie numărul 36 ca produs de două numere mai mari decât 1, în trei moduri diferite. Ce fel de număr este 36?

16. Folosind ideea ciurului, taie din lista 2, 3, 4, …, 20 toți multiplii lui 2 și apoi ai lui 3. Ce numere rămân? Sunt toate prime?

17. Mică problemă. La un turneu de șah se înscriu 41 de jucători. Organizatorul vrea să-i aranjeze în grupe egale, fiecare grupă cu mai mult de un jucător și mai mult de o grupă. Reușește? Ce fel de număr este 41?

18. Provocare. Găsește toate numerele prime de două cifre la care, dacă schimbi cifrele între ele, obții tot un număr prim (de exemplu, 13 și 31). Dă cel puțin trei perechi.

Răspunsuri și explicații

1. Prim = exact doi divizori (1 și el însuși); compus = mai mult de doi divizori.

2. Prime: 2, 7, 11, 19. (4 = 2·2, 9 = 3·3, 14 = 2·7, 21 = 3·7 sunt compuse.)

3. Fals. 1 are un singur divizor, deci nu e prim. Cel mai mic număr prim este 2.

4. Divizorii lui 13: 1, 13 → prim. Divizorii lui 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 → compus.

5. 57: la 2? nu (impar). La 3? $5 + 7 = 12$ , se împarte la 3 → da. Deci $57 = 3 \cdot 19$ → compus.

6. Între 40 și 50, prime: 41, 43, 47. (42, 44, 46, 48 pare; 45 la 5 și 3; 49 = 7·7.)

7. Adevărat. Orice alt număr par se împarte la 2 (deci are un divizor în plus față de 1 și el însuși) → e compus. 2 are doar divizorii 1 și 2, deci e prim.

8. 23. (21 = 3·7 și 22 par sunt compuse; 23 e prim.)

9. 0 → nici-nici (infinit de mulți divizori); 1 → nici-nici (un singur divizor); 19 → prim; 24 → compus; 29 → prim; 40 → compus.

10. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

11. 89 este prim. $89$ e sub 10, deci verificăm primele prime $\leq 9$ : 2, 3, 5, 7. Niciunul nu îl divide (89 e impar; $8 + 9 = 17$ nu la 3; nu la 5; $89 : 7$ dă rest). Deci e suficient să verifici până la 7 (sau 9), pentru că un eventual divizor mai mare ar avea pereche mai mică decât $89$ .

12. De exemplu 59 și 61 (sau 71 și 73). Ambele sunt prime și diferă prin 2.

13. Fals. Dacă unul dintre prime este 2 (singurul par), suma poate fi impară: de exemplu $2 + 3 = 5$ , care e impar. (Dacă ambele prime sunt impare, suma e pară, dar afirmația „întotdeauna" cade din cauza lui 2.)

14. Nu poate. 23 este prim, are doar divizorii 1 și 23. Singurele variante ar fi 1 pungă (interzis) sau 23 de pungi cu câte o bomboană (interzis). Deci nu există o împărțire potrivită.

15. De exemplu: $36 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12 = 4 \cdot 9$ (sau $6 \cdot 6$ ). 36 este compus (are mulți divizori).

16. Tăiem multiplii lui 2 (4, 6, 8, …, 20) și ai lui 3 (9, 15) rămași. Rămân: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — și da, toate sunt prime (am cernut până peste $20 < 5$ , suficient).

17. Nu reușește. 41 este prim, deci nu poate fi împărțit în grupe egale (mai mult de una, fiecare mai mare de unu). 41 este număr prim.

18. Perechi (numite uneori „prime oglindă"): 13 și 31, 17 și 71, 37 și 73, 79 și 97. (Și primele „palindromice" ca 11 rămân prime, dar nu schimbă cifrele.) Trei exemple sunt suficiente.

De reținut

Un număr prim are exact doi divizori: pe 1 și pe el însuși. Cel mai mic prim este 2, singurul prim par.
Un număr compus are mai mult de doi divizori; el se poate scrie ca produs de două numere mai mari ca 1.
0 și 1 nu sunt nici prime, nici compuse: 1 are un singur divizor, iar 0 are o infinitate.
Ciurul lui Eratostene găsește toate numerele prime până la 100 tăind, pe rând, multiplii lui 2, 3, 5 și 7; rămân exact 25 de numere prime.
Ca să verifici dacă $n$ e prim, e suficient să cauți divizori primi până la $n$ ; dacă nu găsești niciunul, $n$ e prim.

Greșeli frecvente

„1 este prim." Cea mai răspândită greșeală. 1 are un singur divizor, deci NU este prim (și nici compus). Reține: cel mai mic prim este 2.
„Toate numerele impare sunt prime." Fals: 9, 15, 21, 25, 27 sunt impare și compuse. Imparitatea nu garantează nimic — verifică divizibilitatea cu 3, 5, 7.
„Numerele care par prime chiar sunt prime." 51, 57, 91, 119 par prime dar nu sunt ( $51 = 3 \cdot 17$ , $57 = 3 \cdot 19$ , $91 = 7 \cdot 13$ ). Aplică criteriile de divizibilitate înainte de a decide.
„2 e compus pentru că e par." Fals: 2 este par, dar are exact doi divizori (1 și 2), deci este prim. Este singura excepție „par + prim".

Joc acasă

1. Cernem cu boabe de fasole. Scrie pe o foaie numerele de la 1 la 50 într-un tablou 5×10. Pune un bob de fasole pe 1 (nu e nici prim, nici compus). Apoi încercuiește 2 și pune câte un bob pe toți multiplii lui (4, 6, 8, …). Treci la 3 și acoperă-i multiplii, apoi 5, apoi 7. Numerele rămase descoperite sunt prime. Numără-le: ar trebui să găsești 15 numere prime sub 50.

2. Vânătoarea de prime ascunse. Cere unui părinte să-ți scrie 10 numere de două cifre la întâmplare. Pentru fiecare, decide în mai puțin de 30 de secunde dacă e prim sau compus, folosind criteriile de divizibilitate (2, 3, 5, apoi 7). Notează-ți timpul și încearcă să-l îmbunătățești a doua zi.

3. Dreptunghiuri din monede. Ia 7 monede și încearcă să le aranjezi într-un dreptunghi cu mai mult de un rând și mai mult de o coloană — vei vedea că nu se poate (7 e prim). Apoi ia 12 monede și găsește toate dreptunghiurile posibile (2×6, 3×4, 6×2, 4×3). Numărul de aranjamente îți „spune" că 12 e foarte compus.

Pentru părinți și învățători

Această lecție pune o cărămidă esențială pentru tot capitolul de divizibilitate: descompunerea în factori primi, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. se sprijină direct pe noțiunea de număr prim. Dacă elevul stăpânește bine ideea de „exact doi divizori", restul unității devine mult mai ușor.

Cum sprijiniți:

Insistați pe formularea exactă „exact doi divizori". Cereți elevului să o repete cu cuvintele lui și să o aplice la 1 (care eșuează) și la 2 (care reușește).
Folosiți modelul vizual al dreptunghiurilor din obiecte (monede, nasturi, paste): numerele compuse „intră" în dreptunghiuri, primele nu. E o intuiție foarte puternică pentru vârsta aceasta.
Legați verificarea de criteriile de divizibilitate deja învățate: înainte să spună „e prim", elevul ar trebui să testeze rapid 2, 3, 5 și 7.

Întrebări bune de pus:

„De ce 1 nu este prim? Câți divizori are?"
„Dă-mi un număr impar care NU este prim." (Verifică dacă a depășit confuzia impar = prim.)
„Până la ce număr e suficient să verifici dacă 53 e prim? De ce nu mai departe?"
„De ce 2 este prim, deși e par?"

Cum verificați înțelegerea: dați-i 5 numere amestecate (de exemplu 1, 2, 39, 41, 51) și cereți clasificarea cu justificare scurtă. Dacă explică de ce, nu doar răspunde, atunci a înțeles.

Întrebări frecvente

Ce este un număr prim, pe scurt? Un număr prim este un număr natural mai mare ca 1 care are exact doi divizori: pe 1 și pe el însuși. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11. Înseamnă că nu poate fi împărțit exact la niciun alt număr în afară de 1 și de el.

De ce 1 nu este număr prim? Pentru că 1 are un singur divizor (pe el însuși), iar definiția numărului prim cere exact doi divizori diferiți. De aceea 1 nu este nici prim, nici compus. Excluderea lui 1 face ca descompunerea în factori primi să fie unică.

Este 0 număr prim sau compus? Niciuna. Numărul 0 se împarte exact la orice număr natural diferit de zero, deci are o infinitate de divizori. Cum nu are exact doi divizori, nu este prim, iar prin convenție nu îl numim nici compus.

Care este cel mai mic număr prim? Cel mai mic număr prim este 2. Este și singurul număr prim par; toate celelalte numere prime sunt impare, pentru că orice alt număr par se împarte la 2.

Câte numere prime sunt până la 100? Sunt exact 25 de numere prime mai mici decât 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 și 97. Le poți găsi cu ciurul lui Eratostene.

Cum funcționează ciurul lui Eratostene? Scrii numerele de la 2 în sus, încercuiești primul prim (2) și tai toți multiplii lui, apoi treci la următorul netăiat (3) și îi tai multiplii, și tot așa cu 5 și 7. Numerele rămase netăiate sunt prime. Pentru numerele până la 100 e suficient să cerni cu 2, 3, 5 și 7.

Cum verific repede dacă un număr este prim? Testează divizibilitatea cu numerele prime mici (2, 3, 5, 7…) până la $n$ . Dacă numărul nu se împarte exact la niciunul, este prim. De exemplu, pentru 97 e suficient să verifici 2, 3, 5 și 7.

De ce 2 este prim dacă este număr par? Pentru că „prim" nu înseamnă „impar". 2 are exact doi divizori, 1 și 2, exact cât cere definiția, deci este prim. Este special tocmai pentru că e singurul număr prim care este și par.