Aria dreptunghiului și a pătratului

Când vrei să afli câtă gresie îți trebuie pentru o cameră, câtă vopsea acoperă un perete sau câtă suprafață cuprinde un teren de fotbal, calculezi de fapt o arie. Aria măsoară cât de mare este o suprafață plană, adică „câtă podea" ocupă o figură. În această lecție înveți cele mai importante două formule de arie din geometrie — cea a dreptunghiului și cea a pătratului — și cum să lucrezi corect cu unitățile de măsură pentru arie. Sunt formule simple, dar care apar peste tot: în probleme, în viața de zi cu zi și ca punct de plecare pentru toate celelalte arii pe care le vei studia (paralelogram, triunghi, trapez).

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce înseamnă aria unei suprafețe și de ce o măsurăm în pătrate (${\text{mm}}^2$, ${\text{cm}}^2$, ${\text{dm}}^2$, ${\text{m}}^2$).
• Vei ști să calculezi aria dreptunghiului aplicând formula $A=L\cdot l$.
• Vei ști să calculezi aria pătratului cu formula $A=l^2$, înțelegând pătratul ca un dreptunghi particular.
• Vei ști să transformi unitățile de măsură pentru arie (de exemplu din ${\text{m}}^2$ în ${\text{cm}}^2$) și să alegi unitatea potrivită.
• Vei ști să afli o dimensiune necunoscută a unui dreptunghi sau latura unui pătrat când cunoști aria, folosind $l=\sqrt{A}$.

Hai să descoperim împreună

Ce este, de fapt, aria?

Imaginează-ți că ai o foaie de matematică, plină cu pătrățele mici, egale. Dacă desenezi o figură pe ea și numeri câte pătrățele întregi încap înăuntru, ai o idee despre cât de „mare" este suprafața figurii. Exact aceasta este ideea de arie: numărul de pătrate-unitate care acoperă complet o suprafață, fără să se suprapună și fără să lase goluri.

Ca să măsurăm o lungime folosim un segment-unitate (metrul, centimetrul). Ca să măsurăm o suprafață folosim un pătrat-unitate: un pătrat cu latura de 1 unitate de lungime. Dacă latura pătratului-unitate este de $1\text{cm}$, atunci aria lui este de un centimetru pătrat, notat $1{\text{cm}}^2$. Micuțul „${}^2$" (exponentul 2) ne amintește că vorbim despre o suprafață, adică despre ceva „în două direcții": lungime și lățime.

Reține două idei importante despre arie:

1. Aria este întotdeauna un număr pozitiv, însoțit de o unitate pătrată (${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$ etc.). Un rezultat de arie fără unitate de măsură este incomplet.
2. Aria este diferită de perimetru. Perimetrul măsoară lungimea conturului (de câți metri de gard ai nevoie ca să înconjori o grădină) și se exprimă în unități de lungime ($\text{cm}$, $\text{m}$). Aria măsoară suprafața din interior (câtă iarbă are grădina) și se exprimă în unități pătrate. Sunt două mărimi complet diferite. Vei relua legătura dintre ele în lecția Perimetre și probleme aplicative cu arii.

Unitățile de măsură pentru arie

Unitatea principală pentru arie în Sistemul Internațional este metrul pătrat (${\text{m}}^2$): aria unui pătrat cu latura de $1\text{m}$. Pe lângă el folosim:

• milimetrul pătrat (${\text{mm}}^2$) — un pătrat cu latura de $1\text{mm}$;
• centimetrul pătrat (${\text{cm}}^2$) — un pătrat cu latura de $1\text{cm}$;
• decimetrul pătrat (${\text{dm}}^2$) — un pătrat cu latura de $1\text{dm}$;
• metrul pătrat (${\text{m}}^2$) — un pătrat cu latura de $1\text{m}$.

Aici apare un detaliu esențial, care le dă bătăi de cap multor elevi. Când treci de la o unitate de lungime la următoarea, înmulțești (sau împarți) cu 10: $1\text{m}=10\text{dm}=100\text{cm}=1000\text{mm}$. Dar la arii raportul se schimbă! Să vedem de ce.

Un pătrat cu latura de $1\text{dm}$ are latura egală și cu $10\text{cm}$. Ca să-l umplu cu pătrate de $1{\text{cm}}^2$, pun $10$ pe lungime și $10$ pe lățime, deci $10\cdot 10=100$ de pătrățele. Prin urmare:

$$1{\text{dm}}^2=100{\text{cm}}^2.$$

La fel se întâmplă la fiecare treaptă: pentru că avem două direcții (lungime și lățime), factorul $10$ de la lungimi devine $10\cdot 10=100$ la arii. Așadar, la unitățile de arie, fiecare treaptă valorează de 100 de ori:

$$1{\text{cm}}^2=100{\text{mm}}^2$$ $$1{\text{dm}}^2=100{\text{cm}}^2$$ $$1{\text{m}}^2=100{\text{dm}}^2$$

De aici deducem și transformările mai mari:

$$1{\text{m}}^2=100{\text{dm}}^2=10000{\text{cm}}^2=1000000{\text{mm}}^2.$$

Regulă practică:

• Când cobori spre unități mai mici (din ${\text{m}}^2$ spre ${\text{mm}}^2$), înmulțești cu $100$ la fiecare treaptă.
• Când urci spre unități mai mari (din ${\text{mm}}^2$ spre ${\text{m}}^2$), împarți la $100$ la fiecare treaptă.

Poți folosi și „scara ariilor", cu câte două zerouri pe fiecare treaptă:

De exemplu, $7{\text{m}}^2$ câte ${\text{cm}}^2$ înseamnă? De la ${\text{m}}^2$ la ${\text{cm}}^2$ sunt două trepte în jos, deci $\times 100\times 100=\times 10000$: $$7{\text{m}}^2=7\cdot 10000{\text{cm}}^2=70000{\text{cm}}^2.$$

Iar $250000{\text{mm}}^2$ câte ${\text{dm}}^2$? De la ${\text{mm}}^2$ la ${\text{dm}}^2$ sunt două trepte în sus, deci $:100:100=:10000$: $$250000{\text{mm}}^2=250000:10000=25{\text{dm}}^2.$$

Pe lângă acestea, în agricultură și în vânzarea terenurilor se mai folosesc arul ($1\text{a}=100{\text{m}}^2$) și hectarul ($1\text{ha}=100\text{a}=10000{\text{m}}^2$), dar la clasa a VII-a lucrăm mai ales cu ${\text{mm}}^2$, ${\text{cm}}^2$, ${\text{dm}}^2$ și ${\text{m}}^2$.

Aria dreptunghiului: $A=L\cdot l$

Ne întoarcem la desenul de la început. Un dreptunghi cu lungimea $L=4\text{cm}$ și lățimea $l=3\text{cm}$ poate fi acoperit exact cu pătrate de $1{\text{cm}}^2$: pun $4$ pătrate pe fiecare rând (cât lungimea) și fac $3$ rânduri (cât lățimea). Total: $4\cdot 3=12$ pătrate, adică $12{\text{cm}}^2$.

Aceasta este ideea din spatele formulei. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul dintre lungime și lățime:

$$\boxed{A_{\text{dreptunghi}}=L\cdot l}$$

unde $L$ este lungimea (latura mai mare) și $l$ este lățimea (latura mai mică). Cele două laturi trebuie exprimate în aceeași unitate de măsură; dacă $L$ și $l$ sunt în centimetri, aria iese în ${\text{cm}}^2$; dacă sunt în metri, aria iese în ${\text{m}}^2$.

Atenție la o capcană frecventă: înainte de a înmulți, verifică dacă cele două dimensiuni au aceeași unitate. Dacă lungimea e dată în metri și lățimea în centimetri, transformă-le mai întâi într-o singură unitate. De exemplu, la un dreptunghi cu $L=2\text{m}$ și $l=50\text{cm}$, transformi $2\text{m}=200\text{cm}$ și obții $A=200\cdot 50=10000{\text{cm}}^2=1{\text{m}}^2$.

Formula funcționează și „invers": dacă știi aria și una dintre dimensiuni, o poți afla pe cealaltă. Din $A=L\cdot l$ rezultă:

$$L=\frac{A}{l}\text{și}l=\frac{A}{L}.$$

De exemplu, un dreptunghi are aria $A=48{\text{cm}}^2$ și lungimea $L=8\text{cm}$. Atunci lățimea este: $$l=\frac{A}{L}=\frac{48}{8}=6\text{cm}.$$

Aria pătratului: $A=l^2$

Pătratul este un dreptunghi special, la care toate laturile sunt egale (revezi proprietățile în lecția Pătratul și proprietățile lui). Dacă la un dreptunghi lungimea și lățimea sunt egale, adică $L=l$, atunci formula ariei devine:

$$A=L\cdot l=l\cdot l=l^2.$$

Deci aria pătratului este egală cu latura la pătrat:

$$\boxed{A_{\text{pa˘trat}}=l^2}$$

Iată de unde vine, de altfel, și numele „la pătrat" pentru puterea a doua a unui număr: $l^2$ înseamnă chiar aria pătratului cu latura $l$! Ai întâlnit deja pătratele perfecte în lecția Pătrate perfecte și rădăcina pătrată, iar aici vezi sensul lor geometric.

De exemplu, un pătrat cu latura $l=5\text{cm}$ are aria: $$A=l^2=5^2=25{\text{cm}}^2.$$

Aflarea laturii pătratului când cunoști aria: $l=\sqrt{A}$

Acum vine partea cu adevărat interesantă, care leagă geometria de radicali. Dacă știi aria unui pătrat și vrei să afli latura lui, trebuie să faci operația inversă ridicării la pătrat, adică extragerea rădăcinii pătrate. Din $A=l^2$ (cu $l>0$, fiind o lungime) rezultă:

$$\boxed{l=\sqrt{A}}$$

Ai învățat rădăcina pătrată în lecțiile despre pătrate perfecte și ecuația $x^2=a$; acum ea capătă un sens geometric clar: rădăcina pătrată a ariei îți dă latura pătratului.

De exemplu, un pătrat are aria $A=49{\text{cm}}^2$. Latura lui este: $$l=\sqrt{A}=\sqrt{49}=7\text{cm},$$ pentru că $7^2=49$.

Dacă aria nu este un pătrat perfect, latura este un număr irațional, iar rezultatul îl lăsăm sub formă de radical sau îl aproximăm. De pildă, un pătrat cu aria $A=20{\text{cm}}^2$ are latura: $$l=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}\text{cm}\approx 4,47\text{cm},$$ folosind scoaterea factorilor de sub radical, temă pe care ai studiat-o în lecția Scoaterea factorilor de sub radical.

O recapitulare a strategiei

Când rezolvi o problemă de arie, urmează mereu acești pași:

1. Citește ce se cere și ce se cunoaște: arie? o dimensiune? latura?
2. Verifică unitățile de măsură — dacă nu sunt la fel, transformă-le într-o singură unitate.
3. Alege formula potrivită: $A=L\cdot l$ pentru dreptunghi, $A=l^2$ pentru pătrat.
4. Dacă necunoscuta e o dimensiune, izoleaz-o: $l=\frac{A}{L}$ sau $l=\sqrt{A}$.
5. Scrie rezultatul cu unitatea de măsură corectă (pătrată!) și, la final, verifică dacă e realist.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aria unui dreptunghi

Enunț: Un teren de handbal are lungimea $L=40\text{m}$ și lățimea $l=20\text{m}$. Calculează aria terenului.

Rezolvare: Ambele dimensiuni sunt în metri, deci putem aplica direct formula: $$A=L\cdot l=40\cdot 20=800{\text{m}}^2.$$

Răspuns: Aria terenului de handbal este de $800{\text{m}}^2$.

Exemplul 2 — Aria unui pătrat

Enunț: O față a unui cub Rubik are forma unui pătrat cu latura de $6\text{cm}$. Ce arie are această față?

Rezolvare: Fiind un pătrat, folosim $A=l^2$: $$A=l^2=6^2=36{\text{cm}}^2.$$

Răspuns: Fața are aria de $36{\text{cm}}^2$.

Exemplul 3 — Atenție la unități diferite

Enunț: Un dreptunghi are lungimea $L=1,2\text{m}$ și lățimea $l=80\text{cm}$. Calculează aria lui în ${\text{cm}}^2$ și apoi exprim-o în ${\text{m}}^2$.

Rezolvare: Dimensiunile sunt în unități diferite, deci mai întâi le aducem la aceeași unitate. Transformăm lungimea în centimetri: $$L=1,2\text{m}=1,2\cdot 100=120\text{cm}.$$ Acum ambele sunt în centimetri: $$A=L\cdot l=120\cdot 80=9600{\text{cm}}^2.$$ Transformăm în ${\text{m}}^2$ (de la ${\text{cm}}^2$ la ${\text{m}}^2$ sunt două trepte în sus, deci $:10000$): $$A=9600:10000=0,96{\text{m}}^2.$$

Răspuns: Aria dreptunghiului este $9600{\text{cm}}^2=0,96{\text{m}}^2$.

Exemplul 4 — Aflarea unei dimensiuni când cunoști aria

Enunț: Ușa unei camere are forma unui dreptunghi cu aria $A=1,8{\text{m}}^2$ și lățimea $l=0,9\text{m}$. Ce înălțime (lungime) are ușa?

Rezolvare: Din $A=L\cdot l$ scoatem lungimea: $$L=\frac{A}{l}=\frac{1,8}{0,9}=2\text{m}.$$

Răspuns: Ușa are înălțimea de $2\text{m}$. (Verificare: $2\cdot 0,9=1,8{\text{m}}^2$. Corect.)

Exemplul 5 — Aflarea laturii pătratului din arie

Enunț: O placă de gresie pătrată are aria $A=64{\text{cm}}^2$. Ce lungime are latura ei? Dar perimetrul plăcii?

Rezolvare: Latura o aflăm cu rădăcina pătrată a ariei: $$l=\sqrt{A}=\sqrt{64}=8\text{cm},$$ pentru că $8^2=64$.

Perimetrul pătratului este suma celor patru laturi egale: $$P=4\cdot l=4\cdot 8=32\text{cm}.$$

Răspuns: Latura are $8\text{cm}$, iar perimetrul plăcii este de $32\text{cm}$.

Exemplul 6 — Latură irațională și aproximare

Enunț: Un pătrat are aria $A=50{\text{cm}}^2$. Află latura lui, exprimată sub cea mai simplă formă cu radical, apoi aproximată la două zecimale.

Rezolvare: Aplicăm $l=\sqrt{A}$: $$l=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\text{cm}.$$ Cum $\sqrt{2}\approx 1,414$, obținem: $$l\approx 5\cdot 1,414=7,07\text{cm}.$$

Răspuns: Latura pătratului este $l=5\sqrt{2}\text{cm}\approx 7,07\text{cm}$.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, apoi verifică-te cu cheia de la final. Sunt gradate de la ușor la mai greu.

1. Calculează aria unui dreptunghi cu lungimea $L=9\text{cm}$ și lățimea $l=4\text{cm}$.

2. Calculează aria unui pătrat cu latura $l=7\text{cm}$.

3. Transformă în ${\text{cm}}^2$: a) $3{\text{dm}}^2$; b) $5{\text{m}}^2$; c) $2500{\text{mm}}^2$.

4. Transformă în ${\text{m}}^2$: a) $40000{\text{cm}}^2$; b) $6{\text{dm}}^2$; c) $250{\text{dm}}^2$.

5. Un dreptunghi are aria $A=72{\text{cm}}^2$ și lungimea $L=12\text{cm}$. Află lățimea lui.

6. Un pătrat are aria $A=81{\text{cm}}^2$. Află latura și perimetrul lui.

7. Adevărat sau fals (justifică): „$1{\text{m}}^2=100{\text{cm}}^2$."

8. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă dublez latura unui pătrat, aria lui se dublează."

9. O cameră dreptunghiulară are lungimea $L=5\text{m}$ și lățimea $l=3\text{m}$. Câți metri pătrați de parchet sunt necesari pentru a acoperi podeaua?

10. Un dreptunghi are lungimea $L=1,5\text{m}$ și lățimea $l=60\text{cm}$. Calculează aria lui în ${\text{cm}}^2$ și în ${\text{m}}^2$.

11. Un pătrat are aria $A=45{\text{cm}}^2$. Scrie latura lui sub cea mai simplă formă cu radical și aproximeaz-o la două zecimale (folosește $\sqrt{5}\approx 2,236$).

12. Un dreptunghi și un pătrat au aceeași arie de $36{\text{cm}}^2$. Dreptunghiul are lungimea $L=9\text{cm}$. Află lățimea dreptunghiului și latura pătratului. Care dintre cele două figuri are perimetrul mai mic?

13. O grădină dreptunghiulară are aria $A=240{\text{m}}^2$ și lățimea $l=12\text{m}$. Un gard se pune de jur împrejur. Câți metri de gard sunt necesari?

14. Latura unui pătrat crește de la $4\text{cm}$ la $12\text{cm}$ (adică de $3$ ori). De câte ori crește aria pătratului?

15. O placă dreptunghiulară de $2\text{m}$ pe $1,5\text{m}$ trebuie acoperită cu plăci pătrate de gresie cu latura de $50\text{cm}$. Câte plăci sunt necesare, dacă nu se pierde nimic la tăiere?

16. Aria unui dreptunghi este $A=300{\text{cm}}^2$. Dacă lungimea este de $3$ ori mai mare decât lățimea, află lungimea și lățimea. (Indicație: notează lățimea cu $l$, atunci lungimea este $3l$.)

17. Un pătrat are perimetrul $P=28\text{cm}$. Calculează aria lui.

18. O sală de sport are podeaua dreptunghiulară cu aria de $600{\text{m}}^2$ și lungimea de $30\text{m}$. Se dorește vopsirea unui traseu de alergare exact pe conturul podelei. Ce lungime are acest traseu (perimetrul)?

Răspunsuri și explicații

1. $A=L\cdot l=9\cdot 4=36{\text{cm}}^2$.

2. $A=l^2=7^2=49{\text{cm}}^2$.

3. Fiecare treaptă în jos înmulțește cu $100$. a) $3{\text{dm}}^2=3\cdot 100=300{\text{cm}}^2$; b) $5{\text{m}}^2=5\cdot 10000=50000{\text{cm}}^2$ (două trepte în jos, $\times 10000$); c) $2500{\text{mm}}^2=2500:100=25{\text{cm}}^2$ (o treaptă în sus, $:100$).

4. Fiecare treaptă în sus împarte la $100$. a) $40000{\text{cm}}^2=40000:10000=4{\text{m}}^2$; b) $6{\text{dm}}^2=6:100=0,06{\text{m}}^2$; c) $250{\text{dm}}^2=250:100=2,5{\text{m}}^2$.

5. $l=\frac{A}{L}=\frac{72}{12}=6\text{cm}$. Verificare: $12\cdot 6=72{\text{cm}}^2$.

6. $l=\sqrt{81}=9\text{cm}$ (căci $9^2=81$); $P=4\cdot 9=36\text{cm}$. Latura $=9\text{cm}$, perimetrul $=36\text{cm}$.

7. Fals. Corect este $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$. La arii, între ${\text{m}}^2$ și ${\text{cm}}^2$ sunt două trepte, deci raportul e $100\cdot 100=10000$, nu $100$. (Confuzia vine de la lungimi, unde $1\text{m}=100\text{cm}$.)

8. Fals. Dacă latura devine $2l$, aria devine $(2l{)}^2=4l^2$, adică de 4 ori mai mare, nu de 2 ori. Exemplu: pătratul cu latura $3\text{cm}$ are aria $9{\text{cm}}^2$; cel cu latura $6\text{cm}$ are aria $36{\text{cm}}^2=4\cdot 9{\text{cm}}^2$.

9. $A=L\cdot l=5\cdot 3=15{\text{m}}^2$ de parchet.

10. Transformăm lungimea: $L=1,5\text{m}=150\text{cm}$. Atunci $A=150\cdot 60=9000{\text{cm}}^2$. În ${\text{m}}^2$: $9000:10000=0,9{\text{m}}^2$.

11. $l=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}\text{cm}$. Aproximare: $3\cdot 2,236=6,708\approx 6,71\text{cm}$. Deci $l=3\sqrt{5}\text{cm}\approx 6,71\text{cm}$.

12. Dreptunghi: $l=\frac{36}{9}=4\text{cm}$, deci $P_{\text{dr}}=2\cdot (9+4)=26\text{cm}$. Pătrat: $l=\sqrt{36}=6\text{cm}$, deci $P_{\text{p}}=4\cdot 6=24\text{cm}$. Cum $24<26$, pătratul are perimetrul mai mic (la aceeași arie, pătratul „economisește" conturul).

13. Lungimea grădinii: $L=\frac{A}{l}=\frac{240}{12}=20\text{m}$. Perimetrul: $P=2\cdot (20+12)=2\cdot 32=64\text{m}$ de gard.

14. Aria inițială: $4^2=16{\text{cm}}^2$. Aria finală: $12^2=144{\text{cm}}^2$. Raportul: $144:16=9$. Aria crește de 9 ori (adică de $3^2$ ori — latura a crescut de 3 ori, aria de $3^2=9$ ori).

15. Transformăm totul în aceeași unitate. Placa: $2\text{m}=200\text{cm}$ și $1,5\text{m}=150\text{cm}$. Pe lungime încap $200:50=4$ plăci; pe lățime încap $150:50=3$ plăci. Total: $4\cdot 3=12\text{pla˘ci}$. (Verificare prin arie: $\frac{200\cdot 150}{50\cdot 50}=\frac{30000}{2500}=12$.)

16. Notăm lățimea cu $l$; lungimea este $3l$. Atunci $A=3l\cdot l=3l^2$, deci $3l^2=300$, de unde $l^2=100$ și $l=\sqrt{100}=10\text{cm}$. Lungimea: $3l=30\text{cm}$. Lățimea $=10\text{cm}$, lungimea $=30\text{cm}$. Verificare: $30\cdot 10=300{\text{cm}}^2$.

17. Latura: $l=\frac{P}{4}=\frac{28}{4}=7\text{cm}$. Aria: $A=l^2=7^2=49{\text{cm}}^2$.

18. Lățimea: $l=\frac{A}{L}=\frac{600}{30}=20\text{m}$. Traseul (perimetrul): $P=2\cdot (30+20)=2\cdot 50=100\text{m}$.

De reținut

• Aria dreptunghiului: $A=L\cdot l$ (lungime înmulțită cu lățime), cu $L$ și $l$ în aceeași unitate.
• Aria pătratului: $A=l^2$ (latura la pătrat), pentru că pătratul este un dreptunghi cu $L=l$.
• Latura pătratului din arie: $l=\sqrt{A}$; o dimensiune a dreptunghiului din arie: $l=\frac{A}{L}$.
• Unitățile de arie merg din 100 în 100: $1{\text{cm}}^2=100{\text{mm}}^2$, $1{\text{dm}}^2=100{\text{cm}}^2$, $1{\text{m}}^2=100{\text{dm}}^2=10000{\text{cm}}^2$.
• Aria se exprimă mereu într-o unitate pătrată și nu se confundă cu perimetrul.

Greșeli frecvente

• Confuzia „100 în loc de 10 000". La transformarea din ${\text{m}}^2$ în ${\text{cm}}^2$ mulți înmulțesc cu $100$, ca la lungimi. Corect este $\times 10000$, pentru că fiecare treaptă la arii valorează $100$, iar de la ${\text{m}}^2$ la ${\text{cm}}^2$ sunt două trepte. Amintește-ți: aria are „două direcții", deci factorul se ridică la pătrat.
• Amestecarea unităților în aceeași înmulțire. Nu poți face direct $2\text{m}\cdot 50\text{cm}$. Transformă întâi ambele dimensiuni în aceeași unitate, apoi înmulțește.
• Confuzia arie–perimetru. Perimetrul se măsoară în $\text{cm}$, $\text{m}$ (lungime), aria în ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$ (suprafață). Dacă rezultatul cerut e o suprafață, unitatea trebuie să fie pătrată.
• „Dublez latura, dublez aria". Fals: dacă latura crește de $k$ ori, aria crește de $k^2$ ori. La pătrat, $l\to 2l$ înseamnă $A\to 4A$.

Aplică acasă

1. Măsoară o cameră. Cu o ruletă, măsoară lungimea și lățimea camerei tale (în metri, cu o zecimală). Calculează aria podelei cu $A=L\cdot l$. Apoi caută pe o etichetă de parchet sau gresie câți metri pătrați acoperă o cutie și estimează câte cutii ar fi necesare.

2. Gresia din baie sau bucătărie. Alege o zonă acoperită cu plăci pătrate. Măsoară latura unei plăci (în cm), calculează aria unei plăci ($A=l^2$), apoi numără plăcile de pe un perete și estimează aria totală acoperită. Verifică-ți estimarea măsurând direct peretele.

3. De la arie la latură. Ia o coală A4 (are aproximativ $624{\text{cm}}^2$). Imaginează-ți un pătrat cu aceeași arie. Calculează latura lui, $l=\sqrt{624}$, aproximând la o zecimală, și compar-o cu dimensiunile reale ale colii. E mai lată sau mai îngustă decât un pătrat de aceeași suprafață?

Pentru părinți și profesori

Această lecție construiește o legătură puternică între algebră (puterile și radicalii) și geometrie (aria). Ideea-cheie pe care merită s-o consolidați împreună este că „$l^2$" nu este doar o operație abstractă, ci chiar aria pătratului cu latura $l$ — de aici și numele „la pătrat". Reciproc, rădăcina pătrată a ariei dă latura.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „De ce $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$ și nu $100{\text{cm}}^2$?" (Răspunsul corect arată că elevul a înțeles că factorul de la lungimi se ridică la pătrat la arii.)
• „Dacă mărești latura unui pătrat de 3 ori, de câte ori crește aria?" (Răspuns: de 9 ori — testează înțelegerea profundă, nu memorarea formulei.)
• „Cum afli latura unui pătrat dacă știi aria?" (Trebuie să răspundă $l=\sqrt{A}$.)

Semne că elevul a înțeles: scrie mereu unitatea de măsură pătrată la rezultat, transformă corect unitățile înainte de a înmulți și nu confundă aria cu perimetrul. Dacă întâmpină dificultăți la transformări, reluați „scara ariilor" (câte două zerouri pe treaptă) și verificați cu desene pe hârtie de matematică.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei dreptunghiului la clasa a 7-a? Aria dreptunghiului este $A=L\cdot l$, adică lungimea înmulțită cu lățimea, cele două fiind exprimate în aceeași unitate de măsură. Rezultatul se dă într-o unitate pătrată, de exemplu ${\text{cm}}^2$ sau ${\text{m}}^2$.

Cum se calculează aria pătratului la clasa a 7-a? Aria pătratului este $A=l^2$, adică latura ridicată la pătrat, pentru că pătratul este un dreptunghi cu lungimea egală cu lățimea. De exemplu, un pătrat cu latura de $5\text{cm}$ are aria $5^2=25{\text{cm}}^2$.

Cum afli latura pătratului dacă știi aria? Extragi rădăcina pătrată a ariei: $l=\sqrt{A}$. De exemplu, dacă aria este $36{\text{cm}}^2$, latura este $\sqrt{36}=6\text{cm}$. Dacă aria nu este pătrat perfect, latura rămâne un radical (de exemplu $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$).

De ce $1{\text{m}}^2$ nu este egal cu $100{\text{cm}}^2$? Pentru că la arii lucrezi în două direcții. Un pătrat de $1\text{m}$ latură are latura egală cu $100\text{cm}$, deci în el încap $100\cdot 100=10000$ pătrate de $1{\text{cm}}^2$. Astfel $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$.

Care e diferența dintre arie și perimetru? Perimetrul măsoară lungimea conturului figurii (în $\text{cm}$, $\text{m}$), iar aria măsoară suprafața din interior (în ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$). Un dreptunghi de $6\times 4$ are perimetrul $2(6+4)=20\text{cm}$ și aria $6\cdot 4=24{\text{cm}}^2$ — sunt mărimi complet diferite.

Cum transform unitățile de măsură pentru arie? La fiecare treaptă (de la ${\text{mm}}^2$ la ${\text{cm}}^2$ la ${\text{dm}}^2$ la ${\text{m}}^2$) înmulțești cu $100$ când cobori spre unități mai mici și împarți la $100$ când urci spre unități mai mari. De aceea $1{\text{dm}}^2=100{\text{cm}}^2$ și $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$.

Ce se întâmplă cu aria dacă dublez latura pătratului? Aria devine de patru ori mai mare, nu de două ori. Dacă latura crește de $k$ ori, aria crește de $k^2$ ori, pentru că $(k\cdot l{)}^2=k^2\cdot l^2$. La dublare, $k=2$, deci aria se mărește de $2^2=4$ ori.

Trebuie ca lungimea și lățimea să fie în aceeași unitate? Da, obligatoriu. Înainte de a înmulți, transformă ambele dimensiuni într-o singură unitate de măsură. De exemplu, la $2\text{m}$ pe $50\text{cm}$ transformi $2\text{m}=200\text{cm}$ și abia apoi calculezi $A=200\cdot 50=10000{\text{cm}}^2$.