Aria paralelogramului (deducere din aria dreptunghiului)

Ai învățat deja să calculezi aria dreptunghiului și a pătratului — două figuri „cuminți", cu colțuri drepte, ușor de măsurat. Dar lumea din jur nu e făcută numai din dreptunghiuri: un acoperiș înclinat, o parcelă de teren strâmbă, un panou publicitar oblic sau o piesă dintr-un joc de tangram au adesea forma unui paralelogram. Cum afli câtă vopsea îți trebuie pentru o astfel de suprafață, dacă ea nu are unghiuri drepte? Vestea bună este că nu trebuie să memorezi o formulă nouă, complicată: vei deduce aria paralelogramului pornind chiar de la aria dreptunghiului, printr-un truc simplu de decupare și recompunere. La final vei ști de ce formula ariei paralelogramului este $A = b \cdot h$ și, mai ales, cum să o folosești corect.

Ce vei învăța

Vei ști să explici cum se obține formula ariei paralelogramului pornind de la aria dreptunghiului, prin decupare și recompunere.
Vei ști să identifici corect baza și înălțimea corespunzătoare într-un paralelogram, evitând confuzia cu latura oblică.
Vei ști să calculezi aria paralelogramului cu formula $A = b \cdot h$ .
Vei ști să afli o înălțime sau o bază necunoscută atunci când cunoști aria și celălalt element.
Vei ști să alegi perechea potrivită bază–înălțime, știind că într-un paralelogram există două perechi posibile.

Hai să descoperim împreună

1. Reamintim elementele paralelogramului

Un paralelogram este un patrulater cu laturile opuse paralele și congruente (egale). L-ai studiat în lecția despre paralelogram. Acum ne interesează două elemente noi, legate de măsurarea suprafeței lui: baza și înălțimea.

Fie paralelogramul $A B C D$ , cu laturile $A B ∥ C D$ și $A D ∥ B C$ .

Baza este oricare dintre laturi, aleasă drept „suport" pe care așezăm figura. De obicei alegem latura de jos, de exemplu $A B$ , și o notăm cu $b$ .

Înălțimea corespunzătoare bazei $A B$ este distanța dintre cele două laturi paralele $A B$ și $C D$ . Practic, este lungimea unui segment perpendicular dus dintr-un vârf de sus (de pe latura $C D$ ) până pe dreapta bazei $A B$ . O notăm cu $h$ .

Foarte important: înălțimea NU este latura oblică $A D$ ! Latura oblică este mai lungă decât distanța perpendiculară dintre cele două paralele. Înălțimea este întotdeauna perpendiculară pe bază. Ține minte această idee, pentru că este cea mai frecventă greșeală la această lecție.

O analogie: imaginează-ți un teanc de cărți pe care îl împingi ușor într-o parte, astfel încât se înclină. Cărțile alunecă una peste alta, marginea devine oblică — dar înălțimea teancului (cât de sus ajunge, măsurat pe verticală) rămâne aceeași. Latura oblică pe care o vezi acum este mai lungă, însă înălțimea reală este tot distanța verticală. Exact așa e și cu paralelogramul.

2. Ideea genială: transformăm paralelogramul într-un dreptunghi

Cum aflăm aria unei figuri oblice? Ideea de bază în geometrie este: dacă nu știm să calculăm ceva direct, îl transformăm în ceva ce știm deja. Iar noi știm deja aria dreptunghiului din lecția precedentă: $A_{dreptunghi} = L \cdot l (lungime \times l \overset{a}{˘} ț ime) .$

Hai să transformăm paralelogramul într-un dreptunghi cu aceeași arie. Procedeul se numește decupare și recompunere.

Pasul 1. Luăm paralelogramul $A B C D$ cu baza $A B$ . Din vârful $D$ coborâm perpendiculara $D E$ pe baza $A B$ ( $E$ pe segmentul $A B$ ). Se formează un triunghi dreptunghic $A D E$ în stânga figurii.

Pasul 2. Decupăm (cu foarfeca imaginară) acest triunghi $A D E$ și îl mutăm în partea dreaptă a figurii. Îl alunecăm exact cât ține lungimea bazei, astfel încât latura $A D$ să se suprapună peste latura $B C$ . De ce se potrivesc perfect? Pentru că într-un paralelogram $A D = B C$ (laturi opuse congruente) și $A D ∥ B C$ , deci triunghiul mutat se așază fix pe locul din dreapta.

Pasul 3. Ce am obținut? Un dreptunghi! Baza lui este tot $A B = b$ (lungimea nu s-a schimbat), iar înălțimea lui este exact $D E = h$ (distanța dintre cele două paralele).

Am tăiat o bucată dintr-o parte și am pus-o în cealaltă parte — nu am adăugat și nu am aruncat nimic. Prin urmare, aria s-a păstrat neschimbată: $A_{paralelogram} = A_{dreptunghi ob ț inut} .$

Iar aria dreptunghiului obținut este baza înmulțită cu înălțimea, adică $b \cdot h$ . De aici rezultă formula:

$A_{paralelogram} = b \cdot h$

unde $b$ este lungimea unei baze, iar $h$ este înălțimea corespunzătoare acelei baze.

Nu e uimitor? Un paralelogram înclinat și dreptunghiul „drept" cu aceeași bază și aceeași înălțime au exact aceeași arie. Diferența de formă e doar aparentă: e ca și cum ai muta o felie de tort dintr-o parte în alta — cantitatea de tort rămâne aceeași.

3. Formula, în cuvinte și în simboluri

Reținem clar:

$A = b \cdot h$

$A$ = aria paralelogramului;
$b$ = baza (lungimea unei laturi);
$h$ = înălțimea corespunzătoare acelei baze (distanța perpendiculară până la latura paralelă).

Ca la orice arie, unitatea de măsură este o unitate la pătrat: dacă $b$ și $h$ sunt în centimetri, aria iese în $cm^{2}$ ; dacă sunt în metri, aria iese în $m^{2}$ ; și așa mai departe.

Atenție la o condiție esențială: baza și înălțimea trebuie să „meargă împreună". Adică $h$ trebuie să fie înălțimea care corespunde exact bazei $b$ pe care ai ales-o. Nu poți lua baza de jos și înălțimea care corespunde laturii oblice — ar fi ca și cum ai măsura lungimea unei mese și lățimea altei mese.

4. Două perechi bază–înălțime în același paralelogram

Iată o observație importantă și utilă: un paralelogram are două perechi de laturi paralele, deci putem alege drept bază oricare dintre ele. Prin urmare, există două perechi diferite de tip bază–înălțime.

Fie paralelogramul $A B C D$ cu $A B = 8$ cm și $B C = 5$ cm.

Prima alegere: baza $b_{1} = A B = 8$ cm, cu înălțimea $h_{1}$ dusă între laturile $A B$ și $C D$ .
A doua alegere: baza $b_{2} = B C = 5$ cm, cu înălțimea $h_{2}$ dusă între laturile $B C$ și $A D$ .

Deși alegerile sunt diferite, aria este aceeași figură, deci același număr! Asta ne dă o relație foarte utilă: $A = b_{1} \cdot h_{1} = b_{2} \cdot h_{2} .$

Cu alte cuvinte: $b_{1} \cdot h_{1} = b_{2} \cdot h_{2}$ . Baza mai mare are înălțimea mai mică și invers — produsul rămâne constant. Vom folosi această idee într-unul dintre exemplele rezolvate, ca să aflăm o a doua înălțime fără să știm unghiurile.

5. Cazul particular: dreptunghiul este și el un paralelogram

Merită observat că formula $A = b \cdot h$ este o generalizare a celei de la dreptunghi, nu o formulă complet nouă. De ce? Pentru că dreptunghiul este un paralelogram particular (are laturile opuse paralele). La un dreptunghi, laturile fiind perpendiculare, înălțimea coincide cu latura vecină. Astfel $h$ devine chiar lățimea, iar $b \cdot h$ devine $L \cdot l$ , formula pe care o știai deja.

Deci nu ai de memorat două lucruri separate: dreptunghiul este doar cazul „drept" al paralelogramului, unde latura oblică s-a îndreptat și a devenit chiar înălțimea.

6. De unde știm valoarea înălțimii?

În probleme, înălțimea îți este dată în una din următoarele forme:

direct, ca număr (de exemplu „înălțimea de 6 cm");
printr-un desen cu un segment perpendicular marcat cu unghi drept;
printr-un calcul dintr-un triunghi dreptunghic (folosind teorema lui Pitagora sau trigonometrie — dar acestea apar în lecțiile ce urmează, deci acum ți se va da înălțimea gata calculată).

Regula ta de aur în această lecție: caută întotdeauna segmentul perpendicular pe bază. Acela, și numai acela, este înălțimea. Latura oblică poate fi o „momeală" în enunț — nu o folosi drept înălțime.

7. De ce funcționează întotdeauna decuparea? O justificare mai atentă

Poate te întrebi: „Bine, a mers pentru desenul ăsta, dar dacă paralelogramul e foarte înclinat?" Este o întrebare excelentă și merită un răspuns clar, pentru că un matematician nu se mulțumește cu „a mers o dată".

Ideea de bază rămâne aceeași, indiferent cât de înclinat e paralelogramul: coborâm o perpendiculară din vârful de sus pe dreapta bazei și mutăm partea „în plus" dintr-un capăt în celălalt. Ce se păstrează la fiecare mutare?

Baza $b$ nu se modifică, pentru că mutăm bucata orizontal, exact cât ține lungimea bazei, iar $A D = B C$ (laturi opuse congruente).
Înălțimea $h$ nu se modifică, pentru că bucata mutată păstrează aceeași înălțime — o alunecăm lateral, nu o ridicăm și nici nu o coborâm.
Aria nu se modifică, pentru că nu tăiem nimic în plus și nu adăugăm nimic; doar rearanjăm bucățile aceleiași figuri.

Această idee — „aceeași bucată, altă poziție, aceeași arie" — este un principiu foarte puternic în geometrie și îl vei folosi din nou la lecțiile următoare, când vei deduce aria triunghiului tot pornind de la paralelogram, sau aria trapezului. Practic, toate formulele de arii ale figurilor cu laturi drepte se sprijină, în cascadă, pe aria dreptunghiului. Dreptunghiul este „cărămida" din care se construiește totul.

8. Un truc de verificare rapidă

Ori de câte ori calculezi aria unui paralelogram, fă un test mental de bun-simț: aria paralelogramului trebuie să fie mai mică decât produsul bazei cu latura oblică (pentru că înălțimea e mereu mai mică decât latura oblică, la un paralelogram care nu e dreptunghi). Dacă rezultatul tău iese egal cu baza înmulțită cu latura oblică, cel mai probabil ai confundat înălțimea cu latura — reia și caută segmentul perpendicular.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aria când cunoști baza și înălțimea

Un paralelogram are baza de $12$ cm și înălțimea corespunzătoare de $7$ cm. Calculează aria.

Rezolvare. Aplicăm direct formula: $A = b \cdot h = 12 \cdot 7 = 84 cm^{2} .$

Răspuns: aria paralelogramului este $84 cm^{2}$ . Simplu, atâta timp cât înălțimea dată este chiar cea perpendiculară pe bază.

Exemplul 2 — Atenție la „momeala" cu latura oblică

Un paralelogram $A B C D$ are baza $A B = 10$ cm, latura oblică $A D = 6$ cm, iar înălțimea dusă pe baza $A B$ este $h = 4, 8$ cm. Care este aria?

Rezolvare. Enunțul îți dă trei numere, dar în formulă intră numai baza și înălțimea corespunzătoare ei. Latura oblică $A D = 6$ cm este acolo doar ca să te încurce. $A = b \cdot h = 10 \cdot 4, 8 = 48 cm^{2} .$

Răspuns: $48 cm^{2}$ . Dacă ai fi înmulțit greșit $10 \cdot 6 = 60$ , ai fi folosit latura oblică în loc de înălțime — exact greșeala pe care o evităm.

Exemplul 3 — Aflarea înălțimii când cunoști aria și baza

Aria unui paralelogram este $A = 90 cm^{2}$ , iar una dintre baze are $15$ cm. Cât este înălțimea corespunzătoare acelei baze?

Rezolvare. Pornim de la formulă și o „întoarcem". Dacă $A = b \cdot h$ , atunci împărțim ambii membri la $b$ : $h = \frac{A}{b} = \frac{90}{15} = 6 cm .$

Verificare: $b \cdot h = 15 \cdot 6 = 90 cm^{2}$ . Corect.

Răspuns: înălțimea este $6$ cm.

Exemplul 4 — Aflarea unei baze când cunoști aria și înălțimea

Un panou publicitar în formă de paralelogram are aria de $2, 4 m^{2}$ și înălțimea de $1, 5$ m. Ce lungime are baza pe care se sprijină?

Rezolvare. De data aceasta necunoscuta este baza. Din $A = b \cdot h$ obținem, împărțind la $h$ : $b = \frac{A}{h} = \frac{2 , 4}{1 , 5} = 1, 6 m .$

Verificare: $1, 6 \cdot 1, 5 = 2, 4 m^{2}$ . Corect.

Răspuns: baza are $1, 6$ m.

Exemplul 5 — Cele două perechi bază–înălțime

Într-un paralelogram $M N P Q$ , latura $M N = 12$ cm are înălțimea corespunzătoare $h_{1} = 5$ cm. Latura vecină $N P$ are $8$ cm. Află înălțimea $h_{2}$ corespunzătoare bazei $N P$ .

Rezolvare. Mai întâi calculăm aria folosind perechea pe care o cunoaștem complet: $A = M N \cdot h_{1} = 12 \cdot 5 = 60 cm^{2} .$

Aria este a aceleiași figuri, deci și cu a doua pereche trebuie să obținem $60 cm^{2}$ : $A = N P \cdot h_{2} \Rightarrow 60 = 8 \cdot h_{2} \Rightarrow h_{2} = \frac{60}{8} = 7, 5 cm .$

Răspuns: $h_{2} = 7, 5$ cm. Observă: baza mai mică ( $8 < 12$ ) are înălțimea mai mare ( $7, 5 > 5$ ), pentru ca produsul să rămână $60$ .

Exemplul 6 — Problemă aplicată cu îngrășământ

O parcelă de gazon are forma unui paralelogram cu baza de $25$ m și înălțimea de $18$ m. Un sac de îngrășământ acoperă $50 m^{2}$ . Câți saci sunt necesari pentru toată parcela?

Rezolvare. Calculăm mai întâi aria parcelei: $A = b \cdot h = 25 \cdot 18 = 450 m^{2} .$

Apoi împărțim la suprafața acoperită de un sac: $450 : 50 = 9 saci .$

Răspuns: sunt necesari $9$ saci de îngrășământ.

Exemplul 7 — Latura devine bază, dar înălțimea se schimbă

Un paralelogram are aria de $84 cm^{2}$ . Dacă îl așezăm pe baza de $14$ cm, ce înălțime are? Dar dacă îl așezăm pe baza vecină, de $12$ cm?

Rezolvare. Aceeași figură, două alegeri de bază.

Pentru baza de $14$ cm: $h = \frac{A}{b} = \frac{84}{14} = 6 cm .$

Pentru baza de $12$ cm: $h = \frac{A}{b} = \frac{84}{12} = 7 cm .$

Răspuns: înălțimile sunt $6$ cm, respectiv $7$ cm. Verificăm relația $b_{1} h_{1} = b_{2} h_{2}$ : $14 \cdot 6 = 84$ și $12 \cdot 7 = 84$ . Egale — corect.

Exemplul 8 — Comparăm două paralelograme

Paralelogramul $P_{1}$ are baza $18$ cm și înălțimea $5$ cm. Paralelogramul $P_{2}$ are baza $9$ cm și înălțimea $10$ cm. Care are aria mai mare?

Rezolvare. Calculăm ambele arii și le comparăm. $A_{1} = 18 \cdot 5 = 90 cm^{2}, A_{2} = 9 \cdot 10 = 90 cm^{2} .$

Răspuns: ariile sunt egale, ambele $90 cm^{2}$ ! Deși figurile arată foarte diferit (una lată și scundă, cealaltă îngustă și înaltă), au aceeași suprafață. Aceasta arată clar că forma unei figuri nu îi determină singură aria — contează produsul bază $\times$ înălțime.

Exemplul 9 — Cum se schimbă aria când mărim dimensiunile

Un paralelogram are baza $b$ și înălțimea $h$ . Dacă păstrăm baza și triplăm înălțimea, cum se schimbă aria?

Rezolvare. Aria inițială este $A = b \cdot h$ . Dacă înălțimea devine $3 h$ , atunci noua arie este: $A^{'} = b \cdot (3 h) = 3 \cdot (b \cdot h) = 3 A .$

Răspuns: aria se triplează. În general, dacă înmulțești înălțimea cu un număr (păstrând baza), aria se înmulțește cu același număr. La fel se întâmplă dacă mărești baza păstrând înălțimea. Aria este direct proporțională cu fiecare dintre cele două dimensiuni.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată formula folosită, apoi calculul, apoi unitatea de măsură corectă.

1. Calculează aria paralelogramului cu baza $9$ cm și înălțimea $6$ cm.

2. Un paralelogram are baza $15$ cm și înălțimea $8$ cm. Cât este aria?

3. Aria unui paralelogram este $72 cm^{2}$ , iar baza este $12$ cm. Află înălțimea corespunzătoare.

4. Un paralelogram are aria $56 m^{2}$ și înălțimea $7$ m. Cât este baza?

5. Baza unui paralelogram este $2, 5$ m, iar înălțimea $1, 2$ m. Calculează aria (în $m^{2}$ ).

6. Un paralelogram $A B C D$ are baza $A B = 20$ cm, latura oblică $A D = 13$ cm și înălțimea pe $A B$ egală cu $12$ cm. Care este aria? (Atenție la ce dat folosești!)

7. (Adevărat sau fals, cu motivare) „Într-un paralelogram, înălțimea este întotdeauna egală cu una dintre laturi." Adevărat sau fals? Justifică.

8. Un paralelogram are latura $M N = 10$ cm cu înălțimea corespunzătoare $6$ cm, iar latura $N P = 8$ cm. Află înălțimea corespunzătoare laturii $N P$ .

9. Aria unui paralelogram este $48 cm^{2}$ . Dacă îl așezăm pe baza de $16$ cm, ce înălțime are?

10. Un teren în formă de paralelogram are baza $40$ m și înălțimea $28$ m. Câți metri pătrați de gazon trebuie cumpărați pentru a-l acoperi complet?

11. (Raționament) Două paralelograme au aceeași bază de $10$ cm. Primul are înălțimea $6$ cm, al doilea are înălțimea $9$ cm. Cu cât este mai mare aria celui de-al doilea față de a primului?

12. Un paralelogram are aria $150 cm^{2}$ și baza $25$ cm. Un al doilea paralelogram are aceeași arie, dar baza de $30$ cm. Care are înălțimea mai mare și cu cât?

13. (Adevărat sau fals, cu motivare) „Dacă păstrezi baza neschimbată și dublezi înălțimea, aria paralelogramului se dublează." Adevărat sau fals? Justifică printr-un exemplu numeric.

14. (Problemă aplicată) Un perete are forma unui paralelogram cu baza $6$ m și înălțimea $3, 5$ m. O cutie de vopsea acoperă $7 m^{2}$ . Câte cutii sunt necesare pentru un singur strat de vopsea?

15. (Desenează) Construiește pe caiet un paralelogram cu baza $7$ cm și înălțimea $4$ cm. Trasează înălțimea cu linie punctată și marchează unghiul drept. Apoi calculează aria figurii desenate.

16. Un paralelogram are baza $\frac{3}{4}$ m și înălțimea $\frac{2}{3}$ m. Calculează aria, exprimată ca fracție.

17. (Raționament invers) Aria unui paralelogram este $60 cm^{2}$ . Găsește trei perechi diferite (bază, înălțime) de numere naturale care pot da această arie.

18. (Problemă mai grea) Un paralelogram $A B C D$ are aria $96 cm^{2}$ și baza $A B = 16$ cm. Latura $B C = 10$ cm. Află înălțimea dusă pe baza $A B$ și înălțimea dusă pe baza $B C$ .

19. Un paralelogram are baza $2, 4$ dm și înălțimea $1, 5$ dm. Calculează aria în $dm^{2}$ , apoi transform-o în $cm^{2}$ (reține că $1 dm^{2} = 100 cm^{2}$ ).

20. (Raționament) Un paralelogram și un dreptunghi au aceeași bază de $12$ cm și aceeași înălțime de $8$ cm. Ce poți spune despre ariile lor? Justifică.

21. (Problemă aplicată) O piesă metalică în formă de paralelogram are baza $30$ cm și înălțimea $20$ cm. Din ea se decupează un pătrat cu latura de $10$ cm. Ce arie are piesa rămasă?

22. (Adevărat sau fals, cu motivare) „Două paralelograme cu aceeași arie au obligatoriu aceeași bază." Adevărat sau fals? Justifică cu un exemplu.

Răspunsuri și explicații

1. $A = b \cdot h = 9 \cdot 6 = 54 cm^{2} .$

2. $A = 15 \cdot 8 = 120 cm^{2} .$

3. $h = \frac{A}{b} = \frac{72}{12} = 6 cm .$ Verificare: $12 \cdot 6 = 72$ .

4. $b = \frac{A}{h} = \frac{56}{7} = 8 m .$ Verificare: $8 \cdot 7 = 56$ .

5. $A = 2, 5 \cdot 1, 2 = 3 m^{2} .$

6. Folosim baza și înălțimea corespunzătoare ei, nu latura oblică: $A = 20 \cdot 12 = 240 cm^{2} .$ (Numărul $13$ este momeală.)

7. Fals. Înălțimea este distanța perpendiculară dintre laturile paralele, nu o latură. Ea coincide cu o latură doar în cazul particular al dreptunghiului (și al pătratului). La un paralelogram oblic, înălțimea este strict mai mică decât latura oblică.

8. Mai întâi aria: $A = 10 \cdot 6 = 60 cm^{2} .$ Apoi $h_{2} = \frac{A}{N P} = \frac{60}{8} = 7, 5 cm .$

9. $h = \frac{48}{16} = 3 cm .$

10. $A = 40 \cdot 28 = 1120 m^{2} .$ Sunt necesari $1120 m^{2}$ de gazon.

11. Aria primului: $10 \cdot 6 = 60 cm^{2}$ ; a celui de-al doilea: $10 \cdot 9 = 90 cm^{2}$ . Diferența: $90 - 60 = 30 cm^{2}$ mai mare.

12. Primul: $h = \frac{150}{25} = 6 cm$ ; al doilea: $h = \frac{150}{30} = 5 cm$ . Primul (cu baza mai mică) are înălțimea mai mare, cu $6 - 5 = 1 cm$ .

13. Adevărat. Exemplu: baza $10$ cm, înălțimea $4$ cm dau $A = 40 cm^{2}$ . Dublăm înălțimea la $8$ cm: $A = 10 \cdot 8 = 80 cm^{2}$ , adică dublul. Aria este direct proporțională cu înălțimea când baza rămâne fixă.

14. $A = 6 \cdot 3, 5 = 21 m^{2} .$ Numărul de cutii: $21 : 7 = 3$ cutii.

15. Figura ta trebuie să aibă un segment perpendicular pe bază de $4$ cm marcat cu unghi drept. Aria: $A = 7 \cdot 4 = 28 cm^{2} .$

16. $A = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} m^{2} .$

17. Trebuie ca $b \cdot h = 60$ . De exemplu: $(10, 6)$ , $(12, 5)$ , $(15, 4)$ . (Sunt corecte și $(20, 3)$ , $(30, 2)$ , $(60, 1)$ etc. — orice pereche de numere naturale cu produsul $60$ .)

18. Aria e $96 cm^{2}$ . Înălțimea pe $A B = 16$ cm: $h_{1} = \frac{96}{16} = 6 cm$ . Înălțimea pe $B C = 10$ cm: $h_{2} = \frac{96}{10} = 9, 6 cm$ . Verificare cu relația celor două perechi: $16 \cdot 6 = 96$ și $10 \cdot 9, 6 = 96$ . Corect.

19. $A = 2, 4 \cdot 1, 5 = 3, 6 dm^{2} .$ Transformare: $3, 6 \cdot 100 = 360 cm^{2} .$

20. Ariile sunt egale: ambele se calculează cu $b \cdot h = 12 \cdot 8 = 96 cm^{2}$ . Formula ariei paralelogramului este aceeași cu cea a dreptunghiului (bază $\times$ înălțime), pentru că paralelogramul se transformă în dreptunghi cu aceeași bază și înălțime prin decupare și recompunere.

21. Aria paralelogramului: $30 \cdot 20 = 600 cm^{2}$ . Aria pătratului decupat: $10 \cdot 10 = 100 cm^{2}$ . Piesa rămasă: $600 - 100 = 500 cm^{2}$ .

22. Fals. Aria depinde de produsul bază $\times$ înălțime, nu de bază singură. De exemplu, un paralelogram cu baza $10$ cm și înălțimea $6$ cm are aria $60 cm^{2}$ , iar altul cu baza $12$ cm și înălțimea $5$ cm are tot $60 cm^{2}$ , deși bazele diferă.

De reținut

Formula ariei paralelogramului: $A = b \cdot h$ , adică bază înmulțită cu înălțimea corespunzătoare acelei baze.
Înălțimea este distanța perpendiculară dintre cele două laturi paralele — NU latura oblică.
Formula se deduce din aria dreptunghiului prin decupare și recompunere: mutăm triunghiul dintr-o parte în cealaltă și obținem un dreptunghi cu aceeași bază, aceeași înălțime, deci aceeași arie.
Din $A = b \cdot h$ scoatem: $h = \frac{A}{b}$ și $b = \frac{A}{h}$ .
Un paralelogram are două perechi bază–înălțime, dar aria este aceeași: $b_{1} \cdot h_{1} = b_{2} \cdot h_{2}$ .
Aria se exprimă întotdeauna în unități pătrate ( $cm^{2}$ , $m^{2}$ etc.).

Greșeli frecvente

Confuzia înălțime ↔ latură oblică. Cea mai des întâlnită greșeală: se înmulțește baza cu latura înclinată în loc de înălțime. Reține: în formulă intră doar segmentul perpendicular pe bază. Latura oblică e adesea pusă în enunț tocmai ca momeală.
Amestecarea perechilor. Iei baza dintr-o pereche și înălțimea din cealaltă. Baza și înălțimea trebuie să „meargă împreună": $h$ trebuie să corespundă exact bazei $b$ alese.
Uitarea unității pătrate. Aria nu se măsoară în cm, ci în $cm^{2}$ . Scrie mereu exponentul $^{2}$ la rezultat.
Împărțire greșită la aflarea unei necunoscute. Când cauți înălțimea, împarți aria la bază ( $h = A / b$ ); când cauți baza, împarți la înălțime ( $b = A / h$ ). Nu inversa. Verifică mereu prin înmulțire: $b \cdot h$ trebuie să dea aria inițială.

Aplică acasă

Măsoară o suprafață reală. Găsește prin casă un obiect în formă de paralelogram (un panou, o piesă de tangram, un romb decorativ, o etichetă oblică). Măsoară cu rigla o bază și înălțimea perpendiculară pe ea, apoi calculează aria. Compară cu rezultatul obținut alegând cealaltă bază — trebuie să iasă (aproximativ) aceeași arie.
Problema gazonului. Desenează pe hârtie o parcelă de grădină în formă de paralelogram, alege o bază și o înălțime realiste (în metri) și calculează câți saci de îngrășământ ai nevoie, știind că un sac acoperă $40 m^{2}$ .
Experimentul cu foarfeca. Decupează din carton un paralelogram, taie triunghiul de la un capăt și mută-l la celălalt capăt ca în lecție. Vei vedea cu ochii tăi cum se formează dreptunghiul cu aceeași arie — dovada practică a formulei.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, cheia înțelegerii nu este memorarea formulei, ci ideea de deducere: elevul trebuie să priceapă de ce $A = b \cdot h$ , nu doar să o rețină. Cel mai puternic sprijin este experimentul concret cu decuparea cartonului — vederea directă a transformării paralelogramului în dreptunghi fixează formula mult mai bine decât orice repetiție.

Întrebări bune de verificare:

„Arată-mi cu degetul care este înălțimea în desen." (Dacă arată latura oblică, aici e confuzia principală de corectat.)
„De ce aria paralelogramului este egală cu a unui dreptunghi?" (Răspunsul corect menționează mutarea triunghiului fără a adăuga sau pierde suprafață.)
„Dacă schimb baza, se schimbă aria?" (Răspuns corect: nu, aria e a aceleiași figuri; se schimbă doar înălțimea corespunzătoare.)

Semne că a înțeles: rezolvă corect exemplul cu „momeala" (latura oblică ignorată), calculează fluent o înălțime necunoscută prin $h = A / b$ și explică relația $b_{1} h_{1} = b_{2} h_{2}$ cu propriile cuvinte.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei paralelogramului la clasa a 7-a? Formula este $A = b \cdot h$ , adică baza înmulțită cu înălțimea corespunzătoare acelei baze. Înălțimea este distanța perpendiculară dintre cele două laturi paralele.

De ce aria paralelogramului este bază ori înălțime, la fel ca la dreptunghi? Pentru că orice paralelogram poate fi transformat, prin decupare și recompunere, într-un dreptunghi cu aceeași bază și aceeași înălțime. Mutăm un triunghi dintr-un capăt în celălalt, fără a adăuga sau pierde suprafață, deci aria rămâne $b \cdot h$ .

Ce este înălțimea unui paralelogram și cum o recunosc? Înălțimea este segmentul perpendicular dus dintr-un vârf pe latura opusă (sau pe prelungirea ei). O recunoști după unghiul drept marcat la bază. Nu este latura oblică a paralelogramului.

Pot folosi latura oblică drept înălțime? Nu. Latura oblică este mai lungă decât distanța perpendiculară dintre laturile paralele. Dacă o folosești, obții o arie mai mare decât cea reală. În formulă intră doar segmentul perpendicular pe bază.

Cum aflu înălțimea dacă știu aria și baza? Împarți aria la bază: $h = \frac{A}{b}$ . De exemplu, dacă aria este $72 cm^{2}$ și baza $12$ cm, atunci $h = 72 : 12 = 6$ cm.

Un paralelogram are o singură înălțime? Nu, are două înălțimi diferite, câte una pentru fiecare pereche de laturi paralele. Aria calculată cu oricare dintre perechi este însă aceeași: $b_{1} \cdot h_{1} = b_{2} \cdot h_{2}$ .

Aria paralelogramului se schimbă dacă îl înclin mai mult? Doar dacă înclinarea modifică înălțimea. Dacă păstrezi baza și înălțimea (distanța dintre paralele) constante, aria rămâne aceeași, oricât de oblic ar arăta. Dacă înclini figura astfel încât înălțimea scade, aria scade.

În ce unitate se măsoară aria unui paralelogram? În unități pătrate: dacă lungimile sunt în centimetri, aria este în $cm^{2}$ ; dacă sunt în metri, aria este în $m^{2}$ . Scrie întotdeauna exponentul $^{2}$ la rezultat.