Perimetre și probleme aplicative cu arii

Când vrei să împrejmuiești o grădină cu gard, te interesează cât de lung este conturul terenului — adică perimetrul. Când vrei să acoperi podeaua cu gresie sau să semeni gazon pe o suprafață, te interesează cât de întinsă este suprafața — adică aria. Aceste două mărimi apar peste tot în viața reală: la construcții, la amenajări, la citirea unui plan sau a unei hărți. În această lecție de perimetre și arii pentru clasa a 7-a vei învăța să combini tot ce știi despre patrulatere și triunghi ca să rezolvi probleme practice: cât gard îți trebuie, câtă vopsea cumperi, cât costă gresia pentru o cameră și cum afli aria unei figuri „ciudate", care nu seamănă cu nimic din formulele standard.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi perimetrul patrulaterelor și al triunghiului pornind de la datele problemei.
• Vei ști să recunoști și să aplici corect formulele de arie pentru dreptunghi, pătrat, paralelogram, romb, triunghi și trapez.
• Vei ști să determini aria unei figuri compuse prin descompunere (sumă de arii) sau prin recompunere (diferență de arii).
• Vei ști să modelezi și să rezolvi probleme practice de gard, gresie, vopsea, gazon, planuri și hărți.
• Vei ști să folosești o ecuație liniară sau o ecuație de forma $x^2=a$ pentru a afla o latură necunoscută dintr-o problemă cu perimetru sau arie.

Hai să descoperim împreună

1. Perimetrul: lungimea conturului

Perimetrul unei figuri geometrice este suma lungimilor tuturor laturilor ei. Îl notăm cu litera $P$ și se măsoară în unități de lungime: metri (m), centimetri (cm), milimetri (mm) etc.

Ideea de bază este foarte simplă: dacă ai o furnică ce pornește dintr-un vârf și merge de-a lungul laturilor până se întoarce de unde a plecat, distanța parcursă de ea este exact perimetrul. Hai să scriem formulele pentru fiecare figură pe care ai studiat-o.

Triunghiul cu laturile $a$, $b$, $c$: $$P=a+b+c$$ Dacă triunghiul este echilateral (toate laturile egale cu $\ell$), atunci $P=3\ell$. Dacă este isoscel cu laturile egale $\ell$ și baza $b$, atunci $P=2\ell +b$.

Dreptunghiul cu lungimea $L$ și lățimea $l$: $$P=2(L+l)$$ De ce? Un dreptunghi are laturile opuse egale: două laturi de lungime $L$ și două de lungime $l$. Deci $P=L+l+L+l=2L+2l=2(L+l)$.

Pătratul cu latura $\ell$: fiindcă toate cele patru laturi sunt egale, $$P=4\ell$$

Paralelogramul cu laturile $a$ și $b$: laturile opuse sunt egale, deci $$P=2(a+b)$$

Rombul cu latura $\ell$: rombul are toate laturile egale (este un paralelogram cu laturi congruente), deci $$P=4\ell$$ Atenție: diagonalele rombului NU intră în perimetru! Perimetrul se calculează doar din laturi.

Trapezul cu bazele $B$ (baza mare) și $b$ (baza mică) și laturile neparalele $c$ și $d$: $$P=B+b+c+d$$ La un trapez isoscel, laturile neparalele sunt egale ($c=d$), deci $P=B+b+2c$.

Reține regula generală, valabilă pentru orice poligon: aduni toate laturile, indiferent de figură. Formulele de mai sus sunt doar scurtături pentru cazurile în care unele laturi sunt egale.

2. Recapitulare rapidă a formulelor de arie

Aria măsoară cât de întinsă este o suprafață. O notăm cu $\mathcal{A}$ și se măsoară în unități pătratice: metri pătrați (${\text{m}}^2$), centimetri pătrați (${\text{cm}}^2$) etc. Ai dedus fiecare formulă în lecțiile anterioare; aici le strângem la un loc, pentru că într-o problemă aplicativă trebuie să le ai pe toate la degetul mic.

Pentru romb ai de fapt două formule de arie: cea cu diagonalele, $\mathcal{A}=\frac{d_1{d}_2}{2}$, și cea de paralelogram, $\mathcal{A}=\ell \cdot h$ (latura înmulțită cu înălțimea). Le alegi în funcție de datele problemei. Dacă știi diagonalele, folosești prima; dacă știi latura și înălțimea, o folosești pe a doua.

Atenție la unitățile de măsură. Perimetrul se măsoară în unități simple (m, cm), iar aria în unități pătratice (${\text{m}}^2$, ${\text{cm}}^2$). Nu confunda niciodată un metru cu un metru pătrat: primul e o lungime, al doilea e o suprafață.

Și mai important: la transformarea unităților de arie, factorul se ridică la pătrat. Fiindcă $1\text{m}=100\text{cm}$, avem: $$1{\text{m}}^2=100\text{cm}\cdot 100\text{cm}=10000{\text{cm}}^2$$ Pentru suprafețe mari de teren se folosesc arul și hectarul: $1\text{ar}=100{\text{m}}^2$, iar $1\text{ha}=100\text{ari}=10000{\text{m}}^2$ (un hectar). Aceste transformări apar des în problemele cu terenuri.

3. Aria unei figuri compuse: descompunere și recompunere

Multe suprafețe din realitate nu sunt un simplu dreptunghi sau un simplu triunghi. Gândește-te la conturul unei case văzute din față: un dreptunghi (peretele) cu un triunghi deasupra (acoperișul). Sau la o cameră în formă de „L". Pentru astfel de figuri compuse, folosim o idee foarte puternică:

Aria unei figuri compuse este suma sau diferența ariilor unor figuri simple în care o descompunem.

Există două strategii, pe care le poți combina:

Strategia 1 — Descompunerea (aria ca SUMĂ). Tai figura complicată în figuri simple care nu se suprapun (dreptunghiuri, triunghiuri, trapeze) și aduni ariile lor.

Strategia 2 — Recompunerea (aria ca DIFERENȚĂ). Închizi figura într-una mai mare și simplă (de obicei un dreptunghi mare) și scazi părțile care „lipsesc".

Cum alegi strategia? Depinde de figură — alegerea inteligentă a descompunerii este chiar competența 5.4 din programă („alegerea reprezentărilor geometrice adecvate pentru optimizarea calculelor"). Uneori o figură se calculează mai ușor ca sumă, alteori ca diferență. Nu există o singură cale corectă; contează ca fiecare bucată să fie o figură simplă, cu dimensiuni pe care le poți afla din date.

Un sfat de aur: notează pe desen toate lungimile pe care le poți deduce. Dacă latura de sus a unei figuri în L are 8 m și segmentul din stânga sus are 3 m, atunci segmentul din dreapta sus are $8-3=5$ m. Aceste „scăderi de segmente" te ajută să afli dimensiunile bucăților în care ai tăiat figura.

4. Modelarea problemelor practice

O problemă „practică" ascunde întotdeauna o figură geometrică. Trucul e să traduci enunțul într-un desen și apoi să decizi: e vorba de perimetru sau de arie?

• Gard, bordură, tiv, panglică, plasă în jurul unui teren → PERIMETRU (măsori conturul).
• Gresie, parchet, vopsea, tapet, gazon, folie, tencuială → ARIE (acoperi o suprafață).

Apoi urmezi mereu aceiași pași:

1. Citește și fă un desen. Notează pe el toate datele.
2. Decide: perimetru sau arie? După cuvintele-cheie de mai sus.
3. Alege formula potrivită pentru figura din problemă.
4. Fii atent la unități — transformă totul în aceeași unitate înainte de calcul.
5. Calculează mărimea geometrică (P sau 𝒜).
6. Răspunde la întrebarea reală — de obicei un cost, un număr de cutii de vopsea sau de plăci de gresie.

Pentru costuri, folosești o înmulțire simplă: $$\text{cost}=(\text{ma˘rimea geometrica˘})\times (\text{prețul pe unitate})$$ De exemplu, cost gard $=P\times$ (preț pe metru), iar cost gresie $=\mathcal{A}\times$ (preț pe metru pătrat).

Uneori apare și o cantitate cu randament (cât acoperă o unitate de material). Dacă o cutie de vopsea acoperă $12{\text{m}}^2$ și ai de vopsit $50{\text{m}}^2$, împarți: $50:12=4,16\dots$, deci îți trebuie 5 cutii (rotunjești mereu în sus la materiale, pentru că 4 cutii nu ar ajunge).

5. Când latura este necunoscută: ecuații

Uneori nu ți se dă o latură, ci se dă perimetrul sau aria și trebuie să afli latura. Aici intervin ecuațiile pe care le-ai învățat la începutul anului.

Cazul perimetrului → ecuație liniară. Dacă știi perimetrul unui dreptunghi și o relație între laturi, scrii o ecuație de gradul I. De exemplu: „lungimea e cu 4 m mai mare decât lățimea, iar perimetrul e 28 m". Notezi lățimea cu $x$, lungimea e $x+4$, și scrii: $$2(x+(x+4))=28$$ Rezolvi ecuația liniară și afli $x$.

Cazul ariei unui pătrat → ecuație de forma $x^2=a$. Dacă un pătrat are aria $49{\text{m}}^2$ și vrei latura, scrii ${\ell }^2=49$. Fiindcă latura e o lungime pozitivă, $\ell =\sqrt{49}=7\text{m}$. Ai folosit exact ecuația $x^2=a$ studiată la radicali. Dacă aria nu e pătrat perfect — de pildă ${\ell }^2=20$ — atunci $\ell =\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{m}$, un număr real irațional, pe care îl poți lăsa sub formă de radical sau îl poți aproxima.

Cu aceste unelte — formulele de perimetru și arie, descompunerea figurilor și modelarea prin ecuații — poți rezolva aproape orice problemă aplicativă de la clasa a 7-a. Hai să le vedem la lucru.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cost de gard (perimetru + ecuație liniară)

Enunț. Un teren dreptunghiular are lungimea cu 12 m mai mare decât lățimea. Perimetrul terenului este de 140 m. Andrei vrea să împrejmuiască terenul cu gard, lăsând o poartă de 4 m fără gard. Un metru de gard costă 85 lei. Cât plătește Andrei pentru gard?

Rezolvare.

Pas 1 — Modelăm. Fie lățimea $x$ (în metri). Atunci lungimea este $x+12$.

Pas 2 — Scriem ecuația perimetrului: $$2(x+(x+12))=140$$ $$2(2x+12)=140$$ $$4x+24=140$$ $$4x=116⟹x=29$$

Deci lățimea este $29$ m, iar lungimea $29+12=41$ m.

Pas 3 — Verificare: $P=2(29+41)=2\cdot 70=140$ m. ✓

Pas 4 — Gardul acoperă perimetrul minus poarta: $140-4=136$ m de gard.

Pas 5 — Costul: $136\times 85=11560$ lei.

Răspuns: Andrei plătește 11 560 lei pentru gard.

Exemplul 2 — Gresie într-o cameră (arie + număr de plăci)

Enunț. O cameră dreptunghiulară are lungimea de 5 m și lățimea de 3,5 m. Vrem să o acoperim cu plăci de gresie pătrate cu latura de 50 cm. Câte plăci sunt necesare (fără a ține cont de pierderi)?

Rezolvare.

Pas 1 — Aria camerei: $\mathcal{A}=5\cdot 3,5=17,5{\text{m}}^2$.

Pas 2 — Aria unei plăci. Latura plăcii e $50\text{cm}=0,5\text{m}$, deci $${\mathcal{A}}_{\text{placa˘}}=0,5\cdot 0,5=0,25{\text{m}}^2.$$

Pas 3 — Numărul de plăci: împărțim aria camerei la aria unei plăci: $$17,5:0,25=70.$$

Răspuns: Sunt necesare 70 de plăci de gresie.

Observație: dacă rezultatul nu ar fi ieșit număr întreg, ai fi rotunjit în sus, pentru că plăcile se cumpără întregi și mai bine îți rămâne una decât să-ți lipsească.

Exemplul 3 — Vopsit un perete cu o fereastră (arie ca diferență)

Enunț. Un perete dreptunghiular are 6 m lungime și 2,8 m înălțime. În perete există o fereastră dreptunghiulară de 1,5 m pe 1,2 m și o ușă de 0,9 m pe 2 m. O cutie de vopsea acoperă $10{\text{m}}^2$. Câte cutii sunt necesare pentru a vopsi peretele (fără fereastră și ușă)?

Rezolvare.

Pas 1 — Aria totală a peretelui: ${\mathcal{A}}_{\text{perete}}=6\cdot 2,8=16,8{\text{m}}^2$.

Pas 2 — Aria ferestrei: $1,5\cdot 1,2=1,8{\text{m}}^2$.

Pas 3 — Aria ușii: $0,9\cdot 2=1,8{\text{m}}^2$.

Pas 4 — Aria de vopsit (recompunere ca diferență): $$\mathcal{A}=16,8-1,8-1,8=13,2{\text{m}}^2.$$

Pas 5 — Numărul de cutii: $13,2:10=1,32$. Rotunjim în sus → 2 cutii.

Răspuns: Sunt necesare 2 cutii de vopsea.

Exemplul 4 — Aria unei figuri compuse în formă de L (descompunere)

Enunț. O terasă are forma din desen: un poligon în formă de „L", cu dimensiunile exterioare de 9 m (lungime totală jos) și 6 m (înălțime totală în stânga). Decupajul din colțul dreapta-sus are 4 m lățime și 2 m înălțime. Care este aria terasei?

Rezolvare — metoda 1 (diferență).

Închidem figura într-un dreptunghi mare de $9\times 6$: $${\mathcal{A}}_{\text{mare}}=9\cdot 6=54{\text{m}}^2.$$ Scădem dreptunghiul decupat din colț, de $4\times 2$: $${\mathcal{A}}_{\text{decupat}}=4\cdot 2=8{\text{m}}^2.$$ $$\mathcal{A}=54-8=46{\text{m}}^2.$$

Rezolvare — metoda 2 (sumă), pentru verificare.

Împărțim L-ul printr-o linie orizontală. Partea de jos e un dreptunghi de $9\times 4$ (înălțimea $6-2=4$): $${\mathcal{A}}_1=9\cdot 4=36{\text{m}}^2.$$ Partea de sus e un dreptunghi de lățime $9-4=5$ și înălțime $2$: $${\mathcal{A}}_2=5\cdot 2=10{\text{m}}^2.$$ $$\mathcal{A}=36+10=46{\text{m}}^2.✓$$

Ambele metode dau același rezultat — un semn bun că am calculat corect.

Răspuns: Aria terasei este 46 ${\text{m}}^2$.

Exemplul 5 — Fațada unei case (dreptunghi + triunghi)

Enunț. Fațada unei căsuțe are forma unui dreptunghi cu un triunghi deasupra (acoperișul). Dreptunghiul are baza 8 m și înălțimea 5 m. Triunghiul-acoperiș are aceeași bază de 8 m și înălțimea de 3 m. Cât gazon artificial (în ${\text{m}}^2$) ne trebuie pentru a acoperi întreaga fațadă pe un panou publicitar de aceeași formă?

Rezolvare.

Pas 1 — Aria dreptunghiului: ${\mathcal{A}}_1=8\cdot 5=40{\text{m}}^2$.

Pas 2 — Aria triunghiului: ${\mathcal{A}}_2=\frac{8\cdot 3}{2}=\frac{24}{2}=12{\text{m}}^2$.

Pas 3 — Aria totală (descompunere ca sumă): $$\mathcal{A}=40+12=52{\text{m}}^2.$$

Răspuns: Sunt necesari 52 ${\text{m}}^2$ de gazon artificial.

Exemplul 6 — Plan la scară + ecuație $x^2=a$

Enunț. Pe un plan la scara $1:200$, o grădină pătrată apare ca un pătrat cu latura de 4 cm. (a) Ce arie reală are grădina? (b) Un grădinar spune că vrea o altă grădină pătrată, dar cu aria reală de $2500{\text{m}}^2$. Ce latură reală are aceasta?

Rezolvare.

(a) Scara $1:200$ înseamnă că $1$ cm pe plan = $200$ cm în realitate = $2$ m. Deci latura reală a grădinii este: $$4\text{cm}\times 200=800\text{cm}=8\text{m}.$$ Aria reală: $$\mathcal{A}=8^2=64{\text{m}}^2.$$

(b) Notăm latura reală cu $\ell$. Din $\mathcal{A}={\ell }^2$ obținem ecuația ${\ell }^2=2500$. Cum latura e pozitivă: $$\ell =\sqrt{2500}=50\text{m}.$$

Răspuns: (a) Grădina are aria reală de 64 ${\text{m}}^2$; (b) a doua grădină are latura de 50 m.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Fă un desen la fiecare problemă de geometrie și notează unitățile de măsură. Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu.

1. Calculează perimetrul unui triunghi cu laturile de 7 cm, 9 cm și 11 cm.

2. Un pătrat are latura de 15 cm. Cât este perimetrul lui? Dar aria?

3. Un dreptunghi are lungimea de 12 m și lățimea de 5 m. Calculează perimetrul și aria.

4. Un romb are latura de 8 cm. Cât este perimetrul lui? (Atenție: te ajută diagonalele la perimetru?)

5. Un romb are diagonalele de 6 cm și 10 cm. Calculează aria rombului.

6. Un trapez are bazele de 14 cm și 8 cm și înălțimea de 5 cm. Calculează aria trapezului.

7. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă două dreptunghiuri au același perimetru, atunci au și aceeași arie."

8. Un teren dreptunghiular are lungimea de 40 m și lățimea de 25 m. Cât costă împrejmuirea lui cu gard, dacă un metru de gard costă 60 lei?

9. O cameră pătrată are latura de 4 m. Vrem să acoperim podeaua cu parchet care costă 90 lei pe metru pătrat. Cât plătim pentru parchet?

10. Un paralelogram are baza de 10 cm și înălțimea corespunzătoare de 6 cm. Care este aria lui? Dacă cealaltă latură are 7 cm, care este perimetrul?

11. Perimetrul unui dreptunghi este de 36 cm, iar lungimea este dublul lățimii. Află lungimea, lățimea și aria dreptunghiului. (Indicație: scrie o ecuație liniară.)

12. Un pătrat are aria de $81{\text{m}}^2$. Ce latură are? Dar ce perimetru?

13. O figură are forma unui dreptunghi de 10 m pe 6 m din care s-a decupat un pătrat cu latura de 2 m dintr-un colț. Care este aria figurii rămase?

14. Fațada unei magazii are forma unui dreptunghi de 6 m pe 4 m cu un triunghi deasupra, de bază 6 m și înălțime 2,5 m. Calculează aria totală a fațadei.

15. O sală dreptunghiulară are 8 m lungime și 6 m lățime. Vrem s-o placăm cu gresie pătrată cu latura de 40 cm. Câte plăci sunt necesare?

16. Un pătrat are aria de $50{\text{cm}}^2$. Scrie latura lui sub formă de radical (scoate factorii de sub radical) și apoi aproximeaz-o cu o zecimală. (Amintește-ți lecția de ecuația de forma x² = a și pe cea de scoaterea factorilor de sub radical.)

17. O grădină are forma unui trapez cu bazele de 20 m și 12 m și înălțimea de 15 m. (a) Câți metri pătrați de gazon trebuie cumpărați? (b) Dacă gazonul costă 25 lei/${\text{m}}^2$, cât se plătește?

18. Un teren are forma din desen: un dreptunghi de 30 m pe 20 m, de care este alipit un triunghi dreptunghic având catetele de 20 m (latura comună cu dreptunghiul) și 15 m. Un fermier vrea să împrejmuiască întreg terenul cu gard (perimetrul figurii compuse) și să semene grâu pe toată suprafața. (a) Calculează aria totală a terenului. (b) Știind că latura înclinată a triunghiului (ipotenuza) are 25 m, calculează perimetrul întregului teren.

dreptunghi de 30 m pe 20 m cu un triunghi dreptunghic alipit pe latura din dreapta, cu catetele 20 m și 15 m și ipotenuza 25 m

Răspunsuri și explicații

1. $P=7+9+11=27\text{cm}$.

2. $P=4\cdot 15=60\text{cm}$; $\mathcal{A}=15^2=225{\text{cm}}^2$.

3. $P=2(12+5)=2\cdot 17=34\text{m}$; $\mathcal{A}=12\cdot 5=60{\text{m}}^2$.

4. Rombul are toate laturile egale, deci $P=4\cdot 8=32\text{cm}$. Diagonalele nu intră în perimetru — perimetrul depinde doar de laturi.

5. $\mathcal{A}=\frac{d_1{d}_2}{2}=\frac{6\cdot 10}{2}=\frac{60}{2}=30{\text{cm}}^2$.

6. $\mathcal{A}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(14+8)\cdot 5}{2}=\frac{22\cdot 5}{2}=\frac{110}{2}=55{\text{cm}}^2$.

7. Fals. Contraexemplu: un dreptunghi de $4\times 2$ are $P=12$ și $\mathcal{A}=8$; un pătrat de $3\times 3$ are tot $P=12$, dar $\mathcal{A}=9$. Perimetre egale, arii diferite. Perimetrul și aria sunt mărimi independente.

8. $P=2(40+25)=2\cdot 65=130$ m. Cost $=130\cdot 60=7800\text{lei}$.

9. $\mathcal{A}=4^2=16{\text{m}}^2$. Cost $=16\cdot 90=1440\text{lei}$.

10. $\mathcal{A}=b\cdot h=10\cdot 6=60{\text{cm}}^2$. Perimetrul: $P=2(10+7)=34\text{cm}$. (Atenție: în aria paralelogramului folosim înălțimea $h=6$, nu latura $7$!)

11. Fie lățimea $x$, lungimea $2x$. Ecuația: $2(x+2x)=36\Rightarrow 2\cdot 3x=36\Rightarrow 6x=36\Rightarrow x=6$. Deci lățimea $=6$ cm, lungimea $=12$ cm, aria $=12\cdot 6=72{\text{cm}}^2$. Verificare: $P=2(6+12)=36$ ✓.

12. ${\ell }^2=81\Rightarrow \ell =\sqrt{81}=9$ m. Perimetrul: $P=4\cdot 9=36\text{m}$; latura $9\text{m}$.

13. $\mathcal{A}=10\cdot 6-2^2=60-4=56{\text{m}}^2$ (arie ca diferență).

14. Dreptunghi: $6\cdot 4=24{\text{m}}^2$. Triunghi: $\frac{6\cdot 2,5}{2}=\frac{15}{2}=7,5{\text{m}}^2$. Total: $24+7,5=31,5{\text{m}}^2$.

15. Aria sălii: $8\cdot 6=48{\text{m}}^2$. Latura plăcii $=40\text{cm}=0,4\text{m}$, aria plăcii $=0,4^2=0,16{\text{m}}^2$. Număr plăci: $48:0,16=300\text{pla˘ci}$.

16. ${\ell }^2=50\Rightarrow \ell =\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\text{cm}$. Aproximare: $\sqrt{2}\approx 1,41$, deci $\ell \approx 5\cdot 1,41=7,05\approx 7,1\text{cm}$ (aproximare la o zecimală). Forma exactă: $5\sqrt{2}\text{cm}$.

17. (a) $\mathcal{A}=\frac{(20+12)\cdot 15}{2}=\frac{32\cdot 15}{2}=\frac{480}{2}=240{\text{m}}^2$. Deci 240 ${\text{m}}^2$ de gazon. (b) Cost $=240\cdot 25=6000\text{lei}$.

18. (a) Aria dreptunghiului: $30\cdot 20=600{\text{m}}^2$. Aria triunghiului dreptunghic (catetele sunt și baza, și înălțimea): $\frac{20\cdot 15}{2}=\frac{300}{2}=150{\text{m}}^2$. Aria totală: $600+150=750{\text{m}}^2$. (b) Perimetrul figurii compuse — parcurgem conturul exterior. Latura comună de 20 m (unde e alipit triunghiul) este în interior, deci nu intră în perimetru. Conturul: cele trei laturi ale dreptunghiului rămase ($30+20+30=80$ m — jos, stânga, sus) plus cele două laturi „libere" ale triunghiului: cateta de 15 m și ipotenuza de 25 m. $P=30+20+30+15+25=120\text{m}$.

De reținut

• Perimetrul = suma lungimilor laturilor (m, cm). Reguli: triunghi $P=a+b+c$; dreptunghi $P=2(L+l)$; pătrat și romb $P=4\ell$; paralelogram $P=2(a+b)$; trapez $P=B+b+c+d$.
• Ariile (${\text{m}}^2$, ${\text{cm}}^2$): dreptunghi $L\cdot l$; pătrat ${\ell }^2$; paralelogram $b\cdot h$; romb $\frac{d_1{d}_2}{2}$; triunghi $\frac{b\cdot h}{2}$; trapez $\frac{(B+b)h}{2}$.
• Aria unei figuri compuse = sumă de arii (descompunere) sau diferență de arii (recompunere). Notează pe desen toate segmentele deductibile.
• Cuvinte-cheie pentru modelare: gard/bordură → perimetru; gresie/vopsea/gazon → arie. Costul $=$ mărimea geometrică $\times$ prețul pe unitate; la materiale, rotunjești numărul de bucăți în sus.
• Latura necunoscută se află cu o ecuație liniară (din perimetru) sau cu ecuația $x^2=a\Rightarrow x=\sqrt{a}$ (din aria unui pătrat, latura fiind pozitivă).

Greșeli frecvente

• Confuzia perimetru ↔ arie. Perimetrul se măsoară în m (lungime), aria în ${\text{m}}^2$ (suprafață). Dacă răspunsul la o problemă de gard îți iese în ${\text{m}}^2$, ceva e greșit. Verifică mereu unitatea!
• Transformarea greșită a unităților de arie. $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$, nu $100$. Factorul de transformare se ridică la pătrat. La fel, când calculezi numărul de plăci, transformă latura plăcii în aceeași unitate ca dimensiunile camerei ÎNAINTE de a împărți.
• Folosirea laturii în loc de înălțime la paralelogram, romb sau trapez. Aria paralelogramului este $b\cdot h$, unde $h$ este înălțimea (perpendiculara), nu latura oblică. Nu înmulți cele două laturi ale unui paralelogram!
• Uitarea că laturile interioare nu intră în perimetru. La o figură compusă, perimetrul este doar conturul exterior. Segmentele „de lipire" dintre bucăți rămân în interior și nu se numără. La arie, dimpotrivă, aduni toate suprafețele.

Aplică acasă

1. Măsoară camera ta. Cu un metru sau o ruletă, măsoară lungimea și lățimea camerei tale (în metri, cu o zecimală). Calculează aria podelei. Apoi caută online prețul unei plăci de gresie sau al parchetului pe metru pătrat și estimează cât ar costa să reamenajezi podeaua. Adaugă 10% pentru pierderi la tăiere și vezi cum se schimbă costul.

2. Proiectează un gard pentru o grădină. Desenează pe hârtie milimetrică un teren dreptunghiular la scara $1:100$ (1 cm pe hârtie = 1 m real). Alege dimensiuni realiste (de exemplu 15 m pe 10 m), lasă o poartă de 3 m și calculează câți metri de gard îți trebuie și cât ar costa la un preț pe care îl afli tu.

3. Aria unei figuri compuse din jurul tău. Găsește un obiect sau o suprafață compusă (fațada casei, un teren în formă de L, un logo dintr-un dreptunghi și un triunghi). Măsoară sau estimează dimensiunile, descompune figura în părți simple și calculează aria totală în două moduri (ca sumă și ca diferență), verificând că îți dau același rezultat.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este o sinteză aplicativă: elevul nu învață formule noi, ci le combină pe cele deja studiate (aria dreptunghiului, paralelogramului, rombului, triunghiului și trapezului) în contexte reale. Puterea lecției stă în modelare — traducerea unui enunț „din viață" într-un desen și o formulă.

Cum îl sprijiniți concret:

• Insistați pe desen. Cel mai frecvent blocaj nu e la calcul, ci la „ce figură e asta?". Cereți-i mereu să deseneze și să noteze datele pe desen înainte de a scrie vreo formulă.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „E vorba de perimetru sau de arie? De unde știi?"; „În ce unitate iese răspunsul?"; „Poți afla aria și în alt mod, ca să verifici?"; „De ce nu intră laturile interioare în perimetru?".
• Semne că a înțeles: distinge automat perimetrul de arie după contextul problemei; alege corect formula pentru fiecare figură; descompune o figură compusă și verifică prin a doua metodă; rotunjește corect (în sus) numărul de plăci sau cutii; este atent la transformarea unităților de arie.
• Dacă apar dificultăți la ecuații (exercițiile 11, 12, 16), recapitulați împreună lecțiile despre ecuația ax + b = 0 și ecuația x² = a.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre perimetru și arie la clasa a 7-a? Perimetrul este lungimea totală a conturului unei figuri (suma laturilor) și se măsoară în unități de lungime, precum metri sau centimetri. Aria măsoară cât de întinsă este suprafața și se exprimă în unități pătratice, precum ${\text{m}}^2$. Pe scurt: gardul ține de perimetru, gazonul ține de arie.

Cum aflu aria unei figuri compuse? Descompui figura complicată în figuri simple (dreptunghiuri, triunghiuri, trapeze) care nu se suprapun și aduni ariile lor, sau închizi figura într-un dreptunghi mare și scazi părțile care lipsesc. Cele două metode trebuie să dea același rezultat, așa că le poți folosi una pentru verificarea celeilalte.

Diagonalele rombului intră în perimetru? Nu. Perimetrul oricărei figuri se calculează doar din laturile ei, iar rombul are toate cele patru laturi egale, deci $P=4\ell$. Diagonalele apar doar în formula ariei rombului, $\mathcal{A}=\frac{d_1{d}_2}{2}$, nu în perimetru.

Cât este 1 metru pătrat în centimetri pătrați? $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$, pentru că $1\text{m}=100\text{cm}$ și factorul se ridică la pătrat: $100\times 100=10000$. Este o greșeală frecventă să se scrie $100$ în loc de $10000$.

Cum calculez câte plăci de gresie îmi trebuie pentru o cameră? Împarți aria camerei la aria unei plăci (ambele exprimate în aceeași unitate) și rotunjești rezultatul în sus la un număr întreg. De exemplu, o cameră de $17,5{\text{m}}^2$ cu plăci de $0,25{\text{m}}^2$ cere $17,5:0,25=70$ de plăci.

Cum folosesc o ecuație într-o problemă cu perimetru? Notezi latura necunoscută cu $x$, exprimi celelalte laturi în funcție de $x$ (de exemplu lungimea $=x+4$) și scrii ecuația perimetrului, precum $2(x+(x+4))=P$. Apoi rezolvi ecuația liniară și afli $x$, verificând la final că perimetrul rezultat coincide cu cel dat.

De ce se folosește ecuația x² = a la aria unui pătrat? Fiindcă aria pătratului este ${\ell }^2$, dacă știi aria și vrei latura, obții ecuația ${\ell }^2=a$. Latura fiind o lungime pozitivă, soluția reținută este $\ell =\sqrt{a}$. Dacă $a$ nu este pătrat perfect, latura este un număr irațional, pe care îl poți lăsa sub radical (de exemplu $5\sqrt{2}$) sau îl poți aproxima.

La ce mă ajută scara unui plan sau a unei hărți? Scara îți spune de câte ori sunt micșorate dimensiunile reale pe desen. La scara $1:200$, un centimetru pe plan reprezintă $200$ cm $=2$ m în realitate, așa că înmulțești lungimile de pe plan cu $200$ pentru a obține dimensiunile reale, apoi calculezi perimetrul sau aria cu formulele obișnuite.