Aria triunghiului (deducere din aria paralelogramului)

Ai calculat deja aria dreptunghiului, a pătratului, a paralelogramului și a rombului. Acum ajungem la cea mai des folosită formulă din toată geometria plană: aria triunghiului. Un acoperiș în două ape, o velă de barcă, un fanion de club sportiv sau o bucată triunghiulară de teren — toate se măsoară cu aceeași regulă simplă. Vestea bună este că nu trebuie să înveți o formulă nouă pe de rost: o vei deduce singur, plecând de la aria paralelogramului pe care deja o cunoști. Vei vedea că orice triunghi este exact „jumătate" dintr-un paralelogram potrivit.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce aria triunghiului este jumătate din aria paralelogramului asociat, folosind două triunghiuri congruente.
• Vei ști să calculezi aria unui triunghi cu formula $A=\frac{b\cdot h}{2}$, alegând corect perechea bază–înălțime.
• Vei ști să recunoști cele trei perechi bază–înălțime dintr-un triunghi și să înțelegi când înălțimea cade în exteriorul triunghiului.
• Vei ști să calculezi rapid aria triunghiului dreptunghic ca jumătate din produsul catetelor.
• Vei ști să afli o înălțime sau o bază necunoscută pornind de la aria dată.

Hai să descoperim împreună

1. De la ce plecăm: aria paralelogramului

În lecția Aria paralelogramului ai învățat că aria unui paralelogram este produsul dintre o latură (numită bază) și înălțimea corespunzătoare, adică distanța dintre baza aleasă și latura paralelă cu ea:

$$A_{\text{paralelogram}}=b\cdot h$$

Reține foarte bine: înălțimea $h$ nu este latura oblică a paralelogramului, ci distanța perpendiculară dintre cele două laturi paralele. Vom folosi această formulă ca punct de plecare.

2. Ideea-cheie: două triunghiuri congruente fac un paralelogram

Ia un triunghi oarecare $ABC$. Vrem să-i aflăm aria. Trucul este uluitor de simplu: luăm încă o copie a triunghiului, o întoarcem și o lipim de cel dintâi. Ce obținem? Un paralelogram!

Să vedem exact cum se face. Fie triunghiul $ABC$. Construim un al doilea triunghi, $DCB$, congruent cu $ABC$ (o copie fidelă), pe care îl așezăm astfel încât latura $BC$ să fie comună, iar vârful $D$ să cadă de partea opusă lui $A$. Deoarece cele două triunghiuri sunt congruente (au aceleași laturi și aceleași unghiuri), figura obținută, $ABDC$, este un paralelogram.

De ce este paralelogram? Pentru că laturile opuse devin egale și paralele: $AB=CD$ și $AC=BD$, iar unghiurile se potrivesc perfect pentru ca $AB\parallel CD$ și $AC\parallel BD$. Ai studiat aceste condiții în lecția Condiții ca un patrulater să fie paralelogram.

3. Pasul decisiv: triunghiul e jumătate din paralelogram

Acum privește paralelogramul format. El este alcătuit din exact două triunghiuri congruente: triunghiul $ABC$ (cel de la care am plecat) și copia lui. Două figuri congruente au arii egale. Prin urmare, aria triunghiului este exact jumătate din aria paralelogramului:

$$A_{\text{triunghi}}=\frac{A_{\text{paralelogram}}}{2}=\frac{b\cdot h}{2}$$

Și gata — am dedus formula! Baza $b$ a triunghiului este chiar baza paralelogramului, iar înălțimea $h$ a triunghiului (perpendiculara din vârful opus pe bază) este chiar înălțimea paralelogramului. Așa se explică de ce în formula ariei triunghiului apare acel „$÷2$": pentru că un triunghi este mereu jumătatea paralelogramului construit pe el.

3b. Să verificăm ideea pe un exemplu numeric

Pentru ca deducerea să fie perfect clară, hai să o urmărim pe un caz concret. Presupune că triunghiul $ABC$ are baza $BC=10\text{cm}$ și înălțimea din $A$ pe $BC$ egală cu $4\text{cm}$. Construim copia lui și obținem un paralelogram cu aceeași bază de $10\text{cm}$ și aceeași înălțime de $4\text{cm}$. Aria paralelogramului este: $$A_{\text{paralelogram}}=b\cdot h=10\cdot 4=40{\text{cm}}^2.$$

Cum paralelogramul e format din două triunghiuri congruente, fiecare triunghi are jumătate din această arie: $$A_{\text{triunghi}}=\frac{40}{2}=20{\text{cm}}^2.$$

Exact același rezultat îl obținem aplicând direct formula: $\frac{10\cdot 4}{2}=20{\text{cm}}^2$. Vezi cum cele două căi se potrivesc perfect? Aceasta e dovada că formula $A=\frac{b\cdot h}{2}$ nu e o regulă căzută din cer, ci decurge logic din aria paralelogramului, pe care o știai deja.

4. Formula ariei triunghiului — enunț și notație

Reținem regula fundamentală:

Aria unui triunghi este jumătate din produsul dintre lungimea unei baze și lungimea înălțimii corespunzătoare acelei baze: $$A=\frac{b\cdot h}{2}$$

Aici:

• $b$ = lungimea bazei (o latură aleasă a triunghiului);
• $h$ = lungimea înălțimii corespunzătoare, adică distanța perpendiculară de la vârful opus până la baza $b$ (sau la dreapta suport a bazei).

Aria se măsoară în unități pătratice: ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$, ${\text{dm}}^2$ etc. Fii mereu atent ca $b$ și $h$ să fie exprimate în aceeași unitate înainte de a înmulți.

Formula se mai scrie și $A=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h$, care înseamnă exact același lucru.

5. Foarte important: baza și înălțimea trebuie să „se potrivească"

Cea mai frecventă greșeală este să iei o bază și o înălțime care nu se corespund. Într-un triunghi, fiecare bază are înălțimea ei proprie. Nu poți amesteca baza dintr-o pereche cu înălțimea din alta.

Regula de aur: înălțimea corespunzătoare unei baze pleacă din vârful opus bazei și cade perpendicular pe acea bază (sau pe prelungirea ei).

6. Cele trei perechi bază–înălțime dintr-un triunghi

Un triunghi are trei laturi, deci oricare dintre ele poate fi aleasă drept bază. Fiecărei baze îi corespunde o înălțime proprie, dusă din vârful opus. Așadar, un triunghi are trei perechi bază–înălțime.

Ce e minunat: oricare pereche o alegi, obții aceeași arie. Dacă notăm laturile $a$, $b$, $c$ și înălțimile corespunzătoare $h_a$, $h_b$, $h_c$, atunci:

$$A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$$

Această observație e foarte utilă în probleme: dacă cunoști o pereche și afli aria, poți apoi găsi o înălțime necunoscută corespunzătoare altei baze. Vei folosi des acest lucru.

Ca să înțelegi de ce toate perechile dau același număr, gândește-te așa: aria triunghiului este o singură mărime — suprafața pe care o ocupă figura. Ea nu depinde de care latură decidem noi să o numim „bază". Doar că, atunci când alegem o bază scurtă, îi corespunde o înălțime mare, iar când alegem o bază lungă, îi corespunde o înălțime mică — produsul lor rămâne mereu același, egal cu $2A$. E ca și cum ai măsura aceeași cameră fie „lungime ori lățime", fie altfel: rezultatul e unul singur.

7. Când înălțimea cade în afara triunghiului

Într-un triunghi ascuțitunghic (toate unghiurile ascuțite), toate cele trei înălțimi cad în interior — piciorul perpendicularei este pe latură.

Într-un triunghi obtuzunghic (are un unghi obtuz, mai mare de $90°$), lucrurile se schimbă: înălțimile corespunzătoare celor două laturi care formează unghiul obtuz cad în exteriorul triunghiului. Piciorul perpendicularei nu mai este pe latură, ci pe prelungirea ei.

Nu te speria: formula rămâne aceeași, $A=\frac{b\cdot h}{2}$. Doar că înălțimea $h$ e măsurată până la dreapta pe care stă baza, chiar dacă piciorul ei iese din triunghi. Ideea de „bază ori înălțime pe 2" nu se schimbă niciodată — doar locul unde „aterizează" perpendiculara se poate muta în exterior.

8. Cazul special și foarte comod: triunghiul dreptunghic

Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete (laturile care formează unghiul drept) sunt perpendiculare una pe cealaltă. Asta înseamnă că, dacă luăm o catetă drept bază, cealaltă catetă este chiar înălțimea corespunzătoare — nu mai trebuie să construim nicio perpendiculară, ea există deja!

Prin urmare, într-un triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi $c_1$ și $c_2$:

$$A=\frac{c_1\cdot c_2}{2}$$

Adică aria este jumătate din produsul catetelor. Ipotenuza (latura opusă unghiului drept) nu intră în această formulă. Reține: catetele sunt perechea bază–înălțime „gata făcută" a triunghiului dreptunghic.

9. Cum aflăm o înălțime sau o bază, dacă știm aria

Formula $A=\frac{b\cdot h}{2}$ leagă între ele trei mărimi: aria, baza și înălțimea. Dacă cunoști două dintre ele, o poți afla pe a treia. Plecăm de la relația de bază și „desfacem" pas cu pas.

Din $A=\frac{b\cdot h}{2}$ înmulțim ambii membri cu $2$ și obținem relația foarte utilă:

$$2A=b\cdot h$$

De aici:

• dacă vrem înălțimea: $h=\frac{2A}{b}$;
• dacă vrem baza: $b=\frac{2A}{h}$.

Cu alte cuvinte: dublezi aria, apoi împarți la latura pe care o cunoști. Aceste transformări sunt exact de tipul celor din lecția Ecuația de forma ax + b = 0, doar că aici avem o ecuație și mai simplă.

10. Comparări de arii — o idee utilă

Uneori nu ne interesează valoarea exactă a ariei, ci cum se compară două arii. Dacă două triunghiuri au aceeași bază și aceeași înălțime, atunci au aceeași arie, chiar dacă arată complet diferit (unul poate fi „lungit" într-o parte). Motivul: în formula $\frac{b\cdot h}{2}$ intră doar $b$ și $h$, nu și forma triunghiului.

La fel, o mediană (segmentul din vârf la mijlocul laturii opuse) împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale, pentru că ele au baze egale (cele două jumătăți ale laturii) și aceeași înălțime (cea din vârful comun). Vei folosi această idee în exerciții.

11. Un plan de lucru pentru orice problemă cu arie

Când te întâlnești cu o problemă despre aria triunghiului, urmează mereu aceiași pași simpli. Acest „plan de lucru" te ajută să nu ratezi nimic:

1. Citește cu atenție și notează ce se dă: ce laturi, ce înălțimi, ce arie cunoști. Fă un desen chiar dacă problema nu-ți cere.
2. Verifică unitățile. Dacă lungimile sunt date în unități diferite (m, cm, mm, dm), transformă-le pe toate în aceeași unitate înainte de calcul.
3. Identifică perechea bază–înălțime care corespunde. Baza și înălțimea trebuie să „se potrivească": înălțimea pleacă din vârful opus bazei.
4. Alege ce afli: aria (folosești $\frac{b\cdot h}{2}$), înălțimea ($\frac{2A}{b}$) sau baza ($\frac{2A}{h}$).
5. Calculează și verifică rezultatul (aria trebuie să iasă în unități pătratice, iar înălțimea/baza în unități de lungime).

Dacă respecți acești pași de fiecare dată, vei rezolva corect chiar și problemele care par complicate la prima vedere. Cele mai multe greșeli nu vin din calcule grele, ci din sărirea peste pasul 2 (unitățile) sau pasul 3 (perechea potrivită).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — aria de bază

Un triunghi are baza de $12\text{cm}$ și înălțimea corespunzătoare de $5\text{cm}$. Află aria.

Rezolvare. Aplicăm direct formula: $$A=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{12\cdot 5}{2}=\frac{60}{2}=30{\text{cm}}^2.$$

Răspuns: aria este $30{\text{cm}}^2$.

Exemplul 2 — triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic are catetele de $9\text{cm}$ și $6\text{cm}$. Cât este aria?

Rezolvare. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt perpendiculare, deci una este bază și cealaltă înălțime. Aria este jumătate din produsul catetelor: $$A=\frac{c_1\cdot c_2}{2}=\frac{9\cdot 6}{2}=\frac{54}{2}=27{\text{cm}}^2.$$

Răspuns: $27{\text{cm}}^2$. Observă că nu am avut nevoie de ipotenuză.

Exemplul 3 — aflarea înălțimii din arie

Aria unui triunghi este $48{\text{cm}}^2$, iar una dintre laturi (baza) are $16\text{cm}$. Cât este înălțimea corespunzătoare acestei baze?

Rezolvare. Plecăm de la $A=\frac{b\cdot h}{2}$ și scoatem $h$: $$h=\frac{2A}{b}=\frac{2\cdot 48}{16}=\frac{96}{16}=6\text{cm}.$$

Verificare: $\frac{16\cdot 6}{2}=\frac{96}{2}=48{\text{cm}}^2$. Corect.

Răspuns: înălțimea este $6\text{cm}$.

Exemplul 4 — aflarea bazei din arie

Un triunghi are aria $35{\text{cm}}^2$ și înălțimea $7\text{cm}$. Află lungimea bazei corespunzătoare.

Rezolvare. $$b=\frac{2A}{h}=\frac{2\cdot 35}{7}=\frac{70}{7}=10\text{cm}.$$

Verificare: $\frac{10\cdot 7}{2}=35{\text{cm}}^2$. Corect.

Răspuns: baza este $10\text{cm}$.

Exemplul 5 — două înălțimi ale aceluiași triunghi

Într-un triunghi $ABC$, latura $AB=20\text{cm}$, iar înălțimea din $C$ pe $AB$ este $9\text{cm}$. Latura $BC=15\text{cm}$. Află înălțimea din $A$ pe $BC$.

Rezolvare. Mai întâi aflăm aria folosind perechea pe care o cunoaștem complet, baza $AB$ cu înălțimea din $C$: $$A=\frac{AB\cdot h_C}{2}=\frac{20\cdot 9}{2}=\frac{180}{2}=90{\text{cm}}^2.$$

Aria este aceeași, indiferent de baza aleasă. Acum folosim baza $BC=15\text{cm}$ și aflăm înălțimea din $A$, notată $h_A$: $$h_A=\frac{2A}{BC}=\frac{2\cdot 90}{15}=\frac{180}{15}=12\text{cm}.$$

Răspuns: înălțimea din $A$ pe $BC$ este $12\text{cm}$. (Observă cum o singură arie leagă două perechi bază–înălțime diferite.)

Exemplul 6 — triunghi obtuzunghic, cu unitate de schimbat

Un triunghi obtuzunghic are baza de $2,4\text{dm}$, iar înălțimea corespunzătoare, dusă pe prelungirea bazei, este de $50\text{mm}$. Află aria în ${\text{cm}}^2$.

Rezolvare. Aducem totul la centimetri: $$b=2,4\text{dm}=24\text{cm},h=50\text{mm}=5\text{cm}.$$

Formula rămâne aceeași, chiar dacă triunghiul e obtuzunghic și înălțimea cade în exterior: $$A=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{24\cdot 5}{2}=\frac{120}{2}=60{\text{cm}}^2.$$

Răspuns: $60{\text{cm}}^2$.

Exemplul 7 — mediana împarte triunghiul în două arii egale

Într-un triunghi $ABC$, latura $BC=16\text{cm}$, iar înălțimea din $A$ pe $BC$ este $9\text{cm}$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$. Află aria triunghiului $ABM$.

Rezolvare. Mai întâi aflăm aria întregului triunghi $ABC$: $$A_{ABC}=\frac{BC\cdot h_A}{2}=\frac{16\cdot 9}{2}=\frac{144}{2}=72{\text{cm}}^2.$$

Mediana $AM$ împarte triunghiul $ABC$ în două triunghiuri, $ABM$ și $ACM$, care au arii egale: bazele $BM$ și $MC$ sunt egale (fiecare de $8\text{cm}$, deoarece $M$ este mijlocul lui $BC$), iar înălțimea din $A$ este aceeași pentru amândouă. Prin urmare, fiecare are jumătate din aria totală: $$A_{ABM}=\frac{A_{ABC}}{2}=\frac{72}{2}=36{\text{cm}}^2.$$

Verificare directă: $A_{ABM}=\frac{BM\cdot h_A}{2}=\frac{8\cdot 9}{2}=36{\text{cm}}^2$. Corect.

Răspuns: aria triunghiului $ABM$ este $36{\text{cm}}^2$.

Exemplul 8 — problemă cu bază și înălțime în relație

Un triunghi are aria $42{\text{cm}}^2$, iar înălțimea este cu $5\text{cm}$ mai mică decât baza. Află baza și înălțimea, știind că ambele sunt numere întregi.

Rezolvare. Notăm baza cu $b$; atunci înălțimea este $h=b-5$. Din formula ariei: $$\frac{b\cdot (b-5)}{2}=42\Rightarrow b\cdot (b-5)=84.$$

Căutăm un număr întreg $b$ pentru care produsul $b\cdot (b-5)$ este $84$. Verificăm ordonat câteva valori într-un tabel:

Pentru $b=12$ obținem exact $12\cdot 7=84$, deci baza este $b=12\text{cm}$, iar înălțimea $h=b-5=7\text{cm}$.

Verificare: $A=\frac{12\cdot 7}{2}=\frac{84}{2}=42{\text{cm}}^2$. Corect.

Răspuns: baza este $12\text{cm}$, iar înălțimea $7\text{cm}$.

Idee de reținut: când o mărime e dată „în funcție de" alta (mai mare cu, mai mică cu, de atâtea ori), o notezi cu o literă, scrii aria ca produs și cauți soluția fie prin încercări ordonate într-un tabel, fie folosind relația $2A=b\cdot h$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată formula folosită și calculul complet.

1. Un triunghi are baza $8\text{cm}$ și înălțimea $7\text{cm}$. Află aria.

2. Un triunghi are baza $15\text{cm}$ și înălțimea $4\text{cm}$. Cât este aria?

3. Un triunghi dreptunghic are catetele de $10\text{cm}$ și $12\text{cm}$. Află aria.

4. Un triunghi dreptunghic are o catetă de $8\text{cm}$ și ipotenuza de $17\text{cm}$, iar cealaltă catetă de $15\text{cm}$. Cât este aria? (Atenție: ce laturi folosești?)

5. Aria unui triunghi este $54{\text{cm}}^2$, iar baza este $12\text{cm}$. Află înălțimea corespunzătoare.

6. Aria unui triunghi este $40{\text{cm}}^2$, iar înălțimea este $5\text{cm}$. Află baza corespunzătoare.

7. Adevărat sau fals, cu justificare: „Într-un triunghi, oricare pereche bază–înălțime dă aceeași arie."

8. Adevărat sau fals, cu justificare: „Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul dintre o catetă și ipotenuză."

9. Un triunghi are baza $0,6\text{m}$ și înălțimea $25\text{cm}$. Află aria în ${\text{cm}}^2$.

10. Explică în două-trei propoziții de ce aria triunghiului este jumătate din aria paralelogramului asociat.

11. Într-un triunghi $ABC$, $AB=18\text{cm}$, iar înălțimea din $C$ pe $AB$ este $10\text{cm}$. Latura $AC=12\text{cm}$. Află înălțimea din $B$ pe $AC$.

12. Un triunghi dreptunghic isoscel are ambele catete de $7\text{cm}$. Cât este aria?

13. Un teren are forma unui triunghi cu baza de $40\text{m}$ și înălțimea de $30\text{m}$. Câți metri pătrați are terenul? Dacă un sac de gazon acoperă $25{\text{m}}^2$, câți saci trebuie?

14. Desenează un triunghi obtuzunghic $MNP$ cu unghiul obtuz în $N$. Trasează înălțimea din $P$ pe latura $MN$ și arată că piciorul ei cade pe prelungirea lui $MN$, în exterior.

15. Într-un triunghi, mediana $AM$ împarte latura $BC$ în două segmente egale. Justifică de ce triunghiurile $ABM$ și $ACM$ au arii egale.

16. Aria unui triunghi este $54{\text{cm}}^2$, iar baza este de $3$ ori mai mare decât înălțimea. Află baza și înălțimea. (Indiciu: notează înălțimea cu $h$, atunci baza este $3h$.)

17. Un fanion triunghiular are baza de $24\text{cm}$ și aria de $180{\text{cm}}^2$. Se dublează înălțimea, păstrând baza. Cât devine noua arie?

18. Două triunghiuri au aceeași bază de $14\text{cm}$. Primul are înălțimea $6\text{cm}$, al doilea $9\text{cm}$. Cu cât este mai mare aria celui de-al doilea față de a primului?

19. O velă triunghiulară de barcă are baza (marginea de jos) de $2\text{m}$ și înălțimea de $3,5\text{m}$. Câți metri pătrați de pânză sunt necesari?

20. Un triunghi are aria $30{\text{cm}}^2$. Dacă păstrezi baza și înjumătățești înălțimea, ce arie obții? Justifică.

21. Adevărat sau fals, cu justificare: „Două triunghiuri cu aceeași arie au neapărat aceeași formă."

22. Un triunghi dreptunghic are aria $24{\text{cm}}^2$ și o catetă de $6\text{cm}$. Află cealaltă catetă.

23. Într-un triunghi $ABC$, latura $BC=20\text{cm}$, iar înălțimea din $A$ pe $BC$ este $12\text{cm}$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$. Află aria triunghiului $ABM$.

24. Un triunghi are aria $30{\text{cm}}^2$, iar înălțimea este cu $7\text{cm}$ mai mică decât baza (ambele întregi). Află baza și înălțimea.

Răspunsuri și explicații

1. $A=\frac{8\cdot 7}{2}=\frac{56}{2}=28{\text{cm}}^2.$

2. $A=\frac{15\cdot 4}{2}=\frac{60}{2}=30{\text{cm}}^2.$

3. Catetele sunt perpendiculare, deci $A=\frac{10\cdot 12}{2}=\frac{120}{2}=60{\text{cm}}^2.$

4. Folosim catetele, nu ipotenuza: $A=\frac{8\cdot 15}{2}=\frac{120}{2}=60{\text{cm}}^2.$ Ipotenuza ($17\text{cm}$) nu intră în formulă.

5. $h=\frac{2A}{b}=\frac{2\cdot 54}{12}=\frac{108}{12}=9\text{cm}.$

6. $b=\frac{2A}{h}=\frac{2\cdot 40}{5}=\frac{80}{5}=16\text{cm}.$

7. Adevărat. Fiecare pereche bază–înălțime a aceluiași triunghi dă $\frac{b\cdot h}{2}$, iar aria triunghiului este o singură valoare, deci toate perechile conduc la același rezultat: $\frac{a{h}_a}{2}=\frac{b{h}_b}{2}=\frac{c{h}_c}{2}.$

8. Fals. Aria triunghiului dreptunghic este jumătate din produsul celor două catete, nu al unei catete cu ipotenuza. Ipotenuza nu este înălțime pentru nicio catetă.

9. $b=0,6\text{m}=60\text{cm}$; $A=\frac{60\cdot 25}{2}=\frac{1500}{2}=750{\text{cm}}^2.$

10. Luând o a doua copie a triunghiului și rotind-o, cele două triunghiuri congruente formează un paralelogram cu aceeași bază și aceeași înălțime. Triunghiul e una dintre cele două părți congruente, deci aria lui este jumătate din aria paralelogramului: $\frac{b\cdot h}{2}$.

11. Aria: $A=\frac{AB\cdot h_C}{2}=\frac{18\cdot 10}{2}=90{\text{cm}}^2$. Apoi $h_B=\frac{2A}{AC}=\frac{2\cdot 90}{12}=\frac{180}{12}=15\text{cm}.$

12. Catetele sunt egale: $A=\frac{7\cdot 7}{2}=\frac{49}{2}=24,5{\text{cm}}^2.$

13. $A=\frac{40\cdot 30}{2}=\frac{1200}{2}=600{\text{m}}^2.$ Saci: $600:25=24$ saci.

14. Desen: triunghiul $MNP$ are unghiul obtuz în $N$. Prelungești latura $MN$ dincolo de $N$; perpendiculara din $P$ pe dreapta $MN$ cade în afara segmentului $MN$ (piciorul e pe prelungire). Aceasta e înălțimea din $P$; ea cade în exteriorul triunghiului, specific triunghiului obtuzunghic.

15. Triunghiurile $ABM$ și $ACM$ au bazele $BM$ și $CM$ egale (căci $M$ este mijlocul lui $BC$) și aceeași înălțime — perpendiculara din $A$ pe dreapta $BC$ este comună ambelor. Cum $A=\frac{b\cdot h}{2}$ depinde doar de bază și înălțime, ariile sunt egale.

16. Notăm înălțimea $h$, deci baza este $3h$. Din formulă: $A=\frac{3h\cdot h}{2}=54$, adică $\frac{3h^2}{2}=54$. Înmulțim cu $2$: $3h^2=108$, deci $h^2=36$, de unde $h=6\text{cm}$. Atunci baza $b=3h=18\text{cm}$. Verificare: $\frac{18\cdot 6}{2}=54{\text{cm}}^2$. Corect.

17. Întâi aflăm înălțimea inițială: $h=\frac{2A}{b}=\frac{2\cdot 180}{24}=\frac{360}{24}=15\text{cm}$. Dublând înălțimea, se dublează și aria (baza rămâne), deci noua arie este $2\cdot 180=360{\text{cm}}^2$.

18. Aria${}_1=\frac{14\cdot 6}{2}=42{\text{cm}}^2$; Aria${}_2=\frac{14\cdot 9}{2}=63{\text{cm}}^2$. Diferența: $63-42=21{\text{cm}}^2$ mai mare.

19. Într-un triunghi dreptunghic (colțul velei), catetele sunt bază și înălțime: $A=\frac{2\cdot 3,5}{2}=\frac{7}{2}=3,5{\text{m}}^2$. Formula funcționează la fel și dacă triunghiul velei nu e dreptunghic, atâta timp cât $2\text{m}$ e baza și $3,5\text{m}$ înălțimea corespunzătoare.

20. Dacă înălțimea se înjumătățește (baza rămâne), și aria se înjumătățește, pentru că $A=\frac{b\cdot h}{2}$ este direct proporțională cu $h$. Deci noua arie este $30:2=15{\text{cm}}^2$.

21. Fals. Aria depinde doar de produsul bază · înălțime. Există o infinitate de triunghiuri de forme foarte diferite cu aceeași arie (de exemplu bază $4$, înălțime $6$ și bază $12$, înălțime $2$ dau amândouă $12{\text{cm}}^2$). Aceeași arie nu înseamnă aceeași formă.

22. Catetele sunt bază și înălțime, deci $c_2=\frac{2A}{c_1}=\frac{2\cdot 24}{6}=\frac{48}{6}=8\text{cm}.$

23. Aria totală: $A_{ABC}=\frac{20\cdot 12}{2}=120{\text{cm}}^2$. Mediana $AM$ împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale (baze egale $BM=MC=10\text{cm}$ și aceeași înălțime din $A$), deci $A_{ABM}=\frac{120}{2}=60{\text{cm}}^2$.

24. Notăm baza $b$, înălțimea $b-7$. Din $\frac{b(b-7)}{2}=30$ rezultă $b(b-7)=60$. Prin încercări: $b=12$ dă $12\cdot 5=60$, deci baza este $12\text{cm}$ și înălțimea $5\text{cm}$. Verificare: $\frac{12\cdot 5}{2}=30{\text{cm}}^2$. Corect.

De reținut

• Formula fundamentală: aria oricărui triunghi este $A=\frac{b\cdot h}{2}$, unde $b$ este o bază și $h$ este înălțimea corespunzătoare (perpendiculara din vârful opus).
• De unde vine: două triunghiuri congruente formează un paralelogram, deci triunghiul are jumătate din aria paralelogramului asociat.
• Trei perechi: un triunghi are trei baze posibile, fiecare cu înălțimea ei; toate dau aceeași arie: $\frac{a{h}_a}{2}=\frac{b{h}_b}{2}=\frac{c{h}_c}{2}$.
• Triunghiul dreptunghic: aria este jumătate din produsul catetelor, $A=\frac{c_1\cdot c_2}{2}$ (ipotenuza nu intră).
• Aflarea unei necunoscute: $2A=b\cdot h$, de unde $h=\frac{2A}{b}$ și $b=\frac{2A}{h}$.

Greșeli frecvente

• Uiți să împarți la 2. Confuzia cu aria paralelogramului ($b\cdot h$). Ține minte: triunghiul e jumătate, deci mereu „$÷2$".
• Amesteci baza cu înălțimea altei perechi. Înălțimea trebuie să corespundă bazei alese — pleacă din vârful opus acelei baze. Nu lua o latură ca bază și o înălțime dusă pe altă latură.
• La triunghiul dreptunghic folosești ipotenuza. Formula ușoară $\frac{c_1\cdot c_2}{2}$ folosește catetele, nu ipotenuza. Ipotenuza nu e înălțime pentru catete.
• Nu transformi unitățile. Dacă baza e în metri și înălțimea în centimetri, trebuie aduse la aceeași unitate înainte de înmulțire; iar rezultatul e în unități pătratice.

Aplică acasă

• Aria unui acoperiș triunghiular. Alege o casă sau o magazie cu fronton triunghiular (partea de sub acoperiș). Măsoară sau estimează lățimea (baza) și înălțimea frontonului și calculează aria triunghiului. Dacă ai două frontoane identice, dublează.
• Fanionul echipei. Decupează din carton un fanion triunghiular pentru echipa ta preferată. Măsoară baza și înălțimea în centimetri și calculează câți ${\text{cm}}^2$ de carton ai folosit. Apoi verifică: dacă tai fanionul pe o mediană, cele două bucăți au arie egală?
• Grădina în triunghi. Imaginează un strat de flori triunghiular cu baza $3\text{m}$ și înălțimea $2\text{m}$. Calculează aria, apoi află câte plante încap dacă fiecare are nevoie de $0,25{\text{m}}^2$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție construiește peste aria paralelogramului, deci cel mai bun sprijin este să verificați împreună că elevul stăpânește ideea de înălțime ca distanță perpendiculară, nu ca latură oblică. Cereți-i să deseneze un triunghi și să tragă cele trei înălțimi — dacă le confundă cu laturile, reveniți la definiție.

Întrebări bune de verificare:

• „De ce împărțim la 2 în formula ariei triunghiului?" (Răspunsul corect leagă triunghiul de jumătatea unui paralelogram.)
• „Într-un triunghi dreptunghic, care sunt baza și înălțimea?" (Cele două catete.)
• „Dacă știi aria și o latură, cum afli înălțimea?" ($h=2A:b$.)

Un semn clar că a înțeles: poate calcula corect aria alegând oricare pereche bază–înălțime și obține același rezultat, și poate afla o înălțime necunoscută pornind de la aria dată. Dacă greșește, cel mai des cauza este perechea nepotrivită bază–înălțime sau uitarea împărțirii la 2 — corectați exact acolo.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei triunghiului la clasa a 7-a? Formula este $A=\frac{b\cdot h}{2}$, adică baza înmulțită cu înălțimea corespunzătoare, totul împărțit la 2. Baza este o latură, iar înălțimea este perpendiculara dusă din vârful opus pe acea latură.

De ce se împarte la 2 la aria triunghiului? Pentru că orice triunghi este exact jumătate dintr-un paralelogram. Dacă iei o a doua copie a triunghiului și o rotești, cele două triunghiuri congruente formează un paralelogram cu aceeași bază și înălțime, iar triunghiul are jumătate din aria lui.

Cum se calculează aria unui triunghi dreptunghic? La triunghiul dreptunghic, cele două catete sunt perpendiculare, deci una e bază și cealaltă e înălțime. Aria este jumătate din produsul catetelor: $A=\frac{c_1\cdot c_2}{2}$. Ipotenuza nu se folosește în această formulă.

Ce este înălțimea unui triunghi? Înălțimea corespunzătoare unei baze este segmentul perpendicular dus din vârful opus până la baza aleasă (sau până la dreapta pe care se află baza). Un triunghi are trei înălțimi, câte una pentru fiecare latură.

Poate înălțimea să cadă în afara triunghiului? Da, la triunghiul obtuzunghic. Înălțimile corespunzătoare laturilor care formează unghiul obtuz cad în exteriorul triunghiului, pe prelungirea bazei. Formula ariei rămâne însă aceeași: $\frac{b\cdot h}{2}$.

Cum aflu înălțimea unui triunghi dacă știu aria? Folosești relația $2A=b\cdot h$, de unde $h=\frac{2A}{b}$. Dublezi aria și împarți la baza cunoscută. Analog, baza se află cu $b=\frac{2A}{h}$.

Contează care latură o aleg drept bază? Nu contează pentru rezultat: oricare dintre cele trei perechi bază–înălțime dă aceeași arie. Contează doar să folosești înălțimea care corespunde bazei alese, adică cea dusă din vârful opus. În practică alegi perechea despre care ai cele mai multe informații.

Aria triunghiului se măsoară în ce unități? În unități pătratice: ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$, ${\text{dm}}^2$ etc. Înainte de calcul, baza și înălțimea trebuie exprimate în aceeași unitate de lungime, iar rezultatul va fi în pătratul acelei unități.