Un paralelogram $$ABCD$$ are baza $$AB = 9$$ cm, latura oblică $$AD = 7$$ cm și înălțimea dusă pe $$AB$$ egală cu $$4$$ cm. Care este aria paralelogramului?

$$36 \text{ cm}^2$$ (folosind $$9 \cdot 4$$)

$$63 \text{ cm}^2$$ (folosind $$9 \cdot 7$$)

$$28 \text{ cm}^2$$ (folosind $$7 \cdot 4$$)

$$20 \text{ cm}^2$$ (folosind $$9 + 7 + 4$$)

Un paralelogram $$EFGH$$ are baza $$EF = 15$$ cm, latura oblică $$EH = 17$$ cm și înălțimea dusă pe $$EF$$ egală cu $$13$$ cm. Care este aria paralelogramului?

$$195 \text{ cm}^2$$ (folosind $$15 \cdot 13$$)

$$255 \text{ cm}^2$$ (folosind $$15 \cdot 17$$)

$$221 \text{ cm}^2$$ (folosind $$17 \cdot 13$$)

$$45 \text{ cm}^2$$ (folosind $$15 + 17 + 13$$)

Ce formulă are aria paralelogramului?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Aria paralelogramului: bază × înălțime

Se înmulțește o latură aleasă drept bază cu înălțimea dusă până la ea, adică $A = b \cdot h$ . Înălțimea este segmentul perpendicular dintre cele două laturi paralele, nu latura înclinată, care apare în enunțuri tocmai ca să încurce. La o bază de 10 cm și o înălțime de 4 cm ies 40 de centimetri pătrați. Formula vine din dreptunghi: tăind un colț și mutându-l în partea cealaltă, figura se îndreaptă fără să piardă nimic.

Un paralelogram poate fi „transformat” într-un dreptunghi cu aceeași arie: tăiem triunghiul dintr-un capăt și îl mutăm în celălalt capăt, fără să adăugăm sau să pierdem nimic din suprafață. De aceea formula ariei este aceeași ca la dreptunghi:

$A = b \cdot h$

unde $b$ este baza (o latură aleasă) și $h$ este înălțimea — segmentul perpendicular dus dintr-un vârf pe bază (sau pe prelungirea ei), NU latura oblică! Latura oblică este mereu mai lungă decât înălțimea și apare des în enunțuri doar ca „momeală”.

Exemplu: un paralelogram are baza $10$ cm și înălțimea $4$ cm. Atunci $A = 10 \cdot 4 = 40 cm^{2}$ .

Un paralelogram are două perechi bază–înălțime posibile, dar aria rămâne aceeași figură, deci același număr: $b_{1} \cdot h_{1} = b_{2} \cdot h_{2}$ . Din formulă mai scoatem $h = A / b$ și $b = A / h$ , utile când căutăm o lungime necunoscută.

De reținut

$A = b \cdot h$ , cu $h$ perpendiculară pe baza aleasă
latura înclinată nu este înălțime
$h = \frac{A}{b}$ și $b = \frac{A}{h}$
$b_{1} \cdot h_{1} = b_{2} \cdot h_{2}$

Greșeala tipică

Se înmulțește baza cu latura înclinată. În formulă intră numai segmentul perpendicular pe bază, care este mai scurt decât latura oblică.

Exerciții din această mini-lecție

Un paralelogram $A B C D$ are baza $A B = 9$ cm, latura oblică $A D = 7$ cm și înălțimea dusă pe $A B$ egală cu $4$ cm. Care este aria paralelogramului?
- a) $63 cm^{2}$ (folosind $9 \cdot 7$ )
- b) $36 cm^{2}$ (folosind $9 \cdot 4$ )
- c) $28 cm^{2}$ (folosind $7 \cdot 4$ )
- d) $20 cm^{2}$ (folosind $9 + 7 + 4$ )
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $36 cm^{2}$ (folosind $9 \cdot 4$ )

În formulă intră doar baza și înălțimea corespunzătoare ei, nu latura oblică: $A = b \cdot h = 9 \cdot 4 = 36 cm^{2}$ . Latura oblică de $7$ cm este pusă acolo ca momeală.
Un paralelogram $E F G H$ are baza $E F = 15$ cm, latura oblică $E H = 17$ cm și înălțimea dusă pe $E F$ egală cu $13$ cm. Care este aria paralelogramului?
- a) $195 cm^{2}$ (folosind $15 \cdot 13$ )
- b) $255 cm^{2}$ (folosind $15 \cdot 17$ )
- c) $221 cm^{2}$ (folosind $17 \cdot 13$ )
- d) $45 cm^{2}$ (folosind $15 + 17 + 13$ )
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $195 cm^{2}$ (folosind $15 \cdot 13$ )

În formulă intră doar baza și înălțimea corespunzătoare ei, nu latura oblică: $A = b \cdot h = 15 \cdot 13 = 195 cm^{2}$ . Latura oblică de $17$ cm este pusă acolo ca momeală.
Aria unui paralelogram este $A = 209 cm^{2}$ , iar una dintre baze are $19$ cm. Cât este înălțimea corespunzătoare acelei baze?
- a) $21$ cm
- b) $11$ cm
- c) $9$ cm
- d) $31$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $11$ cm

Din $A = b \cdot h$ obținem $h = \frac{A}{b} = \frac{209}{19} = 11 cm$ . Verificare: $19 \cdot 11 = 209$ .

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu aria dacă dublez baza paralelogramului?

Se dublează și ea, fiindcă baza intră în formulă ca factor. Dublând deodată și înălțimea, aria devine de patru ori mai mare. Numerele care se înmulțesc se răsfrâng direct asupra rezultatului, spre deosebire de perimetru, unde laturile se adună.

Cum se leagă între ele cele două perechi bază și înălțime?

Amândouă dau același număr, fiindcă aria figurii este una singură: $b_{1} \cdot h_{1} = b_{2} \cdot h_{2}$ . De aici afli o înălțime necunoscută atunci când cunoști cealaltă pereche, fără să mai măsori nimic pe desen.

Cum aflu aria paralelogramului dacă știu doar cele două laturi?

Nu se poate afla, fiindcă aceleași laturi se pot înclina în fel și chip, dând suprafețe diferite. Îți trebuie fie o înălțime, fie unghiul dintre laturi. Un dreptunghi și un paralelogram foarte turtit pot avea aceleași laturi și arii foarte diferite.

Ce arie are un paralelogram cu laturile 8 și 5 cm și înălțimea 3 cm?

Are 24 de centimetri pătrați, dacă înălțimea de 3 cm cade pe latura de 8 cm. Latura de 5 cm este cea înclinată și nu intră în calcul. Enunțurile pun adesea trei numere, dar în formulă merg doar două care se potrivesc.

Unde cade înălțimea unui paralelogram foarte înclinat?

Cade în afara figurii, pe prelungirea bazei. Formula rămâne aceeași, fiindcă înălțimea măsoară distanța dintre cele două drepte paralele, indiferent unde atinge prelungirea. Desenul cu linie punctată ajută la vizualizare.

Ce legătură are aria paralelogramului cu aria triunghiului?

Un paralelogram tăiat pe diagonală dă două triunghiuri la fel de mari, deci fiecare are jumătate din suprafață. De aceea la triunghi produsul bazei cu înălțimea se împarte la doi, iar la paralelogram nu.

Oamenii mai întreabă și: aria paralelogramului · formula ariei paralelogramului · baza ori înălțimea · aria paralelogram · înălțimea paralelogramului