Paralelogramul: definiție și proprietăți (laturi și unghiuri)

Uită-te o clipă în jurul tău: ecranul unui laptop deschis, o fereastră glisantă, o rampă de skate, semnele de circulație de forma unei plăcuțe înclinate, chiar și o cutie de suc privită dintr-un unghi oblic. Multe dintre aceste forme sunt paralelograme — patrulatere „împinse" într-o parte, care își păstrează o structură surprinzător de ordonată. În lecția anterioară ai învățat că suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este $360^{\circ }$. Acum facem un pas mai departe și studiem cel mai important patrulater din geometria clasei a VII-a: paralelogramul. Vei descoperi de ce, dacă cunoști o singură latură și un singur unghi, poți afla imediat toate celelalte laturi și unghiuri — o mică „superputere" a acestei figuri.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți corect definiția paralelogramului și să recunoști un paralelogram într-o configurație geometrică dată.
• Vei ști să demonstrezi că laturile opuse ale unui paralelogram sunt congruente, folosind triunghiuri congruente.
• Vei ști să folosești proprietatea unghiurilor opuse congruente și a unghiurilor alăturate suplementare pentru a calcula măsuri.
• Vei ști să calculezi toate unghiurile unui paralelogram cunoscând un singur unghi.
• Vei ști să notezi corect un paralelogram și să scrii congruențe de laturi și unghiuri folosind limbajul geometric.

Hai să descoperim împreună

1. De la patrulater la paralelogram

Reține mai întâi de unde plecăm. Un patrulater convex $ABCD$ este o figură cu patru vârfuri, patru laturi și două diagonale, în care fiecare unghi interior are măsura mai mică decât $180^{\circ }$. Laturile $AB$ și $CD$ se numesc laturi opuse, la fel și $BC$ și $AD$. Unghiurile $\hat{A}$ și $\hat{C}$ sunt unghiuri opuse, la fel $\hat{B}$ și $\hat{D}$. Unghiurile care au o latură comună — de exemplu $\hat{A}$ și $\hat{B}$ — se numesc unghiuri alăturate (sau consecutive).

Acum adăugăm o condiție specială. Ce se întâmplă dacă cerem ca ambele perechi de laturi opuse să fie paralele? Obținem paralelogramul.

2. Definiția paralelogramului

Definiție. Se numește paralelogram un patrulater convex care are laturile opuse paralele două câte două.

Cu alte cuvinte, patrulaterul $ABCD$ este paralelogram dacă și numai dacă: $$AB\parallel CD\text{și}BC\parallel AD.$$

Simbolul „$\parallel$" se citește „este paralel cu". Foarte important: în definiție cerem amândouă perechile de laturi opuse să fie paralele. Dacă doar o pereche ar fi paralelă, iar cealaltă nu, am obține un trapez (pe care îl vei studia mai târziu), nu un paralelogram.

Cum notăm un paralelogram? Scriem vârfurile în ordine, parcurgând conturul figurii, fie în sensul acelor de ceasornic, fie invers. Astfel, notația $ABCD$ înseamnă că laturile sunt, pe rând, $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. De aici rezultă că laturile opuse sunt $AB$ cu $CD$ și $BC$ cu $DA$, iar vârfurile opuse sunt $A$ cu $C$ și $B$ cu $D$. Atenție: dacă ai scrie „$ABDC$", ai amesteca ordinea vârfurilor și diagonalele s-ar transforma în laturi — notația ar fi greșită. Ordinea corectă a literelor este obligatorie în geometrie.

3. O observație-cheie: diagonala „taie" paralelogramul în două triunghiuri

Înainte de a demonstra proprietățile, hai să tragem o diagonală, de exemplu $AC$. Ea împarte paralelogramul $ABCD$ în două triunghiuri: $△ABC$ și $△CDA$. Toată „magia" proprietăților paralelogramului vine din faptul că aceste două triunghiuri sunt congruente. Odată ce dovedim asta, laturile și unghiurile care se corespund devin egale automat.

Ca să înțelegem de ce sunt congruente, ne folosim de o proprietate învățată la clasa a VI-a: când o secantă taie două drepte paralele, se formează perechi de unghiuri alterne interne congruente. Diagonala $AC$ joacă exact rolul de secantă.

4. Proprietatea 1 — laturile opuse sunt congruente (cu demonstrație)

Teoremă (laturile opuse). Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente.

Adică, dacă $ABCD$ este paralelogram, atunci $AB\equiv CD$ și $BC\equiv AD$ (echivalent, $AB=CD$ și $BC=AD$).

Hai să o demonstrăm pas cu pas, pentru că exact acest tip de raționament ți se cere la clasa a VII-a.

Ipoteză: $ABCD$ paralelogram, deci $AB\parallel CD$ și $BC\parallel AD$. Concluzie: $AB\equiv CD$ și $BC\equiv AD$.

Construcție ajutătoare: trasăm diagonala $AC$. Ea împarte figura în $△ABC$ și $△CDA$.

Demonstrație (pe pași):

1. Latura comună. Triunghiurile $△ABC$ și $△CDA$ au latura $AC$ comună, deci $AC\equiv CA$.
2. Prima pereche de unghiuri alterne interne. Deoarece $AB\parallel CD$ și $AC$ este secantă, unghiurile alterne interne sunt congruente: $$\widehat{BAC}\equiv \widehat{DCA}.$$
3. A doua pereche de unghiuri alterne interne. Deoarece $BC\parallel AD$ și $AC$ este secantă, avem la fel: $$\widehat{BCA}\equiv \widehat{DAC}.$$
4. Aplicăm criteriul de congruență ULU (unghi–latură–unghi). În cele două triunghiuri avem: un unghi congruent ($\widehat{BAC}\equiv \widehat{DCA}$), latura alăturată comună ($AC$), și încă un unghi congruent ($\widehat{BCA}\equiv \widehat{DAC}$). Prin urmare: $$△ABC\equiv △CDA.$$
5. Consecință. Din congruența triunghiurilor rezultă că laturile care se corespund sunt congruente. Astfel: $$AB\equiv CD\text{și}BC\equiv DA.$$

Ceea ce trebuia demonstrat. $■$

Reține analogia: e ca și cum ai plia paralelogramul de-a lungul diagonalei $AC$ — cele două triunghiuri se suprapun perfect. De aceea laturile de „aceeași parte" a diagonalei sunt egale între ele.

O consecință practică imediată: perimetrul unui paralelogram cu laturile $AB=b$ și $BC=a$ este $$P=2\cdot (a+b),$$ pentru că laturile opuse sunt egale (avem $CD=AB=b$ și $AD=BC=a$).

5. Proprietatea 2 — unghiurile opuse sunt congruente

Teoremă (unghiuri opuse). Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente.

Adică, în paralelogramul $ABCD$: $\hat{A}\equiv \hat{C}$ și $\hat{B}\equiv \hat{D}$.

Această proprietate iese direct din demonstrația de mai sus. Din congruența $△ABC\equiv △CDA$ rezultă că $\hat{B}\equiv \hat{D}$ (sunt unghiurile care se corespund în cele două triunghiuri). Pentru cealaltă pereche, tragem diagonala $BD$ și repetăm exact același raționament: $△ABD\equiv △CDB$, de unde $\hat{A}\equiv \hat{C}$.

Există și o cale mai scurtă, prin adunarea unghiurilor, pe care o vezi mai jos, după ce discutăm unghiurile alăturate.

6. Proprietatea 3 — unghiurile alăturate sunt suplementare

Aceasta este proprietatea pe care o vei folosi cel mai des în calcule.

Teoremă (unghiuri alăturate). Într-un paralelogram, oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare (suma lor este $180^{\circ }$).

Adică: $$\hat{A}+\hat{B}=180^{\circ },\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ },\hat{C}+\hat{D}=180^{\circ },\hat{D}+\hat{A}=180^{\circ }.$$

De ce? Privește laturile $AD$ și $BC$: ele sunt paralele ($AD\parallel BC$). Latura $AB$ este o secantă care le taie. Unghiurile $\hat{A}$ (la vârful $A$) și $\hat{B}$ (la vârful $B$) sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei. Or, la clasa a VI-a ai învățat că unghiurile interne de aceeași parte a secantei, formate de două paralele, sunt suplementare. Deci $\hat{A}+\hat{B}=180^{\circ }$. La fel se raționează pentru fiecare pereche de unghiuri alăturate.

Legătura dintre proprietăți. Din faptul că unghiurile alăturate sunt suplementare deducem imediat, încă o dată, că unghiurile opuse sunt congruente. Iată raționamentul: $$\hat{A}+\hat{B}=180^{\circ }\text{și}\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }.$$ Cele două sume sunt egale (ambele $180^{\circ }$), deci $$\hat{A}+\hat{B}=\hat{B}+\hat{C}\Rightarrow \hat{A}=\hat{C}.$$ Analog obținem $\hat{B}=\hat{D}$. Frumos, nu? Proprietățile se sprijină una pe alta.

7. Formula „un singur unghi decide tot"

Iată superputerea promisă la început. Dacă știi un singur unghi al paralelogramului, să zicem $\hat{A}=x$, atunci le poți afla pe toate:

• Unghiul opus este egal: $\hat{C}=\hat{A}=x$.
• Unghiurile alăturate sunt suplementarul lui: $\hat{B}=\hat{D}=180^{\circ }-x$.

Verificare rapidă a sumei totale: $x+(180^{\circ }-x)+x+(180^{\circ }-x)=360^{\circ }$. Se potrivește perfect cu regula sumei unghiurilor unui patrulater convex. Aceasta e o metodă bună de a-ți verifica întotdeauna calculele: suma celor patru unghiuri trebuie să dea $360^{\circ }$.

Reține tabelul „mental":

Un caz special: dacă un unghi al paralelogramului este drept ($90^{\circ }$), atunci alăturatul lui este $180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$, deci toate unghiurile sunt drepte. Un astfel de paralelogram este chiar un dreptunghi — dar despre paralelogramele particulare vei citi într-o lecție viitoare, dreptunghiul și proprietățile lui.

8. Recapitularea proprietăților (harta mentală)

Ține minte aceste patru afirmații despre orice paralelogram $ABCD$:

1. Laturi opuse paralele (definiția): $AB\parallel CD$, $BC\parallel AD$.
2. Laturi opuse congruente: $AB=CD$, $BC=AD$.
3. Unghiuri opuse congruente: $\hat{A}=\hat{C}$, $\hat{B}=\hat{D}$.
4. Unghiuri alăturate suplementare: suma a două unghiuri vecine este $180^{\circ }$.

(Mai există o a cincea proprietate, cea a diagonalelor, pe care o vei studia separat în lecția paralelogramul: proprietatea diagonalelor.)

Acum că avem uneltele, hai să le folosim.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — calculul tuturor unghiurilor dintr-unul singur

Enunț. În paralelogramul $ABCD$ se cunoaște $\hat{A}=63^{\circ }$. Află măsurile celorlalte trei unghiuri.

Rezolvare.

• $\hat{C}$ este opus lui $\hat{A}$, deci $\hat{C}=\hat{A}=63^{\circ }$.
• $\hat{B}$ este alăturat lui $\hat{A}$, deci suplementar: $\hat{B}=180^{\circ }-63^{\circ }=117^{\circ }$.
• $\hat{D}$ este opus lui $\hat{B}$, deci $\hat{D}=117^{\circ }$.

Verificare: $63^{\circ }+117^{\circ }+63^{\circ }+117^{\circ }=360^{\circ }$. ✓

Răspuns: $\hat{B}=\hat{D}=117^{\circ }$, $\hat{C}=63^{\circ }$.

Exemplul 2 — perimetrul dintr-o pereche de laturi

Enunț. În paralelogramul $MNPQ$ avem $MN=8,5$ cm și $NP=5$ cm. Calculează perimetrul.

Rezolvare. În paralelogram laturile opuse sunt congruente, deci $PQ=MN=8,5$ cm și $MQ=NP=5$ cm. Perimetrul este $$P=MN+NP+PQ+QM=8,5+5+8,5+5=27\text{ cm}.$$ Sau, mai rapid, $P=2\cdot (8,5+5)=2\cdot 13,5=27$ cm.

Răspuns: $P=27$ cm.

Exemplul 3 — două unghiuri legate printr-o relație

Enunț. În paralelogramul $ABCD$, unghiul $\hat{A}$ este cu $40^{\circ }$ mai mare decât unghiul $\hat{B}$. Află toate unghiurile.

Rezolvare. $\hat{A}$ și $\hat{B}$ sunt unghiuri alăturate, deci suplementare: $$\hat{A}+\hat{B}=180^{\circ }.$$ Din ipoteză, $\hat{A}=\hat{B}+40^{\circ }$. Notăm $\hat{B}=x$. Atunci $\hat{A}=x+40^{\circ }$ și înlocuim: $$(x+40^{\circ })+x=180^{\circ }\Rightarrow 2x+40^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow 2x=140^{\circ }\Rightarrow x=70^{\circ }.$$ Deci $\hat{B}=70^{\circ }$ și $\hat{A}=110^{\circ }$. Prin urmare $\hat{C}=\hat{A}=110^{\circ }$ și $\hat{D}=\hat{B}=70^{\circ }$.

Verificare: $110^{\circ }+70^{\circ }+110^{\circ }+70^{\circ }=360^{\circ }$. ✓

Răspuns: $\hat{A}=\hat{C}=110^{\circ }$, $\hat{B}=\hat{D}=70^{\circ }$.

Exemplul 4 — perimetrul cu o relație între laturi și o ecuație

Enunț. Un paralelogram are perimetrul de $46$ cm, iar o latură este cu $3$ cm mai lungă decât latura alăturată. Află lungimile laturilor.

Rezolvare. Fie latura mai scurtă $a$ cm; atunci latura alăturată este $a+3$ cm. Perimetrul este $P=2(a+(a+3))$: $$2(a+a+3)=46\Rightarrow 2(2a+3)=46\Rightarrow 2a+3=23\Rightarrow 2a=20\Rightarrow a=10.$$ Deci laturile sunt $10$ cm și $13$ cm.

Verificare: $2\cdot (10+13)=2\cdot 23=46$ cm. ✓

Răspuns: laturile paralelogramului sunt $10$ cm și $13$ cm (fiecare apărând de două ori).

Exemplul 5 — unghiuri în raportul dat

Enunț. În paralelogramul $EFGH$, măsurile a două unghiuri alăturate sunt direct proporționale cu numerele $2$ și $7$. Află toate unghiurile.

Rezolvare. Fie unghiurile alăturate $2k$ și $7k$ (grade). Ele sunt suplementare: $$2k+7k=180^{\circ }\Rightarrow 9k=180^{\circ }\Rightarrow k=20^{\circ }.$$ Deci unghiurile alăturate sunt $2\cdot 20^{\circ }=40^{\circ }$ și $7\cdot 20^{\circ }=140^{\circ }$. Unghiurile opuse repetă aceste valori.

Verificare: $40^{\circ }+140^{\circ }+40^{\circ }+140^{\circ }=360^{\circ }$. ✓

Răspuns: $\hat{E}=\hat{G}=40^{\circ }$ și $\hat{F}=\hat{H}=140^{\circ }$ (sau invers, în funcție de vârful de la care începi).

Exemplul 6 — o mică demonstrație de congruență

Enunț. În paralelogramul $ABCD$ se trasează diagonala $BD$. Arată că $△ABD\equiv △CDB$ și deduce că $AB=CD$.

Rezolvare. Ipoteză: $ABCD$ paralelogram, deci $AB\parallel CD$ și $AD\parallel BC$. Concluzie: $△ABD\equiv △CDB$.

1. Latura $BD$ este comună celor două triunghiuri: $BD\equiv DB$.
2. Din $AB\parallel CD$ cu secanta $BD$, unghiurile alterne interne sunt congruente: $\widehat{ABD}\equiv \widehat{CDB}$.
3. Din $AD\parallel BC$ cu secanta $BD$, unghiurile alterne interne sunt congruente: $\widehat{ADB}\equiv \widehat{CBD}$.
4. Prin criteriul ULU: un unghi ($\widehat{ABD}\equiv \widehat{CDB}$), latura alăturată comună ($BD$), încă un unghi ($\widehat{ADB}\equiv \widehat{CBD}$), deci $△ABD\equiv △CDB$.
5. Din congruența triunghiurilor, laturile corespunzătoare sunt egale, deci $AB\equiv CD$. $■$

Observație: este exact același tip de raționament ca în demonstrația teoremei laturilor opuse, dar cu cealaltă diagonală. Astfel confirmăm din nou proprietatea, ceea ce arată coerența întregii teorii.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu notație corectă și justificare acolo unde se cere. Răspunsurile sunt la finalul lecției — dar încearcă întâi singur.

1. Completează: un paralelogram este un patrulater convex cu ______ paralele două câte două.

2. În paralelogramul $ABCD$ scrie perechile de laturi opuse și perechile de unghiuri opuse.

3. În paralelogramul $ABCD$ se cunoaște $\hat{A}=72^{\circ }$. Află $\hat{B}$, $\hat{C}$ și $\hat{D}$.

4. În paralelogramul $MNPQ$, $\hat{N}=118^{\circ }$. Cât măsoară $\hat{M}$, $\hat{P}$ și $\hat{Q}$?

5. Un paralelogram are laturile de $6$ cm și $11$ cm. Cât este perimetrul lui?

6. Perimetrul unui paralelogram este $34$ cm, iar una dintre laturi are $12$ cm. Află lungimea laturii alăturate.

7. Adevărat sau fals (motivează): „Într-un paralelogram, oricare două unghiuri sunt egale."

8. Adevărat sau fals (motivează): „Dacă un unghi al unui paralelogram are $90^{\circ }$, atunci toate unghiurile au $90^{\circ }$."

9. În paralelogramul $ABCD$, $\hat{A}$ este de trei ori mai mare decât $\hat{B}$. Află toate unghiurile.

10. În paralelogramul $ABCD$, $\hat{A}-\hat{B}=24^{\circ }$. Află cele patru unghiuri.

11. Într-un paralelogram, două unghiuri alăturate au măsurile direct proporționale cu $3$ și $5$. Află toate unghiurile.

12. Un paralelogram are perimetrul de $60$ cm, iar o latură este de $4$ ori mai lungă decât latura alăturată. Află lungimile laturilor.

13. Justifică: de ce este imposibil ca un paralelogram să aibă un unghi de $200^{\circ }$?

14. În paralelogramul $ABCD$ se trasează diagonala $AC$. Se știe că $\widehat{BAC}=35^{\circ }$ și $\widehat{BCA}=48^{\circ }$. Află $\hat{B}$ și apoi $\hat{D}$.

15. Desenează/construiește: desenează un paralelogram $ABCD$ cu $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $\hat{A}=60^{\circ }$. Marchează pe desen laturile congruente și unghiurile congruente.

16. Problemă aplicată. Un cadru metalic pentru o poartă are forma unui paralelogram. Latura de jos are $2,4$ m, iar latura verticală (înclinată) are $1,5$ m. Cât metal (în metri) este necesar pentru întregul contur al cadrului?

17. Raționament. În paralelogramul $ABCD$, $\hat{A}$ și $\hat{C}$ însumate dau $150^{\circ }$. Cât măsoară fiecare dintre ele? Cât măsoară $\hat{B}$?

18. Problemă cu ecuație. Într-un paralelogram, măsura unui unghi, exprimată în grade, este $(3x+10{)}^{\circ }$, iar a unghiului alăturat este $(2x-5{)}^{\circ }$. Află valoarea lui $x$ și măsurile celor patru unghiuri.

Răspunsuri și explicații

1. laturile opuse. Definiția: patrulater convex cu laturile opuse paralele două câte două.

2. Laturi opuse: $AB$ cu $CD$ și $BC$ cu $AD$. Unghiuri opuse: $\hat{A}$ cu $\hat{C}$ și $\hat{B}$ cu $\hat{D}$.

3. $\hat{C}=\hat{A}=72^{\circ }$ (unghiuri opuse); $\hat{B}=180^{\circ }-72^{\circ }=108^{\circ }$ (alăturat, suplementar); $\hat{D}=\hat{B}=108^{\circ }$. Verificare: $72+108+72+108=360^{\circ }$. ✓

4. $\hat{P}=\hat{N}=118^{\circ }$; $\hat{M}=180^{\circ }-118^{\circ }=62^{\circ }$; $\hat{Q}=\hat{M}=62^{\circ }$. Verificare: $118+62+118+62=360^{\circ }$. ✓

5. $P=2\cdot (6+11)=2\cdot 17=34$ cm.

6. Semiperimetrul este $34:2=17$ cm, adică suma a două laturi alăturate. Latura alăturată = $17-12=5$ cm.

7. Fals. Sunt egale doar unghiurile opuse. Unghiurile alăturate sunt suplementare, deci egale numai în cazul particular când toate au $90^{\circ }$ (dreptunghi). În general, de exemplu $\hat{A}=70^{\circ }$ și $\hat{B}=110^{\circ }$ nu sunt egale.

8. Adevărat. Dacă $\hat{A}=90^{\circ }$, atunci $\hat{B}=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$, iar unghiurile opuse repetă valorile, deci toate patru sunt de $90^{\circ }$ (paralelogramul este un dreptunghi).

9. Fie $\hat{B}=x$; atunci $\hat{A}=3x$. Sunt alăturate: $3x+x=180^{\circ }\Rightarrow 4x=180^{\circ }\Rightarrow x=45^{\circ }$. Deci $\hat{B}=\hat{D}=45^{\circ }$, $\hat{A}=\hat{C}=135^{\circ }$. Verificare: $135+45+135+45=360^{\circ }$. ✓

10. $\hat{A}+\hat{B}=180^{\circ }$ și $\hat{A}-\hat{B}=24^{\circ }$. Adunând: $2\hat{A}=204^{\circ }\Rightarrow \hat{A}=102^{\circ }$, deci $\hat{B}=180^{\circ }-102^{\circ }=78^{\circ }$. Atunci $\hat{C}=102^{\circ }$, $\hat{D}=78^{\circ }$. Verificare: $102+78+102+78=360^{\circ }$. ✓

11. Unghiurile alăturate $3k$ și $5k$: $3k+5k=180^{\circ }\Rightarrow 8k=180^{\circ }\Rightarrow k=22,5^{\circ }$. Deci $3k=67,5^{\circ }$ și $5k=112,5^{\circ }$. Unghiurile paralelogramului: $67,5^{\circ },112,5^{\circ },67,5^{\circ },112,5^{\circ }$. Verificare: suma $=360^{\circ }$. ✓

12. Fie latura mică $a$; latura alăturată $4a$. Semiperimetrul: $a+4a=60:2=30\Rightarrow 5a=30\Rightarrow a=6$ cm. Laturile sunt $6$ cm și $24$ cm. Verificare: $2\cdot (6+24)=60$ cm. ✓

13. Un paralelogram este un patrulater convex, deci fiecare unghi interior are măsura mai mică de $180^{\circ }$. Un unghi de $200^{\circ }>180^{\circ }$ ar face figura neconvexă, contrazicând definiția. Deci este imposibil.

14. Unghiul $\hat{B}$ al paralelogramului este chiar unghiul din vârful $B$ al triunghiului $ABC$. În $△ABC$, suma unghiurilor este $180^{\circ }$: $\hat{B}=180^{\circ }-\widehat{BAC}-\widehat{BCA}=180^{\circ }-35^{\circ }-48^{\circ }=97^{\circ }$. Atunci $\hat{D}=\hat{B}=97^{\circ }$ (unghiuri opuse).

15. Construcție. Pași: desenezi segmentul $AB=6$ cm; la $A$ construiești un unghi de $60^{\circ }$ și pe latura lui iei $AD=4$ cm; prin $D$ duci o paralelă la $AB$, iar prin $B$ o paralelă la $AD$; intersecția lor este $C$. Rezultă $ABCD$ paralelogram cu $CD=AB=6$ cm, $BC=AD=4$ cm, $\hat{C}=\hat{A}=60^{\circ }$, $\hat{B}=\hat{D}=120^{\circ }$. Marchezi laturile opuse cu semne identice și unghiurile opuse cu arce identice.

paralelogramul ABCD construit cu AB=6 cm orizontal, unghiul de 60° la A, AD=4 cm oblic; laturile opuse marcate cu o liniuță/două liniuțe, unghiurile A și C marcate cu arc dublu.

16. Perimetrul cadrului: $P=2\cdot (2,4+1,5)=2\cdot 3,9=7,8$ m de metal.

17. $\hat{A}$ și $\hat{C}$ sunt unghiuri opuse, deci egale; suma lor este $150^{\circ }$, prin urmare fiecare are $150^{\circ }:2=75^{\circ }$. Atunci $\hat{B}=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$.

18. Unghiurile alăturate sunt suplementare: $(3x+10)+(2x-5)=180\Rightarrow 5x+5=180\Rightarrow 5x=175\Rightarrow x=35$. Unghiurile: $3x+10=115^{\circ }$ și $2x-5=65^{\circ }$. Cele patru unghiuri: $115^{\circ },65^{\circ },115^{\circ },65^{\circ }$. Verificare: suma $=360^{\circ }$. ✓

De reținut

• Definiție: paralelogramul este un patrulater convex cu laturile opuse paralele două câte două: $AB\parallel CD$ și $BC\parallel AD$.
• Laturi opuse congruente: $AB=CD$ și $BC=AD$ (se demonstrează cu triunghiuri congruente, prin diagonală și criteriul ULU).
• Unghiuri opuse congruente: $\hat{A}=\hat{C}$ și $\hat{B}=\hat{D}$.
• Unghiuri alăturate suplementare: suma a două unghiuri vecine este $180^{\circ }$. De aici: dacă $\hat{A}=x$, atunci $\hat{C}=x$ și $\hat{B}=\hat{D}=180^{\circ }-x$.
• Verificare de siguranță: suma tuturor unghiurilor unui paralelogram este mereu $360^{\circ }$; perimetrul este $P=2(a+b)$.

Greșeli frecvente

• Confuzia „toate unghiurile egale". Nu! Doar unghiurile opuse sunt egale. Cele alăturate sunt suplementare. Egale toate patru sunt doar la dreptunghi și pătrat.
• Amestecarea ordinii vârfurilor. Într-un paralelogram $ABCD$, laturile sunt $AB,BC,CD,DA$ — în ordine pe contur. Dacă scrii vârfurile aiurea (de exemplu $ABDC$), diagonalele devin „laturi" și proprietățile nu se mai aplică. Parcurge mereu conturul în ordine.
• Aplicarea suplementarului la unghiuri opuse. Unghiurile opuse nu se adună la $180^{\circ }$ — ele sunt egale. Suplementare sunt doar unghiurile alăturate (vecine).
• Uitarea că laturile opuse sunt egale la calculul perimetrului. Perimetrul nu este suma a patru numere diferite: fiecare latură are „geamăna" ei. Folosește $P=2(a+b)$ și verifică.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de paralelograme. Timp de o zi, caută prin casă și pe stradă cinci obiecte care au forma unui paralelogram (nu neapărat dreptunghi): un ecran înclinat, o rampă, o etichetă oblică, un gard cu șipci în „zăbrele", o umbrelă de soare împinsă. Pentru fiecare, verifică dacă laturile opuse par paralele și egale. Notează-le într-un tabel.

2. Măsoară și verifică proprietățile. Desenează pe o coală un paralelogram oarecare (nu dreptunghi). Cu rigla, măsoară cele patru laturi și verifică dacă laturile opuse sunt egale. Cu raportorul, măsoară cele patru unghiuri și verifică: unghiurile opuse egale? unghiurile alăturate dau împreună aproximativ $180^{\circ }$? Notează micile diferențe și explică-le prin imprecizia măsurării.

3. Cadrul „elastic". Construiește din patru bețișoare (sau paie) și puncte de prindere flexibile un patrulater cu laturi opuse egale, apoi „împinge-l" într-o parte. Observă cum unghiurile se schimbă, dar laturile opuse rămân paralele și egale — exact ce spune teoria. Măsoară un unghi înainte și după împingere și calculează de fiecare dată celelalte trei folosind formulele din lecție.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează două deprinderi esențiale de clasa a VII-a: recunoașterea unei figuri după definiție și folosirea proprietăților în calcule și demonstrații. Pentru a verifica înțelegerea, puneți întrebări scurte de tip „de ce": „De ce sunt laturile opuse egale?" (răspuns așteptat: pentru că diagonala împarte figura în două triunghiuri congruente). „De ce, dacă știu un unghi, le știu pe toate?" (opusele egale, alăturatele suplementare).

Un semn bun de înțelegere este când elevul verifică singur suma unghiurilor ($360^{\circ }$) și perimetrul, fără să i se ceară. Dacă elevul confundă „opuse" cu „alăturate", cereți-i să deseneze paralelogramul și să coloreze cu aceeași culoare unghiurile egale — vizualizarea corectează rapid confuzia. Insistați și pe notația în ordine a vârfurilor: multe greșeli pornesc de acolo. Un mini-test util: dați o singură măsură de unghi și cereți celelalte trei, apoi o pereche de laturi și cereți perimetrul.

Întrebări frecvente

Ce este un paralelogram, pe scurt, la clasa a 7-a? Este un patrulater convex care are laturile opuse paralele două câte două. Din această singură condiție decurg toate celelalte proprietăți: laturile opuse egale, unghiurile opuse egale și unghiurile alăturate suplementare.

Care sunt proprietățile paralelogramului legate de laturi și unghiuri? Laturile opuse sunt paralele (din definiție) și congruente (egale). Unghiurile opuse sunt congruente, iar oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare, adică se adună la $180^{\circ }$.

De ce sunt laturile opuse ale paralelogramului congruente? Pentru că o diagonală împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente (criteriul ULU, folosind unghiurile alterne interne formate de laturile paralele cu diagonala ca secantă). Laturile care se corespund în aceste triunghiuri sunt tocmai laturile opuse ale paralelogramului.

Cum aflu toate unghiurile unui paralelogram dacă știu doar unul? Unghiul opus este egal cu cel dat. Fiecare unghi alăturat este suplementarul lui, adică $180^{\circ }$ minus unghiul dat. De exemplu, dacă un unghi are $70^{\circ }$, opusul are tot $70^{\circ }$, iar celelalte două au câte $110^{\circ }$.

Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale sau suplementare? Sunt egale (congruente). Suplementare sunt unghiurile alăturate (vecine), nu cele opuse. Este o confuzie foarte frecventă, așa că merită reținută cu atenție.

Care este diferența dintre paralelogram și trapez? La paralelogram ambele perechi de laturi opuse sunt paralele. La trapez este paralelă doar o pereche de laturi opuse. Deci orice paralelogram ar putea fi privit ca un caz special, dar trapezul propriu-zis are exact o pereche de laturi paralele.

Suma unghiurilor unui paralelogram cât este? Este $360^{\circ }$, la fel ca la orice patrulater convex. Poți folosi mereu acest lucru ca verificare: dacă aduni cele patru unghiuri calculate și nu obții $360^{\circ }$, ai greșit undeva.

Este dreptunghiul un paralelogram? Da. Dreptunghiul este un paralelogram particular, care are în plus toate unghiurile drepte (de $90^{\circ }$). Vei studia acest caz special în lecția despre dreptunghiul și proprietățile lui, împreună cu rombul și pătratul.