Aria rombului

Te-ai uitat vreodată la un zmeu care se leagănă pe cer, la un romb desenat pe o eșarfă sau la modelul în formă de diamant de pe un gard metalic? Toate acestea au forma unui romb: un patrulater cu toate cele patru laturi egale. În această lecție vei învăța cum se calculează aria rombului la clasa a 7-a și vei descoperi ceva foarte elegant: rombul are o formulă specială care folosește doar cele două diagonale. Nici măcar nu ai nevoie să știi înălțimea — îți ajunge să înmulțești diagonalele și să împarți la 2. Hai să vedem de unde vine această formulă și cum o folosim ca să rezolvăm orice problemă.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi aria rombului în două moduri: cu baza și înălțimea ($A=b\cdot h$) și cu produsul diagonalelor ($A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$).
• Vei ști să folosești proprietățile diagonalelor rombului — că sunt perpendiculare și se înjumătățesc reciproc — în rezolvarea problemelor.
• Vei ști să afli o diagonală necunoscută sau latura rombului pornind de la datele problemei, folosind și teorema lui Pitagora.
• Vei ști să legi aria de perimetru și să recunoști când e mai practic să folosești o formulă sau cealaltă.

Hai să descoperim împreună

Ne amintim ce este rombul

Înainte de arie, să ne reamintim pe scurt cine este rombul. Ai studiat proprietățile lui în lecția Rombul și proprietățile lui, așa că aici doar recapitulăm ce ne trebuie.

Rombul este un paralelogram cu toate laturile congruente (egale). Fiind paralelogram, moștenește toate proprietățile paralelogramului: laturile opuse sunt paralele, unghiurile opuse sunt egale, iar diagonalele se înjumătățesc. Dar rombul are, în plus, două proprietăți speciale foarte importante pentru aria lui:

1. Diagonalele rombului sunt perpendiculare (se taie sub un unghi de $90°$).
2. Diagonalele rombului se înjumătățesc reciproc (fiecare o taie pe cealaltă exact la mijloc) — aceasta o are de la paralelogram, dar la romb o vom folosi intens.

Aceste două proprietăți sunt cheia întregii lecții. Ține-le minte bine.

Vom nota, ca de obicei, rombul cu $ABCD$, latura cu $\ell$ (sau $l$), iar cele două diagonale cu $d_1=AC$ și $d_2=BD$. Punctul lor de intersecție îl notăm cu $O$.

Prima formulă: rombul este un paralelogram

Iată prima idee importantă. Rombul este un paralelogram particular. Asta înseamnă că orice formulă valabilă pentru paralelogram este valabilă și pentru romb. În lecția Aria paralelogramului ai învățat că aria paralelogramului este:

$$A=b\cdot h$$

unde $b$ este lungimea unei laturi (baza), iar $h$ este înălțimea corespunzătoare, adică distanța dintre latura aleasă ca bază și latura opusă ei.

Deci, dacă știm o latură a rombului și înălțimea care cade pe ea, putem calcula direct aria. De exemplu, dacă un romb are latura de $6$ cm și înălțimea de $5$ cm, aria lui este:

$$A=b\cdot h=6\cdot 5=30{\text{ cm}}^2.$$

Această formulă e utilă, dar are un mic dezavantaj: în multe probleme nu ni se dă înălțimea rombului, ci diagonalele lui. Iar înălțimea rombului nu e mereu ușor de aflat. De aceea, pentru romb, avem o formulă mult mai comodă și mai des folosită — formula cu diagonalele.

A doua formulă: aria rombului cu diagonalele

Aceasta este vedeta lecției: formula ariei rombului cu diagonalele.

$$\boxed{A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}}$$

În cuvinte: aria unui romb este egală cu produsul diagonalelor împărțit la 2. Simplu, nu-i așa? Înmulțești cele două diagonale și împarți rezultatul la doi. Atât.

Dar de ce funcționează? La matematică nu ne mulțumim să memorăm o formulă — vrem să înțelegem de unde vine. Hai să o demonstrăm în două feluri, ca să o înțelegi cu adevărat.

De ce este $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$ — demonstrația cu cele patru triunghiuri

Ne folosim de cele două proprietăți pe care le-am scos în evidență: diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc.

Fie rombul $ABCD$ cu diagonalele $AC=d_1$ și $BD=d_2$, care se intersectează în $O$. Pentru că diagonalele se înjumătățesc, avem:

$$AO=OC=\frac{d_1}{2},BO=OD=\frac{d_2}{2}.$$

Pentru că diagonalele sunt perpendiculare, în punctul $O$ se formează patru unghiuri drepte. Astfel, diagonalele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice congruente: $△AOB$, $△BOC$, $△COD$, $△DOA$.

Să calculăm aria unui singur triunghi, de exemplu $△AOB$. El este dreptunghic în $O$, deci cele două catete sunt $AO=\frac{d_1}{2}$ și $BO=\frac{d_2}{2}$. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor:

$$A_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO=\frac{1}{2}\cdot \frac{d_1}{2}\cdot \frac{d_2}{2}=\frac{d_1\cdot d_2}{8}.$$

Rombul este format din patru astfel de triunghiuri egale, deci aria lui este de patru ori mai mare:

$$A=4\cdot \frac{d_1\cdot d_2}{8}=\frac{4d_1{d}_2}{8}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}.$$

Iată, am obținut exact formula! Frumos, nu? Diagonalele perpendiculare taie rombul în bucăți dreptunghice ușor de calculat, iar la final totul se simplifică elegant.

O a doua explicație: dreptunghiul din jurul rombului

Există și o imagine geometrică foarte intuitivă. Desenează un romb și apoi construiește un dreptunghi în jurul lui, ale cărui laturi trec prin vârfurile rombului și sunt paralele cu diagonalele. Vei obține un dreptunghi cu lungimea egală cu $d_1$ și lățimea egală cu $d_2$.

Aria acestui dreptunghi este $d_1\cdot d_2$. Dacă privești cu atenție, vei observa că rombul acoperă exact jumătate din dreptunghi: cele patru colțuri ale dreptunghiului, rămase în afara rombului, se pot suprapune perfect peste cele patru triunghiuri din interiorul rombului. Deci aria rombului este jumătate din aria dreptunghiului:

$$A_{\text{romb}}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}.$$

Aceeași formulă, obținută altfel. Când o formulă apare pe două căi diferite, poți fi sigur că e corectă.

Legătura dintre latură și diagonale: teorema lui Pitagora

Iată încă o unealtă foarte puternică pe care ne-o dă rombul. Am văzut că diagonalele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice. Într-un astfel de triunghi, de exemplu $△AOB$:

• catetele sunt $AO=\frac{d_1}{2}$ și $BO=\frac{d_2}{2}$;
• ipotenuza este chiar latura rombului, $AB=\ell$.

Aplicând teorema lui Pitagora în acest triunghi, obținem o relație de aur între latura rombului și diagonalele lui:

$${\ell }^2={\left(\frac{d_1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2.$$

Această relație ne permite să facem un lucru extrem de util: dacă știm cele două diagonale, putem afla latura; iar dacă știm latura și o diagonală, putem afla cealaltă diagonală.

De exemplu, dacă un romb are diagonalele $d_1=6$ cm și $d_2=8$ cm, atunci jumătățile lor sunt $3$ cm și $4$ cm, iar latura este:

$${\ell }^2=3^2+4^2=9+16=25\Rightarrow \ell =\sqrt{25}=5\text{ cm}.$$

Recunoști? Este celebrul triunghi dreptunghic cu laturile $3,4,5$. Reține deci: la romb, latura și jumătățile diagonalelor formează mereu un triunghi dreptunghic, unde latura este ipotenuza.

Când folosesc fiecare formulă?

Ai acum trei relații în trusa de unelte. Iată cum alegi:

Regula practică: dacă problema îți dă diagonalele, aproape mereu vei folosi $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$. Dacă îți dă latura și înălțimea, folosești $A=b\cdot h$. Iar dacă trebuie să treci de la diagonale la latură (sau invers), scoți teorema lui Pitagora.

Atenție la unități

Un ultim detaliu, dar foarte important. Aria se măsoară în unități pătrate: ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$, ${\text{dm}}^2$ și așa mai departe. Când calculezi aria, nu uita să pui la rezultat unitatea corectă. Dacă lungimile sunt în centimetri, aria iese în centimetri pătrați. Și mai ai grijă ca toate lungimile din problemă să fie în aceeași unitate înainte de a le înmulți — dacă o diagonală e în cm și cealaltă în dm, transformă-le mai întâi în aceeași unitate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — aria din diagonale (aplicare directă)

Enunț: Un romb are diagonalele de $10$ cm și $12$ cm. Calculează aria rombului.

Rezolvare: Avem $d_1=10$ cm și $d_2=12$ cm. Aplicăm formula cu diagonalele:

$$A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{10\cdot 12}{2}=\frac{120}{2}=60{\text{ cm}}^2.$$

Răspuns: Aria rombului este $60{\text{ cm}}^2$.

Exemplul 2 — aria din latură și înălțime

Enunț: Un romb are latura de $9$ cm, iar înălțimea corespunzătoare este de $4$ cm. Cât este aria rombului?

Rezolvare: Aici nu avem diagonalele, ci latura (baza) și înălțimea. Folosim formula de paralelogram:

$$A=b\cdot h=9\cdot 4=36{\text{ cm}}^2.$$

Răspuns: Aria rombului este $36{\text{ cm}}^2$. Observă cât de simplu — nu am avut nevoie deloc de diagonale.

Exemplul 3 — aflarea unei diagonale când știm aria

Enunț: Un romb are aria de $84{\text{ cm}}^2$, iar una dintre diagonale măsoară $12$ cm. Află lungimea celeilalte diagonale.

Rezolvare: Știm $A=84{\text{ cm}}^2$ și $d_1=12$ cm. Pornim de la formula ariei și o „întoarcem" ca să scoatem necunoscuta $d_2$:

$$A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\Rightarrow 84=\frac{12\cdot d_2}{2}.$$

Înmulțim ambele părți cu $2$:

$$168=12\cdot d_2.$$

Împărțim la $12$:

$$d_2=\frac{168}{12}=14\text{ cm}.$$

Verificare: $\frac{12\cdot 14}{2}=\frac{168}{2}=84{\text{ cm}}^2$. Corect.

Răspuns: Cealaltă diagonală are $14$ cm.

Exemplul 4 — latura din diagonale (cu Pitagora)

Enunț: Diagonalele unui romb au lungimile de $16$ cm și $30$ cm. Calculează aria și perimetrul rombului.

Rezolvare: Mai întâi aria, care e cea mai ușoară:

$$A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{16\cdot 30}{2}=\frac{480}{2}=240{\text{ cm}}^2.$$

Pentru perimetru avem nevoie de latură. Jumătățile diagonalelor sunt $\frac{16}{2}=8$ cm și $\frac{30}{2}=15$ cm. În triunghiul dreptunghic format, latura este ipotenuza:

$${\ell }^2=8^2+15^2=64+225=289\Rightarrow \ell =\sqrt{289}=17\text{ cm}.$$

Perimetrul rombului (care are patru laturi egale) este:

$$P=4\cdot \ell =4\cdot 17=68\text{ cm}.$$

Răspuns: Aria este $240{\text{ cm}}^2$, iar perimetrul este $68$ cm.

Exemplul 5 — legătura dintre cele două formule

Enunț: Un romb are diagonalele de $6$ cm și $8$ cm. Aflând mai întâi latura, calculează înălțimea rombului.

Rezolvare: Calculăm aria cu diagonalele:

$$A=\frac{6\cdot 8}{2}=24{\text{ cm}}^2.$$

Aflăm latura cu Pitagora, folosind jumătățile $3$ cm și $4$ cm:

$${\ell }^2=3^2+4^2=9+16=25\Rightarrow \ell =5\text{ cm}.$$

Acum folosim cealaltă formulă a ariei, $A=b\cdot h=\ell \cdot h$, ca să scoatem înălțimea. Aria e aceeași, indiferent de formulă:

$$24=5\cdot h\Rightarrow h=\frac{24}{5}=4,8\text{ cm}.$$

Răspuns: Latura este $5$ cm, iar înălțimea rombului este $4,8$ cm. Observă ideea puternică: aria e una singură, dar poate fi scrisă în două feluri, iar egalarea celor două expresii ne dă ce lipsește.

Exemplul 6 — problemă aplicată

Enunț: Un grădinar vrea să acopere cu gazon un rond de flori în formă de romb, ale cărui diagonale sunt de $5$ m și $6$ m. Un metru pătrat de gazon costă $8$ lei. Cât plătește grădinarul?

Rezolvare: Calculăm întâi aria rondului:

$$A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{5\cdot 6}{2}=\frac{30}{2}=15{\text{ m}}^2.$$

Costul total este aria înmulțită cu prețul pe metru pătrat:

$$C=15\cdot 8=120\text{ lei}.$$

Răspuns: Grădinarul plătește $120$ de lei.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Sunt aranjate de la ușor la greu.

1. Un romb are diagonalele de $8$ cm și $10$ cm. Calculează aria.

2. Un romb are diagonalele de $14$ cm și $6$ cm. Cât este aria lui?

3. Un romb are latura de $7$ cm și înălțimea de $5$ cm. Află aria rombului.

4. Diagonalele unui romb măsoară $2$ dm și $9$ dm. Calculează aria (în ${\text{dm}}^2$).

5. Aria unui romb este $60{\text{ cm}}^2$, iar o diagonală are $15$ cm. Află cealaltă diagonală.

6. Aria unui romb este $48{\text{ cm}}^2$, iar o diagonală are $8$ cm. Cât măsoară cealaltă diagonală?

7. Adevărat sau fals (motivează): „Aria unui romb este egală cu produsul diagonalelor lui."

8. Diagonalele unui romb sunt de $6$ cm și $8$ cm. Află latura rombului.

9. Diagonalele unui romb sunt de $10$ cm și $24$ cm. Calculează latura și perimetrul rombului.

10. Un romb are latura de $13$ cm și o diagonală de $10$ cm. Află cealaltă diagonală și apoi aria rombului.

11. Desenează un romb $ABCD$ cu diagonalele $AC=8$ cm și $BD=6$ cm, marcând punctul de intersecție $O$ și unghiul drept dintre diagonale. Calculează apoi aria.

12. Un romb are aria de $216{\text{ cm}}^2$ și diagonalele în raportul $3:4$ (adică $d_1=3k$ și $d_2=4k$). Află lungimile diagonalelor.

13. Un romb are perimetrul de $40$ cm și o diagonală de $16$ cm. Află cealaltă diagonală și aria.

14. Un teren în formă de romb are diagonalele de $30$ m și $40$ m. Cât gard este nevoie pentru a-l împrejmui de jur împrejur?

15. Adevărat sau fals (motivează): „Dacă mărim ambele diagonale ale unui romb de $2$ ori, aria se mărește tot de $2$ ori."

16. Un romb are latura de $10$ cm și înălțimea de $9,6$ cm. Știind că una dintre diagonale este de $12$ cm, află cealaltă diagonală.

17. Un vitraliu este format din $6$ romburi identice, fiecare cu diagonalele de $9$ cm și $12$ cm. Câtă sticlă colorată (în ${\text{cm}}^2$) este nevoie pentru întregul vitraliu?

18. Un romb are diagonalele de $18$ cm și $24$ cm. Află aria, latura, perimetrul și înălțimea rombului.

Răspunsuri și explicații

1. $A=\frac{8\cdot 10}{2}=\frac{80}{2}=40{\text{ cm}}^2.$

2. $A=\frac{14\cdot 6}{2}=\frac{84}{2}=42{\text{ cm}}^2.$

3. Aici avem latura (baza) și înălțimea: $A=b\cdot h=7\cdot 5=35{\text{ cm}}^2.$

4. $A=\frac{2\cdot 9}{2}=\frac{18}{2}=9{\text{ dm}}^2.$

5. $60=\frac{15\cdot d_2}{2}\Rightarrow 120=15\cdot d_2\Rightarrow d_2=\frac{120}{15}=8\text{ cm}.$ Verificare: $\frac{15\cdot 8}{2}=60$. Corect.

6. $48=\frac{8\cdot d_2}{2}\Rightarrow 96=8\cdot d_2\Rightarrow d_2=\frac{96}{8}=12\text{ cm}.$

7. Fals. Aria este produsul diagonalelor împărțit la 2: $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$, nu $d_1\cdot d_2$. Produsul diagonalelor dă de fapt aria dreptunghiului circumscris, care e dublul ariei rombului.

8. Jumătățile diagonalelor sunt $3$ cm și $4$ cm. ${\ell }^2=3^2+4^2=9+16=25\Rightarrow \ell =\sqrt{25}=5\text{ cm}.$

9. Jumătățile sunt $5$ cm și $12$ cm. ${\ell }^2=5^2+12^2=25+144=169\Rightarrow \ell =\sqrt{169}=13\text{ cm}$. Perimetrul: $P=4\cdot 13=52\text{ cm}.$

10. O diagonală e $10$ cm, deci jumătatea ei este $5$ cm. În triunghiul dreptunghic, latura ($13$) e ipotenuza, iar $5$ e o catetă. Cealaltă jumătate de diagonală: $x^2=13^2-5^2=169-25=144\Rightarrow x=\sqrt{144}=12$ cm. Deci cealaltă diagonală este $2\cdot 12=24\text{ cm}$. Aria: $A=\frac{10\cdot 24}{2}=120{\text{ cm}}^2.$

11. Desen: romb cu diagonalele perpendiculare, $O$ la mijloc, unghi drept marcat în $O$. Aria: $A=\frac{8\cdot 6}{2}=\frac{48}{2}=24{\text{ cm}}^2.$

12. $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{3k\cdot 4k}{2}=\frac{12k^2}{2}=6k^2$. Deci $6k^2=216\Rightarrow k^2=36\Rightarrow k=6$. Atunci $d_1=3\cdot 6=18\text{ cm}$ și $d_2=4\cdot 6=24\text{ cm}$. Verificare: $\frac{18\cdot 24}{2}=216$. Corect.

13. Perimetrul $40$ cm $\Rightarrow$ latura $\ell =40:4=10$ cm. O diagonală e $16$ cm, deci jumătatea ei e $8$ cm. Cealaltă jumătate: $x^2={\ell }^2-8^2=100-64=36\Rightarrow x=6$ cm, deci cealaltă diagonală este $2\cdot 6=12\text{ cm}$. Aria: $A=\frac{16\cdot 12}{2}=96{\text{ cm}}^2.$

14. „Gard de jur împrejur" înseamnă perimetrul. Jumătățile diagonalelor: $15$ m și $20$ m. Latura: ${\ell }^2=15^2+20^2=225+400=625\Rightarrow \ell =\sqrt{625}=25$ m. Perimetrul: $P=4\cdot 25=100\text{ m}$ de gard.

15. Fals. Dacă ambele diagonale se dublează, noua arie este $\frac{(2d_1)(2d_2)}{2}=\frac{4d_1{d}_2}{2}=4\cdot \frac{d_1{d}_2}{2}$, adică de 4 ori mai mare, nu de $2$ ori. Când toate dimensiunile liniare cresc de $2$ ori, aria crește de $2^2=4$ ori.

16. Aici folosim ambele formule. Aria cu latura și înălțimea: $A=b\cdot h=10\cdot 9,6=96{\text{ cm}}^2$. Aceeași arie cu diagonalele: $96=\frac{12\cdot d_2}{2}\Rightarrow 192=12\cdot d_2\Rightarrow d_2=16\text{ cm}.$ Verificare cu teorema lui Pitagora: jumătățile diagonalelor sunt $6$ cm și $8$ cm, deci latura este $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ cm — se potrivește cu datele.

17. Aria unui romb: $A=\frac{9\cdot 12}{2}=\frac{108}{2}=54{\text{ cm}}^2$. Pentru $6$ romburi: $6\cdot 54=324{\text{ cm}}^2$ de sticlă.

18. Aria: $A=\frac{18\cdot 24}{2}=216{\text{ cm}}^2$. Jumătățile diagonalelor: $9$ cm și $12$ cm. Latura: ${\ell }^2=9^2+12^2=81+144=225\Rightarrow \ell =\sqrt{225}=15\text{ cm}$. Perimetrul: $P=4\cdot 15=60\text{ cm}$. Înălțimea din $A=\ell \cdot h$: $216=15\cdot h\Rightarrow h=\frac{216}{15}=14,4\text{ cm}.$

De reținut

• Aria rombului cu diagonalele: $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$ — produsul diagonalelor împărțit la $2$. Este formula cea mai des folosită.
• Aria rombului ca paralelogram: $A=b\cdot h$ — latura (baza) înmulțită cu înălțimea corespunzătoare.
• Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc reciproc; ele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice congruente.
• Latura și diagonalele sunt legate prin teorema lui Pitagora: ${\ell }^2={\left(\frac{d_1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2$. Latura este ipotenuza.
• Aria se măsoară în unități pătrate (${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$…); toate lungimile trebuie aduse la aceeași unitate înainte de calcul.

Greșeli frecvente

• Uiți să împarți la 2. Cea mai frecventă greșeală: scrii $A=d_1\cdot d_2$ în loc de $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$. Rezultatul iese dublu. Ține minte: produsul diagonalelor este aria dreptunghiului din jur, iar rombul e doar jumătate din el.
• Folosești diagonalele întregi la Pitagora. Când afli latura, catetele nu sunt diagonalele întregi, ci jumătățile lor. Greșeala apare când scrii ${\ell }^2=d_1^2+d_2^2$ în loc de ${\ell }^2={\left(\frac{d_1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2$.
• Confuzi înălțimea cu diagonala. Înălțimea rombului (distanța dintre două laturi opuse) și diagonala sunt lucruri diferite. Nu le folosi la întâmplare într-o formulă.
• Amesteci unitățile. Dacă o diagonală e dată în cm și cealaltă în dm, transformă-le mai întâi în aceeași unitate. Și nu uita: aria se scrie cu exponentul $2$ la unitate.

Aplică acasă

1. Zmeul din curte. Găsește sau desenează un zmeu (mulți zmei au formă de romb). Măsoară cu rigla cele două diagonale, apoi calculează aria pânzei zmeului cu formula $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$. Verifică apoi latura cu teorema lui Pitagora și compară-o cu latura măsurată direct — ar trebui să iasă foarte apropiate.

2. Plăcuța decorativă. Alege o suprafață din casă care are formă de romb (un ornament, un model de pe faianță, o etichetă). Măsoară diagonalele în centimetri și află câți ${\text{cm}}^2$ are. Apoi calculează cât ar costa să o acoperi cu folie autocolantă dacă $100{\text{ cm}}^2$ costă $2$ lei.

3. Gardul de plasă. Multe garduri metalice au ochiuri în formă de romb. Măsoară diagonalele unui singur ochi și calculează aria lui. Estimează câte ochiuri sunt pe un metru pătrat de gard și verifică dacă numărul are sens.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, elevul trebuie să stăpânească două formule pentru aceeași mărime — aria — și să aleagă corect între ele în funcție de datele problemei. Sprijiniți-l punând accent pe de ce funcționează formula cu diagonalele, nu doar pe memorare: reluați împreună demonstrația cu cele patru triunghiuri dreptunghice, folosind un desen.

Întrebări bune de verificare:

• „De ce împărțim la $2$ în formula cu diagonalele?" (Răspuns așteptat: pentru că rombul e jumătate din dreptunghiul cu laturile $d_1$ și $d_2$.)
• „Ce triunghi formează latura cu jumătățile diagonalelor?" (Un triunghi dreptunghic, în care latura e ipotenuza.)
• „Dacă știu aria și o diagonală, cum aflu cealaltă diagonală?" (Se pornește de la $A=\frac{d_1{d}_2}{2}$ și se rezolvă o ecuație simplă.)

Semne că a înțeles cu adevărat: trece fără ezitare de la diagonale la latură (și invers) folosind Pitagora, nu confundă înălțimea cu diagonala și pune corect unitatea pătrată la rezultat. Dacă greșește, cel mai des este pentru că a uitat împărțirea la $2$ sau a folosit diagonalele întregi la Pitagora — arătați-i pe desen care sunt catetele reale.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei rombului la clasa a 7-a? Formula principală este $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$, adică produsul celor două diagonale împărțit la $2$. Există și formula de paralelogram, $A=b\cdot h$ (latura înmulțită cu înălțimea), care se folosește când se cunosc latura și înălțimea în loc de diagonale.

Cum se calculează aria unui romb dacă știu doar diagonalele? Înmulțești cele două diagonale între ele și împarți rezultatul la $2$. De exemplu, pentru diagonale de $8$ cm și $10$ cm, aria este $\frac{8\cdot 10}{2}=40{\text{ cm}}^2$. Nu ai nevoie de altceva.

De ce se împarte la 2 în formula ariei rombului? Pentru că un romb ocupă exact jumătate dintr-un dreptunghi ale cărui laturi sunt egale cu diagonalele rombului. Aria acelui dreptunghi este $d_1\cdot d_2$, iar rombul este jumătate din ea, deci $\frac{d_1\cdot d_2}{2}$.

Cum aflu latura rombului dacă știu diagonalele? Folosești teorema lui Pitagora cu jumătățile diagonalelor: ${\ell }^2={\left(\frac{d_1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2$. Latura este ipotenuza triunghiului dreptunghic format de jumătățile diagonalelor. De exemplu, la diagonale de $6$ și $8$ cm, latura este $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.

Diagonalele rombului sunt egale? Nu neapărat. La un romb oarecare cele două diagonale au lungimi diferite. Ele sunt egale doar în cazul particular al pătratului, care este un romb cu unghiuri drepte. La orice romb, însă, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc.

Pot folosi formula $A=b\cdot h$ la romb? Da, pentru că rombul este un paralelogram, iar formula $A=b\cdot h$ este valabilă la orice paralelogram. O folosești când cunoști latura și înălțimea. Când cunoști diagonalele, e mai comod cu $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$.

Care e diferența dintre aria rombului și aria pătratului? Pătratul este un romb particular, așa că formula $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$ funcționează și la el. În plus, pătratul are formula $A={\ell }^2$ (latura la pătrat), pentru că are unghiuri drepte. Poți vedea aceste cazuri în lecția Aria dreptunghiului și a pătratului.

În ce unități se măsoară aria rombului? În unități de suprafață (pătrate): ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$, ${\text{dm}}^2$, ${\text{mm}}^2$ etc. Dacă diagonalele sunt date în centimetri, aria iese în centimetri pătrați. Ai grijă ca toate lungimile să fie în aceeași unitate înainte de a calcula.