Cum aflu aria unui romb?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Aria rombului cu diagonale

Cel mai repede se află înmulțind diagonalele și împărțind la doi: $A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$ . La diagonale de 10 cm și 12 cm ies 60 de centimetri pătrați. Împărțirea la doi apare fiindcă rombul umple exact jumătate din dreptunghiul construit în jurul lui, cu laturile cât diagonalele. Rombul fiind și paralelogram, merge la fel de bine latura înmulțită cu înălțimea, când acestea sunt datele problemei.

Rombul are o formulă foarte simpatică pentru arie: înmulțești cele două diagonale și împarți la $2$ .

$A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$

De ce merge așa? Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice egale. Dacă ai construi un dreptunghi cu laturile $d_{1}$ și $d_{2}$ în jurul rombului, ai vedea că rombul acoperă exact jumătate din el — de aici vine împărțirea la $2$ .

Exemplu: un romb cu diagonalele $10$ cm și $12$ cm are aria $A = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 cm^{2}$ .

Nu uita: rombul este și paralelogram, deci merge și $A = b \cdot h$ (bază ori înălțime), dacă acestea sunt datele problemei. Iar latura, jumătățile diagonalelor și teorema lui Pitagora sunt prieteni buni când vrei să treci de la una la alta.

De reținut

$A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$
merge și $A = ℓ \cdot h$ , rombul fiind paralelogram
$ℓ^{2} = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}$
diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc

Greșeala tipică

Se scrie aria ca produsul diagonalelor, fără împărțirea la doi. Produsul acela este aria dreptunghiului din jur, iar rombul umple doar jumătate din el.

Exerciții din această mini-lecție

Un romb are diagonalele de $12$ cm și $16$ cm. Care este aria lui?
- a) $48 cm^{2}$
- b) $96 cm^{2}$
- c) $192 cm^{2}$
- d) $28 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $96 cm^{2}$

$A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96 cm^{2}$ .
Aria unui romb este $90 cm^{2}$ , iar una dintre diagonale măsoară $9$ cm. Cât este cealaltă diagonală?
- a) $10$ cm
- b) $15$ cm
- c) $20$ cm
- d) $45$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $20$ cm

Din $A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$ avem $90 = \frac{9 \cdot d _{2}}{2}$ , deci $180 = 9 \cdot d_{2}$ , adică $d_{2} = 20$ cm.
Un romb are diagonalele de $15$ cm și $26$ cm. Care este aria lui?
- a) $185 cm^{2}$
- b) $390 cm^{2}$
- c) $195 cm^{2}$
- d) $205 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $195 cm^{2}$

$A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} = \frac{15 \cdot 26}{2} = \frac{390}{2} = 195 cm^{2}$ . Varianta b apare dacă uiți să împarți la $2$ .

Întrebări conexe

Cât este aria unui romb cu diagonalele de 10 și 12 cm?

Are 60 de centimetri pătrați, fiindcă $10 \cdot 12 = 120$ , iar jumătatea acestui produs este 60. Uitarea împărțirii la doi este greșeala care apare cel mai des și dublează rezultatul.

Cum aflu înălțimea rombului dacă știu aria și latura?

Împarți aria la latură, fiindcă rombul este paralelogram cu toate laturile egale. La un romb cu diagonalele de 6 și 8 cm, latura este 5 cm, aria este 24 de centimetri pătrați, deci înălțimea iese $24 : 5 = 4, 8$ cm.

Cum aflu o diagonală a rombului dacă știu aria și cealaltă diagonală?

Înmulțești aria cu doi și împarți la diagonala știută: $d_{2} = \frac{2 A}{d _{1}}$ . Dintr-o arie de 60 de centimetri pătrați și o diagonală de 10 cm rezultă cealaltă diagonală de 12 cm.

De ce diagonalele rombului sunt perpendiculare?

Fiecare diagonală unește două vârfuri opuse, iar laturile alăturate fiind egale, ea este mediatoarea celeilalte. Mediatoarea taie segmentul sub unghi drept, așa că diagonalele se întretaie la 90 de grade și se înjumătățesc.

Cum verific dacă un paralelogram este romb?

Ajunge să găsești două laturi alăturate egale, ori să constați că diagonalele lui sunt perpendiculare, ori că o diagonală înjumătățește unghiurile din vârfurile ei. Oricare dintre semnele acestea este de ajuns.

Cât este aria unui pătrat cu diagonala de 8 cm?

Are 32 de centimetri pătrați. Pătratul este un romb cu diagonalele egale, deci se poate folosi aceeași formulă: $\frac{8 \cdot 8}{2} = 32$ . Latura lui ar fi $32 = 42$ cm, un drum mai lung către același rezultat.

Oamenii mai întreabă și: aria rombului · arii romb · formula ariei rombului cu diagonale · produsul diagonalelor supra 2 · înălțimea rombului