Buget, credite și amortizări (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Două oferte pentru același împrumut de $12000$ de lei arată, la prima vedere, la fel: aceeași bancă, aceeași durată, aceeași dobândă anuală. Prima cere rate egale în fiecare lună, a doua cere rate care scad de la o lună la alta. Care costă mai puțin și cu cât? Întrebarea nu se rezolvă din intuiție, ci dintr-un tabel și câteva adunări — iar la clasa a X-a de la profilul științe ale naturii (M2) ea deschide capitolul de aplicații financiare. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 capitolul e în programa clasei a X-a; în modelul oficial publicat pentru 2026, cele șase cerințe scurte ale Subiectului I sunt din materia claselor a IX-a și a X-a.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: aplicațiile din domeniul financiar — profit, preț de cost, amortizări de investiții, tipuri de credite, buget personal și familial — sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014) la clasa a X-a, deși programa nouă a clasei a X-a nu mai are capitolul „Matematici financiare". Toate calculele de mai jos se sprijină pe procente și pe dobânzi, așa cum le-ai văzut în lecția despre procente, dobânzi și TVA, și pe progresii, învățate anul trecut. Pentru comparație, la mate-info (M1) nu există un capitol de matematici financiare, iar bugetul și creditele nu apar nicăieri în programă; cea mai apropiată lecție înrudită de pe site rămâne cea de gimnaziu despre probleme cu procente, reduceri, TVA și dobândă.

Ce vei învăța

Vei ști să întocmești un buget personal sau familial și să calculezi ce procent din venit reprezintă fiecare cheltuială.
Vei ști să calculezi prețul de cost al unui produs, profitul și rata profitului, pornind de la costuri fixe și variabile.
Vei ști să determini pragul de rentabilitate: numărul de bucăți de la care o producție începe să aducă profit.
Vei ști să calculezi amortizarea liniară a unei investiții și valoarea rămasă după un număr de ani.
Vei ști să construiești tabelul unui credit cu rate descrescătoare și să afli dobânda totală, ca sumă de progresie aritmetică.
Vei ști să compari două tipuri de credit pe aceleași cifre și să spui unde anume se duce diferența.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un buget și când este echilibrat?

Bugetul unei persoane sau al unei familii este tabloul veniturilor și al cheltuielilor dintr-o perioadă, de obicei o lună, împreună cu diferența dintre ele, numită sold. Bugetul este echilibrat când soldul este zero, excedentar când soldul este pozitiv și deficitar când este negativ.

Să luăm o familie cu două salarii, de $5400$ și $4200$ de lei, deci cu un venit lunar de $9600$ de lei. Cheltuielile lunare sunt: locuință $2880$ de lei, alimente $2400$ de lei, transport $960$ de lei, sănătate și școală $720$ de lei, diverse $1200$ de lei. Totalul cheltuielilor este $8160$ de lei, iar soldul este $9600 - 8160 = 1440$ de lei.

Cifrele brute spun puțin; procentele spun mult. Locuința înseamnă $\frac{2880}{9600} = 0, 3$ , adică $30%$ din venit, alimentele $25%$ , transportul $10%$ , sănătatea și școala $7, 5%$ , iar diversele $12, 5%$ . Soldul reprezintă $\frac{1440}{9600} = 0, 15$ , deci $15%$ din venit — partea care poate fi economisită. Exprimat astfel, bugetul se poate compara cu al altei familii, cu alte venituri.

2. Cum se calculează prețul de cost și profitul unui produs?

Costurile unei producții se împart în două feluri. Costurile fixe nu depind de câte bucăți se fabrică — chiria, abonamentele, salariile de bază. Costurile variabile cresc cu fiecare bucată produsă: materia primă, ambalajul, energia consumată. Pentru $n$ bucăți, cu un cost variabil unitar $v$ și costuri fixe $F$ , costul total este $C = F + n \cdot v$ , iar prețul de cost al unei bucăți este $\frac{C}{n}$ .

Un atelier are costuri fixe de $6000$ de lei pe lună și un cost variabil de $40$ de lei pe bucată, iar produsul se vinde cu $100$ de lei. La o producție de $250$ de bucăți: costul total este $6000 + 250 \cdot 40 = 16000$ de lei, iar prețul de cost al unei bucăți este $16000 : 250 = 64$ de lei. Venitul din vânzări este $250 \cdot 100 = 25000$ de lei, deci profitul este $25000 - 16000 = 9000$ de lei.

Profitul se raportează, după caz, la costuri sau la vânzări, iar cele două procente sunt diferite: $\frac{9000}{16000} = 0, 5625$ , adică $56, 25%$ din costuri, dar $\frac{9000}{25000} = 0, 36$ , adică $36%$ din cifra de afaceri. Când citești undeva „profit de $36%$ ", întreabă-te întâi: procent din ce?

3. De la câte bucăți începe profitul?

Prețul de cost scade pe măsură ce producția crește, fiindcă cele $6000$ de lei fixe se împart la mai multe bucăți. Există deci un număr de bucăți de la care vânzările acoperă exact costurile: pragul de rentabilitate.

Îl găsim scriind egalitatea dintre venit și cost: $n \cdot 100 = 6000 + n \cdot 40$ , de unde $60 n = 6000$ și $n = 100$ de bucăți. Sub $100$ de bucăți atelierul lucrează în pierdere, la exact $100$ iese pe zero, peste $100$ fiecare bucată vândută aduce $100 - 40 = 60$ de lei în plus. Numărul $60$ se numește marjă unitară, iar formula generală a pragului este $n = \frac{F}{p - v}$ , unde $p$ este prețul de vânzare.

Verificăm pe producția de mai sus: $250 - 100 = 150$ de bucăți peste prag, deci profitul ar trebui să fie $150 \cdot 60 = 9000$ de lei — exact cifra obținută în paragraful anterior, pe alt drum.

4. Ce înseamnă amortizarea unei investiții?

Un utilaj cumpărat azi se folosește ani la rând, așa că prețul lui nu se trece pe cheltuieli o singură dată, ci se împarte pe toată durata de folosință. Operația se numește amortizare, iar varianta cea mai simplă, cerută la acest capitol, este cea liniară: aceeași sumă în fiecare an.

Dacă investiția costă $V$ lei, se folosește $n$ ani și, la sfârșit, se poate vinde cu o valoare reziduală $R$ , atunci amortizarea anuală este

$A = \frac{V - R}{n},$

iar valoarea rămasă în contabilitate după $k$ ani este $V - k \cdot A$ .

Pentru un utilaj de laborator de $24000$ de lei, folosit $5$ ani și revândut la final cu $4000$ de lei, amortizarea anuală este $A = \frac{24000 - 4000}{5} = 4000$ de lei. După trei ani, valoarea rămasă este $24000 - 3 \cdot 4000 = 12000$ de lei. Atenție ce anume formează aici o progresie: sumele amortizate an de an sunt $4000, 4000, 4000, 4000, 4000$ — constante, deci rația lor este $0$ . Valorile rămase, în schimb, sunt $24000, 20000, 16000, 12000, 8000, 4000$ și formează o progresie aritmetică cu rația $- 4000$ — tot o progresie aritmetică, ca soldurile unui depozit cu dobândă simplă, dar cu rația negativă, fiindcă aici se scade în loc să se adune.

5. Cum arată un credit cu rate descrescătoare?

La acest tip de credit, suma împrumutată se restituie în tranșe egale, iar dobânda fiecărei luni se calculează la cât a mai rămas de plătit. Rata lunară este suma dintre tranșa de principal și dobânda lunii, deci scade de la o lună la alta.

Luăm creditul din deschidere: $12000$ de lei pe $24$ de luni, cu o dobândă anuală de $12%$ , adică $1%$ pe lună. Tranșa de principal este $12000 : 24 = 500$ de lei. În prima lună se datorează dobândă la toată suma: $12000 \cdot 0, 01 = 120$ de lei, deci rata este $620$ de lei. În a doua lună soldul a scăzut la $11500$ de lei, dobânda este $115$ lei, rata $615$ lei. Și tot așa, până în luna a douăzeci și patra, când soldul e de $500$ de lei, dobânda de $5$ lei, iar rata de $505$ lei.

Dobânzile $120, 115, 110, \dots, 5$ formează o progresie aritmetică cu rația $- 5$ , așa că suma lor se calculează cu formula învățată la suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:

$S_{24} = \frac{( 120 + 5 ) \cdot 24}{2} = 1500.$

Dobânda totală plătită este deci de $1500$ de lei, iar suma restituită este $12000 + 1500 = 13500$ de lei.

6. Cu ce diferă un credit cu rate fixe?

La creditul cu rate fixe — numite și anuități — rata este aceeași în fiecare lună, dar compoziția ei se schimbă: la început aproape toată rata e dobândă, iar spre final aproape toată e principal. Rata se calculează cu formula $rata = S \cdot \frac{i ( 1 + i ) ^{n}}{( 1 + i ) ^{n} - 1}$ , unde $i$ este dobânda pe o lună, iar $n$ numărul de luni. Pentru datele noastre, $1, 0 1^{24} \approx 1, 269735$ , iar rata iese de aproximativ $564, 88$ lei.

Urmărim primele luni. În luna întâi dobânda e tot $120$ de lei, deci din rată rămân $564, 88 - 120 = 444, 88$ lei pentru principal, iar soldul scade la $11555, 12$ lei. În luna a doua dobânda este $11555, 12 \cdot 0, 01 = 115, 5512$ , adică $115, 55$ lei rotunjit la bani; principalul este de $449, 33$ lei, iar soldul rămâne $11105, 79$ lei. Tabelul de mai jos pune cele două credite față în față.

luna	rată descrescătoare	din care dobândă	rată fixă	din care dobândă
$1$	$620$	$120$	$564, 88$	$120$
$2$	$615$	$115$	$564, 88$	$115, 55$
$24$	$505$	$5$	$564, 94$	$5, 59$
total	$13500$	$1500$	$13557, 18$	$1557, 18$

Creditul cu rate fixe costă, în total, cu $57, 18$ lei mai mult, pentru că soldul scade mai încet în primele luni, iar dobânda se calculează tocmai la sold. În schimb, prima lui rată e cu $55, 12$ lei mai mică — un argument real pentru cine are venituri strâmte la început. Ultima rată iese $564, 94$ lei, cu șase bani peste celelalte, din rotunjirile lunare la bani.

Când compari oferte reale, dobânda nu e singura cifră: mai sunt comisioane de analiză sau de administrare, iar legea obligă banca să publice o dobândă anuală efectivă, care le cuprinde. Compară deci sumele totale de plată, în lei, nu procentele afișate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Bugetul unei familii, în procente

O familie are venituri lunare de $8000$ de lei și cheltuieli de $2600$ de lei pentru locuință, $1800$ de lei pentru alimente, $640$ de lei pentru transport, $560$ de lei pentru sănătate și școală și $1400$ de lei diverse. Calculați soldul lunar și ponderea fiecărei cheltuieli în venit.

Rezolvare. Totalul cheltuielilor este $2600 + 1800 + 640 + 560 + 1400 = 7000$ de lei, deci soldul este $8000 - 7000 = 1000$ de lei, adică un buget excedentar.

Ponderile se obțin împărțind la venit: locuință $\frac{2600}{8000} = 32, 5%$ , alimente $22, 5%$ , transport $8%$ , sănătate și școală $7%$ , diverse $17, 5%$ . Suma lor este $87, 5%$ , iar restul de $12, 5%$ este soldul.

Exemplul 2 — Preț de cost, profit și rata profitului

Un atelier are costuri fixe lunare de $9000$ de lei și un cost variabil de $55$ de lei pe bucată. Produsul se vinde cu $130$ de lei. Pentru o producție de $200$ de bucăți, calculați prețul de cost al unei bucăți, profitul lunar și rata profitului față de costuri.

Rezolvare. Costul total este $9000 + 200 \cdot 55 = 20000$ de lei, deci prețul de cost al unei bucăți este $20000 : 200 = 100$ de lei.

Venitul este $200 \cdot 130 = 26000$ de lei, deci profitul este $26000 - 20000 = 6000$ de lei. Rata profitului față de costuri este $\frac{6000}{20000} = 0, 3$ , adică $30%$ .

Exemplul 3 — Pragul de rentabilitate

Pentru atelierul din exemplul anterior, determinați de la câte bucăți vândute începe profitul și calculați profitul la o producție de $300$ de bucăți.

Rezolvare. Egalăm venitul cu costul: $130 n = 9000 + 55 n$ , deci $75 n = 9000$ și $n = 120$ de bucăți.

La $300$ de bucăți, numărul de bucăți peste prag este $300 - 120 = 180$ , iar marja unitară este $130 - 55 = 75$ de lei, deci profitul este $180 \cdot 75 = 13500$ de lei. Control pe drumul lung: venit $39000$ de lei, cost $9000 + 16500 = 25500$ de lei, profit $13500$ de lei.

Exemplul 4 — Amortizarea liniară a unei investiții

Un laborator cumpără un aparat de $50000$ de lei, pe care îl folosește $5$ ani și îl revinde la final cu $15000$ de lei. Calculați amortizarea anuală și valoarea rămasă după patru ani.

Rezolvare. Amortizarea anuală este $A = \frac{50000 - 15000}{5} = \frac{35000}{5} = 7000$ de lei.

După patru ani s-au amortizat $4 \cdot 7000 = 28000$ de lei, deci valoarea rămasă este $50000 - 28000 = 22000$ de lei. Verificare la capăt: după cinci ani valoarea rămasă este $50000 - 5 \cdot 7000 = 15000$ de lei, adică exact valoarea reziduală din enunț.

Exemplul 5 — Dobânda totală a unui credit cu rate descrescătoare

Un credit de $20000$ de lei se restituie în $20$ de rate lunare descrescătoare, cu o dobândă de $1%$ pe lună aplicată soldului. Calculați prima rată, ultima rată și dobânda totală plătită.

Rezolvare. Tranșa lunară de principal este $20000 : 20 = 1000$ de lei.

Prima lună: dobânda este $20000 \cdot 0, 01 = 200$ de lei, deci rata este $1000 + 200 = 1200$ de lei. Ultima lună: soldul este $1000$ de lei, dobânda $10$ lei, deci rata este $1010$ lei.

Dobânzile formează progresia aritmetică $200, 190, \dots, 10$ , cu $20$ de termeni, deci suma lor este $\frac{( 200 + 10 ) \cdot 20}{2} = \frac{210 \cdot 20}{2} = 2100$ de lei. Suma totală restituită este $20000 + 2100 = 22100$ de lei.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Un aparat cumpărat cu $18000$ de lei se amortizează liniar, în $6$ ani, până la valoarea zero. Arătați că valoarea rămasă după $4$ ani este de $6000$ de lei.

Rezolvare. Cerința e scrisă în forma scurtă a Subiectului I, unde răspunsul se redactează în câteva rânduri. Amortizarea anuală este $A = \frac{18000 - 0}{6} = 3000$ de lei.

După patru ani s-au amortizat $4 \cdot 3000 = 12000$ de lei, deci valoarea rămasă este $18000 - 12000 = 6000$ de lei, ceea ce trebuia arătat.

Să exersăm

La problemele de buget și de producție, scrie întâi ce e venit și ce e cost, apoi fă diferența — nu invers. La credite, ține minte regula de aur: dobânda unei luni se calculează la soldul rămas la începutul ei. Rotunjește o singură dată, la final, la bani.

1. Un elev are un venit lunar de $600$ de lei și cheltuieli de $180$ de lei transport, $150$ de lei mâncare la școală și $90$ de lei abonamente. Calculează soldul și ce procent din venit reprezintă el.

2. Din venitul lunar de $7500$ de lei, o familie cheltuiește $2250$ de lei pe locuință. Ce procent din venit reprezintă această cheltuială?

3. Un produs are un cost variabil de $25$ de lei pe bucată, iar costurile fixe lunare sunt de $4500$ de lei. Calculează costul total și prețul de cost al unei bucăți pentru o producție de $300$ de bucăți.

4. Un obiect care costă $80$ de lei se vinde cu $104$ lei. Calculează profitul pe bucată și rata profitului față de cost.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La un credit cu rate descrescătoare, dobânda totală plătită este mai mare decât la unul cu rate fixe, în aceleași condiții de sumă, durată și dobândă."

6. Un atelier are costuri fixe de $5400$ de lei, cost variabil $32$ de lei pe bucată și preț de vânzare $62$ de lei. Determină pragul de rentabilitate.

7. Pentru atelierul de la exercițiul anterior, calculează profitul la o producție de $300$ de bucăți.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un utilaj cumpărat cu $15000$ de lei se amortizează liniar, în $5$ ani, până la valoarea zero. Arătați că valoarea rămasă după $2$ ani este de $9000$ de lei.

9. O investiție de $30000$ de lei se amortizează liniar în $8$ ani, cu o valoare reziduală de $6000$ de lei. Calculează amortizarea anuală.

10. (Problemă aplicată.) Un laborator școlar cumpără un microscop de $9600$ de lei, pe care îl folosește $8$ ani, fără valoare reziduală. Calculează amortizarea anuală, valoarea rămasă după $5$ ani și ce procent din prețul inițial reprezintă ea.

11. Un credit de $6000$ de lei se restituie în $12$ rate descrescătoare, cu $1%$ pe lună. Calculează tranșa de principal, prima rată și ultima rată.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un credit de $6000$ de lei se restituie în $12$ rate lunare descrescătoare, dobânda de $1%$ pe lună aplicându-se soldului rămas. Arătați că dobânda totală plătită este de $390$ de lei.

13. La un credit cu rate fixe, rata lunară este de $450$ de lei, iar dobânda primei luni este de $95$ de lei. Cât din prima rată se duce în restituirea împrumutului?

14. O familie vrea să economisească $18%$ dintr-un venit lunar de $8500$ de lei. Ce sumă rămâne pentru cheltuieli?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un produs are prețul de cost de $60$ de lei și se vinde cu $75$ de lei. Determinați rata profitului față de prețul de cost.

16. Un magazin cumpără un produs cu $120$ de lei și vrea un profit de $35%$ din costul de achiziție. Cu cât trebuie să-l vândă?

17. Un credit de $9000$ de lei se dă pe $18$ luni, cu rate descrescătoare și $1%$ pe lună. Calculează dobânda totală, folosind suma progresiei aritmetice a dobânzilor lunare.

18. (Provocare.) Un atelier are costuri fixe de $8000$ de lei pe lună, cost variabil de $30$ de lei pe bucată și preț de vânzare de $70$ de lei. a) Determină pragul de rentabilitate. b) Determină cel mai mic număr de bucăți vândute într-o lună pentru care profitul reprezintă cel puțin $25%$ din costul total al lunii respective.

Răspunsuri și explicații

1. Cheltuielile sunt $180 + 150 + 90 = 420$ de lei, deci soldul este $600 - 420 = 180$ de lei, adică $\frac{180}{600} = 0, 3$ , deci $30%$ din venit.

2. $\frac{2250}{7500} = 0, 3$ , adică $30%$ din venit.

3. Costul total este $4500 + 300 \cdot 25 = 12000$ de lei, iar prețul de cost al unei bucăți este $12000 : 300 = 40$ de lei.

4. Profitul pe bucată este $104 - 80 = 24$ de lei, iar rata profitului față de cost este $\frac{24}{80} = 0, 3$ , adică $30%$ .

5. Fals. Este exact invers: la rate descrescătoare soldul scade mai repede, deci dobânda calculată la sold este mai mică. Pe creditul din lecție, $12000$ de lei pe $24$ de luni cu $1%$ lunar, dobânda totală este $1500$ de lei la rate descrescătoare și $1557, 18$ lei la rate fixe.

6. Din $62 n = 5400 + 32 n$ rezultă $30 n = 5400$ , deci pragul este de $180$ de bucăți.

7. Marja unitară este $62 - 32 = 30$ de lei, iar peste prag sunt $300 - 180 = 120$ de bucăți, deci profitul este $120 \cdot 30 = 3600$ de lei. Control: venit $18600$ de lei, cost $5400 + 9600 = 15000$ de lei, profit $3600$ de lei.

8. Amortizarea anuală este $\frac{15000}{5} = 3000$ de lei, deci după doi ani s-au amortizat $6000$ de lei, iar valoarea rămasă este $15000 - 6000 = 9000$ de lei.

9. $A = \frac{30000 - 6000}{8} = \frac{24000}{8} = 3000$ de lei pe an.

10. $A = \frac{9600}{8} = 1200$ de lei pe an. După cinci ani s-au amortizat $6000$ de lei, deci valoarea rămasă este $9600 - 6000 = 3600$ de lei, adică $\frac{3600}{9600} = 0, 375$ , deci $37, 5%$ din prețul inițial.

11. Tranșa de principal este $6000 : 12 = 500$ de lei. Prima rată: $500 + 6000 \cdot 0, 01 = 560$ de lei. Ultima rată: $500 + 500 \cdot 0, 01 = 505$ lei.

12. Dobânzile lunare sunt $60, 55, 50, \dots, 5$ , o progresie aritmetică cu $12$ termeni și rația $- 5$ . Suma lor este $\frac{( 60 + 5 ) \cdot 12}{2} = \frac{65 \cdot 12}{2} = 390$ de lei.

13. Partea de principal este $450 - 95 = 355$ de lei; restul de $95$ de lei plătește dobânda lunii.

14. Economiile sunt $8500 \cdot 0, 18 = 1530$ de lei, deci pentru cheltuieli rămân $8500 - 1530 = 6970$ de lei.

15. Profitul este $75 - 60 = 15$ lei, iar rata față de prețul de cost este $\frac{15}{60} = 0, 25$ , adică $25%$ .

16. Profitul dorit este $120 \cdot 0, 35 = 42$ de lei, deci prețul de vânzare este $120 + 42 = 162$ de lei, adică $120 \cdot 1, 35$ .

17. Tranșa de principal este $9000 : 18 = 500$ de lei, deci dobânzile sunt $90, 85, \dots, 5$ , cu $18$ termeni. Suma lor este $\frac{( 90 + 5 ) \cdot 18}{2} = \frac{95 \cdot 18}{2} = 855$ de lei.

18. a) Din $70 n = 8000 + 30 n$ rezultă $40 n = 8000$ , deci pragul este de $200$ de bucăți. b) Costul total este $8000 + 30 n$ , iar profitul este $70 n - (8000 + 30 n) = 40 n - 8000$ . Condiția cerută se scrie $40 n - 8000 \geq 0, 25 (8000 + 30 n)$ , adică $40 n - 8000 \geq 2000 + 7, 5 n$ , de unde $32, 5 n \geq 10000$ și $n \geq \frac{10000}{32 , 5} \approx 307, 7$ . Numărul de bucăți fiind întreg, cel mai mic care merge este $308$ . Control pe cele două valori vecine: la $307$ bucăți profitul este $40 \cdot 307 - 8000 = 4280$ de lei, iar costul $8000 + 30 \cdot 307 = 17210$ de lei, deci raportul este $\frac{4280}{17210} \approx 0, 2487$ , sub prag; la $308$ bucăți profitul este $4320$ de lei, costul $17240$ de lei, iar raportul $\frac{4320}{17240} \approx 0, 2506$ , peste prag. Cu datele acestea nu există un număr întreg de bucăți care să dea exact $25%$ .

De reținut

Bugetul înseamnă venituri, cheltuieli și soldul dintre ele; ponderile exprimate în procente din venit fac bugetele comparabile între ele, indiferent de sumele absolute.
Costul total al unei producții este $C = F + n \cdot v$ , iar prețul de cost al unei bucăți este $\frac{C}{n}$ : el scade când producția crește, pentru că partea fixă se împarte la mai multe bucăți.
Pragul de rentabilitate este $n = \frac{F}{p - v}$ , adică numărul de bucăți de la care veniturile acoperă costurile; peste el, fiecare bucată aduce marja $p - v$ .
Amortizarea liniară a unei investiții este $A = \frac{V - R}{n}$ , iar valoarea rămasă după $k$ ani este $V - k \cdot A$ : amortizarea anuală e aceeași în fiecare an, iar valorile rămase scad cu $A$ de la un an la altul, deci ele sunt cele care formează o progresie aritmetică, cu rația $- A$ .
La un credit cu rate descrescătoare, dobânzile lunare formează o progresie aritmetică, iar dobânda totală este suma ei; la un credit cu rate fixe, rata e constantă, dar dobânda plătită în total e mai mare, pentru că soldul scade mai încet.

Greșeli frecvente

Profitul raportat la baza nepotrivită. Același profit de $9000$ de lei înseamnă $56, 25%$ din costuri, dar $36%$ din vânzări. Într-o rezolvare, scrie explicit față de ce calculezi rata; altfel răspunsul e corect ca cifră și greșit ca sens.
Costurile fixe uitate în prețul de cost. Elevii calculează adesea prețul de cost ca fiind doar costul variabil pe bucată. La $250$ de bucăți, prețul de cost real e $64$ de lei, nu $40$ : cei $6000$ de lei fixi se împart și ei la producție.
Dobânda calculată la suma inițială, nu la sold. La un credit, dobânda unei luni se aplică sumei rămase de restituit la începutul ei. Cine înmulțește toată suma împrumutată cu dobânda lunară și apoi cu numărul de luni obține, pe creditul din lecție, $2880$ de lei în loc de $1500$ .
Rotunjirile făcute la fiecare pas. Într-un tabel de credit cu $24$ de rânduri, rotunjirea fiecărei dobânzi la lei mută totalul cu câțiva lei. Lucrează cu bani, adică două zecimale, și rotunjește o singură dată, la sfârșit.
Compararea a două credite după rata lunară. Rata mai mică nu înseamnă credit mai ieftin: ea poate veni dintr-o durată mai lungă, care adaugă dobândă. Se compară suma totală de plată și dobânda anuală efectivă, care cuprinde și comisioanele.

Aplică acasă

Bugetul tău pe o lună. Notează timp de patru săptămâni tot ce primești și tot ce cheltuiești, apoi așază sumele într-un tabel cu trei coloane: categoria, suma și procentul din venit. Calculează soldul și spune care categorie ar trebui redusă cu cât, în lei, pentru ca soldul să crească cu cinci puncte procentuale.
Un obiect și amortizarea lui. Alege un obiect scump din casă (o bicicletă, un laptop, o mașină de spălat), află prețul lui și estimează câți ani se folosește. Calculează amortizarea anuală și, mai departe, cea lunară, apoi compar-o cu cheltuiala lunară pe care o faci cu obiectul respectiv. Vei vedea că prețul de folosință nu e cel de pe etichetă.
Două oferte de credit, pe hârtie. Caută pe site-urile a două bănci simulatoarele de credit și cere aceeași sumă, pe aceeași durată. Notează rata lunară, suma totală de plată și dobânda anuală efectivă, apoi calculează, pentru fiecare, cât reprezintă dobânda totală ca procent din suma împrumutată. Ordinea ofertelor după rata lunară și ordinea după costul total pot să nu coincidă — dacă se întâmplă, ai găsit cel mai bun exemplu posibil pentru ultima greșeală frecventă din lecție.

Pentru părinți și profesori

Lecția aceasta e, probabil, cea mai ușor de legat de viața de acasă din toată programa de clasa a X-a: un buget lunar, o factură, o ofertă de credit primită pe telefon. Matematica din spate e modestă — adunări, procente și o progresie aritmetică — dar tocmai simplitatea ei o face potrivită pentru a arăta ce înseamnă o decizie luată pe cifre, nu pe impresie. Elevul care a construit o singură dată tabelul unui credit înțelege de ce durata mai lungă costă mai mult, chiar dacă rata lunară pare prietenoasă.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă la profit s-a scris față de ce se calculează rata; dacă în prețul de cost au intrat și costurile fixe; dacă dobânda lunii a fost calculată la sold, nu la suma inițială; dacă rotunjirea s-a făcut o singură dată, la final. Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „Ce se întâmplă cu prețul de cost dacă producția se dublează?"; „De ce prima rată a unui credit cu rate descrescătoare e cea mai mare?"; „Cum se schimbă amortizarea anuală dacă aparatul se folosește cu doi ani mai mult?"; „Care e diferența dintre rata lunară și costul total al unui credit?". Semn că elevul a înțeles: cere de la sine, înainte de a răspunde, datele care lipsesc — durata, valoarea reziduală, baza procentului.

Programa și examenul. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărei programă de examen (OMEN 4430/2014) prevede, la clasa a X-a, nota potrivit căreia aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, preț de cost al unui produs, amortizări de investiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget personal, buget familial. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cele șase cerințe scurte ale Subiectului I sunt din materia claselor a IX-a și a X-a, iar niciuna nu este de calcul financiar. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, nu mai cuprinde acest capitol: la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) rămân din el doar dobânda simplă și dobânda compusă, în domeniul Algebră, la capitolul de progresii al clasei a IX-a. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a X-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Cum se calculează prețul de cost al unui produs? Se adună costurile fixe ale perioadei cu costurile variabile ale întregii producții, iar totalul se împarte la numărul de bucăți. Pentru costuri fixe de $6000$ de lei, un cost variabil de $40$ de lei pe bucată și $250$ de bucăți, costul total este $16000$ de lei, deci prețul de cost al unei bucăți este $64$ de lei. Cu cât producția crește, cu atât prețul de cost scade.

Ce este pragul de rentabilitate și cum se află? Este numărul de bucăți de la care veniturile acoperă exact costurile, deci profitul trece de la negativ la pozitiv. Se obține din ecuația „venit egal cost", adică $n \cdot p = F + n \cdot v$ , de unde $n = \frac{F}{p - v}$ . Numitorul este marja adusă de fiecare bucată vândută; dacă prețul de vânzare nu depășește costul variabil, pragul nu există.

Cum se calculează amortizarea liniară a unei investiții? Se scade din prețul de achiziție valoarea reziduală, adică suma cu care obiectul se poate vinde la final, iar diferența se împarte la numărul de ani de folosință. Pentru un aparat de $24000$ de lei, cu $4000$ de lei valoare reziduală și $5$ ani de folosință, amortizarea anuală este de $4000$ de lei, iar valoarea rămasă după trei ani este de $12000$ de lei.

Ce credit e mai ieftin: cu rate fixe sau cu rate descrescătoare? Cel cu rate descrescătoare, în aceleași condiții de sumă, durată și dobândă, pentru că soldul scade mai repede, iar dobânda se calculează la sold. Pe un credit de $12000$ de lei, pe $24$ de luni, cu $1%$ lunar, dobânda totală este $1500$ de lei la rate descrescătoare și $1557, 18$ lei la rate fixe. Ratele fixe au însă prima rată mai mică, ceea ce contează pentru un buget strâmt.

Cum se calculează dobânda totală a unui credit cu rate descrescătoare? Dobânzile lunare formează o progresie aritmetică, pentru că soldul scade cu aceeași tranșă în fiecare lună. Se calculează prima dobândă și ultima, apoi se aplică formula sumei: jumătate din suma capetelor, înmulțită cu numărul de rate. La $12000$ de lei pe $24$ de luni cu $1%$ lunar, suma este $\frac{( 120 + 5 ) \cdot 24}{2} = 1500$ de lei.

Se studiază bugetul și creditele și la mate-info (M1)? Nu, nu ca temă de sine stătătoare. La matematică-informatică nu există un capitol de matematici financiare; aplicațiile economice apar acolo doar ocazional, în probleme de progresii. La profilul științe ale naturii ele au format, în programa veche a clasei a X-a, un capitol propriu. Cea mai apropiată lecție înrudită de pe site este cea de gimnaziu despre probleme cu procente, reduceri, TVA și dobândă.

La ce subiect apar aplicațiile financiare la bacalaureatul M2? Programa de examen nu împarte temele pe subiecte; în modelul oficial publicat pentru 2026, materia claselor a IX-a și a X-a apare în cele șase cerințe scurte ale Subiectului I. Programa de examen așază matematicile financiare la clasa a X-a și precizează, printr-o notă, că aplicațiile vor fi din domeniul financiar. În modelul oficial publicat pentru 2026, niciuna dintre cele șase cerințe nu este de calcul financiar.

De ce dobânda totală diferă, deși dobânda anuală e aceeași? Pentru că dobânda se aplică soldului rămas, iar soldul scade altfel la cele două tipuri de credit. Cu cât restitui mai repede din suma împrumutată, cu atât dobânda calculată lună de lună e mai mică. Din același motiv, o durată mai lungă înseamnă întotdeauna o dobândă totală mai mare, chiar dacă rata lunară pare mai comodă; o arată și dobânda compusă și dinamica populației, unde același mecanism lucrează în favoarea deponentului.