Suma termenilor unei PA (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un atelier pregătește loturi separate, fiecare având cu aceeași cantitate mai mult decât lotul precedent. Cantitatea din ultimul lot și cantitatea pregătită în toate loturile sunt două rezultate diferite. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), formula sumei progresiei aritmetice răspunde întrebării despre total. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține suma primilor $n$ termeni ai unei progresii. Formula se aplică numai după identificarea termenilor care trebuie adunați.

Din formula termenului general al PA știm să calculăm valoarea de la orice rang admis. Vom folosi acea formulă pentru capătul unei sume, apoi vom număra exact câte valori intră în total. Nu este necesar ca termenii să fie pozitivi sau ca numărul lor să fie par; condițiile acestea nu fac parte din formula algebrică.

Ce vei învăța

Vei explica formula sumei prin scrierea termenilor în două ordini opuse.
Vei alege forma formulei potrivită datelor: capete cunoscute sau primul termen și rația.
Vei număra termenii unei liste și ai unui bloc care începe după primul rang.
Vei separa suma de ultimul termen și de suma unor valori deja cumulate.
Vei determina o dată necunoscută pornind de la o sumă, verificând toate soluțiile admise.
Vei folosi semnul termenului nou pentru a decide dacă totalul crește, se păstrează sau scade.

Hai să descoperim împreună

1. Ce notează suma și ce notează termenul?

Suma primilor termeni este totalul obținut prin adunarea lor. Pentru o PA $(a_{n})_{n \geq 1}$ notăm

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}, n \geq 1.$

Indicele lui $a_{n}$ arată poziția unei singure valori. Indicele lui $S_{n}$ arată până la ce poziție adunăm, începând de la prima. Sunt simboluri diferite pentru obiecte diferite. În special, $S_{1} = a_{1}$ , dar egalitatea aceasta de început nu înseamnă că toate sumele sunt egale cu ultimul lor termen.

Dacă termenii descriu cantități produse în loturi distincte, suma lor este cantitatea produsă în total. Dacă termenii descriu stocul deja existent la sfârșitul fiecărei zile, însumarea lor nu este, în general, stocul din ultima zi. Aceleași obiecte s-ar putea număra de mai multe ori. Mai întâi definim ce reprezintă termenii și abia apoi interpretăm adunarea.

O verificare utilă este să reformulezi cerința fără simboluri: „adun cantitățile separate din primele etape” sau „citesc cantitatea disponibilă după ultima etapă”. Cuvântul „total” dintr-un enunț nu obligă automat folosirea lui $S_{n}$ ; este posibil ca termenul însuși să fi fost definit ca total acumulat.

2. De ce au perechile aceeași sumă?

Într-o PA, când avansezi o poziție dinspre început, adaugi rația. Când te întorci o poziție dinspre sfârșit, scazi aceeași rație. Cele două modificări se compensează în suma perechii. De aceea, primul plus ultimul este egal cu al doilea plus penultimul și așa mai departe.

Scriem același total o dată în ordinea obișnuită și o dată în ordine inversă. La adunarea celor două rânduri apar $n$ perechi, fiecare cu valoarea $a_{1} + a_{n}$ . Nu am schimbat suma prin inversarea ordinii, deoarece adunarea numerelor reale este comutativă.

$2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n}), S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} .$

Egalitatea perechilor se verifică și algebric. Pentru un indice $k$ între unu și $n$ , cele două poziții sunt $k$ și $n + 1 - k$ . Folosind termenul general, obținem

$a_{k} + a_{n + 1 - k} = 2 a_{1} + (n - 1) r = a_{1} + a_{n} .$

Rezultatul nu depinde de perechea aleasă. Demonstrația folosește diferența constantă; pentru o listă arbitrară, numai cunoașterea capetelor nu determină suma. Doi termeni extremi egali pot ascunde valori intermediare complet diferite dacă nu cunoaștem structura listei.

3. Funcționează și cu un număr impar de termeni?

Da. În demonstrație am adunat două copii ale întregii liste, obținând mereu $n$ perechi. Nu am pretins că o singură listă poate fi împărțită în perechi disjuncte fără rest. De aceea împărțirea la doi este corectă și când $n$ este impar.

Într-o singură listă cu număr impar de termeni, termenul central rămâne neîmperecheat. El este egal cu media aritmetică a capetelor. Perechile celorlalți termeni și această valoare centrală duc la același rezultat ca formula generală.

De exemplu, lista $- 4, 0, 4, 8, 12$ are cinci termeni. Media capetelor este patru, iar suma este de cinci ori această medie, adică douăzeci. Adunarea directă confirmă. Termenii pot traversa zero fără să strice egalitatea perechilor.

Expresia $(a_{1} + a_{n}) /2$ este media capetelor, nu neapărat unul dintre termenii listei. Pentru un număr par de termeni, media se poate afla între cele două valori centrale. Nu trebuie să identifici un „termen de la mijloc” pentru a folosi formula.

4. Ce formă a formulei alegem?

Dacă primul și ultimul termen sunt cunoscuți, formula cu media capetelor este directă. Dacă știm primul termen și rația, calculăm mai întâi ultimul termen sau îl înlocuim în formulă:

$S_{n} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ]}{2} .$

Cele două forme dau aceeași sumă. A doua nu este o regulă suplimentară de memorat, ci rezultatul înlocuirii lui $a_{n}$ cu $a_{1} + (n - 1) r$ . Alegerea urmărește datele disponibile și claritatea calculelor.

Înainte de înlocuire, notează separat numărul de termeni. Valoarea ultimului termen nu este numărul de termeni. Într-o listă de multipli, de exemplu, ultimul număr poate fi mare, în timp ce lista conține puține valori. Mai întâi găsești rangul ultimului termen, folosind rația.

Pentru $r = 0$ , formula devine $S_{n} = n a_{1}$ , exact suma a $n$ valori egale. Dacă $r \neq = 0$ , expresia în $n$ conține termenul pătratic $\frac{r}{2} n^{2}$ . Pentru $r = 0$ acest termen dispare, iar suma are formă liniară sau este identic nulă.

Un calcul este mai sigur când verifici unitatea rezultatului. Numărul de termeni nu are unitate de măsură; media are unitatea cantităților adunate, iar produsul o păstrează. Formula nu transformă singură minutele în ore sau gramele în kilograme: o asemenea conversie se efectuează explicit.

5. Cum numărăm un bloc de termeni consecutivi?

Pentru indicii $p \leq q$ , blocul $a_{p}, a_{p + 1}, \dots, a_{q}$ conține $q - p + 1$ termeni. Diferența $q - p$ numără trecerile; adăugăm unu fiindcă este inclus și termenul de la început. În cazul $p = q$ , formula dă corect un singur termen.

Blocul păstrează aceeași rație, deci suma lui este

$a_{p} + \dots + a_{q} = \frac{( q - p + 1 ) ( a _{p} + a _{q} )}{2} .$

Putem obține același rezultat prin $S_{q} - S_{p - 1}$ , când $p \geq 2$ . Prima sumă include totul până la $q$ , iar a doua elimină exact ce este înaintea blocului. Scăderea lui $S_{p}$ ar elimina și primul termen pe care vrem să îl păstrăm.

Pentru un bloc care începe la unu, folosim direct $S_{q}$ . Dacă dorim o notație unificată, putem defini convențional $S_{0} = 0$ , suma fără termeni. Aceasta este o convenție pentru sume, nu introducerea automată a unui termen $a_{0}$ în șir.

La un model numerotat de la zero, un total de la $b_{0}$ la $b_{m}$ conține $m + 1$ valori. Nu folosi formula cu $m$ termeni doar fiindcă ultimul indice este $m$ . Identificarea începutului și a sfârșitului precede întotdeauna numărătoarea.

6. Ce putem afla când suma este dată?

Formula poate determina primul termen, rația sau numărul de termeni, în funcție de celelalte date. Nu este nevoie ca necunoscuta să fie mereu suma. Scrie relația între mărimi, apoi rezolvă ecuația rezultată, fără să schimbi sensul datelor.

Pentru rație necunoscută și $n \geq 2$ , formula conduce la o ecuație liniară în $r$ . Dacă $n = 1$ , suma este doar primul termen și nu conține nicio informație despre rație. Pentru număr de termeni necunoscut, ecuația poate fi de gradul al doilea, dar păstrăm numai soluțiile întregi pozitive din domeniul problemei.

Nu presupune că trebuie să existe exact o soluție admisă. Când unele valori sunt negative, totalul poate crește și apoi scădea, revenind la o valoare anterioară. Două numere diferite de termeni pot da aceeași sumă. Cazurile particulare se decid din ecuație și din sensul termenilor.

În lista $3, 1, - 1, - 3, \dots$ , suma primului termen este trei și suma primilor trei este tot trei. Termenii doi și trei se anulează între ei. Acest exemplu scurt respinge regula greșită „dintr-o sumă cunoscută rezultă întotdeauna un singur număr de termeni”.

Dacă toate cantitățile adunate sunt strict pozitive, sumele cresc strict. Atunci o sumă dată poate fi atinsă cel mult o dată. Pozitivitatea este însă o ipoteză de verificat, nu o proprietate automată a progresiilor aritmetice.

7. Cum controlăm un total și un prag?

Relația dintre două sume succesive este $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ . Termenul nou decide schimbarea: dacă este pozitiv, totalul crește; dacă este zero, totalul se păstrează; dacă este negativ, totalul scade. Semnul rației, singur, nu decide semnul fiecărei creșteri a sumei.

O PA descrescătoare poate avea încă mulți termeni pozitivi. În acea porțiune, adăugarea lor mărește totalul, chiar dacă fiecare adaos este mai mic. Un adaos nul poate produce două sume consecutive egale, fără ca întreaga progresie să fie constantă.

Pentru primul total care atinge sau depășește un prag, ai nevoie de creșterea sumelor pe domeniul studiat. După calcularea unui candidat, compară suma de la acel rang cu suma precedentă. Justificarea completă leagă comparația de faptul că termenii adăugați până acolo sunt pozitivi sau nenegativi, după situație.

Poți verifica și prin estimare: dacă toți cei $n$ termeni sunt între două valori $L$ și $U$ , atunci suma este între $n L$ și $n U$ . Limitele nu înlocuiesc formula, dar pot detecta un rezultat dublat, un factor uitat sau o confuzie între ultimul termen și media capetelor.

8. Cum pregătim o sumă de numere selectate printr-o regulă?

Uneori enunțul nu spune direct primul termen și numărul termenilor, ci cere toate numerele care respectă o condiție într-un interval. Pentru multiplii pozitivi ai unui număr natural nenul, diferența dintre doi multipli consecutivi este acel număr. Lista selectată este astfel PA, dar capetele ei trebuie găsite înainte de totalizare.

Primul termen al listei nu este obligatoriu capătul inferior al intervalului. El este primul număr din interval care respectă regula. La fel, ultimul termen este ultimul număr admis, nu neapărat limita superioară scrisă în enunț. Controlează dacă limitele sunt incluse sau excluse: un capăt care respectă regula intră în sumă numai dacă intervalul îl permite.

După alegerea capetelor, află numărul de treceri împărțind diferența lor la rație și adaugă unu pentru numărul termenilor. Verifică dacă împărțirea este exactă. Dacă nu este, unul dintre capetele alese sau regula listei trebuie revăzut; nu rotunji numărul de termeni pentru a forța formula.

O listă poate conține și zero. El nu schimbă numeric suma, dar contează la numărul termenilor dacă este inclus în cerință. De aceea două liste pot avea același total și lungimi diferite. Dacă enunțul cere numai numere strict pozitive, zero este exclus chiar dacă satisface relația de divizibilitate.

Aceeași pregătire funcționează pentru numere pare sau impare dintr-un interval și pentru poziții marcate la pas constant. Formula sumei nu se schimbă; se schimbă identificarea listei asupra căreia o aplici. Redactarea trebuie să arate această alegere, mai ales când capetele intervalului nu fac parte din lista selectată.

La final poți compara numărul valorilor cu o enumerare parțială: scrie primii doi și ultimii doi termeni. Controlul evidențiază pasul, ordinea și capetele, fără să necesite scrierea unei liste foarte lungi. Calculul rămâne legat de toate valorile cerute și numai de ele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Termeni de semne diferite

Calculează suma primilor nouă termeni ai PA cu $a_{1} = - 6$ și $r = 4$ .

Rezolvare. Ultimul termen este $a_{9} = - 6 + 8 \cdot 4 = 26$ . Formula dă $S_{9} = 9 (- 6 + 26) /2 = 90$ .

Media capetelor este zece. Ea coincide aici cu termenul central, $a_{5} = 10$ , iar nouă valori cu această medie au totalul nouăzeci. Termenii negativi de la început intră în sumă cu semnul lor. Nu îi înlocuim cu modulele, fiindcă atunci am calcula alt obiect.

Exemplul 2 — O progresie descrescătoare

O serie de opt loturi distincte conține $26$ piese în primul lot și cu trei mai puține în fiecare lot următor. Câte piese sunt în total?

Rezolvare. Cantitățile pe lot formează PA cu $a_{1} = 26$ , $r = - 3$ . Al optulea lot are $a_{8} = 26 - 21 = 5$ piese. Totalul este $S_{8} = 8 (26 + 5) /2 = 124$ piese.

Toate cantitățile din domeniul de opt loturi sunt pozitive, deci interpretarea fizică este admisă. Nu prelungim producerea loturilor până la cantități negative. Ultimul lot are cinci piese; acestea nu reprezintă totalul seriei și nici media cantităților.

Exemplul 3 — Un bloc din interiorul șirului

Pentru $a_{n} = 2 n + 5$ , $n \geq 1$ , calculează $a_{4} + a_{5} + \dots + a_{12}$ .

Rezolvare. Diferența constantă este doi. Capetele blocului sunt $a_{4} = 13$ și $a_{12} = 29$ , iar numărul termenilor este $12 - 4 + 1 = 9$ . Suma blocului este $9 (13 + 29) /2 = 189$ .

Controlăm prin diferență: $S_{12} = 12 (7 + 29) /2 = 216$ , iar $S_{3} = 3 (7 + 11) /2 = 27$ . Scăderea $216 - 27 = 189$ păstrează exact rangurile de la patru la doisprezece. Nu scădem $S_{4}$ , deoarece am pierde valoarea de la începutul blocului.

Exemplul 4 — Rația ascunsă în total

O PA are $a_{1} = 7$ și $S_{6} = 102$ . Determină rația și verifică suma.

Rezolvare. Scriem $102 = 6 [14 + 5 r] /2 = 3 (14 + 5 r)$ . Rezultă $14 + 5 r = 34$ , apoi $r = 4$ . Ultimul termen al celor șase este $a_{6} = 27$ .

Controlul cu media capetelor dă $6 (7 + 27) /2 = 102$ . Datele includ șase termeni, deci cinci modificări ale primului termen până la ultimul. Suma nu ne spune direct că fiecare termen ar fi șaptesprezece; șaptesprezece este media lor.

Exemplul 5 — Numărul termenilor unei sume

PA începe cu $4$ și are rația $2$ . Câți termeni trebuie adunați pentru a obține exact $130$ ?

Rezolvare. Formula este $S_{n} = n [8 + 2 (n - 1)] /2 = n (n + 3)$ . Cerința conduce la $n^{2} + 3 n - 130 = 0$ , adică $(n - 10) (n + 13) = 0$ .

Soluțiile algebrice sunt zece și minus treisprezece. Numărul de termeni trebuie să fie întreg pozitiv, deci păstrăm $n = 10$ . Verificăm: $a_{10} = 22$ , iar $10 (4 + 22) /2 = 130$ . Toți termenii sunt pozitivi, astfel încât sumele cresc strict și nu există un alt rang admis cu același total.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Într-o PA se cunosc $u_{2} = 5$ și $u_{7} = 15$ . Calculează primul termen și suma primilor doisprezece termeni. Verifică dacă această sumă depășește $170$ .

Rezolvare. Pe cinci treceri valoarea crește cu zece, deci $r = 2$ . Rezultă $u_{1} = 3$ și $u_{12} = 3 + 11 \cdot 2 = 25$ .

Suma este $S_{12} = 12 (3 + 25) /2 = 168$ , care nu depășește $170$ . Comparația privește totalul calculat, nu termenul doisprezece. Verificarea datelor inițiale dă $u_{2} = 3 + 2 = 5$ și $u_{7} = 3 + 12 = 15$ .

Acest antrenament combină două formule ale aceleiași progresii. Nu presupune că un subiect oficial trebuie să ceară toate etapele împreună.

Să exersăm

La fiecare sumă, identifică explicit capetele și numărul termenilor. La o problemă cu text, numește cantitățile distincte pe care le aduni. Verifică la sfârșit dacă răspunsul este termen, total sau număr de termeni; toate trei pot apărea în aceeași situație.

1. Calculează $S_{11}$ pentru PA cu $a_{1} = 5$ și $r = 3$ .

2. Calculează suma primilor șapte termeni ai PA cu $a_{1} = 18$ și $r = - 4$ .

3. Doisprezece termeni ai unei PA constante au fiecare valoarea $- 2, 5$ . Care este suma lor?

4. Calculează suma $14 + 18 + 22 + \dots + 62$ , știind că termenii formează PA și capetele sunt incluse.

5. Pentru $a_{n} = 3 n - 2$ , calculează suma de la $a_{6}$ până la $a_{14}$ , inclusiv.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Într-o PA, $a_{1} = - 2$ , $a_{10} = 25$ . Calculează $S_{10}$ fără să afli mai întâi rația.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Într-o PA, $S_{4} = 2 S_{2}$ exact atunci când rația este zero.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Într-o PA se cunosc $a_{1} = 6$ și $S_{8} = 132$ . Determină rația.

9. O PA are $r = 2$ și $S_{5} = 65$ . Află primul termen și verifică toți cei cinci termeni.

10. Câți termeni ai PA cu $a_{1} = 5$ și $r = 2$ au suma $96$ ? Verifică toate soluțiile ecuației pentru numărul termenilor.

11. (Problemă aplicată.) Nouă loturi separate conțin $14$ probe în primul lot și cu patru mai multe în fiecare lot următor. Câte probe sunt în ultimul lot și câte sunt în toate cele nouă?

12. (Problemă aplicată.) Într-o reacție, volumul de gaz degajat între minutul $k$ și minutul $k + 1$ este modelat prin $g_{k} = 1 + 0, 4 k$ mL, pentru $k = 0, 1, \dots, 10$ . Ce volum total se degajă pe durata modelului?

13. Pentru PA $8, 5, 2, - 1, \dots$ , calculează $S_{3}$ și $S_{4}$ . Explică schimbarea, folosind termenul adăugat.

14. Pentru PA $27, 19, 11, 3, - 5, \dots$ , calculează $S_{3}$ , $S_{4}$ și $S_{5}$ . Scrie $S_{5} - S_{3}$ ca sumă a unui bloc și explică de ce $S_{5} < S_{3}$ , deși $S_{4} > S_{3}$ .

15. O PA are primul termen $3$ , ultimul termen $27$ și suma $150$ . Determină numărul de termeni și rația.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Într-o PA, $a_{3} = 11$ și $a_{8} = 26$ . Calculează $a_{1}$ , $S_{10}$ și suma termenilor de la rangul patru până la rangul șapte.

17. (Problemă aplicată.) Un plan de pregătire are cel mult zece sesiuni. În prima sunt șase sarcini, apoi cu cinci mai multe la fiecare sesiune. După câte sesiuni sunt rezolvate prima dată cel puțin $90$ de sarcini în total? Presupune că fiecare sesiune este încheiată integral.

18. (Provocare.) Pentru PA cu $a_{1} = 21$ și $r = - 7$ , determină toate numerele întregi pozitive $n$ pentru care $S_{n} = 35$ . Explică de ce nu poți presupune unicitatea răspunsului.

Răspunsuri și explicații

1. $a_{11} = 5 + 10 \cdot 3 = 35$ , deci $S_{11} = 11 (5 + 35) /2 = 220$ . Numărul impar de termeni nu împiedică aplicarea formulei; media capetelor este douăzeci.

2. $a_{7} = 18 - 24 = - 6$ , iar $S_{7} = 7 (18 - 6) /2 = 42$ . Ultimii termeni negativi intră cu semnul lor. Suma nu este suma modulelor și nu descrie automat un total de obiecte fizice.

3. Suma este $12 (- 2, 5) = - 30$ . Rația zero simplifică formula la numărul de termeni înmulțit cu valoarea comună. Termenii constanți nu trebuie să fie pozitivi.

4. Numărul termenilor se află din $14 + 4 (n - 1) = 62$ , deci $n = 13$ . Suma este $13 (14 + 62) /2 = 494$ . Diferența capetelor a numărat douăsprezece intervale, nu treisprezece.

5. Capetele sunt $a_{6} = 16$ și $a_{14} = 40$ , iar blocul are nouă termeni. Suma este $9 (16 + 40) /2 = 252$ . Capetele sunt incluse amândouă.

6. $S_{10} = 10 (- 2 + 25) /2 = 115$ . Capetele și numărul termenilor sunt suficiente, fiindcă știm deja că lista este PA. Nu este obligatoriu să reconstruim rația la fiecare sumă.

7. Adevărat. $S_{4} = 4 a_{1} + 6 r$ , iar $2 S_{2} = 2 (2 a_{1} + r) = 4 a_{1} + 2 r$ , deci $S_{4} - 2 S_{2} = 4 r$ . Diferența este zero exact când $r = 0$ , oricare ar fi primul termen.

8. $132 = 8 (12 + 7 r) /2$ , deci $12 + 7 r = 33$ și $r = 3$ . Control: ultimul termen este $27$ , iar media capetelor, înmulțită cu opt, dă exact $132$ .

9. $65 = 5 (2 a_{1} + 8) /2$ , deci $2 a_{1} + 8 = 26$ și $a_{1} = 9$ . Termenii $9, 11, 13, 15, 17$ au suma șaizeci și cinci și diferențe egale cu doi.

10. $S_{n} = n (n + 4)$ , deci $n^{2} + 4 n - 96 = (n - 8) (n + 12) = 0$ . Numai $n = 8$ este admis. Control: $a_{8} = 19$ , iar $8 (5 + 19) /2 = 96$ .

11. Ultimul lot are $a_{9} = 14 + 8 \cdot 4 = 46$ probe. Totalul este $9 (14 + 46) /2 = 270$ probe. Cantitățile sunt în loturi distincte, deci adunarea nu numără aceeași probă în mai multe etape.

12. Lista are $10 - 0 + 1 = 11$ termeni, de la $g_{0} = 1$ mL la $g_{10} = 5$ mL. Volumul total este $11 (1 + 5) /2 = 33$ mL. Numărarea de la zero adaugă un termen față de ultimul indice, iar volumele aparțin unor minute diferite, deci adunarea lor are sens.

13. $S_{3} = 8 + 5 + 2 = 15$ , iar $S_{4} = 14$ . Diferența este termenul al patrulea, $- 1$ . Totalul scade cu unu, deși primele trei valori au mărit succesiv suma.

14. $S_{3} = 27 + 19 + 11 = 57$ , $S_{4} = 60$ și $S_{5} = 55$ . Blocul dintre ele este $S_{5} - S_{3} = a_{4} + a_{5} = 3 + (- 5) = - 2$ : un termen pozitiv urmat de unul negativ, mai mare în modul. Totalul crește la rangul patru și coboară sub $S_{3}$ la rangul cinci.

15. Din $150 = n (3 + 27) /2$ rezultă $n = 10$ . Cele nouă treceri dau $r = (27 - 3) /9 = 8/3$ . Rația fracționară este admisă, iar formula reface ambele capete.

16. $r = (26 - 11) /5 = 3$ și $a_{1} = 5$ . Atunci $a_{10} = 32$ , deci $S_{10} = 185$ . Pentru blocul cerut, $a_{4} = 14$ , $a_{7} = 23$ și sunt patru termeni: suma este $74$ .

17. Totalul după $n$ sesiuni este $S_{n} = n (5 n + 7) /2$ . $S_{5} = 80 < 90$ , iar $S_{6} = 111 \geq 90$ . Toate cantitățile sunt pozitive, deci sumele cresc strict; șase este primul rang potrivit și este în limita celor zece sesiuni.

18. Formula dă $S_{n} = n [42 - 7 (n - 1)] /2 = 7 n (7 - n) /2$ . Ecuația $7 n (7 - n) /2 = 35$ devine $n (7 - n) = 10$ , adică $(n - 2) (n - 5) = 0$ . Ambele soluții, doi și cinci, sunt admise: $S_{2} = 21 + 14 = 35$ , iar $S_{5} = 21 + 14 + 7 + 0 - 7 = 35$ . Termenul nul și cel negativ permit revenirea la un total anterior.

De reținut

Suma unei PA este numărul termenilor înmulțit cu media primului și ultimului termen. Dacă ultimul termen nu este cunoscut, îl calculezi folosind rația.
Numărul de termeni se determină separat; valoarea unui capăt nu ține locul acestui număr. La un bloc consecutiv sunt incluse ambele capete.
Pentru un bloc poți folosi direct media capetelor sale sau diferența dintre două sume inițiale. Scazi numai termenii situați înaintea blocului cerut.
La o sumă dată, verifică toate soluțiile întregi pozitive, deoarece unicitatea nu este automată. Semnul termenului nou decide schimbarea totalului.
Formula permite termeni negativi sau rație zero. Interpretarea practică cere să verifici ce aduni: un total deja acumulat nu se totalizează din nou fără o întrebare care justifică operația.

Greșeli frecvente

Formula aplicată înainte de verificarea progresiei. Capetele și numărul valorilor nu determină suma unei liste oarecare. Folosește formula numai după ce proprietatea de PA este dată sau demonstrată.
Formula respinsă când numărul termenilor este impar. Demonstrația cu două copii ale listei funcționează și atunci. Factorul intermediar $n /2$ poate fi fracționar, fără să reprezinte un număr de termeni.
Ecuația pentru numărul termenilor considerată mereu de gradul al doilea. Dacă rația este zero, suma este $n a_{1}$ . Separă acest caz înainte de rezolvare; coeficientul termenului pătratic dispare.
O singură soluție păstrată fără verificare. Examinează toate soluțiile ecuației și domeniul. Două ranguri pozitive pot produce același total dacă există termeni negativi.
Unități amestecate într-un total. Dacă unele cantități sunt date în mililitri și altele în litri, convertește-le înainte de adunare. Formula sumei nu face singură conversia.

Aplică acasă

Construiește o PA finită cu șapte termeni, dintre care cel puțin unul negativ. Calculează suma direct și prin media capetelor. Întoarce apoi ordinea listei și observă ce se schimbă la rație și ce se păstrează la sumă. Explică rezultatul prin termenii care intră în adunare.
Desenează un tabel cu cantitatea pregătită în fiecare dintre cinci loturi și o coloană separată cu totalul de până atunci. Ascunde o cantitate de lot și reconstruiește-o scăzând două totaluri consecutive. Activitatea te ajută să deosebești o valoare nouă de o valoare cumulată, chiar când ambele coloane conțin numere în aceeași unitate.
Alege un interval de numere naturale și selectează numai multiplii unui număr nenul ales. Identifică primul și ultimul multiplu admis, apoi calculează suma. Verifică separat dacă zero sau capetele intervalului sunt incluse în cerință.

Pentru părinți și profesori

Lecția urmărește sensul totalizării și alegerea corectă a termenilor. O demonstrație prin două copii ale sumei este accesibilă fără separarea cazurilor par și impar. Ea oferă și un control al factorului doi. Pentru sprijin la noțiunea de medie se poate relua media aritmetică în clasa a V-a, păstrând distincția dintre media unei liste și un termen efectiv din ea.

Exercițiile cu zero și termeni negativi sunt alese pentru a preveni generalizări false: suma nu crește automat, două sume pot coincide, iar ecuația pentru numărul termenilor poate avea două soluții admise. În contexte cu obiecte numărabile, domeniul se restrânge înainte ca modelul să ofere cantități imposibile. Nu se cere un studiu general al maximelor sumelor.

Programa și examenul. Suma primilor termeni este conținut explicit al unității IX.4 din programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027. Pentru elevii care încep liceul în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) progresiile aparțin domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde suma primilor $n$ termeni. Modelul oficial 2026 nu are o cerință despre progresii; exemplele sunt antrenamente proprii. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: suma termenilor progresiei aritmetice este o resursă separată.

Întrebări frecvente

Pot folosi media capetelor dacă nu s-a precizat o progresie? Nu, numai capetele nu stabilesc suma unei liste arbitrare. Trebuie să cunoști structura PA sau să o demonstrezi. Valorile intermediare nu pot fi presupuse doar pentru a aplica formula. O listă cu aceleași capete poate avea alte valori în interior și, prin urmare, alt total. Formula folosește diferența constantă.

Când două sume consecutive au aceeași valoare? Exact când termenul nou adăugat este zero. Acest fapt nu obligă rația să fie zero și nu spune că toate sumele sunt egale. Verifică termenul care separă cele două totaluri. Diferența dintre sumele succesive este exact acel termen nou. Nu o confunda cu rația, care compară doi termeni ai progresiei.

Se poate afla rația doar din suma primului termen? Nu. Prima sumă este primul termen și nu conține nicio trecere. Pentru a afla rația ai nevoie de o informație care descrie și alte poziții sau o sumă cu suficiente date suplimentare. De exemplu, progresii cu același început și rații diferite au aceeași primă sumă, dar sumele ulterioare se pot deosebi.

De ce pot exista două răspunsuri pentru numărul termenilor? Sumele pot reveni la aceeași valoare când apar termeni negativi. Rezolvă ecuația și verifică toate rădăcinile admise. Unicitatea trebuie justificată, de exemplu prin pozitivitatea tuturor termenilor adăugați. Dacă lista are un domeniu finit, verifică suplimentar că fiecare răspuns se află în acel domeniu, nu doar că este pozitiv.

Ce este adaptat pentru M2 față de lecția M1 despre sume? Aici se insistă pe numărarea termenilor, pe totaluri cu sens și pe cazurile zero sau negative. Se lucrează cu formule și ecuații accesibile, fără un studiu general al optimizării sumelor sau al șirurilor arbitrare. Exercițiile verifică și folosirea capetelor unui bloc, unde numărul de valori diferă de ultimul indice scris.

Cum exersez formula sumei pentru bacalaureatul M2? Începe cu capetele și numărul termenilor, apoi justifică alegerea formulei și verifică rezultatul. Conținutul este în programă, dar modelul oficial 2026 nu are o cerință despre progresii, deci nu ghici forma întrebării. Continuă cu testul M2 al progresiilor și cu validarea modelului aritmetic. Scrie de fiecare dată câți termeni aduni și de la ce indice începi.