Dispersia și abaterile de la medie (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Două termostate de laborator sunt reglate amândouă la $30$ de grade Celsius. Cinci zile la rând, notezi temperatura reală din incintă: primul aparat dă $28$ , $29$ , $30$ , $31$ , $32$ , al doilea dă $22$ , $26$ , $30$ , $34$ , $38$ . Media este aceeași, $30$ de grade, la amândouă — și totuși nimeni nu ar pune o cultură de celule în al doilea. Media singură nu spune nimic despre încrederea pe care o poți avea într-un aparat, într-o metodă de măsurare sau într-un lot de produse; numărul care spune asta se numește dispersie, iar lecția de față, din materia clasei a X-a de la profilul științe ale naturii (M2), te învață să-l calculezi și să-l citești. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: dispersia și abaterile de la medie sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar ca atare în programa nouă a clasei a X-a.

Ai calculat deja împrăștierea unui set cu abaterea standard, în unitatea de statistică a traseului tău. Dispersia este exact numărul de sub radicalul de acolo, dar merită un nume și o lecție proprie din două motive practice: ea este mărimea cu care se fac toate calculele (se adună, se înmulțește cu pătratul unui factor, are o formulă de calcul rapid), iar programa Bacalaureatului M2 din sesiunile 2027–2029 cere explicit „interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie". În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu există o cerință de statistică: singura cerință din această familie, a patra a Subiectului I, este una de probabilități.

Ce vei învăța

Vei ști ce este abaterea unei valori față de medie și de ce suma nulă a abaterilor, demonstrată la media aritmetică, obligă la ridicarea lor la pătrat.
Vei ști să scrii și să aplici formula dispersiei $σ^{2}$ , cu tabelul de calcul complet, și să legi rezultatul de abaterea standard prin $σ = σ^{2}$ .
Vei ști să folosești formula de calcul rapid $σ^{2} = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ , care scurtează la jumătate munca de la examen.
Vei ști să calculezi dispersia unui set grupat într-un tabel de frecvențe, fără să rescrii valorile una câte una.
Vei ști ce se întâmplă cu dispersia când muți toate datele cu aceeași constantă și când le înmulțești pe toate cu un număr.
Vei ști să calculezi și abaterea medie absolută, celălalt mod de a măsura abaterile de la medie, și să spui de ce statistica preferă pătratele.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este dispersia unui set de date?

Dispersia unui set de $n$ valori numerice este media aritmetică a pătratelor abaterilor valorilor față de media setului; se notează $σ^{2}$ (sigma pătrat) și se calculează cu formula

$σ^{2} = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + ( x _{2} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n},$

unde $\overset{x}{ˉ}$ este media aritmetică a celor $n$ valori. Mărimea se mai numește varianță. Fiind o medie de pătrate, dispersia nu e niciodată negativă, iar unitatea ei de măsură e pătratul unității datelor: la grade Celsius, dispersia iese în grade Celsius la pătrat — de aceea, la final, se extrage rădăcina.

Numele spune ce face: dispersie înseamnă împrăștiere. Un set cu $σ^{2}$ mic are valorile strânse în jurul mediei; unul cu $σ^{2}$ mare le are risipite. Pentru termostatele din deschidere vom obține $σ^{2} = 2$ la primul și $σ^{2} = 32$ la al doilea: de șaisprezece ori mai mult, la aceeași medie.

2. De ce nu putem lua pur și simplu media abaterilor?

Pentru fiecare valoare $x_{i}$ , diferența $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ este abaterea acelei valori de la medie: pozitivă deasupra mediei, negativă dedesubt, nulă la valorile egale cu media. Prima idee care îi vine oricui e să facă media acestor abateri. Ideea nu merge: în lecția despre media aritmetică și media ponderată a datelor ai arătat că suma abaterilor față de medie este $0$ pentru orice set, fiindcă media este punctul de echilibru al datelor. Media abaterilor este, prin urmare, tot $0$ — un număr care nu deosebește niciun set de altul.

Abaterile trebuie deci făcute mai întâi pozitive, și abia apoi mediate: fie prin ridicare la pătrat, care duce la dispersie, fie prin modul, care duce la abaterea medie absolută (subsecțiunea 6). Proprietatea rămâne însă cel mai bun control al oricărui calcul: dacă totalul coloanei de abateri nu îți iese zero, nu are rost să continui — ori media e greșită, ori una dintre scăderi.

3. Cum se calculează dispersia pas cu pas?

Cinci pași, în aceeași ordine: afli $\overset{x}{ˉ}$ ; scazi media din fiecare valoare; verifici că suma abaterilor e $0$ ; ridici la pătrat și aduni; împarți totalul la $n$ . Pentru primul termostat, cu valorile $28$ , $29$ , $30$ , $31$ , $32$ :

$x_{i}$	$28$	$29$	$30$	$31$	$32$	total
$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$0$
$(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$10$

Media este $\overset{x}{ˉ} = \frac{150}{5} = 30$ , suma coloanei din mijloc este $0$ , iar suma pătratelor este $10$ , deci $σ^{2} = \frac{10}{5} = 2$ . Pentru al doilea termostat, cu valorile $22$ , $26$ , $30$ , $34$ , $38$ , media este tot $30$ , abaterile sunt $- 8$ , $- 4$ , $0$ , $4$ , $8$ , pătratele lor $64$ , $16$ , $0$ , $16$ , $64$ , cu suma $160$ , deci $σ^{2} = \frac{160}{5} = 32$ .

Rezultatele se citesc astfel: primul aparat se abate de la valoarea reglată cu cel mult două grade, al doilea cu până la opt. Raportul dispersiilor este $32 : 2 = 16$ , iar cel al abaterilor standard $32 : 2 = 4$ — mai mic, pentru că rădăcina „strânge" diferențele. Ordinea a două seturi e aceeași oricare dintre mărimi ai folosi; se schimbă doar cât de tare arată diferența.

4. Există o formulă mai rapidă pentru dispersie?

Da, și e cea folosită la examen. Desfăcând pătratul din definiție și ținând cont că suma valorilor este $n \overset{x}{ˉ}$ , obții

$σ^{2} = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overset{x}{ˉ}^{2},$

adică media pătratelor minus pătratul mediei. Avantajul: nu mai ai nevoie de coloana abaterilor — aduni valorile, aduni pătratele lor, două împărțiri și o scădere. Dezavantajul: pierzi controlul „suma abaterilor este zero", deci un calcul greșit nu se mai anunță singur.

Să verificăm pe setul $12$ , $15$ , $16$ , $18$ , $19$ . Suma valorilor este $80$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{80}{5} = 16$ . Suma pătratelor este $144 + 225 + 256 + 324 + 361 = 1310$ , deci

$σ^{2} = \frac{1310}{5} - 1 6^{2} = 262 - 256 = 6.$

Pe drumul lung, abaterile sunt $- 4$ , $- 1$ , $0$ , $2$ , $3$ , cu suma pătratelor $30$ , iar $σ^{2} = \frac{30}{5} = 6$ — același rezultat, cu jumătate din scris. Capcana: se scade pătratul mediei, nu media pătratelor; inversarea dă un număr negativ, care nu poate fi o dispersie.

5. Cum calculez dispersia când datele sunt grupate într-un tabel de frecvențe?

Când aceeași valoare se repetă, nu are rost să o scrii de mai multe ori. Dacă valorile distincte sunt $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ și apar de $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{k}$ ori, iar $N = f_{1} + f_{2} + \dots + f_{k}$ este numărul total de date, atunci media ponderată, pe care ai întâlnit-o în lecția despre media aritmetică și media ponderată a datelor, se scrie $\overset{x}{ˉ} = \frac{f _{1} x _{1} + f _{2} x _{2} + \dots + f _{k} x _{k}}{N}$ , iar dispersia devine

$σ^{2} = \frac{f _{1} ( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + f _{2} ( x _{2} - x ˉ ) ^{2} + \dots + f _{k} ( x _{k} - x ˉ ) ^{2}}{N} = \frac{f _{1} x _{1}^{2} + f _{2} x _{2}^{2} + \dots + f _{k} x _{k}^{2}}{N} - \overset{x}{ˉ}^{2} .$

Frecvențele intră în sume ca niște ponderi; nimic altceva nu se schimbă. Iată $20$ de vase de germinație, în care s-a numărat de fiecare dată câte semințe au răsărit:

semințe răsărite $x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$	total
număr de vase $f_{i}$	$4$	$10$	$4$	$2$	$20$
$f_{i} x_{i}$	$0$	$10$	$8$	$6$	$24$
$f_{i} x_{i}^{2}$	$0$	$10$	$16$	$18$	$44$

Media este $\overset{x}{ˉ} = \frac{24}{20} = 1, 2$ semințe pe vas, iar dispersia

$σ^{2} = \frac{44}{20} - 1, 2^{2} = 2, 2 - 1, 44 = 0, 76.$

Abaterea standard iese $σ = 0, 76 \approx 0, 87$ semințe. Observă că aici $σ^{2} < σ$ : un număr subunitar scade prin ridicare la pătrat. Nu e o contradicție, ci semnul că la împrăștiere mică cele două mărimi își schimbă ordinea.

6. Ce este abaterea medie absolută și de ce nu se folosește ea?

Al doilea mod de a face abaterile pozitive este modulul. Media obținută astfel se numește abatere medie absolută:

$d = \frac{∣ x _{1} - x ˉ ∣ + ∣ x _{2} - x ˉ ∣ + \dots + ∣ x _{n} - x ˉ ∣}{n} .$

Pentru primul termostat, modulele abaterilor sunt $2$ , $1$ , $0$ , $1$ , $2$ , cu suma $6$ , deci $d = \frac{6}{5} = 1, 2$ grade; pentru al doilea, $8$ , $4$ , $0$ , $4$ , $8$ , cu suma $24$ , deci $d = \frac{24}{5} = 4, 8$ grade. Mărimea e onestă, se exprimă direct în unitatea datelor și se explică într-o propoziție: „în medie, măsurătorile se depărtează cu atâta de valoarea reglată".

Și totuși statistica preferă pătratele, din trei motive: modulul nu se desface în calcule, deci pentru $d$ nu există formulă de calcul rapid; dispersia cântărește mai greu abaterile mari, ceea ce se potrivește cu ideea că o eroare mare e mai gravă decât două mici; iar suma pătratelor abaterilor are proprietatea de minim pe care o demonstrezi la exercițiul 18. Reține comparația numerică: pe aceleași date, $d \leq σ$ .

7. Ce se întâmplă cu dispersia dacă mut sau dilat datele?

Două transformări apar tot timpul în probleme, iar efectul lor se poate spune fără niciun calcul.

Translația nu schimbă dispersia. Dacă adaugi aceeași constantă $c$ la toate valorile, media crește și ea cu $c$ , deci fiecare abatere $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ rămâne ce era, iar $σ^{2}$ nu se mișcă. Verificare pe termostatul precis: setul mărit cu $5$ devine $33$ , $34$ , $35$ , $36$ , $37$ , cu media $35$ , aceleași abateri și aceeași dispersie $σ^{2} = 2$ . De aici, un truc de calcul: la valori mari și apropiate, scade din toate un număr rotund.

Dilatarea o înmulțește cu pătratul factorului. Dacă înmulțești toate valorile cu $k$ , media și fiecare abatere se înmulțesc cu $k$ , iar pătratele abaterilor cu $k^{2}$ ; prin urmare $σ^{2}$ se înmulțește cu $k^{2}$ , iar $σ$ cu $∣ k ∣$ . Verificare pentru $k = 2$ : setul dublat este $56$ , $58$ , $60$ , $62$ , $64$ , cu media $60$ , abaterile $- 4$ , $- 2$ , $0$ , $2$ , $4$ , suma pătratelor $40$ și $σ^{2} = \frac{40}{5} = 8 = 4 \cdot 2$ . Aici se vede de ce dispersia e mărimea cu care se calculează: regula ei e o simplă înmulțire.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul complet, pas cu pas

Se consideră setul de date $5$ , $7$ , $9$ , $11$ . Calculați media, abaterile de la medie și dispersia.

Rezolvare. Suma este $32$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{32}{4} = 8$ .

$x_{i}$	$5$	$7$	$9$	$11$	total
$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$	$- 3$	$- 1$	$1$	$3$	$0$
$(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$	$9$	$1$	$1$	$9$	$20$

Suma abaterilor este $0$ , deci media a fost calculată corect. Dispersia este $σ^{2} = \frac{20}{4} = 5$ , iar abaterea standard $σ = 5 \approx 2, 24$ .

Exemplul 2 — Aceeași dispersie, pe drumul scurt

Calculați dispersia setului $2$ , $6$ , $8$ , $10$ , $14$ folosind formula de calcul rapid.

Rezolvare. Suma valorilor este $40$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{40}{5} = 8$ . Suma pătratelor este $4 + 36 + 64 + 100 + 196 = 400$ , prin urmare

$σ^{2} = \frac{400}{5} - 8^{2} = 80 - 64 = 16,$

de unde $σ = 16 = 4$ . Control pe drumul lung: abaterile sunt $- 6$ , $- 2$ , $0$ , $2$ , $6$ , pătratele $36$ , $4$ , $0$ , $4$ , $36$ , cu suma $80$ , iar $\frac{80}{5} = 16$ . Cele două căi coincid, cum trebuie.

Exemplul 3 — Date grupate într-un tabel de frecvențe

În zece experimente s-a numărat de câte ori a virat culoarea unei soluții-indicator. Rezultatele sunt: valoarea $4$ de două ori, valoarea $5$ de patru ori, valoarea $6$ de trei ori, valoarea $7$ o dată. Calculați media și dispersia.

Rezolvare. Numărul total de date este $N = 2 + 4 + 3 + 1 = 10$ .

$x_{i}$	$4$	$5$	$6$	$7$	total
$f_{i}$	$2$	$4$	$3$	$1$	$10$
$f_{i} x_{i}$	$8$	$20$	$18$	$7$	$53$
$f_{i} x_{i}^{2}$	$32$	$100$	$108$	$49$	$289$

Media este $\overset{x}{ˉ} = \frac{53}{10} = 5, 3$ , iar dispersia

$σ^{2} = \frac{289}{10} - 5, 3^{2} = 28, 9 - 28, 09 = 0, 81,$

deci $σ = 0, 81 = 0, 9$ . Numărul de virări se abate, în medie, cu mai puțin de o unitate de la $5, 3$ .

Exemplul 4 — Două seturi cu aceeași medie

Două metode de dozare dau, pentru aceeași probă, rezultatele (în miligrame): metoda I — $47$ , $49$ , $50$ , $51$ , $53$ ; metoda a II-a — $44$ , $47$ , $50$ , $53$ , $56$ . Comparați cele două metode.

Rezolvare. Amândouă au media $50$ de miligrame. Pentru metoda I, abaterile sunt $- 3$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $3$ , pătratele $9$ , $1$ , $0$ , $1$ , $9$ , cu suma $20$ , deci $σ_{1}^{2} = \frac{20}{5} = 4$ și $σ_{1} = 2$ miligrame. Pentru metoda a II-a, abaterile sunt $- 6$ , $- 3$ , $0$ , $3$ , $6$ , pătratele $36$ , $9$ , $0$ , $9$ , $36$ , cu suma $90$ , deci $σ_{2}^{2} = \frac{90}{5} = 18$ și $σ_{2} = 18 \approx 4, 24$ miligrame.

Media nu deosebește metodele; dispersia le desparte net. Prima este de $4, 5$ ori mai stabilă ca dispersie, deci ea e recomandabilă când contează reproductibilitatea.

Exemplul 5 — Abaterea medie absolută, alături de dispersie

Randamentul unei reacții, măsurat în procente în cinci determinări, a fost $78$ , $80$ , $82$ , $84$ , $86$ . Calculați media, abaterea medie absolută și dispersia.

Rezolvare. Suma este $410$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{410}{5} = 82$ la sută. Abaterile sunt $- 4$ , $- 2$ , $0$ , $2$ , $4$ .

Modulele lor sunt $4$ , $2$ , $0$ , $2$ , $4$ , cu suma $12$ , deci $d = \frac{12}{5} = 2, 4$ procente. Pătratele sunt $16$ , $4$ , $0$ , $4$ , $16$ , cu suma $40$ , deci $σ^{2} = \frac{40}{5} = 8$ , iar $σ = 8 \approx 2, 83$ procente.

Cele două mărimi spun același lucru: randamentul se depărtează, în medie, cu două-trei procente de valoarea centrală. Observă că $d = 2, 4 < 2, 83 = σ$ , cum prevede regula din subsecțiunea 6.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră setul de date $3$ , $10$ , $m$ , $14$ , $21$ , unde $m$ este un număr real. a) Determinați numărul real $m$ pentru care media setului este egală cu $12$ . b) Pentru valoarea găsită la punctul a), calculați dispersia setului. c) Pentru aceeași valoare a lui $m$ , determinați câte dintre datele setului se abat de la medie cu mai mult decât abaterea standard.

Rezolvare. a) Media este $\frac{3 + 10 + m + 14 + 21}{5} = \frac{48 + m}{5}$ . Condiția $\frac{48 + m}{5} = 12$ dă $48 + m = 60$ , deci $m = 12$ .

b) Setul devine $3$ , $10$ , $12$ , $14$ , $21$ , cu media $12$ . Abaterile sunt $- 9$ , $- 2$ , $0$ , $2$ , $9$ (suma $0$ ), pătratele lor $81$ , $4$ , $0$ , $4$ , $81$ , cu suma $170$ , deci

$σ^{2} = \frac{170}{5} = 34.$

c) Abaterea standard este $σ = 34 \approx 5, 83$ . Modulele abaterilor sunt $9$ , $2$ , $0$ , $2$ , $9$ , iar dintre ele doar $9$ și $9$ depășesc $5, 83$ . Prin urmare $2$ dintre cele cinci date se abat de la medie cu mai mult decât abaterea standard.

Să exersăm

Bazele tabelelor de frecvențe le-ai pus în lecția despre interpretarea indicatorilor statistici.

Regula casei: scrie întâi media, apoi coloana abaterilor și verifică-i totalul. Dacă nu iese $0$ , oprește-te acolo. La valori mari și apropiate, scade din toate un număr rotund — translația nu schimbă dispersia.

1. Calculează media, abaterile de la medie și dispersia setului $6$ , $13$ , $14$ , $17$ , $20$ .

2. Lungimea, în centimetri, a cinci frunze a fost $4, 1$ ; $4, 7$ ; $5, 0$ ; $5, 3$ ; $5, 9$ . Calculează dispersia și abaterea standard, apoi spune care dintre cele două numere este mai mare și de ce.

3. Calculează dispersia setului $5$ , $9$ , $13$ , $17$ .

4. Calculează dispersia setului $1$ , $2$ , $5$ , $8$ , $9$ folosind formula de calcul rapid, apoi verifică pe drumul lung.

5. Pentru setul $5$ , $8$ , $9$ , $10$ , $13$ , calculează abaterea medie absolută și dispersia, apoi compară abaterea medie absolută cu abaterea standard.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă unui set de date i se adaugă o valoare nouă, egală cu media setului, dispersia rămâne neschimbată."

7. Setului $13$ , $15$ , $16$ , $19$ , $22$ i se adaugă $40$ la fiecare valoare. Precizează, fără să refaci tot calculul, noua medie și noua dispersie.

8. Valorile setului $13$ , $15$ , $16$ , $19$ , $22$ se înmulțesc cu $3$ . Precizează noua medie, noua dispersie și noua abatere standard.

9. Într-un grup de zece plante s-a numărat câți muguri are fiecare: valoarea $0$ la două plante, $1$ la trei plante, $2$ la trei plante, $3$ la o plantă și $4$ la o plantă. Calculează media și dispersia.

10. (Problemă aplicată.) Conținutul de vitamina C, în miligrame la $100$ de grame, măsurat la șase probe dintr-un lot de suc, a fost $46$ , $46$ , $48$ , $49$ , $51$ , $60$ . a) Calculează media și dispersia lotului. b) Recalculează-le după eliminarea probei de $60$ mg și spune de câte ori a scăzut dispersia.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră setul de date $2$ , $9$ , $m$ , $11$ , $18$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ știind că media setului este $10$ . b) Pentru valoarea găsită, calculează dispersia setului.

12. Un set are șase date, media $7$ și dispersia $0$ . Scrie setul și justifică.

13. Fără să calculezi dispersiile, spune care dintre seturile $A : 40, 41, 42, 43, 44$ și $B : 20, 31, 42, 53, 64$ are dispersia mai mare și explică de ce.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră setul de date $19$ , $22$ , $24$ , $26$ , $29$ . a) Calculează media setului. b) Calculează dispersia setului. c) Determină câte dintre date se află în intervalul $[\overset{x}{ˉ} - σ, \overset{x}{ˉ} + σ]$ .

15. Calculează dispersia setului $302$ , $303$ , $305$ , $309$ , $311$ , folosind o translație convenabilă.

16. Setul $3$ , $6$ , $8$ , $11$ reprezintă un eșantion. Calculează dispersia eșantionului, notată $s^{2}$ și obținută împărțind suma pătratelor abaterilor la $n - 1$ , apoi compară rezultatul cu dispersia obținută împărțind la $n$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră setul de date $5$ , $8$ , $11$ , $12$ , $14$ . a) Calculează dispersia setului. b) Valoarea $14$ se înlocuiește cu $24$ . Calculează dispersia setului obținut și precizează de câte ori a crescut.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice număr real $a$ și pentru orice set de date, are loc egalitatea $(x_{1} - a)^{2} + \dots + (x_{n} - a)^{2} = (x_{1} - \overset{x}{ˉ})^{2} + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ})^{2} + n (\overset{x}{ˉ} - a)^{2},$ deci suma pătratelor abaterilor față de un număr este minimă exact când numărul este media. Folosind egalitatea, calculează $(x_{1} - 13)^{2} + \dots + (x_{5} - 13)^{2}$ pentru setul $6$ , $10$ , $11$ , $13$ , $15$ .

Răspunsuri și explicații

1. Suma este $70$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{70}{5} = 14$ . Abaterile sunt $- 8$ , $- 1$ , $0$ , $3$ , $6$ , cu suma $0$ ; pătratele lor $64$ , $1$ , $0$ , $9$ , $36$ , cu suma $110$ . Rezultă $σ^{2} = \frac{110}{5} = 22$ .

2. Suma este $25$ , deci $\overset{x}{ˉ} = 5$ cm. Abaterile sunt $- 0, 9$ , $- 0, 3$ , $0$ , $0, 3$ , $0, 9$ , cu suma $0$ ; pătratele lor $0, 81$ , $0, 09$ , $0$ , $0, 09$ , $0, 81$ dau suma $1, 8$ . Deci $σ^{2} = \frac{1 , 8}{5} = 0, 36$ , iar $σ = 0, 36 = 0, 6$ cm. Mai mare este abaterea standard: dispersia fiind subunitară, rădăcina ei o depășește, iar ordinea obișnuită dintre cele două mărimi se răstoarnă ori de câte ori $σ < 1$ .

3. Suma este $44$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{44}{4} = 11$ . Abaterile sunt $- 6$ , $- 2$ , $2$ , $6$ ; pătratele $36$ , $4$ , $4$ , $36$ , cu suma $80$ . Deci $σ^{2} = \frac{80}{4} = 20$ .

4. Suma este $25$ , deci $\overset{x}{ˉ} = 5$ ; suma pătratelor este $1 + 4 + 25 + 64 + 81 = 175$ , de unde $σ^{2} = \frac{175}{5} - 5^{2} = 35 - 25 = 10$ . Pe drumul lung: abaterile $- 4$ , $- 3$ , $0$ , $3$ , $4$ , pătratele $16$ , $9$ , $0$ , $9$ , $16$ , cu suma $50$ , iar $\frac{50}{5} = 10$ .

5. Suma este $45$ , deci $\overset{x}{ˉ} = 9$ . Abaterile sunt $- 4$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $4$ ; modulele lor $4$ , $1$ , $0$ , $1$ , $4$ dau suma $10$ , deci $d = \frac{10}{5} = 2$ . Pătratele $16$ , $1$ , $0$ , $1$ , $16$ dau suma $34$ , deci $σ^{2} = \frac{34}{5} = 6, 8$ și $σ = 6, 8 \approx 2, 61$ . Într-adevăr, $d = 2 < 2, 61 = σ$ .

6. Fals. Media chiar rămâne neschimbată, fiindcă noua sumă este $n \overset{x}{ˉ} + \overset{x}{ˉ} = (n + 1) \overset{x}{ˉ}$ , iar suma pătratelor abaterilor rămâne și ea aceeași, abaterea valorii adăugate fiind $0$ . Se schimbă însă numitorul, care crește de la $n$ la $n + 1$ , deci dispersia scade. Pe setul $1$ , $3$ , $5$ , cu media $3$ , avem $σ^{2} = \frac{4 + 0 + 4}{3} = \frac{8}{3}$ ; pe setul $1$ , $3$ , $3$ , $5$ , cu aceeași medie, $σ^{2} = \frac{8}{4} = 2$ .

7. Media inițială este $\frac{85}{5} = 17$ , deci media nouă este $17 + 40 = 57$ . Dispersia rămâne neschimbată, pentru că fiecare abatere se scrie $(x_{i} + 40) - (\overset{x}{ˉ} + 40) = x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ . Pe setul inițial, abaterile sunt $- 4$ , $- 2$ , $- 1$ , $2$ , $5$ , cu suma pătratelor $50$ , deci $σ^{2} = \frac{50}{5} = 10$ , și tot $10$ rămâne.

8. Media se înmulțește cu $3$ și devine $51$ . Fiecare abatere se înmulțește cu $3$ , deci fiecare pătrat cu $9$ : noua dispersie este $9 \cdot 10 = 90$ , iar noua abatere standard $90 = 310 \approx 9, 49$ , adică triplul celei vechi, $10 \approx 3, 16$ .

9. Scris desfășurat, setul este $0$ , $0$ , $1$ , $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $2$ , $3$ , $4$ . Numărul total este $N = 2 + 3 + 3 + 1 + 1 = 10$ . Suma valorilor este $0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 16$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{16}{10} = 1, 6$ muguri. Suma pătratelor ponderate este $0 + 3 + 12 + 9 + 16 = 40$ , deci $σ^{2} = \frac{40}{10} - 1, 6^{2} = 4 - 2, 56 = 1, 44$ , iar $σ = 1, 44 = 1, 2$ muguri.

10. a) Suma celor șase valori este $300$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{300}{6} = 50$ mg. Abaterile sunt $- 4$ , $- 4$ , $- 2$ , $- 1$ , $1$ , $10$ (suma $0$ ), iar pătratele lor $16$ , $16$ , $4$ , $1$ , $1$ , $100$ , cu suma $138$ ; rezultă $σ^{2} = \frac{138}{6} = 23$ . b) Fără proba de $60$ mg rămân valorile $46$ , $46$ , $48$ , $49$ , $51$ , cu suma $240$ și media $48$ mg; abaterile devin $- 2$ , $- 2$ , $0$ , $1$ , $3$ , cu suma pătratelor $18$ , deci $σ^{2} = \frac{18}{5} = 3, 6$ . Dispersia a scăzut de $\frac{23}{3 , 6} \approx 6, 39$ ori: singura probă depărtată aducea singură $100$ din cei $138$ ai sumei, adică aproape trei sferturi din împrăștierea lotului.

11. a) Media este $\frac{40 + m}{5}$ , iar condiția $\frac{40 + m}{5} = 10$ dă $m = 10$ . b) Setul devine $2$ , $9$ , $10$ , $11$ , $18$ , cu abaterile $- 8$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $8$ și suma pătratelor $130$ , deci $σ^{2} = \frac{130}{5} = 26$ .

12. Setul este $7$ , $7$ , $7$ , $7$ , $7$ , $7$ . Dispersia fiind o medie de pătrate, ea se anulează numai dacă fiecare pătrat este nul, adică dacă fiecare abatere este $0$ , adică dacă fiecare dată este egală cu media. Reciproc, un set constant are media egală cu valoarea comună și dispersia $0$ .

13. Setul $B$ are dispersia mai mare. Valorile lui $A$ se întind pe un interval de lungime $4$ , deci nicio abatere nu depășește $2$ ; valorile lui $B$ se întind pe un interval de lungime $44$ , cu abateri de până la $22$ . Cum abaterile se ridică la pătrat, diferența dintre cele două seturi se amplifică.

14. a) Suma este $120$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{120}{5} = 24$ . b) Abaterile sunt $- 5$ , $- 2$ , $0$ , $2$ , $5$ , pătratele $25$ , $4$ , $0$ , $4$ , $25$ , cu suma $58$ , deci $σ^{2} = \frac{58}{5} = 11, 6$ . c) Abaterea standard este $σ = 11, 6 \approx 3, 41$ , iar intervalul are capetele aproximativ $20, 59$ și $27, 41$ ; el conține datele $22$ , $24$ și $26$ , adică $3$ dintre cele cinci.

15. Scădem $306$ din fiecare valoare și obținem $- 4$ , $- 3$ , $- 1$ , $3$ , $5$ , un set cu media $0$ și cu aceeași dispersie ca setul inițial. Suma pătratelor este $16 + 9 + 1 + 9 + 25 = 60$ , deci $σ^{2} = \frac{60}{5} = 12$ .

16. Media este $\frac{28}{4} = 7$ ; abaterile sunt $- 4$ , $- 1$ , $1$ , $4$ , iar suma pătratelor $16 + 1 + 1 + 16 = 34$ . Împărțind la $n - 1 = 3$ , dispersia eșantionului este $s^{2} = \frac{34}{3} \approx 11, 33$ ; împărțind la $n = 4$ , se obține $σ^{2} = \frac{34}{4} = 8, 5$ . Prima valoare este mai mare, pentru că numitorul e mai mic. Simbolul $s^{2}$ este pătratul lui $s$ , varianta cu numitorul $n - 1$ pe care lecția despre abaterea standard o pomenește doar ca observație de foaie de calcul; convenția lecțiilor noastre rămâne împărțirea la $n$ , deci dispersia de raportat pentru acest set este $σ^{2} = 8, 5$ .

17. a) Media este $\frac{50}{5} = 10$ ; abaterile $- 5$ , $- 2$ , $1$ , $2$ , $4$ , suma pătratelor $50$ , deci $σ^{2} = \frac{50}{5} = 10$ . b) Noul set este $5$ , $8$ , $11$ , $12$ , $24$ , cu suma $60$ și media $12$ ; abaterile devin $- 7$ , $- 4$ , $- 1$ , $0$ , $12$ , pătratele $49$ , $16$ , $1$ , $0$ , $144$ , cu suma $210$ , deci $σ^{2} = \frac{210}{5} = 42$ . Dispersia a crescut de $4, 2$ ori, deși s-a schimbat o singură valoare — dovada că dispersia este foarte sensibilă la datele extreme.

18. Scriem $x_{i} - a = (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) + (\overset{x}{ˉ} - a)$ și ridicăm la pătrat fiecare termen. Suma pătratelor devine suma pătratelor abaterilor, plus $n (\overset{x}{ˉ} - a)^{2}$ , plus dublul produs $2 (\overset{x}{ˉ} - a)$ înmulțit cu suma abaterilor. Ultimul termen este nul, pentru că suma abaterilor este $0$ , și rămâne exact egalitatea cerută. Cum $n (\overset{x}{ˉ} - a)^{2} \geq 0$ , membrul stâng este cel mai mic posibil pentru $a = \overset{x}{ˉ}$ . Pentru setul dat, media este $\frac{55}{5} = 11$ , suma pătratelor abaterilor este $25 + 1 + 0 + 4 + 16 = 46$ , iar $a = 13$ dă $46 + 5 \cdot (11 - 13)^{2} = 46 + 20 = 66$ . Verificare directă: $49 + 9 + 4 + 0 + 4 = 66$ .

De reținut

Dispersia unui set de date este media pătratelor abaterilor față de medie, se notează $σ^{2}$ , nu este niciodată negativă și se exprimă în pătratul unității datelor.
Suma abaterilor de la medie este întotdeauna $0$ (proprietatea demonstrată la media aritmetică); de aceea abaterile se ridică la pătrat înainte de a fi mediate, iar totalul coloanei de abateri este cel mai bun control al calculului.
Formula de calcul rapid este $σ^{2} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ , adică media pătratelor minus pătratul mediei; pentru date grupate, valorile și pătratele lor se ponderează cu frecvențele, iar împărțirea se face la numărul total de date.
Abaterea standard este rădăcina dispersiei, $σ = σ^{2}$ ; ea readuce rezultatul în unitatea datelor, iar dispersia rămâne mărimea cu care se calculează.
Translația nu schimbă dispersia, iar înmulțirea tuturor datelor cu $k$ o înmulțește cu $k^{2}$ ; prin urmare, la valori mari se poate scădea din toate un număr rotund, fără nicio pierdere.

Greșeli frecvente

Oprirea calculului la suma pătratelor. Numărul $(x_{1} - \overset{x}{ˉ})^{2} + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ nu este dispersia, ci doar numărătorul ei: mai trebuie împărțit la $n$ . Greșeala se recunoaște ușor, pentru că rezultatul crește odată cu numărul de date, deși împrăștierea rămâne aceeași.
Inversarea termenilor în formula rapidă. Se scade pătratul mediei din media pătratelor, nu invers. Dacă îți iese o dispersie negativă, aproape sigur ai scris $\overset{x}{ˉ}^{2} - \frac{\sum x _{i}^{2}}{n}$ ; o dispersie negativă este imposibilă și trebuie să te oprească pe loc.
Pierderea frecvențelor la date grupate. Când tabelul are patru valori distincte și $20$ de date, împărțirea se face la $20$ , nu la $4$ : numitorul e câte date ai, nu câte valori diferite apar.
Uitarea unității de măsură pătrate. Dacă datele sunt în grade, dispersia este în grade la pătrat, iar abaterea standard în grade. Un răspuns de forma „dispersia este $8$ miligrame" amestecă cele două mărimi și este greșit.
Rotunjirea mediei înainte de a calcula abaterile. La o medie de forma $5, 3$ sau $\frac{17}{3}$ , rotunjirea din primul pas se propagă în toate pătratele. Media se ține exactă — ca fracție, dacă e nevoie — și se rotunjește abia rezultatul final.

Aplică acasă

Cele două termostate din casa ta. Măsoară, la aceeași oră, șapte zile la rând, temperatura din camera ta și pe cea de afară. Calculează pentru fiecare set media, dispersia și abaterea medie absolută, apoi scrie într-o frază de ce cele două dispersii diferă atât de mult.
Formula rapidă, într-o foaie de calcul. Introdu zece numere pe coloana A. Calculează media pătratelor (=SUMPRODUCT(A1:A10;A1:A10)/10), pătratul mediei (=AVERAGE(A1:A10)^2) și fă diferența. Compară rezultatul cu =VAR.P(A1:A10) și notează cu câte zecimale coincid.
Cât cântărește o valoare extremă. Ia cele zece numere de la punctul 2 și înlocuiește unul singur cu de cinci ori valoarea lui. Recalculează media, abaterea medie absolută și dispersia și scrie, în procente, cu cât a crescut fiecare.

Pentru părinți și profesori

Lecția face un pas mic ca noțiune și mare ca obișnuință de lucru. Dispersia e numărul de sub radicalul abaterii standard; ce se adaugă e calculul cu ea: formula rapidă, varianta pentru date grupate și cele două reguli de transformare. Elevul de la științe ale naturii are aici un contact direct cu laboratorul: dispersia spune dacă o metodă de măsurare e reproductibilă.

De verificat în caiet: media e calculată exact, nu rotunjită; coloana abaterilor are totalul $0$ ; s-a împărțit la numărul de date, nu la cel de valori distincte; rezultatul poartă unitatea corectă (pătratul unității pentru $σ^{2}$ , unitatea simplă pentru $σ$ ). Întrebări de control: „De ce nu putem media pur și simplu abaterile?"; „Ce se schimbă în dispersie dacă toate datele cresc cu zece?"; „Dar dacă se dublează?"; „Poate fi dispersia mai mică decât abaterea standard?". Semn că a înțeles: în fața a două seturi cu aceeași medie, alege singur mărimea de comparat și spune în ce unitate se exprimă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema cea mai apropiată apare în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități", la capitolul de clasa a X-a, unde programa cere abaterea standard, formula și interpretarea ei — dispersia nu este numită acolo separat. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărei programă cere explicit „interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie"; cerințele de statistică și probabilități se dau la Subiectul I, printre cele șase cerințe scurte. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029, adică din conținuturile cerute de examen și absente din programa nouă a clasei a X-a. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a X-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Ce este dispersia unui set de date? Dispersia este media aritmetică a pătratelor abaterilor valorilor față de media setului și se notează $σ^{2}$ . Ea măsoară cât de împrăștiate sunt datele în jurul mediei: cu cât e mai mare, cu atât valorile stau mai departe de centru. Se exprimă în pătratul unității datelor, motiv pentru care de multe ori se preferă rădăcina ei.

Care este diferența dintre dispersie și abatere standard? Sunt aceeași informație, în două unități de măsură. Dispersia $σ^{2}$ este media pătratelor abaterilor, deci se exprimă în unitatea datelor la pătrat; abaterea standard este rădăcina ei, $σ = σ^{2}$ , exprimată în unitatea datelor. Cu dispersia se calculează, pentru că are reguli simple de transformare; cu abaterea standard se vorbește, pentru că se poate compara direct cu datele.

Cum se calculează dispersia mai repede la examen? Cu formula mediei pătratelor minus pătratul mediei: aduni valorile și împarți la $n$ ca să afli $\overset{x}{ˉ}$ , aduni pătratele valorilor și împarți tot la $n$ , apoi scazi $\overset{x}{ˉ}^{2}$ . Nu mai ai nevoie de coloana abaterilor. Atenție la ordinea scăderii: un rezultat negativ înseamnă că ai inversat cei doi termeni.

Ce diferă la această temă între M1 și M2? Diferă statutul ei. La matematică-informatică, programa de liceu de pe acest site tratează împrăștierea unui set în lecția despre abaterea standard, fără un capitol separat de dispersie. La științe ale naturii, dispersia este numită explicit de programa de examen din 2014 și de aceea intră în suplimentul M2: aceleași formule, dar cu obligația de a ști termenul, notația $σ^{2}$ și legătura cu abaterea standard.

La ce subiect apare statistica la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 conține media, dispersia și abaterile de la medie, dar nu le repartizează pe subiecte. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu apare nicio cerință de statistică: familia statistică–probabilități este reprezentată de a patra cerință a Subiectului I, o problemă de probabilități.

De ce suma abaterilor de la medie este întotdeauna zero? Pentru că media este punctul de echilibru al datelor: abaterile pozitive le compensează exact pe cele negative. Demonstrația e în lecția despre media aritmetică și media ponderată a datelor. Aici proprietatea contează de două ori: explică de ce abaterile se ridică la pătrat înainte de a fi mediate și dă cel mai rapid control al calculului: dacă totalul coloanei de abateri nu e zero, ai greșit media sau o scădere.

Se poate ca dispersia să fie mai mică decât abaterea standard? Da, și se întâmplă ori de câte ori abaterea standard este subunitară. Dacă $σ < 1$ , atunci $σ^{2} < σ$ , pentru că ridicarea la pătrat micșorează numerele dintre $0$ și $1$ . Dacă $σ > 1$ , relația se inversează. Sunt egale doar când $σ$ este $0$ sau $1$ .

Cum calculez dispersia dintr-un tabel de frecvențe? Înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei ca să afli media ponderată, apoi înmulțești fiecare pătrat de valoare cu aceeași frecvență, aduni și împarți la numărul total de date, nu la numărul de valori distincte. La final scazi pătratul mediei. Indicatorii se citesc apoi unul lângă altul, ca în lecția despre compararea a două seturi de date.