Procente, dobânzi și TVA (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Pe orice bon de cumpărături din România scrie, undeva jos, un rând cu trei cifre: valoarea produselor, cota de taxă pe valoarea adăugată și suma pe care ai plătit-o de fapt. Pe extrasul unui depozit bancar scrie alt rând, cu o dobândă. Iar pe eticheta din vitrină scrie „reducere 30%", uneori aplicată peste o altă reducere. Toate trei se calculează cu aceeași unealtă — procentul — și toate trei intră, la clasa a X-a de la profilul științe ale naturii (M2), în capitolul de matematici financiare. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 capitolul e în programa clasei a X-a; în modelul oficial publicat pentru 2026, cele șase cerințe scurte ale Subiectului I sunt din materia claselor a IX-a și a X-a.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: elementele de calcul financiar — procente, dobânzi și TVA — sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014) la clasa a X-a, deși programa nouă a clasei a X-a nu mai are capitolul „Matematici financiare". Din el au rămas dobânda simplă și dobânda compusă, mutate la clasa a IX-a, lângă progresii, unde le-ai întâlnit în lecțiile despre progresii aritmetice, dobândă simplă și costuri și despre dobânda compusă și dinamica populației. Aici le folosim ca unelte de calcul financiar, alături de procente și de TVA. Pentru comparație, la mate-info (M1) nu există un capitol de matematici financiare — procentele rămân acolo un instrument folosit ocazional —, așa că cea mai apropiată lecție înrudită de pe site este cea de gimnaziu despre probleme cu procente, reduceri, TVA și dobândă.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi cât înseamnă $p %$ dintr-o sumă și să treci imediat la prețul final, cu un singur factor de înmulțire.
Vei ști de ce două reduceri succesive nu se adună și cum se află reducerea unică echivalentă.
Vei ști să calculezi TVA-ul pornind de la prețul fără TVA și, invers, să-l scoți dintr-un preț care îl conține deja.
Vei ști să deosebești dobânda simplă de dobânda compusă și să spui, cu cifre, cât valorează diferența dintre ele.
Vei ști să nu confunzi procentele cu punctele procentuale atunci când compari două oferte.
Vei ști să redactezi un calcul financiar cu unitate de măsură și cu rotunjirea la bani, așa cum se cere într-o rezolvare completă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „p la sută" dintr-o sumă?

Procentul este o fracție cu numitorul $100$ : a spune că o mărime reprezintă $p %$ dintr-o sumă $S$ înseamnă a spune că ea este egală cu $\frac{p}{100} \cdot S$ . Simbolul $%$ nu e o unitate de măsură, ci prescurtarea acestei împărțiri la o sută.

Așa se explică de ce procentele se pot compara între ele numai dacă se raportează la aceeași sumă. $10%$ dintr-un salariu de $3000$ de lei înseamnă $300$ de lei, iar $10%$ dintr-o factură de $200$ de lei înseamnă $20$ de lei; același procent, alte sume. Prima întrebare la orice problemă de calcul financiar este deci: procent din ce?

2. Cum se scumpește sau se ieftinește un preț cu p%?

În doi pași, sau într-unul singur. Cei doi pași sunt calculul procentului și apoi adunarea sau scăderea lui. Pasul unic vine din scoaterea factorului comun:

$S + \frac{p}{100} \cdot S = S (1 + \frac{p}{100}), S - \frac{p}{100} \cdot S = S (1 - \frac{p}{100}) .$

Numărul din paranteză se numește factor de modificare. La o scumpire cu $8%$ el este $1, 08$ , la o ieftinire cu $15%$ este $0, 85$ . Un abonament de $1200$ de lei scumpit cu $8%$ ajunge la $1200 \cdot 1, 08 = 1296$ de lei; același abonament ieftinit cu $15%$ ar costa $1200 \cdot 0, 85 = 1020$ de lei.

Avantajul formei cu factor apare când trebuie să mergi înapoi. Dacă știi prețul final și procentul, împarți: un obiect ieftinit cu $20%$ care costă acum $240$ de lei a costat înainte $240 : 0, 8 = 300$ de lei. Cine scade în loc să împartă — adică adaugă $20%$ la $240$ — obține $288$ și greșește, pentru că procentul se raportează la prețul vechi, nu la cel nou.

3. De ce două reduceri succesive nu se adună?

Pentru că a doua reducere se aplică la prețul deja micșorat. Matematic, factorii se înmulțesc, nu se adună.

Să urmărim o geacă de $800$ de lei, redusă cu $25%$ la începutul lichidării și apoi cu încă $10%$ în ultima zi. După prima reducere: $800 \cdot 0, 75 = 600$ de lei. După a doua: $600 \cdot 0, 9 = 540$ de lei. Pe scurt, $800 \cdot 0, 75 \cdot 0, 9 = 800 \cdot 0, 675 = 540$ .

Factorul total este $0, 675$ , deci reducerea unică echivalentă este de $32, 5%$ , nu de $35%$ . Diferența de $2, 5$ puncte, adică $20$ de lei, vine exact din faptul că a doua reducere nu s-a aplicat celor $200$ de lei tăiați deja.

Aceeași regulă explică un fapt care surprinde: o creștere cu $20%$ urmată de o scădere cu $20%$ nu te readuce de unde ai plecat, fiindcă $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ — rămâi cu $96%$ din suma inițială, deci în pierdere cu $4%$ . Când aceeași creștere procentuală se repetă de mai multe ori, factorii identici se înmulțesc și dau o putere; cazul acesta e tratat pe larg în lecția despre procentele repetate, parcursă anul trecut.

4. Cum se calculează TVA-ul și cum îl scoți dintr-un preț?

Taxa pe valoarea adăugată este un procent aplicat prețului fără taxă. La $1$ august $2025$ , prin Legea nr. 141/2025, cota standard din România a devenit $21%$ , iar vechile cote reduse de $5%$ și $9%$ au fost abrogate și înlocuite cu una singură, de $11%$ , pentru alimente, medicamente, cărți, apă potabilă, cazare și alte câteva categorii; verifică întotdeauna cota în vigoare la data problemei, pentru că este o cifră care se poate schimba prin lege.

Drumul înainte e simplu. Un produs cu prețul fără TVA de $1000$ de lei, la cota standard, are $TVA = 1000 \cdot \frac{21}{100} = 210$ lei, deci prețul de raft este $1210$ lei. Se poate scrie și dintr-un pas: $1000 \cdot 1, 21 = 1210$ .

Drumul înapoi e cel care se greșește. Prețul de pe raft reprezintă $121%$ din prețul fără TVA, nu $100%$ . Așadar

$pre ț f \overset{a}{˘} r \overset{a}{˘} TVA = \frac{pre ț cu TVA}{1 , 21}, TVA = pre ț cu TVA \cdot \frac{21}{121} .$

Pentru cei $1210$ lei: $1210 : 1, 21 = 1000$ de lei și $1210 \cdot \frac{21}{121} = 210$ lei. Aplicând din greșeală $21%$ la prețul cu TVA ai obține $254, 10$ lei, cu $44, 10$ lei mai mult decât taxa reală. Pentru cota redusă, cele două formule devin împărțire la $1, 11$ , respectiv înmulțire cu $\frac{11}{111}$ .

5. Ce este dobânda simplă și cu ce diferă de cea compusă?

Dobânda simplă se calculează de fiecare dată la suma depusă la început. Pentru o sumă $S$ , o rată anuală de $p %$ și o durată de $t$ ani, ea este

$D = S \cdot \frac{p}{100} \cdot t .$

Pentru $4000$ de lei la $6%$ pe an, timp de $9$ luni, adică $t = \frac{9}{12} = 0, 75$ ani, dobânda este $4000 \cdot 0, 06 \cdot 0, 75 = 180$ de lei. Sumele plătite an de an formează o progresie aritmetică, iar soldul crește cu aceeași cantitate în fiecare an.

Dobânda compusă se calculează, în schimb, la suma acumulată până atunci: dobânda de anul trecut începe și ea să producă dobândă. Soldul după $n$ ani este $S_{n} = S (1 + \frac{p}{100})^{n}$ , deci soldurile succesive formează o progresie geometrică de rație $1 + \frac{p}{100}$ .

Comparația pe cifre spune tot. Depunem $8000$ de lei la $5%$ pe an, pe trei ani. Cu dobândă simplă primim $8000 \cdot 0, 05 \cdot 3 = 1200$ de lei. Cu dobândă compusă soldul devine $8000 \cdot 1, 0 5^{3} = 8000 \cdot 1, 157625 = 9261$ de lei, deci dobânda este de $1261$ de lei — cu $61$ de lei mai mult. Pe trei ani diferența e mică; pe zece ani sau pe durata unui credit, ea devine partea cea mai importantă a calculului.

6. Cum compar corect două oferte procentuale?

Prima capcană e confuzia dintre procente și puncte procentuale. Dacă o bancă își ridică rata de la $5%$ la $6%$ , creșterea este de $1$ punct procentual, dar de $20%$ în termeni relativi, pentru că $\frac{6 - 5}{5} = 0, 2$ . Ambele formulări sunt corecte; cine le amestecă obține un raport greșit de cinci ori.

A doua capcană e compararea unor procente calculate pe baze diferite: un comision de $2%$ din valoarea creditului nu se poate aduna direct cu o dobândă de $7%$ pe an, pentru că unul se aplică o singură dată, iar celălalt în fiecare an. Regula de lucru e să aduci totul la aceeași unitate — lei, pentru aceeași perioadă — și abia apoi să compari. Tot din lei se recalculează, la nevoie, procentele față de baza pe care o alegi tu, iar lecția despre frecvențe relative și procente arată aceeași idee pe date statistice.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Scumpire și ieftinire cu un singur factor

Chiria lunară a unui spațiu de laborator este de $1500$ de lei. Calculați cât va costa după o scumpire cu $6%$ și cât ar fi costat după o ieftinire cu $12%$ .

Rezolvare. Factorul de scumpire este $1 + \frac{6}{100} = 1, 06$ , deci noua chirie este $1500 \cdot 1, 06 = 1590$ de lei. Factorul de ieftinire este $1 - \frac{12}{100} = 0, 88$ , deci chiria redusă ar fi $1500 \cdot 0, 88 = 1320$ de lei.

Control prin cei doi pași: $6%$ din $1500$ înseamnă $90$ de lei, iar $1500 + 90 = 1590$ ; $12%$ din $1500$ înseamnă $180$ de lei, iar $1500 - 180 = 1320$ .

Exemplul 2 — Contează ordinea a două reduceri?

Același aparat costă $900$ de lei în două magazine. Primul anunță o reducere de $20%$ , iar peste o săptămână încă una de $15%$ din prețul obținut; al doilea le anunță în ordine inversă, întâi $15%$ , apoi $20%$ . Calculați prețul final în fiecare magazin și reducerea unică echivalentă.

Rezolvare. În primul magazin: $900 \cdot 0, 8 = 720$ de lei, apoi $720 \cdot 0, 85 = 612$ de lei. În al doilea: $900 \cdot 0, 85 = 765$ de lei, apoi $765 \cdot 0, 8 = 612$ de lei.

Prețul final este același, pentru că factorul total e un produs, iar înmulțirea e comutativă: $0, 8 \cdot 0, 85 = 0, 85 \cdot 0, 8 = 0, 68$ . Prețul final reprezintă $68%$ din cel inițial, deci reducerea unică echivalentă este de $100% - 68% = 32%$ — nu de $35%$ , cât ar da adunarea procentelor. Drumul e diferit, capătul e același.

Exemplul 3 — TVA în ambele sensuri

O trusă de laborator are prețul fără TVA de $3000$ de lei și se vinde cu cota standard de TVA. a) Calculați prețul de raft. b) Pe bonul altei truse scrie doar suma plătită, $3630$ de lei, la aceeași cotă. Calculați TVA-ul cuprins în această sumă.

Rezolvare. a) $TVA = 3000 \cdot \frac{21}{100} = 630$ de lei, deci prețul de raft este $3000 + 630 = 3630$ de lei.

b) Suma de pe bon reprezintă $121%$ din prețul fără TVA, deci prețul fără TVA este $3630 : 1, 21 = 3000$ de lei, iar taxa este $3630 - 3000 = 630$ de lei. Direct: $3630 \cdot \frac{21}{121} = 630$ de lei.

Exemplul 4 — Cota redusă, pe un coș de alimente

Un magazin livrează alimente în valoare de $250$ de lei fără TVA, la cota redusă de $11%$ . Calculați valoarea taxei și suma de plată, apoi arătați cât ar fi fost suma dacă s-ar fi aplicat, din greșeală, cota standard.

Rezolvare. La cota redusă: $TVA = 250 \cdot \frac{11}{100} = 27, 50$ lei, iar suma de plată este $250 + 27, 50 = 277, 50$ lei.

La cota standard s-ar fi obținut $250 \cdot \frac{21}{100} = 52, 50$ lei taxă și $302, 50$ lei de plată, adică cu $25$ de lei mai mult. Diferența dintre cele două cote, de $10$ puncte procentuale, se vede direct în suma finală: $10%$ din $250$ înseamnă exact $25$ de lei.

Exemplul 5 — Capitalizare anuală sau semestrială?

Se depun $10000$ de lei pe doi ani, cu o rată anuală de $6%$ . Calculați suma din cont dacă dobânda se capitalizează o dată pe an și dacă se capitalizează din șase în șase luni, cu rata semestrială de $3%$ .

Rezolvare. Cu capitalizare anuală sunt două perioade, cu factorul $1, 06$ fiecare: $10000 \cdot 1, 0 6^{2} = 10000 \cdot 1, 1236 = 11236$ de lei.

Cu capitalizare semestrială sunt patru perioade, cu factorul $1, 03$ fiecare: $10000 \cdot 1, 0 3^{4} = 10000 \cdot 1, 12550881 = 11255, 0881$ , adică $11255, 09$ lei după rotunjirea la bani.

Diferența este de aproximativ $19, 09$ lei în favoarea capitalizării semestriale: jumătate din dobânda anuală începe să producă dobândă cu șase luni mai devreme. Reține de aici că, la dobândă compusă, nu contează doar procentul, ci și de câte ori pe an se capitalizează.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Prețul unui produs se ieftinește cu $20%$ , iar prețul obținut se ieftinește cu încă $25%$ . Arătați că prețul final reprezintă $60%$ din prețul inițial.

Rezolvare. Cerința e scrisă în forma scurtă a Subiectului I, unde răspunsul se obține în câteva rânduri. Notăm cu $x$ prețul inițial. Prima ieftinire înmulțește prețul cu $1 - \frac{20}{100} = 0, 8$ , iar a doua îl înmulțește pe cel obținut cu $1 - \frac{25}{100} = 0, 75$ .

Prețul final este deci $x \cdot 0, 8 \cdot 0, 75 = 0, 6 x$ , adică $60%$ din prețul inițial, ceea ce trebuia arătat. Observă că reducerea totală este de $40%$ , nu de $45%$ .

Să exersăm

Înainte de orice calcul, răspunde la întrebarea „procent din ce?" și scrie suma de referință. Folosește factorul de modificare ori de câte ori poți: scurtează calculul și te ferește de greșeala de a raporta procentul la suma greșită. Rotunjește doar la final, la bani, adică la două zecimale.

1. Calculează $15%$ din $840$ de lei.

2. Un televizor costă $2500$ de lei și se scumpește cu $6%$ . Calculează noul preț, folosind factorul de modificare.

3. Un obiect de $450$ de lei se ieftinește cu $12%$ . Calculează prețul redus și cât se economisește.

4. Prețul fără TVA al unei imprimante este de $1500$ de lei, iar cota de TVA este cea standard, de $21%$ . Calculează TVA-ul și prețul de raft.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O reducere de $20%$ urmată de una de $30%$ este totuna cu o reducere unică de $50%$ ."

6. Pe un bon scrie suma de plată $605$ lei, la cota standard de TVA. Calculează prețul fără TVA și valoarea taxei.

7. Un coș de alimente costă $180$ de lei fără TVA, la cota redusă de $11%$ . Calculează suma de plată.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Prețul unui produs se scumpește cu $25%$ , iar noul preț este de $500$ de lei. Arătați că prețul produsului înainte de scumpire a fost de $400$ de lei.

9. Se depun $6000$ de lei cu dobândă simplă de $4%$ pe an, pe o durată de $6$ luni. Calculează dobânda încasată.

10. (Problemă aplicată.) Un laborator cumpără reactivi de $2400$ de lei fără TVA, la cota standard, și primește din partea furnizorului o reducere de $5%$ aplicată prețului fără TVA. Calculează suma finală de plată.

11. Se depun $5000$ de lei cu dobândă compusă de $10%$ pe an, pe doi ani. Calculează soldul final și dobânda totală.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că o sumă de $2000$ de lei, depusă cu dobândă compusă de $5%$ pe an, devine $2205$ lei după doi ani.

13. Un preț crește cu $10%$ , apoi scade cu $10%$ . Calculează factorul total și spune cu cât la sută diferă prețul final de cel inițial.

14. O rată a dobânzii urcă de la $4%$ la $5%$ . Cu câte puncte procentuale a crescut și cu cât la sută a crescut, în termeni relativi?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Prețul unui obiect, cu TVA inclus, este de $1089$ de lei, iar cota de TVA este cea standard, de $21%$ . Determinați prețul obiectului fără TVA.

16. Două magazine vând același produs de $600$ de lei: primul oferă o reducere de $30%$ , al doilea două reduceri succesive de $20%$ și $12%$ . Care ofertă e mai avantajoasă și cu cât?

17. O sumă depusă cu dobândă compusă de $5%$ pe an a ajuns, după un an, la $4200$ de lei. Ce sumă s-a depus?

18. (Provocare.) Un comerciant scumpește un produs de $200$ de lei cu $30%$ , iar la lichidare anunță o reducere de $30%$ din noul preț. a) Arată că prețul final nu este $200$ de lei și calculează-l. b) Determină procentul unic de reducere pe care ar fi trebuit să-l anunțe, aplicat prețului scumpit, ca să ajungă exact la $200$ de lei.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{15}{100} \cdot 840 = 126$ de lei.

2. Factorul este $1, 06$ , deci noul preț este $2500 \cdot 1, 06 = 2650$ de lei. Scumpirea în sine valorează $150$ de lei.

3. Factorul este $0, 88$ , deci prețul redus este $450 \cdot 0, 88 = 396$ de lei, iar economia este $450 - 396 = 54$ de lei, adică exact $12%$ din $450$ .

4. $TVA = 1500 \cdot \frac{21}{100} = 315$ lei, iar prețul de raft este $1500 + 315 = 1815$ lei, adică $1500 \cdot 1, 21$ .

5. Fals. Factorul total este $0, 8 \cdot 0, 7 = 0, 56$ , deci prețul final reprezintă $56%$ din cel inițial, iar reducerea echivalentă este de $44%$ , nu de $50%$ . A doua reducere se aplică prețului deja micșorat.

6. Prețul fără TVA este $605 : 1, 21 = 500$ de lei, iar taxa este $605 - 500 = 105$ lei. Control: $500 \cdot 0, 21 = 105$ .

7. $TVA = 180 \cdot \frac{11}{100} = 19, 80$ lei, deci suma de plată este $180 + 19, 80 = 199, 80$ lei.

8. Notăm cu $x$ prețul inițial. Scumpirea cu $25%$ dă $1, 25 x = 500$ , deci $x = 500 : 1, 25 = 400$ de lei. Verificare: $25%$ din $400$ înseamnă $100$ de lei, iar $400 + 100 = 500$ .

9. Durata este $t = \frac{6}{12} = 0, 5$ ani, deci $D = 6000 \cdot 0, 04 \cdot 0, 5 = 120$ de lei.

10. Prețul fără TVA după reducere este $2400 \cdot 0, 95 = 2280$ de lei. TVA-ul se aplică acestei valori: $2280 \cdot 0, 21 = 478, 80$ lei, deci suma de plată este $2280 + 478, 80 = 2758, 80$ lei.

11. $5000 \cdot 1, 1^{2} = 5000 \cdot 1, 21 = 6050$ de lei, deci dobânda totală este $6050 - 5000 = 1050$ de lei. Pe ani: $5500$ după primul, $6050$ după al doilea.

12. $2000 \cdot 1, 0 5^{2} = 2000 \cdot 1, 1025 = 2205$ lei. Pe pași: după primul an $2000 \cdot 1, 05 = 2100$ de lei, iar după al doilea $2100 \cdot 1, 05 = 2205$ lei.

13. Factorul total este $1, 1 \cdot 0, 9 = 0, 99$ , deci prețul final reprezintă $99%$ din cel inițial: este cu $1%$ mai mic. Ordinea celor două operații nu contează, fiindcă înmulțirea e comutativă.

14. Creșterea este de $1$ punct procentual. În termeni relativi, $\frac{5 - 4}{4} = 0, 25$ , adică o creștere de $25%$ față de valoarea inițială a ratei.

15. Prețul de raft reprezintă $121%$ din cel fără TVA, deci prețul fără TVA este $1089 : 1, 21 = 900$ de lei. Control: taxa este $1089 \cdot \frac{21}{121} = 189$ lei, iar $1089 - 189 = 900$ .

16. Primul magazin: $600 \cdot 0, 7 = 420$ de lei. Al doilea: $600 \cdot 0, 8 \cdot 0, 88 = 600 \cdot 0, 704 = 422, 40$ lei. Prima ofertă e mai avantajoasă, cu $2, 40$ lei.

17. Suma depusă este $4200 : 1, 05 = 4000$ de lei. Verificare: $4000 \cdot 1, 05 = 4200$ .

18. a) Prețul scumpit este $200 \cdot 1, 3 = 260$ de lei, iar după reducere ajunge la $260 \cdot 0, 7 = 182$ de lei — cu $18$ lei sub prețul de la care s-a pornit, pentru că reducerea de $30%$ s-a aplicat unei sume mai mari decât cea scumpită. b) Trebuie ca $260 \cdot (1 - r) = 200$ , deci $1 - r = \frac{200}{260} = \frac{10}{13}$ și $r = \frac{3}{13} \approx 0, 2308$ , adică o reducere de aproximativ $23, 08%$ .

De reținut

$p %$ dintr-o sumă $S$ înseamnă $\frac{p}{100} \cdot S$ ; înainte de orice calcul, stabilește suma de referință, pentru că același procent aplicat altei baze dă alt rezultat.
O scumpire cu $p %$ se face înmulțind cu $1 + \frac{p}{100}$ , o ieftinire cu $p %$ înmulțind cu $1 - \frac{p}{100}$ ; drumul înapoi se face prin împărțire la același factor, niciodată prin adunarea procentului la prețul nou.
Reducerile succesive se înmulțesc: $0, 75 \cdot 0, 9 = 0, 675$ , deci $25%$ și apoi $10%$ înseamnă o reducere unică de $32, 5%$ , nu de $35%$ .
TVA-ul se aplică prețului fără taxă: cu cota standard de $21%$ , prețul de raft este $1, 21$ ori prețul fără TVA, iar taxa cuprinsă într-un preț de raft este $\frac{21}{121}$ din el.
Dobânda simplă se calculează mereu la suma inițială și dă o progresie aritmetică; dobânda compusă se calculează la soldul acumulat și dă o progresie geometrică de rație $1 + \frac{p}{100}$ , deci crește mai repede.

Greșeli frecvente

Procentul raportat la baza greșită la drumul înapoi. Un preț ieftinit cu $20%$ ajunge la $240$ de lei; adunând $20%$ la $240$ se obține $288$ , care nu e prețul inițial. Procentul se raportează la prețul vechi, deci se împarte la $0, 8$ și se obține $300$ .
Reducerea unică echivalentă obținută prin adunare. Întrebarea „cu cât la sută s-a ieftinit în total?" nu se rezolvă adunând procentele: se înmulțesc factorii, iar din produs se scade $1$ . Pentru $25%$ și apoi $10%$ , factorul este $0, 675$ , deci reducerea echivalentă este $32, 5%$ , nu $35%$ — verifică pe o sumă rotundă, pornind de la $100$ de lei.
TVA-ul calculat direct din prețul de raft. Prețul de raft este $121%$ din baza de impozitare, nu $100%$ , deci taxa este $\frac{21}{121}$ din el, nu $\frac{21}{100}$ . Confuzia umflă taxa cu peste o cincime.
Cota de TVA luată din memorie. Cifra s-a schimbat de câteva ori în ultimii ani, iar pentru unele categorii de produse se aplică o cotă redusă. La o problemă cu dată, folosește cota în vigoare atunci și scrie-o explicit în rezolvare.
Dobânda compusă calculată ca dobândă simplă înmulțită cu anii. Pe trei ani, la $8000$ de lei și $5%$ , dobânda simplă dă $1200$ de lei, iar cea compusă $1261$ de lei. Când contractul spune „capitalizare", soldul se înmulțește în fiecare an cu același factor, deci se ridică la putere.

Aplică acasă

Bonul de la magazin, verificat. Ia un bon fiscal de acasă și caută rândul cu TVA-ul. Verifică, pentru două-trei produse, dacă valoarea taxei este $\frac{21}{121}$ sau $\frac{11}{111}$ din suma plătită și notează la ce cotă se vinde fiecare produs. Scrie într-o propoziție ce fel de produse au cota redusă, pe baza a ceea ce ai găsit, nu din memorie.
Reducerea unică echivalentă. Fotografiază sau notează trei etichete cu reduceri succesive din vitrinele unui magazin. Pentru fiecare, calculează factorul total și reducerea unică echivalentă, apoi compară-le cu procentul afișat. Dacă găsești o etichetă care adună procentele, ai un exemplu real de folosit la ora de matematică.
Două contracte, aceeași sumă. Alege o sumă și o rată anuală și întocmește un tabel cu soldul pe zece ani, în paralel, pentru dobândă simplă și pentru dobândă compusă. Calculează în ce an diferența dintre cele două solduri depășește pentru prima dată $10%$ din suma depusă inițial.

Pentru părinți și profesori

Capitolul acesta e cel mai apropiat de viața de zi cu zi din toată programa de clasa a X-a, și tocmai de aceea e înșelător: elevii cred că știu deja procentele din gimnaziu și sar peste raționament. Diferența față de gimnaziu e că aici procentul nu mai apare singur, ci în lanț — o reducere peste altă reducere, o taxă peste un preț redus, o dobândă peste o dobândă — iar lanțul se scrie cu factori care se înmulțesc. Elevul care a înțeles factorul de modificare rezolvă toate tipurile de probleme cu aceeași unealtă; cel care calculează „procentul" separat, de fiecare dată, se pierde la al doilea pas.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă e scrisă suma de referință a fiecărui procent; dacă drumul înapoi s-a făcut prin împărțire; dacă TVA-ul s-a aplicat prețului fără taxă; dacă rotunjirea la bani s-a făcut abia la final. Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „Ce factor corespunde unei ieftiniri cu $35%$ ?"; „De ce prețul de raft este $121%$ din baza de impozitare?"; „Care e diferența dintre o creștere de un punct procentual și una de $1%$ ?"; „Când produce dobânda compusă mult mai mult decât cea simplă?". Semn că elevul a înțeles: estimează rezultatul înainte de a calcula și își dă seama singur când un răspuns e imposibil.

Programa și examenul. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărei programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde, la clasa a X-a, capitolul „Matematici financiare" cu elementele de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cele șase cerințe scurte ale Subiectului I sunt din materia claselor a IX-a și a X-a, iar niciuna nu este de calcul financiar. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, nu mai are acest capitol: din el rămân dobânda simplă și dobânda compusă, mutate la clasa a IX-a, lângă progresii, așa că la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) ele apar în domeniul Algebră, iar procentele și TVA-ul nu mai figurează ca temă distinctă. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a X-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Cum se calculează TVA-ul de 21% la un preț? Se înmulțește prețul fără TVA cu $\frac{21}{100}$ , iar rezultatul se adaugă la preț; pe scurt, prețul de raft este prețul fără TVA înmulțit cu $1, 21$ . Cota standard de $21%$ se aplică din $1$ august $2025$ , conform Legii nr. 141/2025, iar pentru alimente, medicamente, cărți sau cazare se aplică o cotă redusă de $11%$ . Verifică întotdeauna cota în vigoare la data problemei.

Cum scot TVA-ul dintr-un preț care îl conține deja? Împarți prețul de raft la $1, 21$ și obții baza de impozitare, iar diferența este taxa; sau, dintr-un pas, înmulțești prețul de raft cu $\frac{21}{121}$ . La cota redusă, împărțitorul este $1, 11$ , iar fracția este $\frac{11}{111}$ . Greșeala obișnuită este să aplici $21%$ direct prețului de raft, ceea ce dă o taxă mai mare decât cea reală.

De ce două reduceri succesive nu se adună? Pentru că a doua reducere se aplică prețului deja micșorat, nu celui inițial. Matematic, fiecare reducere înseamnă o înmulțire cu un factor subunitar, iar factorii se înmulțesc între ei: $0, 75 \cdot 0, 9 = 0, 675$ . Rezultatul este o reducere unică de $32, 5%$ , mai mică decât suma $25% + 10%$ , tocmai pentru că a doua tăiere nu atinge partea deja scăzută.

Care e diferența dintre dobânda simplă și dobânda compusă? Dobânda simplă se calculează în fiecare perioadă la suma depusă inițial, deci soldurile formează o progresie aritmetică. Dobânda compusă se calculează la soldul acumulat, deci dobânda produce, la rândul ei, dobândă, iar soldurile formează o progresie geometrică. La $8000$ de lei și $5%$ pe an, pe trei ani, diferența dintre cele două este de $61$ de lei, și crește repede cu durata.

Se dau procentele și la mate-info (M1)? Da, dar altfel așezate. La matematică-informatică nu există un capitol de matematici financiare: procentele rămân un instrument folosit ocazional, la probabilități sau la probleme de progresii. La științe ale naturii ele au fost, în programa veche, un capitol propriu, cu profit, preț de cost și credite. Pe site, cea mai apropiată lecție înrudită este cea de gimnaziu: probleme cu procente, reduceri, TVA și dobândă.

La ce subiect apare calculul financiar la bacalaureatul M2? Programa de examen nu împarte temele pe subiecte; în modelul oficial publicat pentru 2026, materia claselor a IX-a și a X-a apare în cele șase cerințe scurte ale Subiectului I. Programa de examen așază matematicile financiare la clasa a X-a, iar cerințele de acest fel se redactează în câteva rânduri, ca în exemplul al șaselea din lecție. În modelul oficial publicat pentru 2026, niciuna dintre cele șase cerințe nu este de calcul financiar.

Ce înseamnă creștere cu un punct procentual? Înseamnă că un procent crește de la o valoare la alta prin adunarea unei unități de procent: de la $5%$ la $6%$ este o creștere de un punct procentual. Aceeași schimbare, exprimată relativ, înseamnă o creștere de $20%$ , pentru că raportul $\frac{6 - 5}{5}$ este $0, 2$ . Confuzia dintre cele două formulări schimbă complet mărimea despre care se vorbește.

Cum rotunjesc rezultatele într-o problemă cu bani? Calculezi exact până la final și rotunjești o singură dată, la două zecimale, adică la bani. Rotunjirile intermediare se adună și pot muta rezultatul cu câțiva lei, mai ales când urmează înmulțiri sau ridicări la putere. Dacă rezultatul exact are mai multe zecimale, scrie-l aproximativ cu semnul potrivit și precizează la ce ai rotunjit.